Pjesëtuesi normal i një grupi. Grupi i faktorëve. Grupi i pjesëtuesve normalë Pjesëtuesi normal

Klasa të ngjashme. Zbërthimi i një grupi sipas nëngrupit

Le të jetë një grup, të jetë nëngrupi i tij dhe të jetë një element arbitrar i grupit. Le të krijojmë një grup. Ky grup jo bosh quhet koset e majta grupet sipas nëngrupit të përcaktuar nga elementi . Kompleti quhet koset e duhur grupet sipas nëngrupit të përcaktuar nga elementi . Në përgjithësi .

Detyra 61. Në gjeni kosetat djathtas dhe majtas të përcaktuara nga elementi nëse nëngrupi është .

Zgjidhje.

Hartoni klasa

Shënim, .

Le të jetë një grup dhe të jetë nëngrupi i tij.

Nëse , atëherë grupi thuhet se zbërthehet nga nëngrupi në një koset.

Nëse, atëherë ka një element në dhe atëherë ne do të kompozojmë klasën.

Nëse, atëherë grupi thuhet se zbërthehet nga nëngrupi në dy koset e majta.

Nëse , atëherë kemi një zbërthim të grupit në tre koset në lidhje me nëngrupin, etj.

Procesi i zbërthimit të një grupi sipas nëngrupit në koset e majta mund të jetë i fundëm ose mund të jetë i pafund.

Në mënyrë të ngjashme, mund të merret një zbërthim i një grupi sipas nëngrupeve në koset e duhura: .

Zgjerimi i djathtë nuk duhet të jetë i njëjtë me zgjerimin e majtë.

Si rezultat, marrim dy grupe klasash:

Dhe janë grupet e faktorëve majtas dhe djathtas të grupit nga nëngrupi . Gjatësia e këtyre grupeve quhet indeks nëngrupe në një grup.

Problemi 62. Gjeni faktorin e grupit të një bashkësie sipas nëngrupit në lidhje me veprimin e mbledhjes.

Zgjidhje. Funksioni i shtimit në është komutativ, kështu që zgjerimet majtas dhe djathtas në do të jenë të njëjta. Le të zbërthehemi në coset e majta.

Për shembull, . Ne po ndërtojmë. . Kemi një zbërthim në lidhje me dy koset. Seti i faktorëve: .

Problemi 63. Në grupin shumëzues

Le të marrim një nëngrup. Gjeni faktorin e caktuar të grupit nga .

Zgjidhje. Me një zgjerim të majtë për sa i përket kemi:

Kjo është, grupi i faktorëve në të majtë.

Me një zgjerim në të djathtë për sa i përket kemi:

Kjo është, një grup faktorësh me dorën e djathtë , dhe , .

Indeksi i nëngrupit në është 3.

Detyra 64. Gjeni zgjerimin e grupit shtues në nëngrupin e numrave të plotë të pjesëtueshëm me 3.

Zgjidhje. .

Për shembull, . Le të kompozojmë. Prandaj, klasa përbëhet nga të gjithë numrat e plotë që, kur ndahen me 3, kanë një mbetje prej 1. , për shembull, , . Le të kompozojmë. Prandaj, klasa përbëhet nga të gjithë numrat e plotë që, kur ndahet me 3, japin një mbetje prej 2. Pra, në janë të gjithë numrat e plotë që, kur ndahen me 3, japin një mbetje prej 0, në klasë - të gjithë numrat e plotë që ndahen me 3 jepet në mbetjen 1, në klasë - të gjithë numrat me mbetjen 2. Por kur pjesëtohet me 3, janë të mundshme vetëm mbetjet 0, 1, 2. Kjo do të thotë që të gjithë numrat e plotë shpërndahen nëpër klasa, d.m.th., zbërthimi në kosete në ka forma: . Meqenëse shtimi është komutativ, zgjerimi në të majtë përkon me atë të djathtë. Indeksi i nëngrupit në është 3.

Pjesëtuesi normal i një grupi. Grupi i faktorëve

Nëse në një grup në lidhje me një nëngrup për ndonjë element, domethënë, nëse ndonjë element i grupit ndryshon me një nëngrup, atëherë nëngrupi quhet pjesëtues normal i grupit.

Nëse një veprim në një grup është komutativ, atëherë çdo nëngrup në grup është një pjesëtues normal. Nëse, në zbërthimin në të majtë dhe të djathtë të grupit në nëngrupe, kosetat në të cilat ndahet grupi rezultojnë të njëjta, atëherë është pjesëtuesi normal i grupit. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse është një pjesëtues normal në grup, atëherë me zbërthimin në të majtë dhe të djathtë të grupit për sa i përket nëngrupit, kosetat në të cilat ndahet grupi rezultojnë të jenë të njëjta.

Është një pjesëtues normal i grupit nëse dhe vetëm nëse për ndonjë dhe ndonjë element .

Problemi 65. Nëse indeksi i nëngrupit të një grupi është 2, atëherë është pjesëtuesi normal i grupit.

Zgjidhje. Nëse nëngrupi ka indeksin 2 në grup , atëherë , ku dhe , d.m.th. Prandaj, koset e zbërthimit të anës së majtë përkojnë me klasat përkatëse të zbërthimit të anës së djathtë, d.m.th., është një pjesëtues normal i grupit.

Detyra 66. A do të jetë grupi në problemin 63 një pjesëtues normal në grup?

Zgjidhje. Zbërthimi në të majtë i një grupi sipas nëngrupit përbëhet nga klasat dhe . Zbërthimi i djathtë përbëhet nga klasat , , , por , , pra nëngrupi nuk është një nëngrup normal i grupit.

Problemi 67. Gjeni grupin e faktorëve të grupit me nëngrupin e të gjithë numrave të pjesëtueshëm me 3.

Zgjidhje. Meqenëse mbledhja në është komutative, atëherë është një pjesëtues normal. Le të gjejmë zgjerimin në: . Faktori i vendosur përbëhet nga klasat. Le të vendosim operacionin e shtimit:

Plotësimi i tabelës Cayley kryhet sipas rregullit:

Për shembull, . Ky grup përbëhet nga të gjithë numrat e plotë, ku , d.m.th., . Pastaj . Pra, kemi marrë një grup faktorësh, operacioni i mbledhjes në të cilin është dhënë nga tabela e mësipërme Cayley.

Problemi 68. Gjeni grupin e faktorëve të grupit sipas nëngrupit .

Zgjidhje.është pjesëtues normal, pasi mbledhja në është komutative. Le të gjejmë zgjerimin në: . Në të vërtetë, ne do të përshkruajmë në boshtin numerik dhe do t'i shënojmë elementet në të me pika:

Le të ndërtojmë se ku. Nëse , atëherë , nëse , atëherë elementet i shënojmë me yll. Pastaj përbëhet nga elementë të shënuar me pika dhe yllza. Ky grup nuk përfshin një element, për shembull, . Më pas ndërtojmë një grup , elementët e të cilit shënohen me një të thjeshtë. Pastaj ai përbëhet nga elementë të shënuar me pika, yje dhe goditje, por nuk përkon me . Natyrisht, për t'u përshtatur me , është e nevojshme që .

Ne kemi ndërtuar një grup faktorësh. Sipas procedurës së faktorizimit, operacioni i mbledhjes përcaktohet si më poshtë: , ku , .

Hyrje 2
1. Përkufizimi dhe shembuj të grupeve 4
2. Nëngrupet 8
3. Grupet ciklike. 13
4. Pjesëtuesit normalë, grupet e faktorëve 17
5. Ideali i një nëngrupi në një grup. Teorema e Lagranzhit dhe pasojat prej saj. 22
6. Përdorimi i pjesëtuesve normalë të grupeve në zgjidhjen e problemave 26
Përfundimi 29
Referencat 30

Prezantimi

Algjebra e lartë është një përgjithësim i gjerë, por mjaft i natyrshëm i përmbajtjes kryesore të kursit të shkollës fillore të algjebrës. Algjebra lineare, e cila është një shkencë e madhe që i kushtohet kryesisht teorisë së matricave dhe teorisë së transformimeve lineare të hapësirave vektoriale që lidhen me të, përfshin gjithashtu teorinë e formave, teorinë e invarianteve dhe algjebrën tensore, e cila luan një rol të rëndësishëm në gjeometri diferenciale. Teoria e hapësirave vektoriale është zhvilluar më tej jashtë algjebrës, në analizën funksionale (hapësirat infinite-dimensionale). Sipas shumëllojshmërisë dhe rëndësisë së aplikimeve si në matematikë ashtu edhe në mekanikë, fizikë dhe shkencat teknike algjebra lineare është ende e para ndër degët e shumta të algjebrës.
Teoria e fushës doli të ishte një zonë natyrore për zhvillimin e mëtejshëm të teorisë së ekuacioneve, dhe degët kryesore të saj - teoria e fushave të numrave algjebrikë dhe teoria e fushave të funksioneve algjebrike - e lidhën atë, përkatësisht, me teorinë e numrave. dhe teoria e funksioneve të një ndryshoreje komplekse. Kursi i algjebrës më të lartë përfshin një hyrje elementare në teorinë e fushës, dhe disa seksione të kursit - polinomet në disa të panjohura, forma normale e një matrice - paraqiten menjëherë për rastin e një fushe bazë arbitrare.
Më i gjerë se koncepti i një fushe është koncepti i një unaze. Në ndryshim nga rasti i një fushe, pjesëtimi nuk kërkohet më të jetë i kënaqshëm dhe, për më tepër, shumëzimi mund të jetë jokomutativ dhe madje joshoqërues. Shembujt më të thjeshtë të unazave janë grumbullimi i të gjithë numrave të plotë (përfshirë ata negativë), sistemi i polinomeve në një të panjohur dhe sistemi i funksioneve reale të një ndryshoreje reale. Teoria e unazave përfshin degë të tilla të vjetra të algjebrës si teoria e sistemeve hiperkomplekse dhe teoria e idealeve, ajo është e lidhur me një numër shkencash matematikore / në veçanti me analiza funksionale, dhe tashmë ka gjetur disa mënyra në fizikë. Kursi i algjebrës më të lartë, në thelb, përmban vetëm përkufizimin e konceptit të një unaze.
Teoria e grupit ka një fushë edhe më të madhe zbatimi. Një grup është një sistem algjebrik me një veprim bazë, dhe ky veprim duhet të jetë asociativ, edhe pse jo domosdoshmërisht komutativ, dhe duhet të ketë veprimin e anasjelltë - pjesëtimi, nëse operacioni kryesor quhet shumëzim. I tillë, për shembull, është mbledhja e numrave të plotë të konsideruar në lidhje me veprimin e mbledhjes, si dhe mbledhja e numrave realë pozitivë të konsideruar me veprimin e shumëzimit. Grupet luajtën një rol të madh tashmë në teorinë Galois, në çështjen e zgjidhshmërisë së ekuacioneve në radikale, por tani ato janë një mjet i rëndësishëm në teorinë e fushës, në shumë degë të gjeometrisë, në topologji, dhe gjithashtu jashtë matematikës - në kristalografi, në fizikën teorike. Në përgjithësi, për nga gjerësia e fushës së zbatimit të saj, teoria e grupit zë vendin e radhës pas algjebrës lineare midis të gjitha degëve të algjebrës.
Tema e këtij punimi janë pjesëtuesit normalë të grupeve.
Detyrat:
1. Përcaktoni një grup dhe një nëngrup, merrni parasysh shembuj të grupeve.
2. Konsideroni grupet ciklike.
3. Shqyrtoni konceptin e pjesëtuesve normalë
4. Jepni teoremën e Lagranzhit dhe pasojat e saj.
5. Konsideroni përdorimin e pjesëtuesve normalë të grupeve në zgjidhjen e problemeve.

Lista e burimeve të përdorura

1. Kulikov L.Ya. dhe teoria e numrave: Proc. manual për institutet pedagogjike. - : Më e lartë. shkollë, 1979. - 559 f., ill.
2. Kostrikin A.I. Hyrje në Algjebër: Libër mësuesi për shkollat ​​e mesme. – M.: Fizmatlit, 2004. – 272 f.
3. Faddeev D.K. Mbledhja e problemave në algjebër më të lartë. – M.: Nauka, 1977. – 288 f.
4. Kurosh A.G. Kursi i algjebrës më të lartë. – M.: Nauka, 1968.
5. Okunev L.Ya. Koleksioni i problemeve në algjebrën e lartë - M .: Edukimi, 1964.

Vëllimi i përgjithshëm: 30 faqe

Viti: 2013

Nese nje H 1 dhe H 2 - nëngrupet e grupit G, pastaj produkti H 3 nëngrupe H 1 dhe H 2 thirrur H 3 = H 1× H 2º( h 3 ½ h 3 = h 1× h 2 ; h 1 О H 1 ; h 2 О H 2 }.

Vini re se nëse H 1 dhe H 2 - nëngrupet e grupit G, pastaj H 1× H 2, në përgjithësi, nuk është një nëngrup.

◀ Në të vërtetë, nëse , atëherë

Nëse do të ishte e mundur, atëherë ... Por ligji komutativ, në përgjithësi, nuk është i kënaqur

Nese nje H nëngrupi G dhe aÎ G, pastaj aH dhe Ha, konsiderohen si produkte të kompletit H dhe komplet teke ( a}, quhen koset majtas dhe djathtas të nëngrupit H në G. Ndryshimi a nënkupton, në përgjithësi, një ndryshim në koset.

§7. Vetitë e koseteve (të formuluara majtas,

por edhe e vërtetë për të drejtën)

1°. aÎ H Þ aH º H. Provoni veten.

2°. a -1 bÎ H Þ aH = bH. ◀ a - 1 bH º H(nga 1°) dhe më pas bH= (aa - 1)bH= a(a - 1 bH) = aH

3°. Dy koset të të njëjtit nëngrup H ose përkojnë ose nuk kanë elementë të përbashkët.

◀ Le një N dhe bH kanë një element të përbashkët, d.m.th. për h 1 , h 2 О H, Ah 1 = bh 2 a -1 b = Î H dhe sepse (nga 2°)

4°. aÎ aH. Provoni veten.

Le H një nëngrup i tillë G për të cilat të gjitha kosetat e majta janë edhe koset e djathta. Në këtë rast, një N= Në, "aÎ G. Nëngrupi H për të cilat të gjitha kosetat e majta janë njëkohësisht koset e djathta quhet nëngrupi normal i grupit G.

T° . Nëse H është një nëngrup normal i G, atëherë prodhimi i koseteve është

Përkufizimet

Nëngrupi N grupe G thirrur normale, nëse është i pandryshueshëm nën konjugime, domethënë për ndonjë element n nga N dhe ndonjë g nga G, element gng − 1 qëndron në N :

Kushtet e mëposhtme të normalitetit për një nëngrup janë ekuivalente:

Kushti (1) është logjikisht më i dobët se (2), dhe kushti (3) është logjikisht më i dobët se (4). Prandaj, kushtet (1) dhe (3) përdoren shpesh për të vërtetuar normalitetin e një nëngrupi, dhe kushtet (2) dhe (4) përdoren për të vërtetuar pasojat e normalitetit.

Shembuj

• {e) dhe G- gjithmonë nëngrupe normale G. Ato quhen të parëndësishme. Nëse nuk ka nëngrupe të tjera normale, atëherë grupi G quhet e thjeshtë.

• Qendra e një grupi është një nëngrup normal.

• Komutuesi i një grupi është një nëngrup normal.

• Çdo nëngrup karakteristik është normal, pasi konjugimi është gjithmonë një automorfizëm.

• Të gjitha nëngrupet N grup abelian G normale sepse gN = Ng . Një grup jo-abelian në të cilin çdo nëngrup është normal quhet grup Hamiltonian.

• Grupi i përkthimeve paralele në një hapësirë ​​të çdo dimensioni është një nëngrup normal i grupit Euklidian; për shembull, në hapësirën 3D, kthimi, zhvendosja dhe kthimi mbrapa rezulton në një zhvendosje të thjeshtë.

• Në grupin e Kubit të Rubikut, një nëngrup i përbërë nga operacione që veprojnë vetëm në elementët e këndit është normal, pasi asnjë transformim i konjuguar nuk do të bënte që një operacion i tillë të vepronte në elementin e skajit dhe jo në elementin e këndit. Në të kundërt, një nëngrup që përbëhet vetëm nga rrotullime të faqes së sipërme nuk është normal, pasi filetot lejojnë që pjesët e faqes së sipërme të zhvendosen poshtë.

Vetitë

• Normaliteti ruhet nën homomorfizmat dhe tërheqjet surjektive.
• Normaliteti ruhet gjatë ndërtimit të produktit të drejtpërdrejtë.
• Një nëngrup normal i një nëngrupi normal nuk duhet të jetë normal në grup, domethënë, normaliteti nuk është kalimtar. Megjithatë, nëngrupi karakteristik i një nëngrupi normal është normal.
• Çdo nëngrup i indeksit 2 është normal. Nese nje fqështë pjesëtuesi më i vogël i rendit të thjeshtë G, pastaj çdo nëngrup të indeksit fq normale.
• Nese nje Nështë një nëngrup normal në G, pastaj në grupin e kosetave majtas (djathtas). G / N ju mund të prezantoni një strukturë grupi sipas rregullit

(g 1 N)(g 2 N) = (g 1 g 2)N Grupi që rezulton quhet grupi i faktorëve G në N .

• Nështë normale nëse dhe vetëm nëse vepron në mënyrë të parëndësishme në kosetat e majta G / N .

Fakte historike

Évariste Galois ishte i pari që kuptoi rëndësinë e nëngrupeve normale.

Lidhjet

• Vinberg E. B. Kursi i Algjebrës - M .: Shtëpia Botuese Factorial Press, 2002, ISBN 5-88688-060-7

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

• Algoritmi Normal Markov
• Potenciali normal i elektrodës

Shihni se çfarë është "pjesëtuesi normal" në fjalorë të tjerë:

pjesëtues normal- një nëngrup invariant, një nga konceptet bazë të teorisë së grupit (Shih Grupi), i prezantuar nga E. Galois. S.f. e një grupi G është një nëngrup H për të cilin gH = Hg për çdo zgjedhje të një elementi g të grupit G ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

PJETUES NORMAL- një nëngrup normal, një nëngrup invariant, një nëngrup H i një grupi G, për të cilin zgjerimi majtas i grupit G për sa i përket nëngrupit H përkon me atë të djathtë, pra një nëngrup i tillë që për çdo element kosetat aH dhe Ha janë të barabarta (në kuptimin e ... ... Enciklopedia Matematikore

Seritë normale të nëngrupeve- Për përshkrim i përgjithshëm teoria e grupit, shih Teoria e grupit (matematika) dhe teoria e grupit. Shkrimet kursive tregojnë një lidhje me këtë fjalor. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U ... Wikipedia

rresht normal- Për një përshkrim të përgjithshëm të teorisë së grupit, shih Teoria e grupit (matematika) dhe teoria e grupit. Shkrimet kursive tregojnë një lidhje me këtë fjalor. # A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U ... Wikipedia është një grup topologjik që është kompakt si grup topologjik. hapësirë. Për shembull, çdo grup i fundëm (në topologjinë diskrete) është një grup algjebrik C.G, megjithëse është një grup topologjik kompakt. hapësirë ​​(në lidhje me topologjinë Zariski) ... Enciklopedia Matematikore

LI - TEOREMA E KOLÇINËS- një nëngrup G i zgjidhshëm i grupit GL(V) (V është një hapësirë ​​vektoriale me dimensione të fundme mbi një fushë të mbyllur algjebrikisht) ka një pjesëtues normal G1 të indeksit më së shumti ku p varet vetëm nga dim V, i tillë që V të ketë një flamur i pandryshueshëm nën G1.…… Enciklopedia Matematikore

GRUP TOPOLOGJIKështë një bashkësi G, mbi të cilën janë dhënë dy struktura të një grupi dhe një strukturë topologjike. hapësira në përputhje me kushtin e vazhdimësisë së operacioneve të grupit. Domethënë, pasqyrimi i produktit direkt në G duhet të jetë i vazhdueshëm. Nëngrupi H T. g. G është T. g. në ... ... Enciklopedia Matematikore

Nëngrupi H grupe G quhet pjesëtues normal nëse për çdo element g grupe G koset e tij majtas dhe djathtas sipas nëngrupit H janë të barabartë, d.m.th. gH=hg.

Teorema 2.5. Nëngrupi H grupe Gështë një pjesëtues normal nëse dhe vetëm nëse përmbahet në H për çdo g nga G dhe h nga H.

Dëshmi padyshim.

Le Hështë pjesëtuesi normal i grupit G. Në grupin e koseteve, ne prezantojmë operacionin e shumëzimit të induktuar nga operacioni në grup. Nën produktin e kosetave aH dhe bH do të kuptojmë grupin e të gjitha produkteve të mundshme të elementeve nga aH mbi elementet bH. Sepse Hështë një pjesëtues normal, atëherë të gjitha këto produkte janë të përfshira në koset ( ab)H. Kështu, një operacion futet në grupin e kosetave. Ky operacion është shoqërues ( aHbH)CH=aH(bHcH), ka një element neutral H, dhe për çdo element aH ka një të kundërt a-1H. Rrjedhimisht, grupi i koseteve, në lidhje me operacionin e paraqitur, formojnë një grup, i cili quhet grup faktorësh.

Homomorfizmi grupor.

Hartë unike në grup G te grupi H që ruan operacionin quhet homomorfizmi grupor G në H.

Izomorfizmi është një rast i veçantë i homomorfizmit.

Pasuria 2.9. Nën homomorfizmin, elementi neutral i grupit G hartuar me elementin neutral të grupit H.

Dëshmi rrjedh nga barazia.

Elemente të shumëfishta grupi G i paraqitur në një element neutral quhet bërthama e homomorfizmit dhe shënohet me .

Pasuria 2.10.

Dëshmi. Që atëherë.

Pasuria 2.11. Bërthama e homomorfizmit është një nëngrup normal i grupit G.

Dëshmi. Për a nga G dhe b nga kerneli është i vlefshëm, domethënë.

Elemente të shumëfishta grupi H, të cilat janë imazhe të elementeve G, quhet bashkësia e imazheve dhe shënohet me .

Pasuria 2.12. Grupi i imazheve është një nëngrup H.

Dëshmi padyshim.

Teorema 2.6. Grupi i faktorëve është izomorfik.

Dëshmi. Korrespondenca është një-për-një dhe ruan operacionin; prandaj, ajo përcakton një izomorfizëm dhe .

Teorema 2.7. Për çdo pjesëtues normal H grupe G ekziston një homomorfizëm bërthama e të cilit është e barabartë me H. Në veçanti, një homomorfizëm i tillë nga G në G/Hështë .

Dëshmi padyshim.

rresht normal

Le të vërtetojmë dy teorema mbi homomorfizmat.

Teorema 2.8. Le H pjesëtues i grupit normal G dhe P- nëngrup G. Pastaj është pjesëtuesi normal P dhe

Dëshmi. Le dhe . Pastaj që H pjesëtues normal G, dhe kështu me radhë, të gjithë elementët nga P. Prandaj, është një pjesëtues normal P. Korrespondenca është një me një dhe ruan funksionimin. Teorema është vërtetuar.

Teorema 2.9. Le Pështë pjesëtuesi normal dhe . Pastaj Tështë pjesëtuesi normal G dhe .

Dëshmi. Konsideroni , ku , . Që atëherë, dhe, kështu Tështë pjesëtuesi normal G. Korrespondenca është një me një, sepse dhe ruani operacionin.

Një grup quhet i thjeshtë nëse nuk ka një pjesëtues normal të ndryshëm nga ai dhe nëngrupi i identitetit.

Seria normale e një grupi është një sekuencë nëngrupesh në të cilat secili tjetër është një pjesëtues normal i atij të mëparshëm. Nëse të gjitha grupet e serisë normale përmbahen në serinë normale, atëherë seria e dytë normale thuhet se fitohet duke kondensuar serinë e parë normale.

Një seri normale pa përsëritje që nuk mund të kompaktësohet quhet seri kompozimi.

Për një seri normale, faktorët . Dy seri normale quhen izomorfe nëse të gjithë faktorët e serisë së parë janë izomorfikë me faktorët e serisë së dytë të riorganizuar në një rend të caktuar.

Pasuria 2.13. Nëse seritë normale dhe janë izomorfe, atëherë për çdo densifikimi të serisë së parë mund të gjendet një densifikimi i serisë së dytë izomorfike ndaj saj.

Dëshmi. Le të supozojmë se midis nëngrupeve dhe nëngrupeve ka nëngrupe të reja. Sepse dhe si rrjedhim faktorët janë izomorfikë ndaj nëngrupeve përkatëse të . Shënoni me nëngrupin përkatës. Le të përcaktojmë një sekuencë grupesh , ku i=1,…,t. Sipas teoremës së provuar më sipër. Kështu, densifikimi i rreshtit të dytë sipas grupeve është izomorfik. është vërtetuar pasuria.