กลุ่ม G ทำหน้าที่ (จากซ้าย) ในชุด X หากองค์ประกอบ g และ x X มีการกำหนดองค์ประกอบ gx X และยิ่งไปกว่านั้น g2(g1x) = (g2 g1)x และ ex = x สำหรับ x ทั้งหมด X, g1, g2 G. ชุด

Gx = (gx | g G)

เรียกว่าวงโคจรของธาตุ x วงโคจรขององค์ประกอบสองอย่างจาก X จะตรงกันหรือไม่ตัดกัน เพื่อให้เซต X ถูกแบ่งเป็นวงโคจรที่ไม่ตัดกัน หากมีวงโคจรเพียงวงเดียว - ทั้งเซต X แสดงว่า C ทำหน้าที่ถ่ายทอดบน X กล่าวอีกนัยหนึ่ง กลุ่ม G ทำหน้าที่ถ่ายโอนบนเซต X ถ้าสำหรับสององค์ประกอบ x, x" จาก X มีองค์ประกอบ g จาก G ดังนั้น gx = x"

โคลงขององค์ประกอบ x จาก X คือกลุ่มย่อย

StG(x)=(g G | gx = x).

เซตของจุดคงที่ขององค์ประกอบ g จาก G คือ set

แก้ไข (g) = (x X | gx = x)

กำลังของวงโคจรเท่ากับดัชนีของตัวกันโคลงในกลุ่ม G

ให้ K เป็นลูกบาศก์คงที่ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ G คือกลุ่มของการเคลื่อนที่ทั้งหมดของสเปซนี้ที่รักษาการวางแนวและนำ K ถึง K ในกลุ่ม G มีการเคลื่อนไหวเหมือนกัน การหมุน 120° และ 240° ประมาณสี่ครั้ง แกนที่ผ่านจุดยอดตรงข้ามลูกบาศก์ การหมุน 180° รอบแกนที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้าม และการหมุน 90°, 180° และ 270° รอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของใบหน้าตรงข้าม ดังนั้นเราจึงพบ 24 องค์ประกอบในกลุ่ม G ให้เราแสดงให้เห็นว่าไม่มีองค์ประกอบอื่นใน G กลุ่ม G ทำหน้าที่ถ่ายโอนบนชุด K0 ของจุดยอดของลูกบาศก์ K เนื่องจากจุดยอดสองจุดใดๆ จาก K สามารถ "เชื่อมต่อกันด้วยสายโซ่ของเพื่อนบ้าน" และเพื่อนบ้านสามารถเปลี่ยนเป็นกันและกันได้ด้วยการหมุนที่เหมาะสม ตัวกันจุดยอด x จะต้องปล่อยให้จุดยอด x อยู่ไกลจากจุดนั้นด้วย ดังนั้น มันจึงประกอบด้วยการเคลื่อนไหวและการหมุนที่เหมือนกันรอบแกน xx 120 °และ 240 ° ดังนั้น |G| = |K°| * || = 8 * 3 = 24 ดังนั้นการหมุนทั้งหมดข้างต้นจึงอยู่ในกลุ่ม G

กลุ่ม G เรียกว่ากลุ่มการหมุนลูกบาศก์ ให้เราพิสูจน์ว่าการหมุนจาก G เปลี่ยนเส้นทแยงมุมที่ยาวที่สุดสี่เส้นของลูกบาศก์ homomorphism เกิดขึ้น: q: G > . แก่นของ homomorphism นี้คือ (e) เนื่องจากมีเพียงการเคลื่อนไหวเอกลักษณ์เท่านั้นที่ออกจากแต่ละเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ให้เข้าที่ ดังนั้น G จึงเป็นไอโซมอร์ฟิคสำหรับกลุ่มย่อยของกลุ่ม เมื่อเปรียบเทียบคำสั่งของกลุ่มเหล่านี้ เราจะได้ G ว่า

กลุ่มสมมาตร

ตัวอย่างหนึ่งที่ใช้กันมากที่สุดของกลุ่ม และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน คือกลุ่มที่ "วัด" ความสมมาตรของรูปทรงเรขาคณิต ทั้งแบบแบนและเชิงพื้นที่

กลุ่มสมมาตรของจัตุรมุข

จัตุรมุข (รูปที่ 1) มีแกนสมมาตร 4 แกน l1, l2, l3, l4 ของลำดับที่ 3 ผ่านจุดยอด 1, 2, 3, 4 และจุดศูนย์กลางของใบหน้าตรงข้าม รอบแต่ละแกน นอกจากแกนที่เหมือนกันแล้ว ยังหมุนได้อีกสองครั้ง สอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยนต่อไปนี้:

รอบแกน l1

รอบแกน l2

รอบแกน l3

รอบแกน l4

นอกจากนี้ยังมีความสมมาตร 3 แกนของลำดับที่ 2 โดยผ่านจุดกึ่งกลาง A, B, C, D, E, F ของขอบตัด ดังนั้นจึงมีการแปลงที่ไม่เหมือนกันอีก 3 รายการ (ตามจำนวนคู่ของขอบตัด) ซึ่งสอดคล้องกับพีชคณิต:

รอบแกน AB

รอบแกนซีดี

รอบแกน EF

ร่วมกับการแปลงที่เหมือนกัน เราได้ 12 การเรียงสับเปลี่ยน ภายใต้การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ จัตุรมุขกำลังปรับตัวเอง หมุนไปในอวกาศ คะแนนของมันไม่เปลี่ยนตำแหน่งที่สัมพันธ์กัน ชุดของการเรียงสับเปลี่ยน 12 แบบที่เขียนออกมานั้นถูกปิดโดยคำนึงถึงการคูณ เนื่องจากการหมุนรอบจัตุรมุขที่ต่อเนื่องกันจะเป็นการหมุนอีกครั้ง ดังนั้นเราจึงได้กลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มการหมุนของจัตุรมุข

ภายใต้การเปลี่ยนแปลงอื่นๆ ของอวกาศ ซึ่งเป็นความบังเอิญในตัวเองของจัตุรมุข จุดภายในของจัตุรมุขจะเคลื่อนที่สัมพันธ์กัน กล่าวคือ: จัตุรมุขมีระนาบสมมาตร 6 ระนาบ แต่ละระนาบผ่านขอบด้านหนึ่งและตรงกลางของขอบอีกด้าน สมมาตรที่เกี่ยวกับระนาบเหล่านี้สอดคล้องกับการเคลื่อนย้ายต่อไปนี้บนชุดของจุดยอดของจัตุรมุข:

บนพื้นฐานของข้อมูลเหล่านี้แล้ว เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่ากลุ่มของสมมาตรที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจัตุรมุขประกอบด้วย 24 การแปลง อันที่จริง ความสมมาตรแต่ละส่วนซึ่งรวมจัตุรมุขโดยรวมเข้าด้วยกัน จะต้องจัดเรียงจุดยอด ขอบ และใบหน้าของมันใหม่ โดยเฉพาะใน กรณีนี้ความสมมาตรสามารถกำหนดได้ด้วยการเรียงสับเปลี่ยนของจุดยอดของจัตุรมุข เนื่องจากจัตุรมุขมีจุดยอด 4 จุด กลุ่มสมมาตรของจัตุรมุขไม่สามารถประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงมากกว่า 24 ครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันอาจจะเกิดขึ้นพร้อมกับกลุ่มสมมาตร S4 หรือเป็นกลุ่มย่อยของมัน ความสมมาตรของจัตุรมุขเกี่ยวกับระนาบที่เขียนไว้ด้านบนจะกำหนดการย้ายตำแหน่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดบนเซตของจุดยอดของมัน เนื่องจากการย้ายตำแหน่งเหล่านี้สร้างกลุ่มสมมาตร S4 เราจึงได้สิ่งที่จำเป็น ดังนั้น การเรียงสับเปลี่ยนของจุดยอดของจัตุรมุขถูกกำหนดโดยความสมมาตรบางส่วน อย่างไรก็ตาม เรื่องเดียวกันนี้ไม่สามารถพูดได้เกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนขอบของจัตุรมุขตามอำเภอใจ หากเรายินยอมให้ระบุขอบของจัตุรมุขแต่ละด้านด้วยตัวอักษรเดียวกับตรงกลาง ให้พูดว่า พีชคณิตบนเซตของขอบ

สอดคล้องกับการหมุนสองครั้งตามลําดับรอบแกน l1 และการหมุนรอบแกน AB เมื่อเขียนพีชคณิตในชุด (A, B. C, D, E, F) สำหรับการแปลงสมมาตรทั้งหมด เราได้กลุ่มย่อยบางกลุ่มของกลุ่มสมมาตร S6 ซึ่งประกอบด้วย 24 การเรียงสับเปลี่ยน กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนของจุดยอดของจัตุรมุขและกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนของขอบนั้นเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันเพราะพวกมันทำหน้าที่ในเซตที่แตกต่างกัน แต่เบื้องหลังพวกเขา กลุ่มเดียวกันคือ "มองเห็นได้" - กลุ่มของการเปลี่ยนแปลงในอวกาศที่ปล่อยให้จัตุรมุขเข้าที่

กลุ่มสมมาตรของลูกบาศก์ สมมาตรของลูกบาศก์เช่นสมมาตรจัตุรมุขแบ่งออกเป็นสองประเภท - การจัดตำแหน่งตัวเองซึ่งจุดของลูกบาศก์ไม่เปลี่ยนตำแหน่งที่สัมพันธ์กันและการเปลี่ยนแปลงซึ่งทำให้ลูกบาศก์โดยรวมอยู่ในตำแหน่งเดิม แต่ย้าย จุดที่สัมพันธ์กัน การแปลงประเภทแรกจะเรียกว่าการหมุน การหมุนทั้งหมดสร้างกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มการหมุนลูกบาศก์

ลูกบาศก์มีการหมุน 24 รอบตามแกนสมมาตรที่ต่างกัน

แท้จริงแล้ว เมื่อลูกบาศก์หมุน ใบหน้าทั้ง 6 ของลูกบาศก์สามารถแทนที่ใบหน้าส่วนล่างได้ (รูปที่ 2) สำหรับความเป็นไปได้ทั้ง 6 อย่าง - เมื่อระบุว่าใบหน้าใดอยู่ที่ด้านล่าง - มีการจัดเรียงลูกบาศก์ที่แตกต่างกัน 4 แบบ ซึ่งสอดคล้องกับการหมุนรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของใบหน้าด้านบนและด้านล่าง ผ่านมุม 0 p/2, p, 3p/ 2. ดังนั้นเราจึงได้ 6 × 4 = 24 รอบของลูกบาศก์ ให้เราระบุให้ชัดเจน

ลูกบาศก์มีจุดศูนย์กลางสมมาตร (จุดตัดของเส้นทแยงมุม), ความสมมาตร 3 แกนของลำดับที่สี่, ความสมมาตร 4 แกนของลำดับที่สาม และ 6 แกนสมมาตรของลำดับที่สอง ก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณาการหมุนรอบแกนสมมาตร

ก) แกนสมมาตรของลำดับที่สี่คือแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของใบหน้าตรงข้าม รอบแกนแต่ละแกนเหล่านี้มีการหมุนที่ไม่เหมือนกันสามรอบ กล่าวคือ การหมุนตามมุม p/2, p, 3p/2 การหมุนเหล่านี้สอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยน 9 จุดของจุดยอดลูกบาศก์ ซึ่งจุดยอดของด้านตรงข้ามจะถูกจัดเรียงใหม่เป็นวงกลมและสม่ำเสมอ ตัวอย่างเช่น พีชคณิต

สอดคล้องกับการหมุนรอบแกน

b) แกนสมมาตรของลำดับที่สามคือเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ รอบแต่ละเส้นทแยงมุมทั้งสี่ , , , มีการหมุนสองรอบที่ไม่เท่ากันด้วยมุม 2p/3, 4p/3 ตัวอย่างเช่น การหมุนรอบเส้นทแยงมุมจะกำหนดพีชคณิตต่อไปนี้ของจุดยอดของลูกบาศก์:

โดยรวมแล้วเราได้รับ 8 รอบดังกล่าว

c) แกนสมมาตรของลำดับที่สองจะเป็นเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามของลูกบาศก์ มีขอบตรงข้ามกันหกคู่ (เช่น , ) แต่ละคู่กำหนดหนึ่งแกนสมมาตร นั่นคือ เราได้รับ 6 แกนสมมาตรของลำดับที่สอง รอบแกนเหล่านี้แต่ละแกนจะมีการหมุนที่ไม่เหมือนกันหนึ่งครั้ง เพียง 6 สปิน เมื่อรวมกับการแปลงที่เหมือนกันเราจะได้ 9+8+6+1=24 รอบการหมุนที่แตกต่างกัน การหมุนลูกบาศก์ทั้งหมดจะถูกระบุ การหมุนของลูกบาศก์กำหนดพีชคณิตบนชุดของจุดยอด ขอบ ใบหน้า และเส้นทแยงมุม พิจารณาว่ากลุ่มการหมุนของลูกบาศก์ทำงานอย่างไรกับเซตของเส้นทแยงมุม การหมุนที่แตกต่างกันของลูกบาศก์จะจัดเรียงเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ใหม่ด้วยวิธีต่างๆ เช่น มันสอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันในชุดของเส้นทแยงมุม ดังนั้น กลุ่มการหมุนคิวบ์จึงกำหนดกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนบนชุดของเส้นทแยงมุม ซึ่งประกอบด้วย 24 การเรียงสับเปลี่ยน เนื่องจากลูกบาศก์มีเส้นทแยงมุมเพียง 4 เส้น กลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนดังกล่าวทั้งหมดจึงเหมือนกับกลุ่มสมมาตรบนชุดของเส้นทแยงมุม ดังนั้น การเรียงสับเปลี่ยนของเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์จะสอดคล้องกับการหมุนบางส่วน และการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันก็สอดคล้องกับการหมุนที่ต่างกัน

ตอนนี้เราอธิบายกลุ่มสมมาตรทั้งหมดของลูกบาศก์ ลูกบาศก์มีระนาบสมมาตรสามระนาบผ่านจุดศูนย์กลาง ความสมมาตรของระนาบเหล่านี้ รวมกับการหมุนของลูกบาศก์ทั้งหมด ทำให้เรามีการแปลงอีก 24 แบบ ซึ่งเป็นการจัดตำแหน่งลูกบาศก์ด้วยตัวเอง ดังนั้นกลุ่มสมมาตรทั้งหมดของลูกบาศก์จึงประกอบด้วยการแปลง 48 ครั้ง

กลุ่มสมมาตรของรูปแปดด้าน รูปแปดด้านที่ประกอบขึ้นจากรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้ารูป สามารถรับได้โดยการเชื่อมต่อศูนย์กลางของใบหน้าของลูกบาศก์และพิจารณาร่างกายที่ล้อมรอบด้วยระนาบซึ่งกำหนดโดยเส้นเชื่อมต่อสำหรับใบหน้าข้างเคียง (รูปที่ 3) ดังนั้น ความสมมาตรใดๆ ของลูกบาศก์จึงเท่ากับสมมาตรของรูปแปดด้านและในทางกลับกัน ดังนั้น กลุ่มสมมาตรของรูปแปดด้านจึงเหมือนกับกลุ่มสมมาตรของลูกบาศก์ และประกอบด้วยการแปลง 48 ครั้ง

กลุ่มความสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติประกอบด้วยการแปลง 2l โดยที่ l คือจำนวนมุมระนาบของมัน การยืนยันนี้มีไว้สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดและสามารถพิสูจน์ได้ใน ปริทัศน์โดยไม่พบความสมมาตรทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

เมื่อคลิกที่ปุ่ม "ดาวน์โหลดไฟล์เก็บถาวร" คุณจะดาวน์โหลดไฟล์ที่คุณต้องการได้ฟรี
ก่อนดาวน์โหลดไฟล์นี้ โปรดจำเรียงความที่ดี การควบคุม เอกสารภาคเรียน วิทยานิพนธ์บทความและเอกสารอื่น ๆ ที่ไม่มีการอ้างสิทธิ์ในคอมพิวเตอร์ของคุณ นี่คืองานของคุณ ควรมีส่วนร่วมในการพัฒนาสังคมและเป็นประโยชน์ต่อผู้คน ค้นหาผลงานเหล่านี้และส่งไปยังฐานความรู้
พวกเราและนักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ทุกคนที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงานจะขอบคุณท่านมาก

หากต้องการดาวน์โหลดไฟล์เก็บถาวรด้วยเอกสาร ให้ป้อนตัวเลขห้าหลักในช่องด้านล่างแล้วคลิกปุ่ม "ดาวน์โหลดไฟล์เก็บถาวร"

เอกสารที่คล้ายกัน

การพัฒนาแนวคิดนามธรรมสมัยใหม่ของกลุ่ม คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของกลุ่มที่ไม่มีจุดสิ้นสุด กลุ่มย่อย Frattini ของกลุ่ม จำกัด ไม่มีศักยภาพ การหาผลโดยตรงของกลุ่มไร้อำนาจ การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตแบบไบนารีในชุด

ภาคเรียนที่เพิ่มเมื่อ 09/21/2013


การประยุกต์ใช้บทแทรก Burnside กับการแก้ปัญหาเชิงผสมผสาน วงโคจรของกลุ่มการเปลี่ยนแปลง ความยาวของวงโคจรของกลุ่มการเปลี่ยนแปลง บทแทรกของเบิร์นไซด์ งานรวม "วิธีการกลั่นกรอง". สูตรการรวมและการยกเว้น

วิทยานิพนธ์, เพิ่ม 06/14/2007


ความสามารถในการละลายได้ของกลุ่มแยกตัวประกอบได้กับปัจจัยที่ย่อยสลายได้ คุณสมบัติของไฟไนต์กรุ๊ปที่เป็นผลคูณของสองกลุ่ม โดยกลุ่มหนึ่งเป็นกลุ่มชมิดท์ อีกกลุ่มหนึ่งสามารถย่อยสลายได้ 2 กลุ่ม ผลิตภัณฑ์ของกลุ่ม biprimary และ 2-decomposable การพิสูจน์ทฤษฎีบทและบทแทรก

ภาคเรียนที่เพิ่มเมื่อ 09/22/2009


สาระสำคัญของทฤษฎีกลุ่ม บทบาทของแนวคิดนี้ในวิชาคณิตศาสตร์ สัญกรณ์การคูณของการดำเนินการ, ตัวอย่างของกลุ่ม การกำหนดสาระสำคัญของกลุ่มย่อย กลุ่ม homomorphisms กลุ่มเมทริกซ์เชิงเส้นที่สมบูรณ์และพิเศษ กลุ่มคลาสสิกขนาดเล็ก

ภาคเรียนที่เพิ่ม 03/06/2014


ยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตแบบไบนารี การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ชุดค่าผสมพื้นฐาน อันดับ และเชิงเส้นสำหรับระบบเวกเตอร์ หลายรากของพหุนาม การสลายตัวของพหุนามเป็นเศษส่วนเบื้องต้น

งานคุมเพิ่ม 03/25/2014


การกล่าวถึงครั้งแรกของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ การจำแนกรูปทรงหลายเหลี่ยม, ประเภท, คุณสมบัติ, ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยมนูน (Cauchy และ Alexandrov) การสร้างแบบจำลองรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติโดยใช้วิธีการแฉและพับกระดาษ

ภาคเรียนที่เพิ่ม 01/18/2011


แนวคิดสมมาตรตามแนวแกนสะท้อนและการหมุนในเรขาคณิตแบบยุคลิดและในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ตัวอย่างของสมมาตรตามแนวแกน ได้แก่ ผีเสื้อ เกล็ดหิมะ หอไอเฟล พระราชวัง ใบตำแย การสะท้อนของกระจก ความสมมาตรในแนวรัศมี แนวแกน และแนวรัศมี

การนำเสนอ, เพิ่ม 12/17/2013

ให้ G เป็นกลุ่ม X เป็นเซต และ f: G × X → X

- แสดง. หมายถึง f(g, x) โดย gx เราบอกว่ามีการกระทำของ G บน X (หรือ G กระทำต่อ X) ถ้า (gh)x = g(hx) และ ex = x สำหรับ g, h G, x X ทั้งหมด นอกจากนี้ ชุด X ยังเรียกว่า a จี-เซ็ต.

ความคิดเห็น แม่นยำยิ่งขึ้น การกระทำที่กำหนดไว้นั้นเรียกว่าซ้าย ภายใต้การดำเนินการที่ถูกต้อง เราจะพิจารณาการทำแผนที่ f: X × G → X แนะนำสัญลักษณ์ f(x, g) = xg และปฏิบัติตามเงื่อนไข: x(gh) = (xg)h และ xe = x เป็นที่ชัดเจนว่าทุกอย่างที่กล่าวไว้ด้านล่างเกี่ยวกับการดำเนินการทางซ้ายก็เป็นความจริงเช่นกัน (พร้อมการแก้ไขที่เหมาะสม) สำหรับการกระทำที่ถูกต้อง นอกจากนี้ โปรดทราบว่าสูตร xg = g-1 x กำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างการกระทำด้านซ้ายและขวาของ G บน X (นั่นคือ การพูดคร่าวๆ การกระทำด้านซ้ายและขวาของกลุ่มคือ "สิ่งเดียวกัน") . การกระทำที่ถูกต้องจะเกิดขึ้นตามธรรมชาติในบทที่ 10

เซตย่อย YX จะเรียกว่า G-subset ถ้า GY Y (เช่น gy Y สำหรับ g G ทั้งหมด, y Y)

เซตย่อยของ G-set X ในรูปแบบ O(x) = (gx | g G) เรียกว่าวงโคจรขององค์ประกอบ x X วงโคจรตรงกับ G-subsets ที่น้อยที่สุดของ X ความสัมพันธ์ "อยู่ใน one orbit” เป็นความสัมพันธ์ที่สมมูลกับ X ดังนั้นวงโคจรในรูปแบบพาร์ติชั่นชุด X

สำหรับค่า x X คงที่ องค์ประกอบ g G นั้น gx = x จะสร้างกลุ่มย่อยของ G เรียกว่า Stable

lyzer (หรือกลุ่มย่อยนิ่ง ) ของ x และแสดงโดย St(x)

วงโคจรและความคงตัวมีความเกี่ยวข้องดังนี้:

ข้อเสนอ 7.1 |O(x)| = สำหรับ x X ใดๆ

ตัวอย่าง. ให้ X = G และ G กระทำการกับ X โดยการผันคำกริยา นั่นคือ (g, x) 7→gxg-1 วงโคจรของการกระทำดังกล่าวเรียกว่า

คลาสคอนจูเกต และเหล็กกันโคลง St(x)ตัวรวมศูนย์ องค์ประกอบ x (สัญกรณ์ - Cก(x)). ชัดเจน C G (x) = (ก | ขวาน = xa) ยิ่งกว่านั้นถ้ากลุ่ม G มี จำกัด แล้ว

โดยที่เมื่อรวม x ชุดตัวแทนของคลาสคอนจูกาซีจะวิ่งผ่าน (กล่าวคือ นำองค์ประกอบหนึ่งมาจากแต่ละคลาส)

ใช้การกระทำนี้เราพิสูจน์

ทฤษฎีบท 7.2 (ทฤษฎีบทของ Cauchy)หากลำดับของกลุ่ม G หารด้วยจำนวนเฉพาะ p ลงตัว G จะมีองค์ประกอบของคำสั่ง p

7.1. สร้างความเท่าเทียมกันของคำจำกัดความสองข้อต่อไปนี้ของการกระทำของกลุ่ม G บนเซต X:

1) การกระทำของ G บน X คือการทำแผนที่ G×X → X, (g, x) 7→gx เช่นนั้น (g 1 g2 )x = g1 (g2 x) และ ex = x สำหรับทั้งหมด g1 , g2 G, x X

2) การกระทำของ G บน X เป็นพ้องเสียง G → S(X) (โดยที่ S(X)

– กลุ่มของการ bijections ทั้งหมดของ X เข้าสู่ตัวเอง)

7.2. พิสูจน์ว่าถ้า O(x) = O(y) แล้ว St(x) จะคอนจูเกตกับ St(y) กลับเป็นจริงหรือไม่?

7.3. อธิบายวงโคจรและความคงตัวของการกระทำต่อไปนี้:

1) การกระทำของ G ต่อตัวเองโดยการเลื่อนซ้าย (เช่น (g, x) 7→gx);

2) การกระทำของ G ต่อตัวเองโดยการเลื่อนขวา (นั่นคือ (g, x) 7→xg−1 );

3) การกระทำของ H บน G โดยซ้าย (ตามลำดับ, ขวา) เลื่อน โดยที่ H< G;

x X เซนต์(x).

4) การกระทำของ G โดยการผันคำกริยาในชุดของกลุ่มย่อย (นั่นคือ (g, H) 7→gHg−1 );

5) การกระทำของ G บนเซตขวาคือ G/H โดยที่ H< G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6) การกระทำตามธรรมชาติของกลุ่ม G = GL(V) ของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมในช่องว่างเชิงเส้น V บน: a) V , b) V × V , c) ชุดของสเปซย่อยเชิงเส้นทั้งหมดใน V ;

7) การกระทำตามธรรมชาติของกลุ่ม G = O(V) ของตัวดำเนินการเชิงเส้นตรงมุมฉากในช่องว่างแบบยุคลิด V บน: a) V , b)

8) G = hσi เป็นกลุ่มย่อยแบบวนของ Sน , X = (1, 2, . . . . , น).

7 .4 .* isomorphism ของการกระทำของกลุ่ม G ในชุด X และ Y เป็นการ bijection f: X → Y เช่นนั้น f(gx) = gf(x) สำหรับ g G ทั้งหมด x X การกระทำของ G บน X ถูกกล่าวว่าเป็นสกรรมกริยาหากสำหรับ x ทั้งหมด y X มี g G เช่นนั้น y = gx (นั่นคือ X

เป็นวงโคจรเดียวของการกระทำนี้) พิสูจน์ว่าทุกการกระทำของ G บน X เป็น isomorphic กับการกระทำบน G/H สำหรับกลุ่มย่อยที่เหมาะสม H การกระทำของ G บน G/H1 และ G/H2 เป็น isomorphic เมื่อใด

7.5. ค้นหากลุ่ม automorphism ของการกระทำตามธรรมชาติของกลุ่ม G บนเซต G/H

7.6. พิสูจน์ว่าคำสั่งของคลาส conjugacy ของกลุ่ม จำกัด แบ่งลำดับของมัน

7.7.* พิสูจน์ว่าจุดศูนย์กลางของกลุ่มพีจำกัดนั้นไม่สำคัญ

7 .8 .* พิสูจน์ว่าถ้า |G| = p2 จากนั้น G คือ abelian (นั่นคือ G คือ isomorphic ถึง Z(p2 ) หรือ Z(p) × Z(p))

7.9 .* พิสูจน์ว่าถ้า G ไม่ใช่ Abelian และ |G| = p3 แล้ว |C(G)| = หน้า

7.10. เคอร์เนลของการกระทำของ G บน X คือเคอร์เนลของ homomorphism ที่สอดคล้องกัน G → S(X)

a) ตรวจสอบว่าเคอร์เนลของการกระทำของ G บน X เท่ากับ b) ค้นหาเคอร์เนลของการกระทำของ G บน G/H โดยที่ H< G.

7.11.* ให้ H< G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует ตัวหารปกติ N ของดัชนีสุดท้ายที่มีอยู่ใน H และหาร m! และหารด้วย m ลงตัว

กลุ่มสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ให้ O(3) := (A GL(3, R) | At A = E), SO(3) := O(3) ∩

SL(3, R). ให้ M R3 . กลุ่มการหมุน M คือ

Grot (M) = (gSO(3) | gM = M);

กลุ่มสมมาตร M คือ

แกรม (M) = (g O (3) | gM = M)

(นั่นคือ Grot (M) = Gsym (M) ∩ SO(3))

7.12. พิสูจน์ว่า O(3) SO(3) × Z(2)

7 .13 .* ค้นหา |Grot (M)| และ |Gsym(M)| สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแต่ละรูป (จัตุรมุข ลูกบาศก์ แปดเหลี่ยม สิบสองเหลี่ยม พิโคซาเฮดรอน) ที่นี่และด้านล่าง สันนิษฐานว่า M ถูกฝังอยู่ใน R3 เพื่อให้จุดศูนย์กลางตรงกับจุดกำเนิด

7 .16 .* ให้ M เป็นลูกบาศก์หรือแปดด้าน พิสูจน์ว่า Grot (M) S4 .

7 .17 .* ให้ M เป็น icosahedron หรือ dodecahedron พิสูจน์สิ

กรอท (M) A5 .