Grupa G djeluje (slijeva) na skupu X ako je za bilo koje elemente g i x X definiran element gx X, štoviše, g2(g1x) = (g2 g1)x i ex = x za sve x X, g1, g2 G. Skup

Gh = (gx | g G)

naziva se orbita elementa x. Orbite bilo koja dva elementa iz X ili se podudaraju ili se ne sijeku, tako da je skup X podijeljen na orbite koje se ne sijeku. Ako postoji samo jedna orbita - cijeli skup X, tada kažemo da C djeluje tranzitivno na X. Drugim riječima, grupa G djeluje tranzitivno na skupu X ako za bilo koja dva elementa x, x" iz X postoji element g iz G tako da je gx = x".

Stabilizator elementa x iz X je podgrupa

StG(x)=(g G | gx = x).

Skup fiksnih točaka elementa g iz G je skup

Fix(g) = (x X | gx = x).

Snaga orbite jednaka je indeksu stabilizatora u grupi G.

Neka je K fiksna kocka u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, G skupina svih gibanja ovog prostora koja zadržavaju orijentaciju i vode K u K. U skupini G postoji identično gibanje, rotacije od 120° i 240° oko četiri osi koje prolaze kroz suprotne vrhove kocke, rotacija od 180° oko osi koje prolaze središtima suprotnih rubova i rotacije od 90°, 180° i 270° oko osi koje prolaze kroz središta suprotnih stranica. Dakle, našli smo 24 elementa u grupi G. Pokažimo da u G nema drugih elemenata. Grupa G djeluje tranzitivno na skupu K0 vrhova kocke K, budući da se bilo koja dva vrha iz K mogu "povezati lancem susjeda", a susjedi se mogu transformirati jedan u drugog odgovarajućom rotacijom. Stabilizator vrha x također mora ostaviti na mjestu vrh x koji mu je najudaljeniji, pa se sastoji od identičnog kretanja i rotacije oko osi xx za 120° i 240°. Prema tome, |G| = |K°| * || = 8 * 3 = 24 i stoga sve gornje rotacije tvore grupu G.

Grupa G naziva se grupa rotacije kocke. Dokažimo da rotacije iz G permutiraju četiri najdulje dijagonale kocke. Nastaje homomorfizam: q: G > . Jezgra ovog homomorfizma je (e), jer samo pomak identiteta ostavlja svaku dijagonalu kocke na mjestu. Stoga je G izomorfna podskupini grupe. Uspoređujući poredak ovih grupa, dobivamo da je G .

Grupe simetrije

Jedan od najčešće korištenih primjera grupa, a posebno permutacijskih grupa, su grupe koje "mjere" simetriju geometrijskih likova, kako ravnih tako i prostornih.

Grupa simetrije tetraedra.

Tetraedar (slika 1) ima 4 osi simetrije l1, l2, l3, l4 3. reda, koje prolaze kroz njegove vrhove 1, 2, 3, 4 i središta suprotnih stranica. Oko svake osi, osim identične, moguće su još dvije rotacije. Oni odgovaraju sljedećim permutacijama:

oko l1 osi

oko l2 osi

oko l3 osi

oko l4 osi

Osim toga, postoje 3 osi simetrije 2. reda, koje prolaze središtima A, B, C, D, E, F križnih bridova. Dakle, postoje još 3 (prema broju pari bridova koji se križaju) neidentične transformacije, koje odgovaraju permutacijama:

oko AB osi,

oko osi CD,

oko EF osi.

Dakle, zajedno s identičnom transformacijom, dobivamo 12 permutacija. Pod ovim transformacijama, tetraedar se sam poravnava, okrećući se u prostoru; njegove točke ne mijenjaju svoj položaj jedna u odnosu na drugu. Skup od 12 ispisanih permutacija zatvoren je u odnosu na množenje, jer će uzastopno izvođenje rotacija tetraedra opet biti rotacija. Tako dobivamo grupu koja se naziva rotacijska grupa tetraedra.

Pod drugim transformacijama prostora, koje su samokoincidencije tetraedra, unutarnje točke tetraedra pomiču se jedna u odnosu na drugu. Naime: tetraedar ima 6 ravnina simetrije od kojih svaka prolazi kroz jedan njegov brid i sredinu suprotnog brida. Simetrije u odnosu na te ravnine odgovaraju sljedećim transpozicijama na skupu vrhova tetraedra:

Već na temelju ovih podataka može se tvrditi da se skupina svih mogućih simetrija tetraedra sastoji od 24 transformacije. Uistinu, svaka simetrija, sama spajajući tetraedar u cjelinu, mora nekako preurediti svoje vrhove, rubove i lica. Osobito u ovaj slučaj simetrije se mogu karakterizirati permutacijama vrhova tetraedra. Budući da tetraedar ima 4 vrha, njegova grupa simetrije ne može se sastojati od više od 24 transformacije. Drugim riječima, ona se ili podudara sa simetričnom grupom S4 ili je njezina podgrupa. Simetrije tetraedra u odnosu na gore napisane ravnine određuju sve moguće transpozicije na skupu njegovih vrhova. Budući da ove transpozicije generiraju simetričnu grupu S4, dobivamo ono što se traži. Dakle, svaka permutacija vrhova tetraedra određena je nekom njegovom simetrijom. Međutim, isto se ne može reći za proizvoljnu permutaciju bridova tetraedra. Ako se dogovorimo da svaki brid tetraedra označimo istim slovom kao njegovu sredinu, tada, recimo, permutacije na skupu bridova

odgovaraju dvije rotacije oko osi l1, odnosno rotacije oko osi AB. Nakon što smo ispisali permutacije na skupu (A, B. C, D, E, F) za sve transformacije simetrije, dobivamo određenu podskupinu simetrične grupe S6 koja se sastoji od 24 permutacije. Permutacijska skupina vrhova tetraedra i permutacijska skupina njegovih bridova različite su permutacijske skupine jer djeluju na različite skupove. Ali iza njih je ista skupina "vidljiva" - skupina prostornih transformacija koje ostavljaju tetraedar na mjestu.

Grupa simetrije kocke. Simetrije kocke, poput tetraedarske simetrije, dijele se na dvije vrste - samoporavnavanje, u kojem točke kocke ne mijenjaju svoj položaj jedna u odnosu na drugu, i transformacije, koje ostavljaju kocku kao cjelinu na mjestu, ali pomiču njezinu točaka jedna u odnosu na drugu. Transformacije prve vrste nazivat ćemo rotacije. Sve rotacije tvore grupu koja se naziva grupa rotacije kocke.

Postoje točno 24 rotacije kocke oko različitih osi simetrije.

Doista, kada se kocka rotira, bilo koja od 6 strana kocke može zauzeti mjesto donje strane (slika 2). Za svaku od 6 mogućnosti - kada je naznačeno koja se strana nalazi na dnu - postoje 4 različita rasporeda kocke, koji odgovaraju njezinim rotacijama oko osi koja prolazi kroz središta gornje i donje strane, kroz kutove 0, p/2, p, 3p/ 2. Dakle, dobivamo 6×4 = 24 rotacije kocke. Navedimo ih eksplicitno.

Kocka ima središte simetrije (sjecište svojih dijagonala), 3 osi simetrije četvrtog reda, 4 osi simetrije trećeg reda i 6 osi simetrije drugog reda. Dovoljno je razmotriti rotacije oko osi simetrije.

a) Osi simetrije četvrtog reda su osi koje prolaze kroz središta nasuprotnih ploha. Oko svake od ovih osi postoje tri neidentične rotacije, i to rotacije za kutove p/2, p, 3p/2. Ove rotacije odgovaraju 9 permutacija vrhova kocke, u kojima se vrhovi suprotnih stranica preuređuju ciklički i dosljedno. Na primjer, permutacije

odgovaraju rotacijama oko osi

b) Osi simetrije trećeg reda su dijagonale kocke. Oko svake od četiri dijagonale , , , postoje dvije neidentične rotacije za kutove 2p/3, 4p/3. Na primjer, rotacije oko dijagonale definiraju sljedeće permutacije vrhova kocke:

Ukupno dobivamo 8 takvih rotacija.

c) Osi simetrije drugog reda bit će ravne crte koje spajaju središta suprotnih bridova kocke. Postoji šest parova suprotnih rubova (na primjer, , ), svaki par definira jednu os simetrije, tj. dobivamo 6 osi simetrije drugog reda. Oko svake od ovih osi postoji jedna neidentična rotacija. Samo 6 okretaja. Zajedno s identičnom transformacijom dobivamo 9+8+6+1=24 različite rotacije. Sve rotacije kocke su naznačene. Rotacije kocke definiraju permutacije na skupovima njezinih vrhova, bridova, stranica i dijagonala. Razmotrite kako rotacijska grupa kocke djeluje na skup njezinih dijagonala. Različite rotacije kocke preuređuju dijagonale kocke na različite načine, tj. odgovaraju različitim permutacijama na skupu dijagonala. Stoga grupa rotacije kocke definira grupu permutacija na skupu dijagonala, koja se sastoji od 24 permutacije. Budući da kocka ima samo 4 dijagonale, skupina svih takvih permutacija je ista kao simetrična skupina na skupu dijagonala. Dakle, svaka permutacija dijagonala kocke odgovara nekoj od njezinih rotacija, a različite permutacije odgovaraju različitim rotacijama.

Sada opisujemo cijelu grupu simetrije kocke. Kocka ima tri ravnine simetrije koje prolaze kroz njen centar. Simetrije oko ovih ravnina, u kombinaciji sa svim rotacijama kocke, daju nam još 24 transformacije, koje su samoporavnavanje kocke. Stoga se ukupna grupa simetrije kocke sastoji od 48 transformacija.

Grupa simetrije oktaedra. Oktaedar sastavljen od pet pravilnih poliedara. Može se dobiti spajanjem središta ploha kocke i promatranjem tijela omeđenog ravninama koje su određene veznim linijama za susjedne plohe (sl. 3). Stoga je svaka simetrija kocke ujedno i simetrija oktaedra i obrnuto. Dakle, grupa simetrije oktaedra je ista kao grupa simetrije kocke, a sastoji se od 48 transformacija.

Grupa simetrije pravilnog poliedra sastoji se od 2l transformacija, gdje je l broj njegovih ravninskih kutova. Ova tvrdnja vrijedi za sve pravilne poliedre i može se dokazati u opći pogled, bez pronalaženja svih simetrija poliedara.

Klikom na gumb "Preuzmi arhivu" besplatno preuzimate potrebnu datoteku.
Prije preuzimanja ove datoteke sjetite se onih dobrih eseja, kontrolnih, seminarskih radova, teze, članke i druge dokumente koji leže nezatraženi na vašem računalu. Ovo je vaš rad, treba sudjelovati u razvoju društva i koristiti ljudima. Pronađite ove radove i pošaljite ih u bazu znanja.
Mi i svi studenti, diplomanti, mladi znanstvenici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu bit ćemo vam jako zahvalni.

Za preuzimanje arhive s dokumentom unesite peteroznamenkasti broj u polje ispod i kliknite gumb "Preuzmi arhivu"

Slični dokumenti

Razvoj suvremenog apstraktnog koncepta grupa. Najjednostavnija svojstva konačnih nilpotentnih grupa. Frattinijeva podgrupa konačne grupe je nilpotentna. Određivanje izravnog umnoška nilpotentnih grupa. Binarna algebarska operacija na skupu.

seminarski rad, dodan 21.09.2013


Primjena Burnsideove leme na rješavanje kombinatornih problema. Orbite permutacijske grupe. Duljina orbite permutacijske grupe. Burnsideova lema. kombinatorni zadaci. "Metoda prosijavanja". Formula uključivanja i isključivanja.

diplomski rad, dodan 14.06.2007


Rješivost faktorizabilne grupe s rastavljivim faktorima. Svojstva konačnih grupa koje su umnožak dviju grupa od kojih je jedna Schmidtova grupa, a druga je 2-rastavljiva. Produkt biprimarnih i 2-rastavljivih skupina. Dokaz teorema i lema.

seminarski rad, dodan 22.09.2009


Bit teorije grupa. Uloga ovog pojma u matematici. Multiplikativni zapis operacija, primjeri grupa. Formulacija suštine podskupine. Grupni homomorfizmi. Potpune i posebne grupe linearnih matrica. Klasične grupe malih dimenzija.

seminarski rad, dodan 06.03.2014


Dizanje kompleksnog broja na potenciju. Binarna algebarska operacija. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva. Bazis, rang i linearne kombinacije za sustav vektora. Višestruki korijeni polinoma. Rastavljanje polinoma na elementarne razlomke.

kontrolni rad, dodano 25.03.2014


Prvi spomen pravilnih poliedra. Klasifikacija poliedara, njihove vrste, svojstva, teoremi o razvoju konveksnih poliedara (Cauchy i Alexandrov). Izrada modela pravilnih poliedra metodama rasklapanja i origamija.

seminarski rad, dodan 18.01.2011


Pojam reflektivne i rotacijske osne simetrije u euklidskoj geometriji iu prirodnim znanostima. Primjeri osne simetrije su leptir, pahulja, Eiffelov toranj, palače, list koprive. Zrcalna refleksija, radijalna, osna i radijalna simetrija.

prezentacija, dodano 17.12.2013

Neka je G grupa, X neki skup i f: G × X → X

- prikaz. Označimo f(g, x) s gx. Kažemo da je dana akcija G na X (ili G djeluje na X) ako je (gh)x = g(hx) i ex = x za sve g, h G, x X. Štoviše, skup X se naziva G-set .

Komentar. Točnije, tako definirana akcija naziva se lijevo. Pod desnom akcijom razmatramo preslikavanje f: X × G → X, uvodimo oznaku f(x, g) = xg i zadovoljavamo uvjete: x(gh) = (xg)h i xe = x. Jasno je da sve dolje rečeno o lijevoj akciji vrijedi (uz odgovarajuće izmjene) i za desnu. Štoviše, primijetite da formula xg = g−1 x uspostavlja korespondenciju jedan-na-jedan između lijevog i desnog djelovanja G na X (to jest, grubo govoreći, lijevo i desno djelovanje grupa su "ista stvar") . Pravo djelovanje će se prirodno pojaviti u 10. poglavlju.

Podskup Y X naziva se G-podskup ako je GY Y (tj. gy Y za sve g G, y Y).

Podskup G-skupa X oblika O(x) = (gx | g G) naziva se orbita elementa x X. Orbite se podudaraju s minimalnim G-podskupovima X. Odnos “ležati u jedna orbita” je relacija ekvivalencije na X, tako da orbite tvore particijske skupove X.

Za fiksan x X, elementi g G takvi da je gx = x tvore podgrupu od G koja se naziva stabilna

lizer (ili stacionarna podskupina ) od x i označava se sa St(x).

Orbite i stabilizatori su povezani kako slijedi:

Propozicija 7.1 |O(x)| = za bilo koje x X.

Primjer. Neka je X = G i G djeluje na X konjugacijom, tj. (g, x) 7→gxg−1 . Orbita za takvo djelovanje zove se

konjugirana klasa , a stabilizator St(x) centralizator element x (oznaka - C G(x)). Očito C G (x) = (a G | ax = xa). Štoviše, ako je grupa G konačna, tada

gdje se pri zbrajanju x provlači skup predstavnika klasa konjugacije (tj. iz svake klase se uzima jedan element).

Pomoću ove akcije dokazujemo

Teorem 7.2 (Cauchyjev teorem) Ako je red grupe G djeljiv s prostim brojem p, tada G sadrži element reda p.

7.1. Ustanovite ekvivalentnost sljedećih dviju definicija djelovanja grupe G na skupu X:

1) Djelovanje G na X je preslikavanje G×X → X, (g, x) 7→gx takvo da (g 1 g2 )x = g1 (g2 x) i ex = x za sve g1 , g2 G, x X.

2) Djelovanje G na X je homomorfizam G → S(X) (gdje je S(X)

– skupina svih bijekcija X na samoga sebe).

7.2. Dokažite da ako je O(x) = O(y), tada je St(x) konjugiran sa St(y). Je li obrnuto istina?

7.3. Opišite orbite i stabilizatore sljedećih akcija:

1) Djelovanje G na sebe pomacima ulijevo (tj. (g, x) 7→gx);

2) Djelovanje G na sebe pomacima udesno (to jest, (g, x) 7→xg−1 );

3) Djelovanje H na G pomacima ulijevo (desno), gdje je H< G;

x X St(x).

4) Djelovanje G konjugacijama na skup njegovih podgrupa (to jest, (g, H) 7→gHg−1 );

5) Djelovanje G na skup desnih kozeta G/H, gdje je H< G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6) Prirodno djelovanje grupe G = GL(V) nedegeneriranih linearnih operatora u linearnom prostoru V na: a) V , b) V × V , c) skup svih linearnih potprostora u V ;

7) Prirodno djelovanje grupe G = O(V) ortogonalnih linearnih operatora u euklidskom prostoru V na: a) V , b)

8) G = hσi je ciklička podgrupa od S n, X = (1, 2, . . . , n).

7 .4 .* Izomorfizam djelovanja grupe G na skupove X i Y je bijekcija f: X → Y takva da je f(gx) = gf(x) za sve g G, x X. Djelovanje grupe G na Kaže se da je X tranzitivan ako za sve x, y X postoji g G takav da je y = gx (to jest, X

je jedina orbita ove radnje). Dokažite da je svako tranzitivno djelovanje G na X izomorfno djelovanju na G/H za odgovarajuću podgrupu H. Kada su djelovanja G na G/H1 i G/H2 izomorfna?

7.5. Odredite grupu automorfizama prirodnog djelovanja grupe G na skupu G/H.

7.6. Dokažite da redovi klasa konjugacije konačne grupe dijele njezin red.

7.7.* Dokažite da je središte konačne p-grupe netrivijalno.

7 .8 .* Dokažite da ako je |G| = p2 , tada je G abelov (tj. G je izomorfan Z(p2 ) ili Z(p) × Z(p)).

7.9 .* Dokažite da ako je G neabelov i |G| = p3 , tada je |C(G)| = str.

7.10. Jezgra djelovanja grupe G na X je jezgra odgovarajućeg homomorfizma G → S(X).

a) Provjerite je li jezgra djelovanja G na X jednaka b) Pronađite jezgru djelovanja G na G/H, gdje je H< G.

7.11.* Neka je H< G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует normalni djelitelj N konačnog indeksa sadržanog u H, i dijeli m! i djeljiv je s m.

Grupe simetrije pravilnih poliedara

Neka je O(3) := (A GL(3, R) | At A = E), SO(3) := O(3) ∩

SL(3, R). Neka je M R3 . Grupa rotacije M je

Grot (M) = (gSO(3) | gM = M);

grupa simetrije M je

Gsym (M) = (g O(3) | gM = M)

(odnosno Grot (M) = Gsym (M) ∩ SO(3)).

7.12. Dokažite da je O(3) SO(3) × Z(2).

7 .13 .* Pronađite |Grot (M)| i |Gsym(M)| za svaki od pravilnih poliedara (tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar, ikozaedar). Ovdje i dalje se pretpostavlja da je M ugrađen u R3 tako da se njegovo središte podudara s ishodištem.

7 .16 .* Neka je M kocka ili oktaedar. Dokažite da je Grot (M) S4 .

7 .17 .* Neka je M ikosaedar ili dodekaedar. Dokaži to

Grot (M) A5 .