2. Кручення.

2.4. Побудова епюр кутових переміщень під час кручення.

Маючи формули визначення деформацій і знаючи умови закріплення стрижня, неважко визначити кутові переміщення перерізів стрижня і побудувати епюри цих переміщень. Якщо є вал (тобто стрижень, що обертається), у якого немає нерухомих перерізів, то для побудови епюри кутових переміщень приймають який-небудь перетин за умовно нерухоме.

Розглянемо конкретний приклад(Рис. 2.12, а). На рис. 2.12 б дана епюра Тк .

Приймемо перетин у точці А за умовно нерухоме. Визначимо поворот перерізу по відношенню до перерізу А.

Де ТАВ - момент, що крутить, на ділянці АВ; lАВ – довжина ділянки АВ.

Приймемо таке правило знаків для кутів повороту перерізів: кути вважатимемо позитивними, коли перетин повертається (якщо дивитися вздовж осі праворуч наліво) проти годинникової стрілки. У даному випадкубуде позитивним. У прийнятому масштабі відкладемо ординату (рис. 2.12, в). Отриману точку До з'єднуємо прямою точкою Е, тому що на ділянці АВ кути змінюються згідно із законом прямої лінії . Обчислимо тепер кут повороту перерізу по відношенню до перерізу В. Враховуючи прийняте правило знаків для кутів закручування, отримуємо

Так як переріз не нерухомий, то кут повороту перерізу С по відношенню до перерізу А дорівнює

Кут закручування може вийти позитивним, негативним і, в окремому випадку, рівним нулю.

Припустимо, що у цьому випадку кут вийшов позитивним. Тоді, відклавши цю величину в прийнятому масштабі вгору від епюри, отримаємо точку М. З'єднуючи точку М з точкою До, отримаємо граф кутів закручування на ділянці ВС. На ділянці CD скручування не відбувається, так як моменти, що крутять, на цій ділянці рівні нулю, тому там всі перерізи повертаються на стільки ж, на скільки повертається переріз С. Ділянка MN епюри тут горизонтальна. Читачеві пропонується переконатися, що якщо прийняти за нерухомий переріз, то епюра кутів закручування матиме вигляд, представлений на рис. 2.12, р.

приклад 2.1.Визначити діаметр сталевого валу, що обертається з кутовою швидкістю W = 100 рад/с і передає потужність N = 100 кВт. Допустима напруга = 40 МПа, кут закручування = 0,5 град/м, G = 80000 МПа.

Рішення. Момент, що передається валом, визначається за формулою

T = N/W = 100000 / 100 = 1000 Н * м

Крутний момент у всіх поперечних перерізах валу однаковий

Tк = Т = 1000 Н * м = 1 кН * м = 0,001 МН * м.

Діаметр валу по міцності визначаємо за формулою (2.15)

За формулою (2.24) визначаємо діаметр валу з умови жорсткості

Діаметр валу в даному випадку визначається з умови жорсткості і має бути прийнятий рівним d = 52 мм.

приклад 2.2.Підібрати розміри перерізу трубчастого валу, що передає момент Т = 6 кН * м, при співвідношенні діаметрів з = d/D = 0,8 і напрузі, що допускається = 60 МПа. Порівняти вагу цього трубчастого валу з рівною валом міцності суцільного перерізу.

Відповідь.Розміри трубчастого валу: D = 9,52 см, d = 7,62 см. Площа перетину Ат = 25,9 квадратних див. становить 51% від маси суцільного валу.

Визначити з умов міцності необхідні розміри діаметрів ступінчастого редукторного валу. Схема навантаження вала дана на рис. 1.

Початкові дані:

Мкр = 0,2 кН ​​· м.

a=30 мм.; b = 60 мм.; c=100 мм.

D1 = 70 мм.; D2 = 120 мм.

[?] p = 120 МПа.

Потрібно:

1. Викреслити в масштабі задану схему валу із зазначенням розмірів та величин навантажень.

2. Визначити окружні Р і радіальні зусилля Т, прийнявши співвідношення з-поміж них Т=0.36Р.

3. Побудувати епюри згинальних моментів у вертикальній та горизонтальній площинах.

4. Побудувати епюру сумарних згинальних моментів.

5. Побудувати епюру моментів, що крутять.

6. Використовуючи енергетичну теорію міцності, визначити діаметри валу на окремих ділянках та округлити їх до стандартних розмірів.

7. Викреслити ескіз.

1. Задана схема валу представлена ​​малюнку 1.

2. Визначимо окружні Р та радіальні зусилля Т.

Крутний момент на валу викликають сили Р1 та Р2.

Наведемо силу P1 до центру ваги перерізу валу: тоді пара сил з моментом

викликає кручення, а сила P - вигин валу у вертикальній площині.

У свою чергу пара сил з моментом М2 = Р2D2/2 викликає кручення в протилежну сторону, а сила в центрі тяжкості перерізу викликає вигин.

Знайдемо окружні сили Р1 та Р2:

Радіальні зусилля Т визначимо за такою формулою:

3. Побудуємо епюри згинальних моментів.

Епюра від дії сил у горизонтальній площині.

Визначимо опорні реакції:

Перевірка:

1-а ділянка (0

при z=0,1 M=0,002 кН·м.

2-а ділянка (0

M=RB·(0,1+z)+Т2·z.

при z=0 M=0,002 кН·м, при z=0,06 M=0,043 кН·м.

3-я ділянка (0

при z=0,03 M=0,043 кН·м.

Епюра від дії сил у вертикальній площині.

Перевірка:

Будуємо епюру згинальних моментів.

1-а ділянка (0

при z=0,1 M=0,25 кН·м.

2-а ділянка (0

M=RB·(0,1+z)-Р2·z.

при z=0 M=0,25 кН·м

при z=0,06 M=0,2 кН·м.

3-я ділянка (0

при z=0,03 M=0,2 кН·м.

Побудуємо епюру сумарних згинальних моментів. Для цього потрібно розглянути кілька перерізів валу і визначити в них сумарний згинальний момент за формулою:

Звідси отримуємо:

Моменти внутрішніх сил або моментів, що крутять, знаходять методом перерізів. Спочатку розбивають вал на ділянки (між сусідніми шківами)

потім на кожній ділянці вибирають довільний переріз. Крутний момент у цьому перерізі дорівнює сумі алгебри моментів зовнішніх сил, що лежать по один бік від перерізу. У межах кожної ділянки момент, що крутить, постійний. Знак крутного моменту визначають за знаком зовнішніх моментів: позитивним вважається напрям проти руху годинникової стрілки при погляді на перетин валу вздовж його осі. При цьому можна розглядати будь-яку частину валу з одного боку від перерізу.

1) Для валу на рис.2 крутні моменти по ділянках:

1-а ділянка:

2-а ділянка:

М = 0,2 кН ​​· м.

третій ділянку:

Отримані епюри зображені малюнку 2.

Малюнок 2 - Епюри згинальних та крутних моментів.

Для підбору перерізу застосовуємо енергетичну гіпотезу міцності:

Приймаємо d1 = 70 мм, d2 = 120 мм.

КРУЧЕННЯ

Послідовність розв'язання задачі

1. Визначити зовнішні скручувальні моменти за формулою

М = Р/ω

де Р - потужність,

ω – кутова швидкість.

2. Так як при рівномірному обертанні валу алгебраїчна сума прикладених до нього зовнішніх скручують (крутних) моментів дорівнює нулю визначити врівноважуючий момент, використовуючи рівняння рівноваги

∑ М i z = 0

3. Користуючись методом перерізів, побудувати епюру моментів, що крутять, по довжині валу.

4. Для ділянки валу, в якому виникає найбільший момент, що крутить, визначити діаметр валу круглого або кільцевого перерізу з умови міцності і жорсткості. Для кільцевого перерізу валу прийняти співвідношення діаметрів

де d про- Внутрішній діаметр кільця;

d - Зовнішній діаметр кільця.

З умови міцності:

З умови жорсткості:

де M zmax- найбільший момент, що крутить;

W p - полярний момент опору кручення;

[τ кр] - допустима дотична напруга

де J p - Полярний момент інерції перерізу;

G - модуль пружності при зсуві;

[φ про] - допустимий кут закручування перерізі

Перетин валу - коло

Необхідний за міцністю діаметр валу:

Необхідний за жорсткістю діаметр валу:

Перетин валу - кільце

Необхідний за міцністю зовнішній діаметр кільця:

Необхідний за жорсткістю зовнішній діаметр кільця:

Приклад 1 . Для сталевого валу (рис.1) постійного по довжині перерізу потрібно: 1) визначити значення моментів М 2 і М 3 , що відповідають переданим потужностям Р 2 і Р 3 , а також врівноважуючий момент М 1 ; 2) побудувати епюру крутних моментів; 3) визначити необхідний діаметр валу з розрахунків на міцність та жорсткість, вважаючи за варіантом (а) (б) - c =d 0 / d = 0,8.

Прийняти: [ τ кр ] = 30 МПа ; [ φ 0 ] = 0,02 рад/м; Р 2 = 52 кВт; Р 3 = 50 кВт; ω = 20 рад/с; G = 8  10 4 МПа

Рис. 1 - Схема задачі

Рішення:

1. Визначаємо зовнішні скручують моменти:

М 2 = Р 2 / ω = 52  10 3 / 20 = 2600 Н  м

М 3 = Р 3 / ω = 50  10 3 / 20 = 2500 Н  м

2. Визначаємо врівноважуючий момент М 1 :

∑ М i z = 0; М 1 - М 2 - М 3 = 0

М 1 = М 2 + М 3 = 5100 Н  м

3. Визначаємо крутний момент по ділянках валу:

М z I= М 1 = 5100 Н  м

М z II= М 1 - М 2 = 5100 – 2600 = 2500 Н  м

Будуємо епюру крутних моментів Мz(Рис. 2).

Рис. 2 - Епюра крутних моментів

4. Визначаємо діаметр валу з умов міцності та жорсткості, приймаючиМ z max = 5100 Н  м(Рис. 2).

а) Перетин валу – коло.

З умови міцності:

Приймаємо d = 96 мм

З умови жорсткості:

Приймаємо d = 76 мм

Необхідний діаметр вийшов більше з розрахунку на міцність, тому приймаємо його як остаточний d = 96 мм.

б) Перетин валу – кільце.

З умови міцності:

Приймаємо d = 114 мм

З умови жорсткості:

Приймаємо d = 86 мм

Необхідні діаметри остаточно приймаємо з розрахунків на міцність:

Зовнішній діаметр кільця d = 114 мм

Внутрішній діаметр кільця d про = 0,8  d = 0,8  114 = 91,2 мм.Приймаємо d про =92 мм .

Завдання 1.Для сталевого валу (рис.3) постійного поперечного перерізу потрібно: 1) визначити значення моментів М 1 , М 2 , М 3 і М 4 ; 2) побудувати епюру крутних моментів; 3) визначити діаметр валу з розрахунків на міцність та жорсткість, вважаючи за варіантом (а)поперечний переріз валу – коло; за варіантом (б)- поперечний переріз валу - кільце, що має співвідношення діаметрів c =d 0 / d = 0,7.Потужність на зубчастих колесах прийняти Р 2 = 0,5Р 1 ; Р 3 = 0,3Р 1 ; Р 4 = 0,2Р 1 .

Прийняти: [ τ кр ] = 30 МПа ; [ φ 0 ] = 0,02 рад/м; G = 8  10 4 МПа

Остаточне значення діаметра округлити до найближчого парного (або на п'ять) числа.

Дані свого варіанта взяти з таблиці 1

Вказівка. Отримане розрахункове значення діаметра (в мм) округлити до найближчого більшого числа, що закінчується на 0, 2, 5, 8.

Таблиця 1 - Вихідні дані

Номер схеми малюнку 3.2.5

Р 1

Варіанти

радий/с

кВт

Рис. 3 - Схема задачі

Підібрати розміри поперечного перерізу валу (рис. 1) умові міцності. На ділянках від перерізу 1 до перерізу 3 і від перерізу 5 до перерізу 6 зовнішній діаметр валу конструктивним міркуванням повинен мати однаковий розмір.

На ділянці від перерізу 1 до перерізу 2 вал поперечного кільцевого перерізу з n=d B /d=0,4. На ділянках від перерізу 3 до перерізу 5 вал підбирається лише за умовою міцності.

М = 1 кН∙м, [τ] = 80 МПа.

Рішення

Розбиваємо вал на силові ділянкибудуємо епюру крутного моменту (рис. 1, б).

Визначаємо діаметри валу. На I, II та V ділянках зовнішній діаметр валу однаковий. Їх неможливо заздалегідь вказати перетин із найбільшим значенням дотичного напруги, оскільки різні ділянки мають різні типи поперечного перерізу: I ділянка – кільцеве, II і V – суцільне кругле.

Доводиться визначати окремо за умовою міцності діаметри для кожного типу поперечного перерізу найбільш навантаженою силовою ділянкою (тобто тому, на якому діє максимальний за абсолютною величиною крутний момент). Остаточно приймемо найбільший отриманий діаметр.

Для ділянки з кільцевим перерізом:

Для валу суцільного поперечного перерізу

Остаточно приймаємо найбільше значення отриманого діаметра, округлене до цілого значення у бік:

d 1 = d 2 = d 5 = 61 мм;

d B1 = n∙d 1 = 0,4∙61 = 24,4 мм.

Найбільша напруга, що діє на цих ділянках:

Діаметр валу на III ділянці (М К3 = 5М = 5 кНм).