Розглянемо особливості побудови кожного рівня. Майже найчастіше вхідні потоки вимог передбачаються пуассонівськими /47, 70, 74, 80/. Пуассонівські потоки характеризуються стаціонарністю, ординарністю та відсутністю післядії. Розглянемо ці характеристики.
У аналізованої макромоделі вхідні потоки вимог загалом мають властивості стаціонарності, ординарності та відсутності післядії. Пуасонівський потік повністю описується одним параметром - інтенсивністю потоку Я. Наближена формула для Я має вигляд
У найпростішому випадку (пуасонівський потік) ймовірність появи вимоги у будь-який малий проміжок часу пропорційна довжині цього проміжку і не залежить від того, виникали чи ні вимоги до попередніх проміжків часу.
Оскільки ми розглядаємо однорідний пуасонівський потік суден з інтенсивністю ц, то спільне виконання рівностей
Y(t) = k та Y(T-t)= q-k (це випливає з відсутності післядії в пуассонівському потоці). Тому
Потік, який отримується в результаті випадкового розрідження або об'єднання пуассонівських потоків, також є пуассонівським.
Наприклад, при аналітичному описі потоку даних це може бути пуасонівський потік вимог, що володіє ординарністю, стаціонарністю та відсутністю післядії. Це може бути потік із рівномірним розподілом вимог. Якщо розподіл задається емпіричними даними, значення 7i1 7i2. .., щ можуть бути елементами гістограм тощо.
Часто зустрічаються перетворення, що вимагають об'єднання потоків, що надходять різними входами. У цьому випадку вихідний сигнал може представляти поєднання цих потоків в один з іншими характеристиками. Наприклад, якщо по двох входах в блок З надходять пуассонівські вимоги, то вихідний сигнал може являти собою пуасонівський потік з параметром, рівним сумі параметрів вихідних потоків.
Нехай одиничні платежі слідують один за одним через випадкові проміжки часу, розподілені за показовим законом з параметром Я > 0 (пуасонівський потік платежів), диференціальна функція розподілу якого має вигляд
Для нестаціонарного пуассонівського потоку закон розподілу проміжку / вже є показовим, оскільки залежить від становища на осі Ot і виду залежності Я(7). Однак для деяких завдань при порівняно невеликих змінах Я(0 його можна приблизно вважати показовим з інтенсивністю Я, що дорівнює середньому значенню Я(0-
Таким чином, для досліджуваної системи S з дискретними станами та безперервним часом переходи зі стану до стану відбуваються під дією пуассонівських потоків подій з певною інтенсивністю Я.
У моделі ємність слід вважати обмеженою. Вхідний потік вимог виходить з обмеженого числа машин (N - k), які у випадкові моменти часу виходять з ладу і вимагають обслуговування. У цьому кожна машина з (N - k) перебуває у експлуатації. Генерує пуасонівський потік вимог з интенсив-
Представимо автомобіль як деяку систему S з дискретними станами iSj. 2. .... Sn, яка переходить із стану S/ в стан Sj(i - 1, 2,. .., n,j = I, 2,. .., і) під впливом пуассонівських потоків подій (відмов) з інтенсивністю Хд. Розглянемо наступні стани автомобіля, в яких він може перебувати в процесі експлуатації і які характеризуються цілоденними простоями
Пуасонівський потік подій 53
Зауважимо, що, у той час як сам пуасонівський потік k (t) настання обставин, що тягнуть за собою ліквідацію рахунку вкладником, є в рамках нашої моделі неспостеріганим, ймовірність q (tu,t) збереження рахунку та очікувана тривалість XI1 = Mt - 10 існування рахунку можуть бути оцінені, в принципі, за статистичними даними, що спостерігаються. Маючи статистичні оцінки т - 10 і 4-(tu,t) для величин Мт - 0 і q (t0,t), легко отримати оцінки Л. =(т. -)" і Х =-(i-t0) ln (0 0 для параметра Л ненаблюдаемого пуассонівського процесу. Оцінюється таким чином параметр Х має сенс очікуваного числа появ в одиницю часу обставин, що тягнуть закриття рахунку.
Процес народження популяції підприємців чи нових підприємців у такий спосіб можна як найпростіший пуасонівський потік.
Для найпростішого пуассонівського потоку ймовірність того, що за час г відбудеться рівне т подій, дорівнює
Визначення 5.8. Стаціонарний пуасонівський потік називається найпростішим.
Розглянемо нестаціонарний пуасонівський потік з інтенсивністю Mf), деякий проміжок часу довжиною г>0, що починається з моменту t0 (і закінчується, отже, в момент +г) і дискретну випадкову величину Х р г) - кількість подій, що наступають у потоці за проміжок часу від ta до t0+r.
Наслідок 6.1. У нестаціонарному пуассонівському потоці з інтенсивністю A(t) ймовірність того, що за проміжок часу від t0 до t0+r
Визначення 6.2. Елементом ймовірності появи події у нестаціонарному пуассонівському потоці називається ймовірність >,(АТ появи події за елементарний (досить малий) проміжок часу від t0 до t0+bt.
Теорема 6.2. Для елемента ймовірності появи події за елементарний проміжок часу від t0 до t0+Af у нестаціонарному потоці Пуассонів з інтенсивністю A(t) має місце наближена формула
Інтенсивність нестаціонарного пуассонівського потоку A(t)
Однак у останні рокидоведено, "що на систему обслуговування, що складається з /7 приладів надходить пуасонівський потік інтенсивності /I і тривалість обслуговування підпорядкована абсолютно довільному закону розподілу Ц (ЕС), математичне овдання якого I/с, то для граничних ймовірностей Р зберігає свою силу формула (36),.. Отже в стаціонарному режимі ймовірності /. залежать не від особливостей розподілу ймовірностей тривалості обслуговування, а тільки від середньої тривалості обслуговування... як
Розглянемо розв'язання такого завдання за умов Нефтекум-ського УБР. Аналіз роботи служби випробування дозволив скласти статистичні ряди інтенсивності здавання свердловин на випробування та тривалості випробування. Вивчення рядів дозволило зробити висновок, що потік свердловин, що надходять у випробування, є одинарним стаціонарним потоком без наслідку, тобто має властивості пуассонівського потоку. З достатньою мірою точності можна припустити, що час обслуговування розподіляється за показовим законом. На підставі статистичних рядів складено таблиці розподілу інтенсивності здачі свердловин на випробування (табл. 36)
Завдання це формулюється в такий спосіб потік вимог - пуасонівський з інтенсивністю Я тривалість обслуговування розподілена за показовим законом , причому середня тривалість обслуговування iAy. Якщо кількість обслуговуючих пристроїв дорівнює п, то при стаціонарному пуасонівському потоці вимог ймовірності Pt (t) (ймовірності того, що в момент t обслуговуванням, зайняті I прилад) близькі до їх граничних значень (формула Ерлаша)
Якщо об'єднуються кілька незалежних ординарних потоків з порівнянними інтенсивностями, то зі зростанням кількості доданків потоків об'єднаний потік наближається до найпростішого з можливою нестаціонарністю. Якщо складові потоки стаціонарні , то межі виходить пуасонівський потік. Інтенсивність об'єднаного потоку дорівнює сумі інтенсивностей кожного з них.
Кожен із входять в блок агрегатів є складною системою, що складається з великої кількості елементів. Відмова кожного їх може призвести до втрати можливості виконання поставленої завдання всього агрегату. Потік відмов агрегату у часі утворюється внаслідок накладання безлічі подій - потоків відмов елементів, що входять до його складу. При вирішенні практичної задачі відмови в елементах можна розглядати як незалежні (або слабозалежні) та ординарні події, тому для сумарного потоку відмов всього агрегату правомірне застосування граничної теореми потоків у теорії випадкових процесів. Ця теорема визначає умови, за яких сума незалежних (або слабо залежних) ординарних потоків подій зводиться до пуассонівського розподілу числа відмов агрегату на заданому проміжку часу т. Умови полягають у тому, що потоки, що складаються, повинні надавати приблизно однаковий вплив на сумарний потік. В інженерній практиці рекомендується вважати суму понад 5-7 потоків за пуасонівський потік, якщо інтенсивності цих потоків мають однаковий порядок. Дане твердження ґрунтується на багаторазових дослідженнях, проведених методом статистичних випробувань. Виходячи з вищевикладеного, кількість відмов т кожного агрегату блоку КЕС, що виникають за проміжок (/, М-т), має розподіл виду
У період нормальної експлуатації агрегату (на центральному ділянці) під час вирішення практичних завдань часто вважають Я,(/)= Я = onst, тобто. приймають модель стаціонарного пуассонівського потоку відмов. При цьому формула (2.8.1) набуває вигляду
Відповідно до показника безвідмовності блоку КЕС приймається середнє напрацювання на відмову ТНБ, а показником ремонтопридатності - середній час відновлення працездатного стану після відмови ТВБ- Щоб отримати формули для розрахунку цих показників скористаємось властивістю
У попередніх лекціях ми навчилися імітувати настання випадкових подій. Тобто ми можемо розіграти якез можливих подій настане і в якомукількості. Щоб це визначити, треба знати статистичні характеристики появи подій, наприклад, такою величиною може бути ймовірність появи події, або розподіл ймовірностей різних подій, якщо типів цих подій нескінченно багато.
Але часто ще важливо знати, коликонкретно настане те чи інше подія у часі.
Коли подій багато і вони йдуть один за одним, то вони утворюють потік. Зауважимо, що події при цьому повинні бути однорідними, тобто чимось схожими одна на одну. Наприклад, поява водіїв на АЗС, які бажають заправити свій автомобіль. Тобто однорідні події утворюють певний ряд. У цьому вважається, що статистична характеристика цього явища (інтенсивність потоку подій) задана. Інтенсивність потоку подій вказує, скільки в середньомувідбувається таких подій за одиницю часу. Але коли саме станеться кожна конкретна подія, треба визначити методами моделювання. Важливо, що коли ми згенеруємо, наприклад, за 200 годин 1000 подій, їх кількість дорівнює приблизно величині середньої інтенсивності появи подій 1000/200 = 5 подій на годину, що є статистичною величиною, що характеризує цей потік в цілому.
Інтенсивність потоку у певному сенсі є математичним очікуванням кількості подій за одиницю часу. Але реально може так виявитися, що в одну годину з'явиться 4 події, в іншій 6, хоча в середньому виходить 5 подій на годину, тому однієї величини для характеристики потоку недостатньо. Другою величиною, що характеризує, наскільки великий розкид подій щодо математичного очікування, є, як і раніше, дисперсія. Власне, саме ця величина визначає випадковість появи події, слабку передбачуваність моменту її появи. Про цю величину ми розповімо у наступній лекції.
Потік подій – це послідовність однорідних подій, що наступають одна одною у випадкові проміжки часу. На осі часу ці події виглядають, як показано на рис. 28.1.
Прикладом потоку подій можуть бути послідовність моментів торкання злітної смуги літаками, що прилітають до аеропорту.
Інтенсивність потоку λ Це середня кількість подій в одиницю часу. Інтенсивність потоку можна розрахувати експериментально за такою формулою: λ = N/Tн, де Nкількість подій, що відбулися за час спостереження Tн.
Якщо інтервал між подіями τ jдорівнює константі або визначений будь-якою формулою у вигляді: t j = f(t j 1), то потік називається детермінованим. Інакше потік називається випадковим.
Випадкові потоки бувають:
- ординарні: ймовірність одночасної появи двох і більше подій дорівнює нулю;
- стаціонарні: частота появи подій λ (t) = const( t) ;
- без післядії: ймовірність появи випадкової події залежить від моменту здійснення попередніх подій.
Пуасонівський потік
За стандарт потоку в моделюванні прийнято купувати пуасонівський потік.
Пуасонівський потікЦе ординарний потік без післядії.
Як раніше було зазначено, ймовірність того, що за інтервал часу (t 0 , t 0 + τ ) станеться mподій, визначається із закону Пуассона:
де aПараметр Пуассона.
Якщо λ (t) = const( t) , то це стаціонарний потік Пуассона(Найпростіший). В цьому випадку a = λ · t . Якщо λ = var ( t) , то це нестаціонарний потік Пуассона.
Для найпростішого потоку ймовірність появи mподій за час τ дорівнює:
Ймовірність непояви (тобто жодного, m= 0 ) події за час τ дорівнює:
Рис. 28.2 ілюструє залежність P 0 від часу. Очевидно, що чим більше час спостереження, тим ймовірність не появи жодної події менше. Крім того, чим більше значення λ , Тим крутіше йде графік, тобто швидше зменшується ймовірність. Це відповідає тому, що й інтенсивність появи подій велика, то ймовірність непояви події швидко зменшується з часом спостереження.
Імовірність появи хоча б однієї події ( PХБ1С) обчислюється так:
так як PХБ1С+ P 0 = 1 (або з'явиться хоча б одна подія, або не з'явиться жодного, іншого не дано).
З графіка на рис. 28.3 видно, що ймовірність появи хоча б однієї події прагне згодом до одиниці, тобто за відповідного тривалого спостереження події така обов'язково рано чи пізно відбудеться. Чим довше ми спостерігаємо за подією (чим більше t), тим більше ймовірність того, що подія відбудеться графік функції монотонно зростає.
Чим більша інтенсивність появи події (чим більше λ ), тим швидше настає ця подія, і тим швидше функція прагне одиниці. На графіку параметр λ представлений крутістю лінії (нахил дотичної).
Якщо збільшувати λ , то при спостереженні за подією протягом одного і того ж часу τ , Імовірність настання події зростає (див. рис. 28.4). Очевидно, що графік виходить із 0, оскільки якщо час спостереження нескінченно мало, то ймовірність того, що подія станеться за цей час, незначна. І навпаки, якщо час спостереження нескінченно велике, то подія обов'язково відбудеться хоча б один раз, отже графік прагне до значення ймовірності рівної 1.
Вивчаючи закон, можна визначити, що: m x = 1/λ , σ = 1/λ , тобто для найпростішого потоку m x = σ . Рівність математичного очікування середньоквадратичного відхилення означає, що даний потік потік без післядії. Дисперсія (точніше середньоквадратичне відхилення) такого потоку велика. Фізично це означає, що час появи події (відстань між подіями) погано передбачувано випадково перебуває в інтервалі m x σ < τ j < m x + σ . Хоча ясно, що в середньому воно приблизно дорівнює: τ j = m x = Tн/ N . Подія може з'явитись у будь-який момент часу, але в межах розкиду цього моменту τ jщодо m xна [ σ ; +σ ] (величину післядії). На рис. 28.5 показані можливі положення події 2 щодо осі часу при заданому σ . У даному випадкукажуть, що перша подія не впливає на другу, другу на третю тощо, тобто післядія відсутня.
За змістом Pодно r(див. лекцію 23. Моделювання випадкової події. Моделювання повної групи несумісних подій), тому, висловлюючи τ із формули (*) , остаточно визначення інтервалів між двома випадковими подіями маємо:
τ = 1/ λ · Ln ( r) ,
де rрівномірно розподілене від 0 до 1 випадкове число, яке беруть з ГСЧ, τ інтервал між випадковими подіями (випадкова величина τ j ).
приклад 1 . Розглянемо потік виробів, які приходять технологічну операцію. Вироби приходять випадковим чином в середньому вісім штук за добу (інтенсивність потоку λ = 8/24 [од/год]). Необхідно промоделювати цей процес протягом Tн = 100 годин. m = 1/λ = 24/8 = 3 тобто в середньому одна деталь за три години. Зауважимо, що σ = 3. На рис. 28.6 представлений алгоритм, що генерує потік випадкових подій.
На рис. 28.7 показаний результат роботи алгоритму - моменти часу, коли деталі приходили на операцію. Як видно, всього за період Tн = 100 виробничий вузол обробив N= 33 вироби. Якщо запустити алгоритм знову, то Nможе бути рівним, наприклад, 34, 35 або 32. Але в середньому, за Kпрогонів алгоритму Nбуде дорівнює 33.33 Якщо порахувати відстані між подіями tз iі моментами часу, що визначаються як 3 · i, то в середньому величина дорівнюватиме σ = 3 .
Моделювання неординарних потоків подій
Якщо відомо, що потік не є ординарним, необхідно моделювати крім моменту виникнення події ще й число подій, яке могло з'явитися в цей момент. Наприклад, вагони на залізничну станціюприбувають у складі поїзда у випадкові часи (ординарний потік поїздів). Але при цьому у складі поїзда може бути різна (випадкова) кількість вагонів. І тут про потік вагонів говорять як про потік неординарних подій.
Припустимо, що M k = 10 , σ = 4 (тобто, у середньому у 68 випадках зі 100 приходить від 6 до 14 вагонів у складі поїзда) та їх число розподілено за нормальним законом. У місце, зазначене (*) у попередньому алгоритмі (див. рис. 28.6), потрібно вставити фрагмент, показаний на рис. 28.8.
Приклад 2 . Дуже корисним у виробництві є вирішення наступного завдання. Який середній час добового простою обладнання технологічного вузла, якщо вузол обробляє кожен виріб випадковий час, заданий інтенсивністю потоку випадкових подій λ 2? При цьому експериментально встановлено, що привозять вироби на обробку також у випадкові моменти часу, задані потоком λ 1 партіями по 8 штук, причому розмір партії коливається випадково за нормальним законом m = 8 , σ = 2 (див. лекцію 25). До початку моделювання T= 0 складі виробів був. Необхідно промоделювати цей процес протягом Tн = 100 годин.
На рис. 28.9 представлений алгоритм, що генерує випадковим чином потік приходу партій виробів на обробку та потік випадкових подій виходу партій виробів з обробки.
На рис. 28.10 показаний результат роботи алгоритму - моменти часу, коли деталі приходили на операцію, та моменти часу, коли деталі залишали операцію. На третій лінії видно, скільки деталей стояло в черзі на обробку (лежало на складі вузла) у різні моменти часу.
Відзначаючи для обробного вузла часи, коли він простоював в очікуванні чергової деталі (див. на рис. 28.10 ділянки часу, виділені червоним штрихуванням), ми можемо порахувати сумарний час простоїв вузла за весь час спостереження, а потім розрахувати середній час простою протягом доби. Для цієї реалізації цей час обчислюється так:
Tпр. пор. = 24 · ( t 1 ін. t 2 ін. t 3 ін. t 4 ін + + + t Nін)/ Tн.
Завдання 1 . Змінюючи величину σ , встановіть залежність Tпр. пор. ( σ ) . Задаючи вартість за простий вузл 100 євро/год, встановіть річні втрати підприємства від нерегулярності в роботі постачальників. Запропонуйте формулювання пункту договору підприємства із постачальниками «Величина штрафу за затримку постачання виробів».
Завдання 2 . Змінюючи величину початкового заповнення складу, встановіть, як зміняться річні втрати підприємства від нерегулярності у роботі постачальників залежно від прийнятої для підприємства величини запасів.
Моделювання нестаціонарних потоків подій
У ряді випадків інтенсивність потоку може змінюватися з часом λ (t). Такий потік називається нестаціонарним. Наприклад, середня кількість за годину машин швидкої допомоги, що залишають станцію за викликами населення великого містапротягом доби може бути різним. Відомо, наприклад, що найбільша кількість викликів падає на інтервали з 23 до 01 години ночі та з 05 до 07 ранку, тоді як у решту годин воно вдвічі менше (див. рис. 28.11).
У цьому випадку розподіл λ (t) може бути задано або графіком, або формулою, або таблицею. На алгоритмі, показаному на рис. 28.6 в місце, позначене (**), потрібно буде вставити фрагмент, показаний на рис. 28.12.
Серед потоків подій особливе місце посідає так званий «пуасонівський потік», що має в порівнянні з іншими рядом властивостей, що істотно полегшують вирішення завдань.
Пуассонівським потоком подійназивається потік, що володіє двома властивостями - ординарністю та відсутністю наслідків.
Потік називається потоком без післядії, якщо для будь-яких двох ділянок, що не перекривають t 1 і t 2 число подій, що потрапляють на один з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на інший.
Позначили випадкове число подій, що настали на інтервалі часу t 1 через х 1 і на інтервалі t 2 через х 12 . Для потоку без післядії випадкові величини х 1 та х 2 незалежні, тобто. ймовірність того, що на ділянці t 2 настала певна кількість подій m 2 не залежить від того, скільки подій m 1настало на ділянці t 1 .
P(x 2 =m 2 ½ x 1 =m 1) = P(x 2 =m).
(m 1 =0, 1, 2,…)
(m 2 =0, 1, 2,…). (2.47)
З теорії ймовірностей відомо, що для пуассонівського потоку кількість подій х 1 , що потрапляють на будь-який інтервал довжини t, що примикають до точки t,розподілено згідно із законом Пуассона (рис. 2.5.):
де ( а×(t× t)) m- Середня кількість подій, що наступають на інтервалі часу t, що примикає до моменту часу t. Тому потік і називається «пуассонівським».
Середня кількість подій для ординарного потоку дорівнює інтенсивності потоку l( t). Отже, середня кількість подій наступають на інтервалі часу t, що примикає до моменту часу tбуде одно:
Якщо пуасонівський потік подій є стаціонарним, то величина ане залежатиме від t:
У цьому випадку ймовірність того, що на довільно вибраній ділянці часу тривалістю t настане mподій, визначається за формулою:
Стаціонарний потік часто називається найпростішим потоком, оскільки застосування найпростіших потоків при аналізі різних систем масового обслуговуванняпризводить до найпростіших рішень. Знайдемо закон розподілу інтервалу між двома подіями в найпростішому потоці (рис 2.6.):
Імовірність того, що на ділянці t, наступного за однією подією не з'явиться не одна подія:
Але ця ймовірність дорівнює ймовірності того, що випадкові величини Тбудуть більші за величину t. Отже,
F(t)=P(T<1)=1 - p×( T>t)=1 - e - l t , t>0. (2.54)
де F(t) -функція розподілу випадкової величини Т.
Диференціюючи цей вираз, отримаємо густину розподілу випадкової величини Т:
f( t)=l e - l t , (t>0). (2.55)
Таким чином, у найпростішому потоці інтервали між двома сусідніми подіями розподілено за доказовим законом із параметром l.
Внаслідок відсутності післядії всі інтервали між сусідніми подіями є незалежними випадковими величинами. Тому найпростіший потікє стаціонарним потоком Пальма.
Математичне очікування та дисперсія випадкової величини Т-інтервалу часу між двома подіями в найпростішому потоці, рівні:
Таким чином,
Регулярний потік подій:
де Т*ділянку, на яку впадає випадкова подія.
Регулярний потікє послідовністю подій, розділених строго однаковими інтервалами.
Щільність розподілу інтервалу між будь-якими подіями може бути представлена у вигляді:
f(t) = d ( t-m t), (2.59)
де d( t) - Відома дельта-функція.
Так як інтервал між сусідніми точками строго постійний і дорівнює m t, то очевидно математичне очікуванняцього інтервалу дорівнює m t, а D t= 0.
Знайдемо закон розподілу часу Q від випадкової точки до наступу чергової події:
Характеристична функція інтервалу між сусідніми подіями в регулярному потоці матиме вигляд:
g(x)= e – imt x. (2.61)
Регулярний потік подій порівняно рідко використовується під час вирішення прикладних завдань. Це пояснюється тим, що такий потік подій має дуже велику (необмежену) післядію, оскільки, знаючи лише один момент настання подій у регулярному потоці, можна відновити все минуле цього потоку і передбачити майбутнє.
Описує наступних випадкових подій, що відбуваються з постійною інтенсивністю.
Імовірнісні властивості потоку Пуассона повністю характеризуються функцією Λ(А), що дорівнює прирощенню в інтервалі Адеякої спадної функції. Найчастіше потік Пуассона має миттєве значення параметра λ(t)- функцію, в точках безперервності якої ймовірність події потоку в інтервалі дорівнює λ(t)dt. Якщо А- Відрізок , то
Λ (A) = ∫ a b λ (t) d t (\displaystyle \Lambda (A)=\int \limits _(a)^(b)\lambda (t)\,dt)Потік Пуассона, для якого λ(t)дорівнює постійній λ називається найпростішим потоком з параметром λ .
Потоки Пуассона визначаються для багатовимірного і будь-якого абстрактного простору, в якому можна ввести міру Λ(А). Стаціонарний потік Пуассона у багатовимірному просторі характеризується просторовою щільністю λ . При цьому Λ(А)дорівнює обсягу області А, помноженому на λ .
Класифікація
Розрізняють два види процесів Пуассона: простий (або просто: процес Пуассона) та складний (узагальнений).
Простий процес Пуассона
Нехай λ > 0 (\displaystyle \lambda >0). Випадковий процес ( X t ) t ≥ 0 (\displaystyle \(X_(t)\)_(t\geq 0))називається однорідним Пуассонівським процесом з інтенсивністю λ (\displaystyle \lambda), якщо
Складний (узагальнений) пуасонівський процес
Позначимо через S k (\displaystyle S_(k))суму перших k елементів запровадженої послідовності.
Тоді визначимо складний Пуасонівський процес ( Y t ) (\displaystyle \(Y_(t)\))як S N (t) (\displaystyle S_(N(t))) .
Властивості
- Пуасонівський процес приймає тільки невід'ємні цілі значення, і навіть
- Траєкторії процесу Пуассона - шматково-постійні, незменшуючі функції зі стрибками рівними одиниці майже напевно. Більш точно
де o (h) (\displaystyle o(h))позначає «омале» .
Критерій
Для того, щоб деякий випадковий процес ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\))з безперервним часом був пуассонівським (простим, однорідним) або тотожно нульовим достатньо виконання таких умов:
Інформаційні властивості
Чи залежить T (\displaystyle T)від попередньої частини траєкторії?
P (( T > t + s ∣ T > s )) (\displaystyle \mathbb (P) (\(T>t+s\mid T>s\))) - ?
Нехай u (t) = P (T > t) (\displaystyle u(t)=\mathbb (P) (T>t)).
U (t ∣ s) = P (T > t + s ∩ T > s) P (T > s) = P (T > t + s) P (T > s) (\displaystyle u(t\mid s) =(\frac (\mathbb (P) (T>t+s\cap T>s))(\mathbb (P) (T>s)))=(\frac (\mathbb (P) (T>t) +s))(\mathbb (P) (T>s))))
u (t ∣ s) u (s) = u (t + s) (\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s))
u (t ∣ s) = s (t) ⇔ u (t) = e − α t (\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^(-\alpha t )).
Розподіл довжин проміжків часу між стрибками має властивість відсутності пам'яті ⇔ він показовий .
X(b) − X(a) = n (\displaystyle X(b)-X(a)=n)- Число стрибків на відрізку [ a , b ] (\displaystyle ).
Умовний розподіл моментів стрибків ? n)збігається з розподілом варіаційного ряду, побудованого за вибіркою довжини n (\displaystyle n)з R [a, b] (\displaystyle R).
Щільність цього розподілу f 1 , … , n (t) = n ! (b − a) n I (t j ∈ [ a , b ] ∀ j = 1 , n ¯) (\displaystyle f_(\tau _(1),\dots ,\tau _(n))(t)=( \frac(n{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (t_{j}\in \ \forall j={\overline {1,n}})} !}
ЦПТ
- Теорема.
P (X (t) − λ t λ t<
x)
⇉
x
λ
t
→
∞
Φ
(x)
∼
N
(0
,
1)
=
1
2
π
∫
−
∞
x
e
−
u
2
2
d
u
{\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}} Швидкість збіжності: Потік Пуассон служить для моделювання різних реальних потоків: нещасних випадків, потоку заряджених частинок з космосу, відмов обладнання та інших. Також можливе застосування для аналізу фінансових механізмів, таких як потік платежів та інших реальних потоків. Для побудови моделей різних систем обслуговування та аналізу їх придатності. Використання потоків Пуассона значно спрощує вирішення завдань систем масового обслуговування, пов'язаних з розрахунком їх ефективності. Але необґрунтована заміна реального потоку потоком Пуассона там, де це неприпустимо, призводить до брутальних прорахунків. Насправді найчастіше обмежуються розглядом найпростішого (пуассоновского) потоку заявок. Визначення.Потік подій, що має властивості ординарності, стаціонарності та відсутності післядії, називається найпростішим (або стаціонарним пуассонівським) потоком. Для найпростішого потоку подій ймовірність того, що на ділянці часу довжини t настане рівно k подій, має розподіл Пуассона і визначається за формулою: Р (X (t, t) = k) = a k e-a / k! (k = 0, 1, 2, ...), де а = lt, l - Інтенсивність потоку. Фізичний зміст інтенсивності потоку подій – це середня кількість подій, що припадає на одиницю часу (кількість заявок на одиницю часу), розмірність – 1/час. Найпростішим цей потік названий тому, що дослідження систем, що під впливом найпростіших потоків, проводиться найпростішим чином. Розподіл інтервалів між заявками для найпростішого потоку буде експоненціальним (показовим) з функцією розподілу та щільністю , де інтенсивність надходження заявок до СМО. Розглянемо основні властивості найпростішого потоку: Стаціонарність; Ординарність; Відсутність післядії. Стаціонарність.
Властивість стаціонарності проявляється в тому, що ймовірність попадання того чи іншого числа подій на ділянку часу залежить лише від довжини ділянки
і не залежить від його розташування на осі
.
Іншими словами, стаціонарність означає незмінність імовірнісного режиму потоку подій у часі. Потік, що має властивість стаціонарності, називають стаціонарним. Для стаціонарного потоку середня кількість подій, які впливають систему протягом одиниці часу, залишається постійним. Реальні потоки подій економіки підприємства є насправді стаціонарними лише з обмежених ділянках часу. Ординарність.Властивість ординарності потоку присутня, якщо ймовірність попадання на елементарну ділянку часу двох і більше подій зневажливо мала порівняно з довжиною цієї ділянки. Властивість ординарності означає, що за малий проміжок часу практично неможлива поява більше однієї події. Потік, що має властивість ординарності, називають ординарним.Реальні потоки подій у різних економічних системах або є ординарними, або може бути досить легко приведені до ординарним. Відсутність післядії.
Дана властивість потоку полягає в тому, що для будь-яких ділянок часу, що не перетинаються, кількість подій, що потрапляють на один з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на інші ділянки часу. Потік, що має властивість відсутності післядії, називають потоком без післядії. Потік подій, що водночас має властивості стаціонарності, ординарності та відсутності післядії, називається найпростішим потоком подій. 2.6. Компоненти та класифікація моделей систем масового обслуговування (СМО) Перші завдання теорії систем масового обслуговування (ТСМО) були розглянуті співробітниками Копенгагенської телефонної компанії, датським вченим А. К. Ерланг (1878-1929 рр..) У період між 1908 і 1922 рр. Ці завдання були викликані до життя прагненням упорядкувати роботу телефонної мережі та розробити методи, що дозволяють заздалегідь підвищити якість обслуговування споживачів залежно від кількості пристроїв. Виявилося, що ситуації, що виникають на телефонних станціях, типові не тільки для телефонного зв'язку. Робота аеродромів, робота морських та річкових портів, магазинів, термінальних класів, радіолокаційних комплексів, радіолокаційних станцій тощо тощо може бути описана в рамках ТСМО. Системи масового обслуговування– це такі системи, в які у випадкові моменти часу надходять заявки на обслуговування, при цьому заявки, що надійшли, обслуговуються за допомогою наявних у розпорядженні системи каналів обслуговування. З позиції моделювання процесу масового обслуговування ситуації, коли утворюються черги заявок (вимог) обслуговування, виникають в такий спосіб. Вступивши в обслуговувальну систему, вимога приєднується до черги інших (раніше надійшли) вимог. Канал обслуговування вибирає вимогу з що у черзі про те, щоб розпочати його обслуговування. Після завершення процедури обслуговування чергової вимоги канал обслуговування приступає до обслуговування наступної вимоги, якщо є в блоці очікування. Цикл функціонування системи масового обслуговування подібного роду повторюється багаторазово протягом усього періоду роботи системи. При цьому передбачається, що перехід системи обслуговування чергової вимоги після завершення обслуговування попередньої вимоги відбувається миттєво, у випадкові моменти часу. Прикладами систем масового обслуговування можуть бути пости технічного обслуговування автомобілів; будь-яке підприємство сфери сервісу; персональні комп'ютери, які обслуговують заявки, що надходять, або вимоги на вирішення тих чи інших завдань; аудиторські фірми; відділи податкових інспекцій, які займаються прийманням та перевіркою поточної звітності підприємств; телефонні станції тощо. Реальні системи, з якими доводиться мати справу на практиці, як правило, дуже складні і включають ряд етапів (стадій) обслуговування. Причому кожному етапі може бути можливість відмови у виконанні чи існує ситуація пріоритетного обслуговування стосовно іншим вимогам. При цьому окремі ланки обслуговування можуть припинити свою роботу (для ремонту, налагодження тощо) або можуть бути підключені додаткові засоби. Можуть бути такі обставини, коли вимоги, які отримали відмову, знову повертаються в систему (подібне може відбуватися в інформаційних системах). Основними компонентами системи масового обслуговування будь-якого виду є: Вхідний потік вимог або заявок на обслуговування, що надходять; Дисципліна черги; Механізм обслуговування. Вхідний потік вимог. Для опису вхідного потоку потрібно задати імовірнісний закон, що визначає послідовність моментів надходження вимог обслуговування і вказати кількість таких вимог у кожному черговому вступі. У цьому, зазвичай, оперують поняттям «імовірнісний розподіл моментів надходження вимог». Тут можуть надходити як поодинокі, і групові вимоги (вимоги надходять групами у систему). У разі зазвичай йдеться про систему обслуговування з паралельно-груповим обслуговуванням. Дисципліна черги– це важливий компонент системи масового обслуговування, він визначає принцип, відповідно до якого вимоги, що надходять на вхід обслуговуючої системи, підключаються з черги до процедури обслуговування. Найчастіше використовуються дисципліни черги, що визначаються такими правилами: – першим прийшов – перший обслуговуєшся (FIFO); – прийшов останнім – обслуговуєшся першим (LIFO); - Випадковий відбір заявок (RANDOM); - Відбір заявок за критерієм пріоритетності (PR); – обмеження часу очікування моменту настання обслуговування (є черга з обмеженим часом очікування обслуговування або кількістю місць, що асоціюється з поняттям «допустима довжина черги»). Слід зазначити, що час обслуговування заявки залежить від характеру самої заявки чи вимог клієнта, і стану і можливостей обслуговуючої системи. У ряді випадків доводиться також враховувати можливість виходу обслуговуючого приладу після деякого обмеженого інтервалу часу. Структура обслуговуючої системи визначається кількістю та взаємним розташуванням каналів обслуговування (механізмів, приладів тощо). Система обслуговування може мати не один канал обслуговування, а кілька - система такого роду здатна обслуговувати одночасно кілька вимог. У разі, якщо всі канали обслуговування пропонують одні й самі послуги, можна стверджувати, що має місце паралельне обслуговування – багатоканальна система. Система обслуговування може складатися з декількох різнотипних каналів обслуговування, через які повинна пройти кожна вимога, що обслуговується, тобто в обслуговуючій системі процедури обслуговування вимог реалізуються послідовно. Розглянувши основні компоненти систем обслуговування можна стверджувати, що функціональні можливості будь-якої системи масового обслуговування визначаються такими основними факторами: ймовірнісний розподіл моментів надходжень заявок на обслуговування (поодиноких або групових); Імовірнісне розподілення часу тривалості обслуговування; Конфігурація обслуговуючої системи (паралельне, послідовне або паралельно-послідовне обслуговування); Кількість та продуктивність обслуговуючих каналів; Дисципліна черги; Потужність джерела вимог. У системах з обмеженим очікуванням може обмежуватись довжина черги, час перебування у черзі. У системах з необмеженим очікуванням заявка, яка стояла в черзі, чекає на обслуговування необмежено довго, тобто поки не підійде черга. Наведена класифікація СМО є умовною. Насправді найчастіше системи масового обслуговування виступають як змішаних систем. Наприклад, заявки очікують на початок обслуговування до певного моменту, після чого система починає працювати як система з відмовими. Предметом теорії масового обслуговуванняє встановлення залежності між факторами, що визначають функціональні можливості системи масового обслуговування, та ефективністю її функціонування. У більшості випадків усі параметри, що описують системи масового обслуговування, є випадковими величинами або функціями, тому ці системи належать до стохастичних систем. Як основні критеріїв ефективності функціонування систем масового обслуговуванняв залежності від характеру розв'язуваної задачі можуть виступати: Ймовірність негайного обслуговування заявки, що надійшла; Ймовірність відмови в обслуговуванні заявки, що надійшла; Відносна та абсолютна пропускна здатність системи; Середній відсоток заявок, які отримали відмову в обслуговуванні; Середній час очікування у черзі; Середня довжина черги; Середній дохід від функціонування системи за одиницю часу. Випадковий характер потоку заявок та тривалості обслуговування призводить до того, що в системі масового обслуговування відбувається випадковий процес. За характером випадкового процесу, що відбувається у системі масового обслуговування (СМО), розрізняють марківські та немарківські. Незалежно від характеру процесу, що протікає в системі масового обслуговування, розрізняють два основні види СМО: · Системи з відмовими, в яких заявка, що надійшла в систему в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову і залишає чергу; · Системи з очікуванням (чергою), в яких заявка, що надійшла в момент, коли всі канали обслуговування зайняті, стає в чергу і чекає, поки не звільниться один з каналів. Для вказівки типу СМО використовують загальноприйняті позначення Кендалла – Баша: X/Y/Z/m, де X –вид закону розподілу інтервалів надходження заявок; m –кількість місць у черзі. В позначеннях виду закону розподілу буква Mвідповідає експоненційному розподілу (від слова Марковіан), літера E- розподілу Ерланга, R– рівномірному розподілу та D- Детермінованої величини. Наприклад, запис M/M/1означає одноканальну систему з експоненційними розподілами часу надходження та обслуговування заявок ( М- Марківська) без черги. 2.7. Розрахунок основних характеристик СМО на основі використання їх аналітичних моделей Розглянемо такі СМО, в яких можливі стани системи утворюють ланцюг і кожен стан, крім вихідного та останнього, пов'язане прямим та зворотним зв'язком з двома сусідніми станами. Така схема процесу, що протікає в системі, називається схемою «загибелі та розмноження».Термін веде початок біологічних завдань, процес визначає зміна чисельності популяції. Якщо в такій системі всі потоки, що переводять систему зі стану в пуасоновський стан, то процес називається марківським випадковим процесом «загибелі та розмноження». Зауважимо, що у таких системах все стану є суттєвими, отже, існують фінальні ймовірності станів, які можна знайти з лінійної системи рівнянь Ерланга. Насправді значна частина систем (СМО) може описуватися у межах процесу «загибелі і розмноження». Розглянемо деякі типи таких систем: а) одноканальні з відмовами (без черги); б) одноканальні з обмеженою чергою; в) багатоканальні з відмовами (без черги); г) багатоканальні з обмеженою чергою.
sup x | P (X (t) − λ t λ t<
x)
−
Φ
(x)
|
⩽
C
0
λ
t
{\displaystyle \sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}
де C 0 (\displaystyle C_(0))- Константа Беррі-Ессеєна.Застосування
Y –вид закону розподілу часу обслуговування заявок;
Z –кількість каналів;
