Теорія СМО присвячена розробці методів аналізу, проектування та раціональної організації систем, що належать до різних галузей діяльності, таких як зв'язок, обчислювальна техніка, торгівля, транспорт, військова справа. Незважаючи на всю свою різноманітність, наведені системи мають ряд типових властивостей, а саме.

• СМО (системи масового обслуговування) - це моделі систем, в які у випадкові моменти часу ззовні чи зсередини надходять заявки (вимоги). Вони повинні тим чи іншим чином обслуговуватися системою. Тривалість обслуговування найчастіше випадкова.
• СМО є сукупністьобслуговуючого обладнанняі персоналуза відповідної організації процесу обслуговування.
• Задати СМО - це означає задати її структуру та статистичніхарактеристики послідовності надходження заявок та послідовності їх обслуговування.

Завдання аналізу СМОполягає у визначенні низки показників її ефективності, які можна поділити на такі групи:

• показники, що характеризують систему загалом:число nзайнятих каналів обслуговування, кількість обслужених (λ b), які чекають на обслуговування або отримали відмову заявок (λ c) в одиницю часу тощо;
• імовірнісні характеристики: ймовірність того, що заявку буде обслуговано ( Pобс) або отримає відмову в обслуговуванні ( Pвідк), що всі прилади вільні ( p 0) або певна кількість їх зайнята ( p k), ймовірність наявності черги тощо;
• економічні показники: вартість втрат, пов'язаних з відходом не обслуженої з тих чи інших причин заявки із системи, економічний ефектотриманий в результаті обслуговування заявки і т.д.

Частина технічних показників (перші дві групи) характеризують систему з погляду споживачів, інша частина – характеризує систему з погляду її експлуатаційних властивостей. Часто вибір перерахованих показників може покращувати експлуатаційні властивості системи, але погіршувати систему з погляду споживачів і навпаки. Використання економічних показниківдозволяє вирішити зазначену суперечність та оптимізувати систему з урахуванням обох точок зору.
У ході виконання домашньої контрольної роботививчаються найпростіші СМО. Це системи розімкнутого типу, нескінченне джерело заявок у систему не входить. Вхідний потік заявок, потоки обслуговування та очікування цих систем є найпростішими. Пріоритети відсутні. Системи однофазні.

Багатоканальна система з відмовами

Система складається з одного вузла обслуговування, що містить n каналів обслуговування, кожен з яких може обслуговувати лише одну заявку.
Усі канали обслуговування однакової продуктивності та моделі системи нерозрізняються. Якщо заявка надійшла до системи та застала хоча б один канал вільним, вона миттєво починає обслуговуватися. Якщо на момент надходження заявки у систему всі канали зайняті, то заявка залишає систему не обслуженной.

Змішані системи

1. Система з обмеженням на довжину черги .
   Складається з накопичувача (черги) та вузла обслуговування. Заявка залишає чергу і йде з системи, якщо в накопичувачі на момент її появи вже знаходяться m заявок (m – максимально можливе число місць у черзі). Якщо заявка надійшла в систему і застала хоча б один канал вільним, вона миттєво починає обслуговуватися. Якщо в момент надходження заявки до системи всі канали зайняті, то заявка не залишає систему, а посідає місце у черзі. Заявка залишає систему не обслуженою, якщо на момент її надходження до системи зайняті всі канали обслуговування та всі місця у черзі.
   Для кожної системи визначається дисципліна черги. Це система правил, визначальних порядок надходження заявок із черги у вузол обслуговування. Якщо всі заявки та канали обслуговування рівнозначні, то найчастіше діє правило «хто раніше прийшов, той раніше обслуговується».
2. Система з обмеженням на тривалість перебування заявки у черзі.
   Складається з накопичувача (черги) та вузла обслуговування. Від попередньої системи вона відрізняється тим, що заявка, що надійшла в накопичувач (чергу), може очікувати на початок обслуговування лише обмежений час. Теж(найчастіше це випадкова величина). Якщо її час Тежзакінчилося, то заявка залишає чергу і йде з системи не обслуженої.

Математичний опис СМО

СМО розглядаються як деякі фізичні системи з дискретними станами х 0, х 1, …, х n,функціонуючі при безперервному часі t. Кількість станів n може бути кінцевою або лічильною (n → ∞). Система може переходити з одного стану х i (i = 1, 2, …, n) в інший х j (j= 0, 1,… ,n)у довільний момент часу t. Щоб показати правила таких переходів, використовують схему, яка називається графом станів. Для типів перерахованих вище систем графи станів утворюють ланцюг, в якому кожен стан (крім крайніх) пов'язаний прямим та зворотним зв'язком з двома сусідніми станами. Це схема загибелі та розмноження .
Переходи зі стану до стану відбуваються у випадкові моменти часу. Зручно вважати, що ці переходи відбуваються внаслідок дії якихось потоків(Потоків вхідних заявок, відмов в обслуговуванні заявок, потоку відновлення приладів тощо). Якщо всі потоки найпростіші,те, що протікає в системі випадковий процес з дискретним станом та безперервним часом буде марківським .
Потік подій- це послідовність однотипних подій, які у випадкові моменти часу. Його можна розглядати як послідовність випадкових моментів часу t 1 , t 2 , … Поява подій.
Найпростішимназивають потік, що має наступні властивості:

• Ординарність. Події йдуть поодинці (протилежність потоку, де події йдуть групами).
• Стаціонарність. Імовірність влучення заданої кількості подій на інтервал часу Тзалежить тільки від довжини інтервалу та не залежить від того, де на осі часу знаходиться цей інтервал.
• Відсутність післядії. Для двох неперетинних інтервалів часу 1 і 2 число подій, що потрапляють на один з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на інший інтервал.

У найпростішому потоці інтервали часу Т 1 , Т 2 ,… між моментами t 1 , t 2 , … Події подій випадкові, незалежні між собою і мають показовий розподіл ймовірностей f(t)=λe -λt , t≥0, λ=const, де λ - параметр показового розподілу, що є одночасно інтенсивністюпотоку і середнє число подій, що відбуваються в одиницю часу. Отже, t =M[T]=1/λ.
Марківські випадкові події описуються звичайними диференціальними рівняннями. Змінними в них є ймовірності станів р 0 (t), p 1 (t), ..., p n (t).
Для дуже великих моментів часу функціонування систем (теоретично при t → ∞) у найпростіших системах (системи, усі потоки у яких – найпростіші, а граф – схема загибелі та розмноження) спостерігається що встановився,або стаціонарнийрежим роботи. У цьому режимі система змінюватиме свій стан, але ймовірність цих станів ( фінальні ймовірності) р до, к = 1, 2, ..., n,не залежать від часу і можуть розглядатися як середній відносний часперебування системи у відповідному стані.

Розглянутий у попередній лекції марківський випадковий процес з дискретними станами та безперервним часом має місце у системах масового обслуговування (СМО).

Системи масового обслуговування – це такі системи, в які у випадкові моменти часу надходять заявки на обслуговування, при цьому заявки, що надійшли, обслуговуються за допомогою наявних у розпорядженні системи каналів обслуговування.

Прикладами систем масового обслуговування можуть бути:

• розрахунково-касові вузли у банках, на підприємствах;
• персональні комп'ютери, що обслуговують заявки, що надходять, або вимоги на вирішення тих чи інших завдань;
• станції технічне обслуговуванняавтомобілів; АЗС;
• аудиторські фірми;
• відділи податкових інспекцій, які займаються прийманням та перевіркою поточної звітності підприємств;
• телефонні станції тощо.

	Вузли	Вимоги
Лікарня	Санітари	Пацієнти
Виробництво
Аеропорт	Виходи на злітно-посадкові смуги Пункти реєстрації	Пасажири

Розглянемо схему роботи СМО (рис. 1). Система складається з генератора заявок, диспетчера та вузла обслуговування, вузла обліку відмов (термінатора, знищувача заявок). Вузол обслуговування у випадку може мати кілька каналів обслуговування.

Рис. 1

1. Генератор заявок - Об'єкт, що породжує заявки: вулиця, цех із встановленими агрегатами. На вхід надходить потік заявок(Потік покупців у магазин, потік агрегатів, що зламалися (машин, верстатів) на ремонт, потік відвідувачів у гардероб, потік машин на АЗС і т. д.).
2. Диспетчер – людина або пристрій, який знає, що робити із заявкою. Вузол, що регулює та направляє заявки до каналів обслуговування. Диспетчер:

• приймає заявки;
• формує чергу, якщо всі канали зайняті;
• спрямовує їх до каналів обслуговування, якщо є вільні;
• дає заявкам відмову (з різних причин);
• приймає інформацію від вузла обслуговування про вільні канали;
• стежить за часом роботи системи.

1. Черга - Накопичувач заявок. Черга може бути відсутня.
2. Вузол обслуговування складається із кінцевого числа каналів обслуговування. Кожен канал має 3 стани: вільний, зайнятий, не працює. Якщо всі канали зайняті, можна придумати стратегію, кому передавати заявку.
3. Відмова від обслуговування настає, якщо всі канали зайняті (деякі навіть можуть працювати).

Крім цих основних елементів СМО в деяких джерелах виділяються також такі складові:

термінатор – знищувач трансактів;

склад - накопичувач ресурсів та готової продукції;

рахунок бухгалтерського обліку- Для виконання операцій типу «проводка»;

менеджер – розпорядник ресурсів;

Класифікація СМО

Перший поділ (за наявності черг):

• СМО із відмовими;
• СМО із чергою.

У СМО з відмовамизаявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову, залишає СМО і надалі не обслуговується.

У СМО з чергоюзаявка, що прийшла в момент, коли всі канали зайняті, не йде, а стає в чергу і чекає на можливість бути обслуженою.

СМО із чергамиподіляються на різні видизалежно від того, як організовано чергу, – обмежена або не обмежена. Обмеження можуть стосуватися як довжини черги, так і часу очікування, дисципліни обслуговування.

Отже, наприклад, розглядаються такі СМО:

• СМО з нетерплячими заявками (довжина черги та час обслуговування обмежений);
• СМО з обслуговуванням з пріоритетом, тобто деякі заявки обслуговуються позачергово і т.д.

Типи обмеження черги можуть бути комбінованими.

Інша класифікація поділяє СМО за джерелом заявок. Породжувати заявки (вимоги) може сама система чи якась зовнішнє середовище, що існує незалежно від системи.

Природно, потік заявок, породжений системою, залежатиме від системи та її стану.

Крім цього СМО діляться на відкритіСМО та замкнутіСМО.

У відкритій СМО характеристики потоку заявок не залежить від того, в якому стані сама СМО (скільки каналів зайнято). У замкнутій СМО – залежать. Наприклад, якщо один робітник обслуговує групу верстатів, іноді потребують налагодження, то інтенсивність потоку «вимог» з боку верстатів залежить від того, скільки їх вже справно і чекає налагодження.

Приклад замкнутої системи: видача касиром зарплати для підприємства.

За кількістю каналів СМО поділяються на:

• одноканальні;
• багатоканальні.

Характеристики системи масового обслуговування

Основними характеристиками системи масового обслуговування будь-якого виду є:

• вхідний потік вимог чи заявок на обслуговування;
• дисципліна черги;
• Механізм обслуговування.

Вхідний потік вимог

Для опису вхідного потоку потрібно задати ймовірнісний закон, що визначає послідовність моментів надходження вимог на обслуговування,та вказати кількість таких вимог у кожному черговому надходженні. У цьому, зазвичай, оперують поняттям «імовірнісний розподіл моментів надходження вимог». Тут можуть діяти як поодинокі, і групові вимоги (кількість таких вимог у кожному черговому вступі). В останньому випадку зазвичай мова йдепро систему обслуговування із паралельно-груповим обслуговуванням.

А і– час надходження між вимогами – незалежні однаково розподілені випадкові величини;

E(A)- Середнє (МО) час надходження;

λ=1/E(A)- Інтенсивність надходження вимог;

Характеристики вхідного потоку:

1. Імовірнісний закон, що визначає послідовність моментів надходження вимог обслуговування.
2. Кількість вимог у кожному черговому надходженні для групових потоків.

Дисципліна черги

Черга - Сукупність вимог, що очікують обслуговування.

Черга має ім'я.

Дисципліна черги визначає принцип, відповідно до якого вимоги, що надходять на вхід обслуговуючої системи, підключаються з черги до процедури обслуговування. Найчастіше використовуються дисципліни черги, що визначаються такими правилами:

• першим прийшов – перший обслуговуєшся;

First in First out (FIFO)

найпоширеніший тип черги.

Яка структура даних підійде для опису такої черги? Масив поганий (обмежений). Можна використовувати структуру типу СПИСОК.

Список має початок та кінець. Список складається із записів. Запис – це осередок списку. Заявка надходить до кінця списку, а вибирається обслуговування з початку списку. Запис складається з характеристики заявки та посилання (покажчик, за ким стоїть). Крім цього, якщо черга з обмеженням на час очікування, то ще має бути вказано граничний час очікування.

Ви, як програмісти, повинні вміти робити списки двосторонні, односторонні.

Дії зі списком:

• вставити у хвіст;
• взяти із початку;
• видалити зі списку після закінчення часу очікування.
• прийшов останнім - обслуговуєшся першим LIFO (обойма для патронів, глухий кут на залізничній станції, зайшов у набитий вагон).

Структура відома як СТЕК. Може бути описаний структурою масив чи список;

• випадковий відбір заявок;
• відбір заявок за критерієм пріоритетності

Кожна заявка характеризується також рівнем пріоритету і під час вступу міститься над хвіст черги, а кінець своєї пріоритетної групи. Диспетчер здійснює сортування за пріоритетом.

Характеристики черги

• обмеженнячасу очікуваннямоменту настання обслуговування (має місце черга з обмеженим часом очікування обслуговування, що асоціюється з поняттям «допустима довжина черги»);
• довжина черги.

Механізм обслуговування

Механізм обслуговування визначається характеристиками самої процедури обслуговування та структурою обслуговуючої системи. До характеристик процедури обслуговування належать:

• кількість каналів обслуговування ( N);
• тривалість процедури обслуговування (імовірнісний розподіл часу обслуговування вимог);
• кількість вимог, що задовольняються внаслідок виконання кожної такої процедури (для групових заявок);
• можливість виходу з ладу обслуговуючого каналу;
• структура обслуговуючої системи

Для аналітичного опису характеристик процедури обслуговування оперують поняттям «імовірнісне розподілення часу обслуговування вимог».

S i- Час обслуговування i-го вимоги;

E(S)- Середній час обслуговування;

μ=1/E(S)- Швидкість обслуговування вимог.

Слід зазначити, що час обслуговування заявки залежить від характеру самої заявки або вимог клієнта та стану та можливостей обслуговуючої системи. У ряді випадків доводиться також враховувати ймовірність виходу з ладу обслуговуючого каналупісля закінчення деякого обмеженого інтервалу часу. Цю характеристику можна моделювати як потік відмов, що надходить до СМО та має пріоритет перед усіма іншими заявками.

Коефіцієнт використання СМО

N·μ - швидкість обслуговування в системі, коли зайняті всі пристрої обслуговування.

ρ=λ/( Nμ) – називається коефіцієнтом використання СМО показує, наскільки задіяні ресурси системи.

Структура обслуговуючої системи

Структура обслуговуючої системи визначається кількістю та взаємним розташуванням каналів обслуговування (механізмів, приладів тощо). Насамперед слід підкреслити, що система обслуговування може мати не один канал обслуговування, а кілька; система такого роду здатна обслуговувати одночасно кілька вимог. У цьому випадку всі канали обслуговування пропонують ті самі послуги, і, отже, можна стверджувати, що має місце паралельне обслуговування .

приклад. Каси у магазині.

Система обслуговування може складатися з декількох різнотипних каналів обслуговування, через які повинна пройти кожна вимога, що обслуговується, тобто в обслуговуючій системі процедури обслуговування вимог реалізуються послідовно . Механізм обслуговування визначає характеристики вихідного (обслуговуваного) потоку вимог.

приклад. Медична коміссія.

Комбіноване обслуговування - Обслуговування вкладів в ощадкасі: спочатку контролер, потім касир. Як правило, 2 контролери на одного касира.

Отже, функціональні можливостібудь-якої системи масового обслуговування визначаються такими основними факторами :

• імовірнісним розподілом моментів надходжень заявок на обслуговування (поодиноких чи групових);
• потужністю джерела вимог;
• імовірнісним розподілом часу тривалості обслуговування;
• конфігурацією обслуговуючої системи (паралельне, послідовне або паралельно-послідовне обслуговування);
• кількістю та продуктивністю обслуговуючих каналів;
• дисципліною черги.

Основні критерії ефективності функціонування СМО

В якості основних критеріїв ефективності функціонування систем масового обслуговування в залежності від характеру розв'язуваної задачі можуть виступати:

• ймовірність негайного обслуговування заявки, що надійшла (Р обсл = До обс / До пост);
• ймовірність відмови в обслуговуванні заявки, що надійшла (P отк = До отк / До пост);

Вочевидь, що Р обсл + P отк =1.

Потоки, затримки, сервіс. Формула Поллачека-Хінчина

Затримка – один із критеріїв обслуговування СМО, час проведений заявкою в очікуванні обслуговування.

D i– затримка у черзі вимоги i;

W i = D i + S i– час перебування у системі вимоги i.

(з ймовірністю 1) – середня затримка вимоги в черзі, що встановилася;

(з ймовірністю 1) - середній час знаходження вимоги в СМО (waiting).

Q(t) -кількість вимог у черзі на момент часу t;

L(t)– кількість вимог у системі в момент часу t(Q(t)плюс кількість вимог, що знаходяться на обслуговуванні на момент часу t.

Тоді показники (якщо існують)

(з ймовірністю 1) – середнє за часом кількість вимог у черзі;

(з ймовірністю 1) – середня кількість часу в системі, що встановилася.

Зауважимо, що ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Qі Lу системі масового обслуговування.

Якщо згадати, що ρ= λ/( Nμ), то видно, що якщо інтенсивність надходження заявок більша, ніж Nμ, то ρ>1 і природно, що система не зможе впоратися з таким потоком заявок, а отже, не можна говорити про величини d, w, Qі L.

До найбільш загальних та необхідних результатів для систем масового обслуговування відносяться рівняння збереження

Слід звернути увагу на те, що згадані вище критерії оцінки роботи системи можуть бути аналітично обчислені для систем масового обслуговування M/M/N(N>1), т. е. систем з Марківськими потокамизаявок та обслуговування. Для М/G/ l за будь-якого розподілу Gта для деяких інших систем. Взагалі, розподіл часу між надходженнями, розподіл часу обслуговування або обох цих величин має бути експоненціальним (або різновидом експоненційного розподілу Ерланга k-го порядку), щоб аналітичне рішення стало можливим.

Крім цього можна також говорити про такі характеристики, як:

• абсолютна пропускна здатність системи - А = Р обсл *λ;
• відносна пропускна здатність системи –

Ще один цікавий (і наочний) приклад аналітичного рішення – обчислення середньої затримки, що встановилася, в черзі для системи масового обслуговування M/G/ 1 за формулою:

.

У Росії ця формула відома як формула Поллачека – Хінчина, там ця формула пов'язується з ім'ям Росса (Ross).

Таким чином, якщо E(S)має більше значення, Тоді перевантаження (в даному випадкувимірювана як d) буде більшою; чого й слід було чекати. За формулою можна знайти і менш очевидний факт: перевантаження також збільшується, коли мінливість розподілу часу обслуговування зростає, навіть якщо середній час обслуговування залишається незмінним. Інтуїтивно це можна пояснити так: дисперсія випадкової величини часу обслуговування може прийняти велике значення (оскільки вона має бути позитивною), тобто єдиний пристрій обслуговування буде зайнятий тривалий час, що призведе до збільшення черги.

Предметом теорії масового обслуговуванняє встановлення залежності між факторами, що визначають функціональні можливості системи масового обслуговування, та ефективністю її функціонування. У більшості випадків усі параметри, що описують системи масового обслуговування, є випадковими величинами або функціями, тому ці системи відносяться до стохастичних систем.

Випадковий характер потоку заявок (вимог), а також, у випадку, і тривалості обслуговування призводить до того, що у системі масового обслуговування відбувається випадковий процес. За характером випадкового процесу , що відбувається в системі масового обслуговування (СМО), розрізняють системи марківські та немарківські . У марківських системах вхідний потік вимог і потік обслужених вимог (заявок), що виходить, є пуассонівськими. Пуассонівські потокидозволяють легко описати та побудувати математичну модельСистеми масового обслуговування. Ці моделі мають досить прості рішення, тому більшість відомих додатків теорії масового обслуговування використовують марківську схему. У разі немарківських процесів завдання дослідження систем масового обслуговування значно ускладнюються та вимагають застосування статистичного моделювання, чисельних методів з використанням ЕОМ.

4. ТЕОРІЯ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

4.1. Класифікація систем масового обслуговування та їх показники ефективності

Системи, в яких у випадкові моменти часу виникають заявки на обслуговування та є пристрої для обслуговування цих заявок, називаються системами масового обслуговування(СМО).

СМО можуть бути класифіковані за ознакою організації обслуговування таким чином:

Системи з відмовами не мають черг.

Системи з очікуванням мають черги.

Заявка, що надійшла в момент, коли всі канали обслуговування зайняті:

Залишає систему з відмовами;

Стає у чергу на обслуговування в системах з очікуванням при необмеженій черзі або на вільне місце при обмеженій черзі;

Залишає систему з очікуванням при обмеженій черзі, якщо у цій черзі немає вільного місця.

Як захід ефективності економічної СМО розглядають суму втрат часу:

На очікування у черзі;

На простої каналів обслуговування.

Для всіх видів СМО використовуються наступні показники ефективності :

- відносна пропускна спроможність - це середня частка заявок, що обслуговуються системою;

- абсолютна пропускна спроможність - це середня кількість заявок, що обслуговуються системою в одиницю часу;

- ймовірність відмови - це ймовірність того, що заявка залишить систему без обслуговування;

- середня кількість зайнятих каналів - для багатоканальних СМО.

Показники ефективності СМО розраховуються за формулами спеціальних довідників (таблиць). Вихідними для таких розрахунків є результати моделювання СМО.

4.2. Моделювання системи масового обслуговування:

основні параметри, граф станів

При всьому різноманітті СМО вони мають загальні риси , які дозволяють уніфікувати їхнє моделювання для знаходження найефективніших варіантів організації таких систем .

Для моделювання СМО необхідно мати такі вихідні дані:

Основні параметри;

Граф стану.

Результатами моделювання СМО є ймовірність її станів, через які виражаються всі показники її ефективності.

Основні параметри для моделювання СМО включають:

Характеристики вхідного потоку заявок обслуговування;

Характеристика механізму обслуговування.

Розглянемо х арактеристики потоку заявок .

Потік заявок - послідовність заявок, що надходять обслуговування.

Інтенсивність потоку заявок - Середня кількість заявок, що надходять до СМО в одиницю часу.

Потоки заявок бувають найпростішими та відміннішими від найпростіших.

Для найпростіших потоків заявок використовуються моделі СМО.

Найпростішим , або пуассонівським називається потік, що є стаціонарним, одинарнимі в ньому відсутні післядії.

Стаціонарність означає незмінність інтенсивності надходження заявок з часом.

Одинарним потік заявок в тому випадку, коли за малий проміжок часу ймовірність надходження більш ніж однієї заявки близька до нуля.

Відсутність післядії полягає в тому, що кількість заявок, що надійшли до СМО за один інтервал часу, не впливає на кількість заявок, отриманих за інший інтервал часу.

Для відмінних від найпростіших потоків заявок використовуються імітаційні моделі.

Розглянемо характеристики механізму обслуговування .

Механізм обслуговування характеризується:

- числом каналів обслуговування ;

Продуктивністю каналу, або інтенсивністю обслуговування - Середнім числом заявок, що обслуговуються одним каналом в одиницю часу;

Дисципліною черги (наприклад, обсягом черги , порядком відбору з черги до механізму обслуговування тощо).

Граф станів визначає функціонування системи обслуговування як переходи з одного стану до іншого під впливом потоку заявок та його обслуговування.

Для побудови графа станів СМО необхідно:

Скласти перелік усіх можливих станів СМО;

Уявити перелічені стани графічно та відобразити можливі переходи між ними стрілками;

Зважити відображені стрілки, тобто приписати їм числові значення інтенсивностей переходів, що визначаються інтенсивністю потоку заявок та інтенсивністю їх обслуговування.

4.3. Обчислення ймовірностей станів

системи масового обслуговування

Граф станів СМО зі схемою "загибелі та народження" являє собою лінійний ланцюжок, де кожен із середніх станів має прямий і Зворотній зв'язокз кожним із сусідніх станів, а крайні стани лише з одним сусіднім:

Число станів у графі на одиницю більше, ніж сумарна кількість каналів обслуговування та місць у черзі.

СМО може бути в будь-якому зі своїх можливих станів, тому очікувана інтенсивність виходу з будь-якого стану дорівнює очікуваній інтенсивності входу системи в цей стан. Звідси система рівнянь визначення ймовірностей станів при найпростіших потоках матиме вид:

де - ймовірність того, що система перебуває в стані

- Інтенсивність переходу, або середня кількість переходів системи в одиницю часу зі стану в стан.

Використовуючи цю систему рівнянь, а також рівняння

ймовірність будь-якого стану можна обчислити за наступним загальному правилу :

ймовірність нульового стану розраховується як

а потім береться дріб, в чисельнику якого стоїть добуток всіх інтенсивностей потоків за стрілками, що ведуть зліва направо від стану до стану а в знаменнику - добуток всіх інтенсивностей по стрілках, що йдуть справа наліво від стану до стану, і цей дріб множиться на розраховану ймовірність

Висновки з четвертого розділу

Системи масового обслуговування мають один або кілька каналів обслуговування і можуть мати обмежену чи необмежену чергу (системи з очікуванням) заявок на обслуговування, не мати черги (системи з відмовами). Заявки обслуговування виникають у випадкові моменти часу. Системи масового обслуговування характеризуються такими показниками ефективності: відносна пропускна спроможність, абсолютна пропускна спроможність, можливість відмови, середня кількість зайнятих каналів.

Моделювання систем масового обслуговування здійснюється для знаходження найефективніших варіантів їхньої організації та передбачає такі вихідні дані для цього: основні параметри, граф станів. До таких даних належать такі: інтенсивність потоку заявок, кількість каналів обслуговування, інтенсивність обслуговування та обсяг черги. Число станів у графі на одиницю більше, ніж сума числа каналів обслуговування та місць у черзі.

Обчислення ймовірностей станів системи масового обслуговування із схемою «загибелі та народження» здійснюється за загальним правилом.

Запитання для самоперевірки

Які системи називають системами масового обслуговування?

Як класифікуються системи масового обслуговування за ознакою організації?

Які системи масового обслуговування називаються системами з відмовами, а які – з очікуванням?

Що відбувається із заявкою, що надійшла у момент часу, коли всі канали обслуговування зайняті?

Що розглядають як захід ефективності економічної системимасового обслуговування?

Які показники ефективності системи масового обслуговування використовуються?

Що є вихідними даними для розрахунків показників ефективності систем масового обслуговування?

Які вихідні дані потрібні для моделювання систем масового обслуговування?

Через які результати моделювання системи масового обслуговування виражають усі показники її ефективності?

Що включають основні параметри моделювання систем масового обслуговування?

Чим характеризуються потоки заявок обслуговування?

Чим характеризуються механізми обслуговування?

Що описує граф станів системи масового обслуговування

Що потрібно для побудови графа станів системи масового обслуговування?

Що є граф станів системи масового обслуговування зі схемою «загибелі та народження»?

Чому дорівнює кількість станів у графі станів системи масового обслуговування?

Який вид має система рівнянь визначення ймовірностей станів системи масового обслуговування?

За яким загальним правилом обчислюється можливість будь-якого стану системи масового обслуговування?

Приклади розв'язання задач

1. Побудувати граф станів системи масового обслуговування та навести основні залежності її показників ефективності.

а) n-канальна СМО з відмовами (завдання Ерланга)

Основні параметри:

каналів ,

Інтенсивність потоку

Інтенсивність обслуговування.

Можливі стани системи:

Всі канали зайняті (заявки в системі).

Граф станів:

Відносна пропускна здатність ,

Ймовірність відмови ,

Середня кількість зайнятих каналів.

б) n-канальна СМО з m- обмеженою чергою

Можливі стани системи:

Усі канали вільні (нуль заявок у системі);

Один канал зайнятий, інші вільні (одна заявка у системі);

Два канали зайняті, інші вільні (дві заявки у системі);

...................................................................................

Усі канали зайняті, дві заявки у черзі;

Всі канали зайняті, заявок у черзі.

Граф станів:

в) Одноканальна СМО з необмеженою чергою

Можливі стани системи:

Усі канали вільні (нуль заявок у системі);

Канал зайнятий, нуль заявок у черзі;

Канал зайнятий, одна заявка у черзі;

...................................................................................

Канал зайнятий, заявка у черзі;

....................................................................................

Граф станів:

Показники ефективності системи:

,

Середній час перебування заявки у системі ,

,

,

Абсолютна пропускна спроможність

Відносна пропускна здатність.

г) n-канальна СМО з необмеженою чергою

Можливі стани системи:

Усі канали вільні (нуль заявок у системі);

Один канал зайнятий, інші вільні (одна заявка у системі);

Два канали зайняті, інші вільні (дві заявки у системі);

...................................................................................

Усі канали зайняті (заявок у системі), нуль заявок у черзі;

Усі канали зайняті, одна заявка у черзі;

....................................................................................

Всі канали зайняті, заявок у черзі;

....................................................................................

Граф станів:

Показники ефективності системи:

Середня кількість зайнятих каналів

Середня кількість заявок у системі ,

Середня кількість заявок у черзі ,

Середній час перебування заявки у черзі .

2. Обчислювальний центр має три ЕОМ. У центр надходить рішення у середньому чотири завдання на годину. Середній час вирішення одного завдання – півгодини. Обчислювальний центр приймає та ставить у чергу на вирішення не більше трьох завдань. Необхідно оцінити ефективність центру.

РІШЕННЯ. З умови ясно, що маємо багатоканальну СМО з обмеженою чергою:

Число каналів;

Інтенсивність потоку заявок (завдання/година);

Час обслуговування однієї заявки (година/завдання), інтенсивність обслуговування (завдання/година);

Довжина черги.

Перелік можливих станів:

Заявок немає, всі канали є вільними;

Один канал зайнятий, два вільні;

Два канали зайняті, один вільний;

Три канали зайняті;

Три канали зайняті, одна заявка у черзі;

Три канали зайняті, дві заявки у черзі;

Три канали зайняті, три заявки у черзі.

Граф станів:

Розрахуємо ймовірність стану:

Показники ефективності:

Імовірність відмови (всі три ЕОМ зайняті та три заявки стоять у черзі)

Відносна пропускна спроможність

Абсолютна пропускна спроможність

Середня кількість зайнятих ЕОМ

3. (Завдання з використанням СМО з відмовами.) У ВТК цеху працюють три контролери. Якщо деталь надходить у ВТК, коли всі контролери зайняті обслуговуванням деталей, що раніше надійшли, то вона проходить неперевіреною. Середня кількість деталей, що надходять у ВТК протягом години, дорівнює 24, середній час, який витрачає один контролер обслуговування однієї деталі, дорівнює 5 хв. Визначити ймовірність того, деталь пройде ВТК необслуженою, наскільки завантажені контролери та скільки їх необхідно поставити, щоб (* - задане значення ).

РІШЕННЯ. За умовою завдання, тоді.

1) Можливість простою каналів обслуговування:

,

3) Можливість обслуговування:

4) Середня кількість зайнятих обслуговуваннямканалів:

.

5) Частка каналів, зайнятих обслуговуванням:

6) Абсолютна пропускна спроможність:

При . Зробивши аналогічні розрахунки для , отримаємо

Оскільки , то зробивши розрахунки для , отримаємо

ВІДПОВІДЬ. Імовірність того, що при деталі пройде ВТК необслуженою, становить 21%, і контролери будуть зайняті обслуговуванням на 53%.

Щоб забезпечити ймовірність обслуговування понад 95%, необхідно щонайменше п'ять контролерів.

4. (Завдання з використанням СМО з не обмеженим очікуванням.) Ощадкас має трьох контролерів-касирів () для обслуговування вкладників . Потік вкладників надходить у ощадкасу з інтенсивністю чол./год. Середня тривалість обслуговування контролером-касиром одного вкладника мін.

Визначити характеристики ощадкаси як об'єкта СМО.

РІШЕННЯ. Інтенсивність потоку обслуговування, інтенсивність навантаження.

1) Імовірність простою контролерів-касирів протягом робочого дня (див. попереднє завдання №3):

.

2) Імовірність застати всіх контролерів-касирів зайнятими:

.

3) Імовірність черги:

.

4) Середня кількість заявок у черзі:

.

5) Середній час очікування заявки у черзі:

хв.

6) Середній час перебування заявки до СМО:

7) Середня кількість вільних каналів:

.

8) Коефіцієнт зайнятості каналів обслуговування:

.

9) Середня кількість відвідувачів в ощадкасі:

ВІДПОВІДЬ. Імовірність простою контролерів-касирів дорівнює 21% робочого часу, ймовірність відвідувача опинитися в черзі становить 11,8%, середня кількість відвідувачів у черзі 0,236 чол., Середній час очікування відвідувачами обслуговування 0,472 хв.

5. (Завдання із застосуванням СМО з очікуванням та з обмеженою довжиною черги.) Магазин отримує ранні овочі з приміських теплиць. Автомобілі з вантажем прибувають у різний часз інтенсивністю машин щодня. Підсобні приміщення та обладнання для підготовки овочів до продажу дозволяють обробляти та зберігати товар, привезений двома автомашинами (). У магазині працюють три фасувальники (), кожен з яких у середньому може обробляти товар з однієї машини протягом години. Тривалість робочого дня при змінній роботі становить 12 год.

Визначити, якою має бути ємність підсобних приміщень, щоб ймовірність повної обробки товарів була .

РІШЕННЯ. Визначимо інтенсивність завантаження фасувальників:

Авт./Дн.

1) Знайдемо можливість простою фасувальників за відсутності машин (заявок):

причому 0! = 1,0.

2) Ймовірність відмови в обслуговуванні:

.

3) Можливість обслуговування:

Так як , Зробимо аналогічні обчислення для , отримаємо), при цьому ймовірність повної обробки товару буде .

Завдання для самостійної роботи

Для кожної з наступних ситуацій визначити:

a) якого класу належить об'єкт СМО;

b) число каналів;

c) довжину черги;

d) інтенсивність потоку заявок;

e) інтенсивність обслуговування одним каналом;

f) кількість всіх станів об'єкта СМО.

У відповідях вказати значення по кожному пункту, використовуючи такі скорочення та розмірності:

a) ГО – одноканальна з відмовами; МО – багатоканальна з відмовами; ОЖО – одноканальна з очікуванням з обмеженою чергою; ОЖН - одноканальна з очікуванням з необмеженою чергою; МЖО – багатоканальна з очікуванням з обмеженою чергою; МЖН - багатоканальна з очікуванням з необмеженою чергою;

b) =… (одиниць);

c) =… (одиниць);

d) =ххх/ххх(одиниць /хв);

e) =ххх/ххх(одиниць /хв);

f) (одиниць).

1. Черговий по адміністрації міста має п'ять телефонів. Телефонні дзвінкинадходять із інтенсивністю 90 заявок на годину, середня тривалість розмови становить 2 хв.

2. На стоянці автомобілів біля магазину є 3 місця, кожне з яких відводиться під один автомобіль. Автомобілі прибувають на стоянку з інтенсивністю 20 автомобілів за годину. Тривалість перебування автомобілів на стоянці становить у середньому 15 хв. Стоянка на проїжджій частині не дозволяється.

3. АТС підприємства забезпечує трохи більше 5 переговорів одночасно. Середня тривалість розмов становить 1 хв. На станцію надходить у середньому 10 викликів у с.

4. У вантажний річковий порт надходить у середньому 6 суховантажів на добу. У порту є 3 крани, кожен з яких обслуговує 1 суховантажне в середньому за 8 год. Крани працюють цілодобово. Очікуючі на обслуговування суховантажівки стоять на рейді.

5. У службі «Швидкої допомоги» селища цілодобово чергують 3 диспетчери, які обслуговують 3 телефонні апарати. Якщо заявка на виклик лікаря до хворого надходить, коли диспетчери зайняті, абонент отримує відмову. Потік заявок складає 4 виклики за хвилину. Оформлення заявки триває у середньому 1,5 хв.

6. Салон-перукарня має 4 майстри. Вхідний потіквідвідувачів має інтенсивність 5 осіб на годину. Середній час обслуговування одного клієнта становить 40 хв. Довжина черги обслуговування вважається необмеженою.

7. На автозаправній станції встановлені 2 колонки для видачі бензину. Біля станції знаходиться майданчик на 2 автомобілі для очікування заправки. На станцію прибуває в середньому одна машина за 3 хв. Середній час обслуговування однієї машини складає 2 хв.

8. На вокзалі у майстерні побутового обслуговування працюють три майстри. Якщо клієнт заходить у майстерню, коли всі майстри зайняті, він йде з майстерні, не чекаючи обслуговування. Середня кількість клієнтів, які звертаються до майстерні за 1 год, дорівнює 20. Середній час, який витрачає майстер обслуговування одного клієнта, дорівнює 6 хв.

9. АТС селища забезпечує трохи більше 5 переговорів одночасно. Час переговорів у середньому становить близько 3 хв. Виклики на станцію надходять у середньому через 2 хв.

10. На автозаправній станції (АЗС) є 3 колонки. Майданчик при станції, на якій машини чекають на заправку, може вмістити не більше однієї машини, і якщо вона зайнята, то чергова машина, яка прибула до станції, в чергу не стає, а проїжджає на сусідню станцію. У середньому машини прибувають на станцію кожні 2 хв. Процес заправки однієї машини продовжується в середньому 2,5 хв.

11. У невеликому магазиніпокупців обслуговують два продавці. Середній час обслуговування одного покупця – 4 хв. Інтенсивність потоку покупців – 3 особи на хвилину. Місткість магазину така, що одночасно в ньому в черзі можуть бути не більше 5 осіб. Покупець, який прийшов у переповнений магазин, коли в черзі вже стоять 5 людей, не чекає назовні і йде.

12. Залізнична станціядачного селища обслуговує каса із двома вікнами. У вихідні дні, коли населення активно користується залізницею, інтенсивність потоку пасажирів становить 0,9 чол./хв. Касир витрачає обслуговування пасажира загалом 2 хв.

Для кожної із зазначених у варіантах СМО інтенсивність потоку заявок дорівнює і інтенсивність обслуговування одним каналом. Потрібно:

Скласти перелік можливих станів;

Побудувати граф станів за схемою "загибелі та розмноження".

У відповіді вказати для кожного завдання:

Кількість станів системи;

Інтенсивність переходу з останнього стану до передостаннього.

Варіант №1

1. одноканальна СМО із чергою довжиною в 1 заявку

2. 2-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 31-канальна СМО з 1-обмеженою чергою

5. 31-канальна СМО з необмеженою чергою

Варіант №2

1. одноканальна СМО з чергою довжиною у 2 заявки

2. 3-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 30-канальна СМО з 2-обмеженою чергою

4. Одноканальна СМО з необмеженою чергою

5. 30-канальна СМО з необмеженою чергою

Варіант №3

1. одноканальна СМО з чергою довжиною у 3 заявки

2. 4-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 29-канальна СМО з 3-обмеженою чергою

4. Одноканальна СМО з необмеженою чергою

5. 29-канальна СМО з необмеженою чергою

Варіант №4

1. одноканальна СМО з чергою довжиною у 4 заявки

2. 5-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 28-канальна СМО з 4-обмеженою чергою

4. Одноканальна СМО з необмеженою чергою

5. 28-канальна СМО з необмеженою чергою

Варіант №5

1. одноканальна СМО з чергою довжиною 5 заявок

2. 6-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 27-канальна СМО з 5-обмеженою чергою

4. Одноканальна СМО з необмеженою чергою

5. 27-канальна СМО з необмеженою чергою

Варіант №6

1. одноканальна СМО з чергою довжиною 6 заявок

2. 7-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 26-канальна СМО з 6-обмеженою чергою

4. Одноканальна СМО з необмеженою чергою

5. 26-канальна СМО з необмеженою чергою

Варіант №7

1. одноканальна СМО з чергою завдовжки 7 заявок

2. 8-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 25-канальна СМО з 7-обмеженою чергою

4. Одноканальна СМО з необмеженою чергою

5. 25-канальна СМО з необмеженою чергою

Варіант №8

1. одноканальна СМО з чергою довжиною 8 заявок

2. 9-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 24-канальна СМО з 8-обмеженою чергою

4. Одноканальна СМО з необмеженою чергою

5. 24-канальна СМО з необмеженою чергою

Варіант № 9

1. одноканальна СМО з чергою довжиною 9 заявок

2. 10-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 23-канальна СМО з 9-обмеженою чергою

4. Одноканальна СМО з необмеженою чергою

5. 23-канальна СМО з необмеженою чергою

Варіант № 10

1. одноканальна СМО із чергою довжиною в 10 заявок

2. 11-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 22-канальна СМО з 10-обмеженою чергою

4. Одноканальна СМО з необмеженою чергою

5. 22-канальна СМО з необмеженою чергою

В усіх розглянутих вище СМО передбачалося, що це запити, які у систему - однорідні, тобто, вони мають і той ж закон розподілу часу обслуговування та обслуговуються у системі відповідно до загальної дисципліни вибору з черги. Проте, у багатьох реальних системах запити, які у систему, неоднорідні як у розподілу часу обслуговування, і їх цінності для системи і, отже, праву претендувати на першочергове обслуговування на момент звільнення приладу. Такі моделі досліджуються у межах теорії пріоритетних СМО. Ця теорія досить добре розвинена та її викладу присвячено чимало монографій (див., наприклад, , , , і т.д.). Тут ми обмежимося коротким описомпріоритетних систем та розглянемо одну систему.

Розглянемо однолінійну СМО з очікуванням. На вхід системи надходять незалежні найпростіші потоки, потік має інтенсивність . Будемо позначати

Часи обслуговування запитів з потоку характеризуються функцією розподілу з перетворенням Лапласа - Стілтьєса та кінцевими початковими моментами

Запити з потоку назвемо запитами пріоритету.

Вважаємо, що запити з потоку пріоритетніші, ніж запити з потоку, якщо Пріоритетність виявляється в тому, що в момент закінчення обслуговування наступним на обслуговування вибирається із черги запит, що має максимальний пріоритет. Запити, які мають один і той же пріоритет, вибираються згідно з встановленою дисципліною обслуговування, наприклад, згідно з дисципліною FIFO.

Розглядаються різні варіантиповедінки системи у ситуації, коли під час обслуговування запиту деякого пріоритету до системи надходить запит вищого пріоритету.

Система називається СМО з відносним пріоритетом, якщо надходження такого запиту не перериває обслуговування запиту. Якщо ж таке переривання відбувається, система називається СМО з абсолютним пріоритетом. У цьому випадку, однак, потрібно уточнити подальшу поведінку запиту, обслуговування якого виявилося перерваним. Розрізняють такі варіанти: перерваний запит йде з системи і втрачається; перерваний запит повертається в чергу і продовжує обслуговування з місця переривання після виходу із системи всіх запитів, які мають більш високий пріоритет; перерваний запит повертається в чергу і починає обслуговування знову після виходу з системи всіх запитів, які мають більш високий пріоритет. Перерваний запит обслуговується приладом після виходу із системи всіх запитів, що мають більш високий пріоритет, протягом часу, що має колишній або деякий інший розподіл. Можливий варіант, коли необхідний час обслуговування в наступних спробах ідентичний часу, який був потрібний для повного обслуговування цього запиту в першій спробі.

Таким чином, є досить велика кількість варіантів поведінки системи з пріоритетом, з якими можна ознайомитись у вищезгаданих книгах. Спільним в аналізі всіх систем із пріоритетами є використання поняття періоду зайнятості системи запитами пріоритету до і вище. При цьому основним методом дослідження цих систем є метод запровадження додаткової події, коротко описаний у розділі 6.

Проілюструємо особливості знаходження характеристик систем із пріоритетами на прикладі системи, описаної на початку розділу. Вважатимемо, що це система з відносним пріоритетом і знайдемо стаціонарний розподіл часу очікування запиту пріоритету якби він надійшов до системи в момент часу t (так званого віртуального часу очікування), для системи з відносними пріоритетами.

Позначимо

Умовою існування цих меж є виконання нерівності

де величина обчислюється за такою формулою:

Позначимо також.

Твердження 21. Перетворення Лапласа - Стілтьєса стаціонарного розподілу віртуального часу очікування запиту пріоритету визначається таким чином:

де функції задаються формулою:

а функції знаходяться як розв'язання функціональних рівнянь:

Доведення. Зауважимо, що функція являє собою перетворення Лапласа - Стілтьєса розподілу довжини періоду зайнятості системи запитами пріоритету I і вище (тобто, інтервалу часу з моменту надходження в порожню систему запиту пріоритету I і вище і до першого після моменту, коли система виявиться вільною від присутності запитів пріоритету I та вище). Доказ того, що функція задовольняє рівнянню (1.118), майже дослівно повторює доказ Твердження 13. Зазначимо лише, що величина є ймовірність того, що період зайнятості системи запитами пріоритету I і вище починається з приходу запиту пріоритету а величина трактується як ймовірність пріоритету I і вище, за періоди зайнятості, породжені якими настає катастрофа, за час обслуговування запиту пріоритету, що розпочав цей період зайнятості.

Спочатку замість процесу розглянемо суттєво більш простий допоміжний процес - час, протягом якого очікував початку обслуговування запит пріоритету до, якби він надійшов до системи в момент часу t і після цього в систему не надходило запитів вищого пріоритету.

Нехай - перетворення Лапласа-Стілтьєса розподілу випадкової величини. Покажемо, що функція визначається так:

(1.119)

Імовірність того, що система порожня в момент часу – ймовірність того, що в інтервалі почалося обслуговування запиту пріоритету

Для доказу (1.119) застосуємо метод запровадження додаткової події. Нехай незалежно від роботи системи надходить найпростіший потік катастроф інтенсивності s. Кожен запит назвемо «поганим», якщо під час його обслуговування надходить катастрофа, і «хорошим» - інакше. Як випливає із тверджень 5 і 6, потік поганих запитів пріоритету до і вище є найпростішим з інтенсивністю

Введемо подію A(s,t) - за час t в систему не надходили погані запити пріоритету до і вище. В силу затвердження 1 ймовірність цієї події підраховується як:

Підрахуємо цю можливість інакше. Подія A(s,t) є об'єднанням трьох несумісних подій

Подія полягає в тому, що катастрофи не надійшли ні за час t, ні за час. При цьому, природно, за час t в систему надходили тільки хороші запити пріоритету до і вище. Імовірність події очевидна, рівна

Подія полягає в тому, що катастрофа надійшла в інтервалі, але в момент надходження система була порожня, а за час не надійшло поганих запитів пріоритету до і вище.

Імовірність події обчислюється як:

Подія полягає в тому, що катастрофа надійшла в інтервалі, але в момент її надходження в системі обслуговувався запит пріоритету нижче k, який почав обслуговуватися в інтервалі, а за час t - і не надійшло поганих запитів пріоритету k і вище. Імовірність події визначається так:

Оскільки подія є сума трьох несумісних подій, його ймовірність є сума ймовірностей цих подій. Тому

Прирівнюючи два отримані вирази для ймовірності і помножуючи обидві частини рівності після нескладних перетворень отримуємо (1.119)

Очевидно, що для того, щоб за час очікування запиту, що надійшов у момент t не надійшло катастрофи, необхідно і достатньо, щоб за час не надійшло катастроф і запитів пріоритету і вище, таких, що за періоди зайнятості (запитами пріоритету та вище), породжені ними, настає катастрофа. З цих міркувань і ймовірнісного трактування перетворення Лапласа - Стілтьєса отримуємо формулу, що дає зв'язок перетворень у очевидній формі.

1. Показники ефективності використання СМО:

Абсолютна пропускна спроможність СМО – середня кількість заявок, що смо-

е обслужити СМО в одиницю часу.

Відносна пропускна здатність СМО – відношення середньої кількості заявок,

обслуговуються СМО в одиницю часу, до середнього числа надійшли за це ж

час заявок.

Середня тривалість періоду зайнятості СМО.

Коефіцієнт використання СМО – середня частка часу, протягом якого

СМО зайнята обслуговуванням заявок тощо.

2. Показники якості обслуговування заявок:

Середній час очікування заявки у черзі.

Середній час перебування заявки до СМО.

Можливість відмови заявці в обслуговуванні без очікування.

Імовірність того, що заявка, що знову надійшла, негайно буде прийнята до обслуговування.

Закон розподілу часу очікування заявки у черзі.

Закон розподілу часу перебування заявки до СМО.

Середня кількість заявок, які перебувають у черзі.

Середня кількість заявок, що перебувають у СМО, тощо.

3. Показники ефективності функціонування пари «СМО – клієнт», де під «клієнтом» розуміють всю сукупність заявок чи їхнє джерело. До таких показників належить, наприклад, середній дохід, який приносить СМО в одиницю часу

Класифікація систем масового обслуговування

За кількістю каналів СМО:

одноканальні(Коли є один канал обслуговування)

багатоканальніточніше n-канальні (коли кількість каналів n≥ 2).

З дисципліни обслуговування:

1. СМО з відмовами, в яких заявка, що надійшла на вхід СМО в момент, коли всі

канали зайняті, отримує «відмову» та залишає СМО («зникає»). Щоб ця заявка все ж

була обслужена, вона повинна знову надійти на вхід СМО і розглядатися при цьому як заявка, що надійшли вперше. Прикладом СМО з відмовами може бути робота АТС: якщо набраний телефонний номер (заявка, що надійшла на вхід) зайнятий, заявка отримує відмову, і, щоб додзвонитися за цим номером, слід його набрати ще раз.

2. СМО з очікуванням(необмеженим очікуваннямабо чергою). У таких системах

заявка, що надійшла в момент зайнятості всіх каналів, стає в чергу і чекає на звільнення каналу, який прийме її до обслуговування. Кожна заявка, що надійшла на вхід, зрештою буде обслужена. Такі СМО часто зустрічаються у торгівлі, у сфері побутового та медичного обслуговування, на підприємствах (наприклад, обслуговування верстатів бригадою наладчиків).

3. СМО змішаного типу(з обмеженим очікуванням). Це такі системи, де на перебування заявки в черзі накладаються деякі обмеження.

Ці обмеження можуть накладатися на довжину черги, тобто. максимально можливе

кількість заявок, які одночасно можуть перебувати у черзі. Як приклад такої системи можна навести майстерню з ремонту автомобілів, що має обмежену за розмірами стоянку для несправних машин, що чекають на ремонт.

Обмеження очікування можуть стосуватися часу перебування заявки у черзі, за істи-

ченню якого вона виходить із черги і залишає систему).

У СМО з очікуванням і СМО змішаного типу застосовуються різні схеми про-

служіння заявок із черги. Обслуговування може бути упорядкованим, коли заявки з черги обслуговуються в порядку їх надходження до системи, та невпорядкованим, у якому заявки з черги обслуговуються у випадковому порядку. Іноді застосовується обслуговування з пріоритетомколи деякі заявки з черги вважаються пріоритетними і тому обслуговуються в першу чергу.

По обмеженню потоку заявок:

замкнутіі відкриті.

Якщо потік заявок обмежений і заявки, що залишили систему, можуть до неї повертати-

ся, то СМО є замкненою, в іншому випадку - відкритою.

За кількістю етапів обслуговування:

однофазніі багатофазні

Якщо канали СМО однорідні, тобто. виконують одну і ту ж операцію обслугову-

ня, то такі СМО називаються однофазними. Якщо канали обслуговування розташовані послідовно і вони неоднорідні, оскільки виконують різні операції обслуговування (тобто обслуговування складається з кількох послідовних етапів чи фаз), то СМО називається багатофазний. Приклад роботи багатофазної СМО є обслуговування автомобілів на станції технічного обслуговування (мийка, діагностування і т.д.).