Група G діє (ліворуч) на множині X, якщо для будь-яких елементів g і х X визначено елемент gх X, причому g2(g1х) = (g2 g1)х і ех = х для всіх х X, g1, g2 G.

Gх = (gx | g G)

називається орбітою елемента х. Орбіти будь-яких двох елементів з X або збігаються, або не перетинаються, так що безліч X розбивається на орбіти, що не перетинаються. Якщо орбіта одна - все безліч X, то кажуть, що С діє транзитивно на X. Інакше кажучи, група G діє транзитивно на множині X, якщо для будь-яких двох елементів х, х з X знайдеться елемент g з G такий, що gх = х".

Стабілізатором елемента х із X називається підгрупа

StG(x)=(gG|gх=х).

Безліч нерухомих точок елемента g з G називається безліч

Fiх(g) = (х X | gх = х).

Потужності орбіти дорівнює індексу стабілізатора групи G.

Нехай До - фіксований куб в тривимірному евклідовому просторі, G - група всіх рухів цього простору, що зберігають орієнтацію і перекладають До в До. У групі G є тотожний рух, обертання на 120 і 240 навколо чотирьох осей, що проходять через протилежні вершини куба, обертання на 180° навколо осей, що проходять через середини протилежних ребер, та обертання на 90°, 180° та 270° навколо осей, що проходять через центри протилежних граней. Отже, ми знайшли 24 елементи групи G. Покажемо, що інших елементів G немає. Група G діє транзитивно на безлічі К0 вершин куба К, так як будь-які дві вершини з К можна «з'єднати ланцюжком сусідніх», а сусідні можна перевести один в одного відповідним обертанням. Стабілізатор вершини x повинен залишати на місці також найбільш віддалену від неї вершину х". Тому він складається з тотожного руху та обертань навколо осі хх" на 120 ° і 240 °. Отже, | G | = | К ° | * || = 8 * 3 = 24 і, отже, всі зазначені вище обертання становлять групу G.

Група G називається групою обертань куба. Доведемо, що обертання з G переставляють чотири найдовші діагоналі куба. Виникає гомоморфізм: ц: G>. Ядро цього гомоморфізму дорівнює (е), оскільки лише тотожне рух залишає кожну діагональ куба дома. Тому G ізоморфна підгрупі групи. Порівнюючи порядки цих груп, отримуємо, що G .

Групи симетрій

Одним із найбільш уживаних прикладів груп і, зокрема, груп перестановок, є групи, якими «вимірюється» симетричність геометричних фігур як плоских, і просторових.

Група симетрій тетраедра.

Тетраедр (рис. 1) має 4 осі симетрії l1, l2, l3, l4 3-го порядку, що проходять через вершини 1, 2, 3, 4 і центри протилежних граней. Навколо кожної осі, крім тотожного, можливі ще два обертання. Їм відповідають такі перестановки:

навколо осі l1

навколо осі l2

навколо осі l3

навколо осі l4

Крім того, є 3 осі симетрії 2-го порядку, що проводять через середини А, В, С, D, Е, F ребер, що схрещуються. Тому є ще 3 (за кількістю пар ребер, що схрещуються) нетотожних перетворення, яким відповідають перестановки:

навколо осі AB

навколо осі CD

навколо осі EF.

Отже, разом із тотожним перетворенням отримуємо 12 перестановок. При зазначених перетвореннях тетраедр самосуміщується, повертаючись у просторі; його точки при цьому не змінюють свого положення щодо один одного. Сукупність виписаних 12 перестановок замкнута щодо множення, оскільки послідовне виконання обертань тетраедра знову буде обертанням. Таким чином, отримуємо групу, яка називається групою обертань тетраедра.

За інших перетворень простору, які є самосуміщеннями тетраедра, внутрішні точки тетраедра пересуваються відносно один одного. А саме: тетраедр має 6 площин симетрії, кожна з яких проходить через одне з його ребер і середину ребра. Симетріям щодо цих площин відповідають наступні транспозиції на безлічі вершин тетраедра:

Вже на підставі цих даних можна стверджувати, що група всіляких симетрій тетраедра складається з 24 перетворень. Справді, кожна симетрія, самосумісний тетраедр загалом, має якось переставляти його вершини, ребра та грані. Зокрема у даному випадкусиметрії можна характеризувати перестановками вершин тетраедра. Оскільки тетраедр має 4 вершини, його група симетрій не може складатися з більш ніж 24 перетворень. Іншими словами, вона або збігається із симетричною групою S4, або є її підгрупою. Виписані вище симетрії тетраедра щодо площин визначають всілякі транспозиції на його вершинах. Оскільки ці транспозиції породжують симетричну групу S4 отримуємо необхідне. Таким чином, будь-яка перестановка вершин тетраедра визначається деякою його симетрією. Однак цього не можна сказати про довільну перестановку ребер тетраедра. Якщо домовитися позначати кожне ребро тетраедра тією самою літерою, що його середину, то, скажімо, перестановки на безлічі ребер

відповідають відповідно двом обертанням навколо осі l1 і обертанню навколо осі АB. Виписавши перестановки на множині (А, В, С, D, Е, F) для всіх перетворень симетрії, отримаємо деяку підгрупу симетричної групи S6, що складається з 24 перестановок. Група перестановок вершин тетраедра і група перестановок його ребер - різні групи перестановок, оскільки діють різних множинах. Але за ними «видна» та сама група - група перетворень простору, що залишають тетраедр на місці.

Група симетрії куба. Симетрії куба, як і симетрії тетраедра, поділяються на два типи - самосуміщення, при яких точки куба не змінюють свого положення щодо один одного, і перетворення, що залишають куб в цілому на місці, але пересувають його точки щодо один одного. Перетворення першого типу називатимемо обертаннями. Усі обертання утворюють групу, яка називається групою обертань куба.

Є рівно 24 обертання куба навколо різних осей симетрії.

Насправді при поворотах куба місце нижньої грані може зайняти будь-яка з 6 граней куба (рис. 2). Для кожної з 6 можливостей - коли зазначено, яка саме грань розташована внизу, - є 4 різних розташування куба, що відповідають його поворотам навколо осі, що проходить через центри верхньої та нижньої граней, на кути 0, р/2, р, Зр/ 2. Таким чином, отримуємо 6Ч4 = 24 обертання куба. Вкажемо їх у явному вигляді.

Куб має центр симетрії (точка перетину його діагоналей), 3 осі симетрії четвертого порядку, 4 осі симетрії третього порядку та 6 осей симетрії другого порядку. Достатньо розглянути обертання навколо осей симетрії.

а) Осі симетрії четвертого порядку - це осі проходять через центри протилежних граней. Навколо кожної з цих осей є по три нетотожні обертання, а саме обертання на кути р/2, р, 3р/2. Цим обертанням відповідають 9 перестановок вершин куба, при яких вершини протилежних граней переставляються циклічно та узгоджено. Наприклад, перестановки

відповідають поворотам навколо осі

б) Осями симетрії третього ладу є діагоналі куба. Навколо кожної з чотирьох діагоналей , , , є по два нетотожні обертання на кути 2р/3, 4р/3. Наприклад, обертання навколо діагоналі визначають такі перестановки вершин куба:

Усього отримуємо 8 таких обертань.

в) Осями симетрії другого порядку будуть прямі, що з'єднують середини протилежних ребер куба. Є шість пар протилежних ребер (наприклад, , ), кожна пара визначає одну вісь симетрії, тобто отримуємо 6 осей симетрії другого порядку. Навколо кожної з цих осей є одне нетотожне обертання. Усього 6 обертань. Разом із тотожним перетворенням отримуємо 9+8+6+1=24 різних обертань. Усі обертання куба вказані. Обертання куба визначають перестановки на безлічі його вершин, ребер, граней і діагоналей. Розглянемо, як діє група обертань куба на множині його діагоналей. Різні обертання куба переставляють діагоналі куба по-різному, тобто їм відповідають різні перестановки на безлічі діагоналей. Тому група обертань куба визначає групу перестановок на множині діагоналей, що складається з 24 перестановок. Оскільки куб має лише чотири діагоналі, група всіх таких перестановок збігається з симетричною групою на безлічі діагоналей. Отже, будь-яка перестановка діагоналей куба відповідає деякому його обертанню, причому різним перестановкам відповідають різні обертання.

Опишемо тепер усю групу симетрій куба. Куб має три площини симетрії, що проходять крізь його центр. Симетрії щодо цих площин у поєднанні з усіма обертаннями куба дають нам ще 24 перетворення, які є самосуміщення куба. Тому повна група симетрій куба складається із 48 перетворень.

Група симетрій октаедра. Октаедродин із п'яти правильних багатогранників. Його можна отримати, з'єднуючи центри граней куба та розглядаючи тіло, обмежене площинами, які визначаються сполучними прямими для сусідніх граней (рис. 3). Тому будь-яка симетрія куба одночасно є симетрією октаедра і навпаки. Таким чином, група симетрій октаедра така сама, як і група симетрій куба, і складається з 48 перетворень.

Група симетрій правильного багатогранника складається з 2l перетворень, де l – число його плоских кутів. Це твердження має місце для всіх правильних багатогранників, його можна довести загальному вигляді, не знаходячи всіх симетрій багатогранників

Натиснувши на кнопку "Завантажити архів", ви завантажуєте потрібний вам файл безкоштовно.
Перед скачуванням даного файлу згадайте про ті хороші реферати, контрольні, курсові, дипломних роботах, статтях та інших документах, які лежать незатребуваними у вашому комп'ютері. Це ваша праця, вона повинна брати участь у розвитку суспільства та приносити користь людям. Знайдіть ці роботи та відправте в базу знань.
Ми та всі студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будемо вам дуже вдячні.

Щоб завантажити архів з документом, введіть п'ятизначне число в поле, розташоване нижче, і натисніть кнопку "Завантажити архів"

Подібні документи

Вироблення сучасного абстрактного поняття груп. Найпростіші властивості кінцевих нільпотентних груп. Підгрупа Фраттіні кінцевої групи нильпотентна. Знаходження прямого твору нільпотентних груп. Бінарна операція алгебри на безлічі.

курсова робота , доданий 21.09.2013


Застосування леми Бернсайда до розв'язання комбінаторних завдань. Орбіти групи перестановок. Довжина орбіти групи перестановок. Лемма Бернсайд. Комбінаторні задачі. "Метод просіювання". Формула включення та виключення.

дипломна робота , доданий 14.06.2007


Дозволеність факторизируемой групи з факторами, що розкладаються. Властивості кінцевих груп, що є твором двох груп, одна з яких група Шмідта, друга - 2-розкладна. Твір біпримарної та 2-розкладної груп. Доказ теорем та лем.

курсова робота , доданий 22.09.2009


Сутність теорії груп. Роль цього поняття з математики. Мультиплікативна форма запису операцій, приклади груп. Формулювання сутності підгрупи. Гомоморфізми груп. Повна та спеціальна лінійна групи матриць. Класичні групи малих розмірностей.

курсова робота , доданий 06.03.2014


Зведення до ступеня комплексного числа. Бінарна операція алгебри. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Базис, ранг та лінійні комбінації для системи векторів. Коротке коріння багаточлена. Розкладання многочлена на елементарні дроби.

контрольна робота , доданий 25.03.2014


Перші згадки про правильні багатогранники. Класифікація багатогранників, їх види, властивості, теореми про розгортки опуклих багатогранників (Коші та Александрова). Створення моделей правильних багатогранників за допомогою розгорток та методами орігамі.

курсова робота , доданий 18.01.2011


Поняття відбивної та обертальної осьових симетрій в евклідовій геометрії та в природничих науках. Приклади осьової симетрії - метелик, сніжинка, Ейфелева вежа, палаци, листя кропиви. Дзеркальне відображення, радіальна, аксіальна та променева симетрії.

презентація , доданий 17.12.2013

Нехай G – група, X – деяка множина і f: G × X → X

- Відображення. Позначимо f(g, x) через gx. Будемо говорити, що задано дію G на X (або G діє на X), якщо (gh) x = g (hx) і ex = x для всіх g, h G, x X. При цьому безліч X називається G-множиною.

Зауваження. Точніше, так певну дію називається лівим . При правій дії розглядається відображення f: X × G → X, вводиться позначення f(x, g) = xg і потрібне виконання умов: x(gh) = (xg)h та xe = x. Зрозуміло, що все, сказане нижче про ліву дію, справедливе (з відповідними змінами) і для правого. Більше того, зазначимо, що формула xg = g−1 x встановлює взаємно однозначну відповідність між лівими та правими діями G на X (тобто, грубо кажучи, ліві та праві дії груп – це “одно й те саме”). Права дія природно виникне у розділі 10 .

Підмножина Y X називається G-підмножиною, якщо GY Y (тобто gy Y для всіх g G, y Y).

Підмножина G-множини X виду O(x) = (gx | g G) називається орбітою елемента x X. Орбіти збігаються з мінімальними G-підмножинами в X. Відношення "лежати в одній орбіті" є відношенням еквівалентності на X, тому орбіти утворюють розбиття множини X.

Для фіксованого x X елементи g G, такі, що gx = x, утворюють підгрупу G, яка називається стабі-

лізатором (або стаціонарною підгрупою ) елемента x та позначається через St(x).

Орбіти та стабілізатори пов'язані таким чином:

Пропозиція 7.1 | O (x) | = для будь-якого x X.

приклад. Нехай X = G і G діє X сполученням, тобто (g, x) 7→gxg−1 . Орбіта за такої дії називається

класом сполучених елементів , а стабілізатор St(x) –централізатором елемента x (позначення – C G(x)). Очевидно, C G (x) = (a G | ax = xa). Крім того, якщо група G кінцева, то

де при підсумовуванні x пробігає безліч представників класів сполучених елементів (тобто береться по одному елементу з кожного класу).

З використанням цієї дії доводиться

Теорема 7.2 (Теорема Коші)Якщо порядок групи G ділиться на просте число p, то G існує елемент порядку p.

7.1. Встановіть еквівалентність наступних двох визначень дії групи G на множині X:

1) Дія G на X – це відображення G×X → X, (g, x) 7→gx таке, що (g 1 g2) x = g1 (g2 x) і ex = x для всіх g1, g2 G, x X.

2) Дія G на X – це гомоморфізм G → S(X) (де S(X)

– група всіх бієкцій X на себе).

7.2. Доведіть, що якщо O(x) = O(y), то St(x) пов'язаний із St(y). Чи вірне протилежне?

7.3. Опишіть орбіти та стабілізатори наступних дій:

1) Дія G на собі лівими зрушеннями (тобто (g, x) 7→gx);

2) Дія G на собі правими зрушеннями (тобто (g, x) 7→xg−1 );

3) Дія H на G лівими (відповідно правими) зсувами, де H< G;

x X St(x).

4) Дія G сполученнями на множині своїх підгруп (тобто (g, H) 7→gHg−1 );

5) Дія G на множині правих суміжних класів G/H, де H< G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6) Природна дія групи G = GL(V) невироджених лінійних операторів у лінійному просторі V на: а) V, б) V × V, в) безлічі всіх лінійних підпросторів у V;

7) Природна дія групи G = O(V) ортогональних лінійних операторів в евклідовому просторі V на: а) V, б)

8) G = hσi - циклічна підгрупа в S n , X = (1, 2, . . . , n).

7 .4 .* Ізоморфізм дій групи G на множинах X та Y – це бієкція f: X → Y така, що f(gx) = gf(x) для всіх g G, x X. Дія G на X називається транзитивною, якщо для всіх x, y X знайдеться такий g G, що y = gx (тобто X

- Єдина орбіта цієї дії). Доведіть, що будь-яка транзитивна дія G на X ізоморфна дії на G/H для відповідної підгрупи H. Коли дії G на G/H1 та G/H2 ізоморфні?

7.5. Знайдіть групу автоморфізмів природної дії групи G на множині G/H.

7.6. Доведіть, що порядки класів сполучених елементів кінцевої групи поділяють її порядок.

7 .7 .* Доведіть, що центр кінцевої p-групи нетривіальний.

7.8.* Доведіть, що якщо |G| = p2 , то G абелева (тобто G ізоморфна Z(p2 ) або Z(p) × Z(p)).

7 .9 .* Доведіть, якщо G неабелева і |G| = p3, то | C (G) | = p.

7.10. Ядро дії G на X – це ядро ​​відповідного гомоморфізму G → S(X).

а) Перевірте, що ядро ​​дії G на X дорівнює б) Знайдіть ядро ​​дії G на G/H, де H< G.

7 .11 .* Нехай H< G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует нормальний дільник N кінцевого індексу, що міститься в H, причому ділить m! та ділиться на m.

Групи симетрій правильних багатогранників

Покладемо O(3) := (A GL(3, R) | At A = E), SO(3) := O(3) ∩

SL(3, R). Нехай M R3. Група обертань M – це

Grot (M) = (gSO(3) | gM = M);

група симетрій M – це

Gsym(M) = (g O(3) | gM = M)

(тобто Grot (M) = Gsym (M) ∩ SO (3)).

7.12. Доведіть, що O(3) SO(3) × Z(2).

7 .13 .* Знайдіть | Grot (M) | та |Gsym (M)| для кожного з правильних багатогранників (тетраедра, куба, октаедра, додекаедра, ікосаедра). Тут і далі передбачається, що M вкладений у R3 так, що його центр збігається з початком координат.

7 .16 .* Нехай M – куб або октаедр. Доведіть, що Grot (M) S4 .

7 .17 .* Нехай M – ікосаедр чи додекаедр. Доведіть, що

Grot (M) A5.