Primjer Smo s ograničenim vremenom čekanja. Tipični matematički modeli. Jednokanalni QS sa čekanjem bez ograničenja kapaciteta bloka čekanja

30.05.2020 Pojmovi

U komercijalne djelatnostičešći QS s čekanjem (red).

Razmotrimo jednostavan jednokanalni QS s ograničenim redom čekanja, u kojem je broj mjesta u redu čekanja m fiksna vrijednost. Shodno tome, aplikacija koja stigne u trenutku kada su sva mjesta u redu čekanja zauzeta ne prihvaća se na uslugu, ne ulazi u red čekanja i napušta sustav.

Grafikon ovog QS-a prikazan je na sl. 3.4 i poklapa se s grafom na sl. 2.1 koji opisuje proces "rađanje - smrt", s tom razlikom da u prisustvu samo jednog kanala.

Označeni graf procesa "rađanja - smrti" usluge, svi intenziteti tokova usluge su jednaki

QS stanja mogu se predstaviti na sljedeći način:

S0 - kanal usluge je besplatan,

S, - servisni kanal je zauzet, ali nema čekanja,

S2 - servisni kanal je zauzet, postoji jedan zahtjev u redu čekanja,

S3 - servisni kanal je zauzet, dva su zahtjeva u redu čekanja,

Sm+1 - kanal usluge je zauzet, svih m mjesta u redu je zauzeto, svaki sljedeći zahtjev se odbija.

Za opis slučajni proces QS može koristiti prethodno navedena pravila i formule. Napišimo izraze koji definiraju granične vjerojatnosti stanja:

Izraz za p0 se u ovom slučaju može napisati na jednostavniji način, koristeći činjenicu da je nazivnik geometrijska progresija u odnosu na p, tada nakon odgovarajućih transformacija dobivamo:

c= (1-s)

Ova formula vrijedi za sve p osim 1, ali ako je p = 1, tada je p0 = 1/(m + 2), a sve ostale vjerojatnosti također su jednake 1/(m + 2).

Ako pretpostavimo m = 0, tada prelazimo s razmatranja jednokanalnog QS-a s čekanjem na već razmatrani jednokanalni QS s uskraćivanjem usluge.

Doista, izraz za graničnu vjerojatnost p0 u slučaju m = 0 ima oblik:

po \u003d m / (l + m)

A u slučaju l \u003d m, ima vrijednost p0 \u003d 1/2.

Definirajmo glavne karakteristike jednokanalnog QS-a s čekanjem: relativnu i apsolutnu propusnost, vjerojatnost neuspjeha, kao i prosječnu duljinu čekanja i prosječno vrijeme čekanja aplikacije u redu čekanja.

Zahtjev se odbija ako stigne u trenutku kada je QS već u stanju Sm + 1 i stoga su sva mjesta u redu zauzeta i jedan kanal služi

Stoga je vjerojatnost neuspjeha određena vjerojatnošću pojavljivanja

Sm+1 navodi:

Potc = pm+1 = cm+1 * p0

Relativni propusnost, ili udio servisiranih zahtjeva koji stižu po jedinici vremena određen je izrazom

Q \u003d 1- potk \u003d 1- cm + 1 * p0

apsolutna propusnost je:

Prosječan broj aplikacija L koje stoje u redu za uslugu određen je matematičkim očekivanjem slučajne varijable k - broj aplikacija koje stoje u redu čekanja

slučajna varijabla k uzima samo sljedeće cjelobrojne vrijednosti:

1 - postoji jedna aplikacija u redu čekanja,
2 - postoje dvije aplikacije u redu čekanja,

t-sva mjesta u redu su zauzeta

Vjerojatnosti ovih vrijednosti određene su odgovarajućim vjerojatnostima stanja, počevši od stanja S2. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable k prikazan je na sljedeći način:

Tablica 1. Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable

Matematičko očekivanje ove slučajne varijable je:

Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

U općem slučaju, za p ≤ 1, ovaj se zbroj može transformirati, koristeći modele geometrijske progresije, u prikladniji oblik:

Loch = p2 * 13:00 * (m-m*p+1)*p0

U posebnom slučaju pri p = 1, kada se sve vjerojatnosti pk pokažu jednakima, može se koristiti izraz za zbroj članova niza brojeva

1+2+3+ m = m(m+1)

Tada dobivamo formulu

L "och \u003d m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).

Primjenom sličnog razmišljanja i transformacija, može se pokazati da je prosječno vrijeme čekanja za servisiranje zahtjeva i reda određeno Littleovim formulama

Točka \u003d Loch / A (na p? 1) i T1och \u003d L "och / A (na p \u003d 1).

Takav rezultat, kada se pokaže da je Tox ~ 1/l, može izgledati čudno: s povećanjem intenziteta protoka zahtjeva, čini se da bi se trebala povećati duljina reda i smanjiti prosječno vrijeme čekanja. Međutim, treba imati na umu da je, kao prvo, vrijednost Locha funkcija l i m i, kao drugo, QS koji se razmatra ima ograničenu duljinu čekanja na ne više od m aplikacija.

Zahtjev koji stigne u QS u trenutku kada su svi kanali zauzeti biva odbijen, a samim tim i njegovo vrijeme “čekanja” u QS-u je nula. To u općem slučaju (za p? 1) dovodi do smanjenja Tochrostom l, budući da udio takvih primjena raste s rastom l.

Ako odustanemo od ograničenja duljine reda, tj. aspirirati m--> >?, zatim padeži str< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

Za dovoljno velik k, vjerojatnost pk teži nuli. Stoga će relativna propusnost biti Q \u003d 1, a apsolutna propusnost će biti jednaka A - l Q - l, dakle, svi dolazni zahtjevi se servisiraju, a prosječna duljina reda čekanja bit će jednaka:

Loch = p2 1-str

a prosječno vrijeme čekanja prema Littleovoj formuli

Point \u003d Loch / A

U granici str<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Stoga se granične vjerojatnosti stanja ne mogu odrediti: za Q= 1 one su jednake nuli. Zapravo, CMO ne ispunjava svoje funkcije, budući da nije u mogućnosti servisirati sve dolazne aplikacije.

Lako je utvrditi da su udio opsluženih zahtjeva i apsolutni protok prosječni c i m, međutim, neograničeno povećanje reda čekanja, a time i vremena čekanja u njemu, dovodi do činjenice da nakon nekog vremena zahtjevi počinju se gomilati u redu čekanja neograničeno vrijeme.

Kao jedna od karakteristika QS-a koristi se prosječno vrijeme Tsmo boravka aplikacije u QS-u, uključujući prosječno vrijeme provedeno u redu čekanja i prosječno vrijeme servisiranja. Ova se vrijednost izračunava Littleovim formulama: ako je duljina reda čekanja ograničena, prosječan broj aplikacija u redu čekanja jednak je:

Lmo= m+1;2

tsmo= Lcmo; na p?1

Zatim prosječno vrijeme zadržavanja zahtjeva u sustavu Čekanje u redu(i u redu i na usluzi) jednako je:

tsmo= m+1 pri p ?1 2m

rad ili učinkovitost sustava čekanja su sljedeći.

Za CMO s neuspjesima:

Za CMO s neograničenim čekanjem i apsolutna i relativna propusnost gube svoje značenje, budući da će svaki dolazni zahtjev biti poslužen prije ili kasnije. Za takav QS važni pokazatelji su:

Za CMO mješoviti tip koriste se obje skupine pokazatelja: i relativni i apsolutna propusnost, i karakteristike očekivanja.

Ovisno o svrsi operacije čekanja, bilo koji od gore navedenih pokazatelja (ili skup pokazatelja) može se odabrati kao kriterij izvedbe.

analitički model QS je skup jednadžbi ili formula koje omogućuju određivanje vjerojatnosti stanja sustava tijekom njegovog rada i izračunavanje pokazatelja performansi na temelju poznatih karakteristika dolaznog protoka i uslužnih kanala.

Ne postoji opći analitički model za proizvoljan QS. Analitički modeli razvijeni su za ograničeni broj posebnih slučajeva QS-a. Analitički modeli koji više ili manje točno prikazuju stvarne sustave u pravilu su složeni i teško vidljivi.

Analitičko modeliranje QS-a uvelike je olakšano ako su procesi koji se odvijaju u QS-u Markovljevi (tokovi zahtjeva su jednostavni, vremena usluge su eksponencijalno raspoređena). U tom slučaju, svi procesi u QS-u mogu se opisati običnim diferencijalnim jednadžbama, au graničnom slučaju, za stacionarna stanja, linearnim algebarskim jednadžbama i, nakon njihovog rješavanja, odrediti odabrane pokazatelje učinka.

Razmotrimo primjere nekih QS-ova.

2.5.1. Višekanalni QS s kvarovima

Primjer 2.5. Tri prometna inspektora provjeravaju putne listove vozača kamiona. Ako je barem jedan inspektor slobodan, kamion koji prolazi se zaustavlja. Ako su svi inspektori zauzeti, kamion prolazi bez zaustavljanja. Tok kamiona je najjednostavniji, vrijeme provjere je slučajno s eksponencijalnom raspodjelom.

Takvu situaciju može simulirati trokanalni QS s kvarovima (bez čekanja). Sustav je otvoren, s homogenim aplikacijama, jednofazni, s apsolutno pouzdanim kanalima.

Opis stanja:

Svi inspektori su besplatni;

Jedan inspektor ima posla;

Dva inspektora su zauzeta;

Tri inspektora su zauzeta.

Graf stanja sustava prikazan je na sl. 2.11.

Riža. 2.11.

Na grafikonu: - intenzitet protoka kamiona; - intenzitet provjere dokumenata od strane jednog prometnog inspektora.

Simulacija se provodi kako bi se odredio dio automobila koji neće biti testiran.

Riješenje

Željeni dio vjerojatnosti je vjerojatnost zaposlenja sva tri inspektora. Budući da graf stanja predstavlja tipičnu shemu "smrti i reprodukcije", pronaći ćemo pomoću ovisnosti (2.2).

Može se okarakterizirati učinak ovog radnog mjesta prometnih inspektora relativna propusnost:

Primjer 2.6. Za primanje i obradu dojava izvidničke skupine, izvidničkom odjelu zdruga raspoređena je skupina od tri časnika. Očekivana stopa javljanja je 15 prijava na sat. Prosječno vrijeme obrade jedne prijave od strane jednog službenika je . Svaki časnik može primati izvješća od bilo koje izvidničke grupe. Otpušteni službenik obrađuje posljednju od primljenih prijava. Dolazna izvješća moraju biti obrađena s vjerojatnošću od najmanje 95%.

Utvrdite je li dodijeljena grupa od tri časnika dovoljna za izvršenje dodijeljene zadaće.

Riješenje

Skupina časnika radi kao CMO s kvarovima, koji se sastoji od tri kanala.

Tijek izvješća s intenzitetom može se smatrati najjednostavnijim, budući da je skup nekoliko izviđačkih skupina. Intenzitet održavanja . Zakon raspodjele je nepoznat, ali to nije bitno, jer je pokazano da za sustave s kvarovima može biti proizvoljan.

Opis stanja i grafikon stanja QS-a bit će slični onima danima u primjeru 2.5.

Budući da je graf stanja shema "smrti i reprodukcije", postoje gotovi izrazi za granične vjerojatnosti stanja za njega:

Relacija se zove smanjeni intenzitet protoka prijava. Njegovo fizičko značenje je sljedeće: vrijednost je prosječan broj zahtjeva koji dolaze u QS za prosječno vrijeme usluge jednog zahtjeva.

U primjeru .

u CMO neuspjeh javlja se kada su sva tri kanala zauzeta, tj. Zatim:

Jer vjerojatnost kvara u obradi izvješća je više od 34% (), tada je potrebno povećati osoblje grupe. Udvostručimo sastav grupe, odnosno QS će sada imati šest kanala, i izračunajmo:

Tako će samo grupa od šest službenika moći obraditi pristigla izvješća s vjerojatnošću od 95%.

2.5.2. Višekanalni QS s čekanjem

Primjer 2.7. Na dionici forsiranja rijeke nalazi se 15 istovrsnih prijelaza. Protok vozila koja dolaze na prijelaz u prosjeku je 1 jedinica/min, prosječno vrijeme prelaska jedne jedinice opreme je 10 minuta (uzimajući u obzir povratak objekta prijelaza).

Ocijenite glavne karakteristike prijelaza, uključujući vjerojatnost neposrednog prelaska odmah po dolasku dijela opreme.

Riješenje

Apsolutna propusnost, tj. sve što dođe do prijelaza gotovo se odmah prijeđe.

Prosječan broj operativnih prijelaza:

Omjeri iskorištenosti križanja i zastoja:

Također je razvijen program za rješavanje primjera. Vremenski intervali dolaska opreme na prijelaz, vrijeme prijelaza uzeti su raspoređeni po eksponencijalnom zakonu.

Stope iskorištenosti trajekta nakon 50 vožnji praktički su iste: .

Maksimalna duljina reda je 15 jedinica, prosječno vrijeme provedeno u redu je oko 10 minuta.

U praksi je dosta čest jednokanalni QS s redom (liječnik koji poslužuje pacijente; govornica s jednom govornicom; računalo koje ispunjava narudžbe korisnika). U teoriji čekanja posebno mjesto zauzimaju i jednokanalne QS s čekanjem (većina do sada dobivenih analitičkih formula za nemarkovske sustave pripada takvim QS). Stoga ćemo posebnu pozornost posvetiti jednokanalnom QS-u s redom čekanja.

Neka postoji jednokanalni QS s redom na koji nema ograničenja (ni na duljinu reda, ni na vrijeme čekanja). Ovaj QS prima tok aplikacija s intenzitetom X; tok usluge ima intenzitet recipročan prosječnom vremenu usluge zahtjeva.Potrebno je pronaći konačne vjerojatnosti stanja QS-a, kao i karakteristike njegove učinkovitosti:

Prosječan broj aplikacija u sustavu,

Prosječno vrijeme zadržavanja aplikacije u sustavu,

Prosječan broj prijava u redu čekanja,

Prosječno vrijeme koje aplikacija provede u redu čekanja,

Vjerojatnost da je kanal zauzet (stupanj opterećenja kanala).

Što se tiče apsolutne propusnosti A i relativnog Q, nema potrebe izračunavati ih: zbog činjenice da je red čekanja neograničen, svaka aplikacija će biti poslužena prije ili kasnije, dakle, iz istog razloga

Riješenje. Stanja sustava, kao i do sada, bit će numerirana prema broju prijava u QS-u:

Kanal je besplatan

Kanal je zauzet (servira zahtjev), nema čekanja,

Kanal je zauzet, jedna aplikacija je u redu čekanja,

Kanal je zauzet, aplikacije su u redu čekanja,

Teoretski, broj stanja nije ničim ograničen (beskonačno). Grafikon stanja ima oblik prikazan na sl. 20.2. Ovo je shema smrti i reprodukcije, ali s beskonačnim brojem stanja. Za sve strelice, tijek zahtjeva s intenzitetom A prenosi sustav slijeva na desno, a s desna na lijevo - tok usluga s intenzitetom

Prije svega, zapitajmo se postoje li konačne vjerojatnosti u ovom slučaju? Uostalom, broj stanja sustava je beskonačan i, u principu, red se može neograničeno povećavati! Da, istina je: konačne vjerojatnosti za takav QS ne postoje uvijek, već samo kada sustav nije preopterećen. Može se dokazati da ako je strogo manje od jedan, tada konačne vjerojatnosti postoje, a za , red se povećava bez ograničenja. Ova se činjenica čini posebno „neshvatljivom“ kada se čini da nema nemogućih zahtjeva za sustav: tijekom servisa jedne aplikacije u prosjeku dođe jedna aplikacija i sve bi trebalo biti u redu, ali u stvarnosti nije.

S QS-om se nosi s protokom aplikacija samo ako je taj protok redovit, a vrijeme servisa također nije slučajno, jednako intervalu između aplikacija. U ovom "idealnom" slučaju, u QS-u uopće neće biti reda čekanja, kanal će biti stalno zauzet i redovito će izdavati servisirane zahtjeve. Ali čim tok zahtjeva ili tok usluga postane barem malo nasumičan, red će već rasti unedogled. U praksi se to ne događa samo zato što je "beskonačan broj prijava u redu čekanja" apstrakcija. Ovo su grube pogreške do kojih može dovesti zamjena slučajnih varijabli njihovim matematičkim očekivanjima!

Ali vratimo se našem jednokanalnom QS-u s neograničenim redom. Strogo govoreći, formule za konačne vjerojatnosti u shemi smrti i reprodukcije mi smo izveli samo za slučaj konačnog broja stanja, ali budimo slobodni - koristit ćemo ih za beskonačan broj stanja. Izračunajmo konačne vjerojatnosti stanja prema formulama (19.8), (19.7). U našem slučaju, broj članova u formuli (19.8) bit će beskonačan. Dobivamo izraz za

Niz u formuli (20.11) je geometrijska progresija. Znamo da kada niz konvergira - to je beskonačno padajuća geometrijska progresija s nazivnikom. Za , niz divergira (što je neizravan, iako ne rigorozan, dokaz da vjerojatnosti konačnog stanja postoje samo za ). Sada pretpostavimo da je ovaj uvjet zadovoljen, i Sumirajući progresiju u (20.11), imamo

(20.12)

Vjerojatnosti se nalaze po formulama:

odakle, uzimajući u obzir (20.12), konačno nalazimo:

Kao što vidite, vjerojatnosti tvore geometrijsku progresiju s nazivnikom . Čudno, najveća od njih je vjerojatnost da će kanal uopće biti besplatan. Bez obzira koliko je sustav čekanja zauzet, ako uopće može podnijeti tijek zahtjeva, najvjerojatniji broj zahtjeva u sustavu bit će 0.

Nađimo prosječan broj aplikacija u QS-u. Ovdje se morate malo petljati. Slučajna varijabla Z - broj aplikacija u sustavu - ima moguće vrijednosti s vjerojatnostima

Njegovo matematičko očekivanje je

(20.14)

(zbroj se ne uzima od 0 do nego od 1 do, budući da je nulti član jednak nuli).

U formulu (20.14) zamijenimo izraz za

Izbacimo to iz znaka zbroja:

Ovdje ponovno primjenjujemo “mali trik”: ne postoji ništa više od izvedenice pore iz izraza znači,

Zamjenom operacija diferenciranja i zbrajanja dobivamo:

Ali zbroj u formuli (20.15) nije ništa drugo nego zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije s prvim članom i nazivnikom; ovaj zbroj je jednak i njegov izvod . Zamjenom ovog izraza u (20.15) dobivamo:

(20.16)

Pa, sada primijenimo Littleovu formulu (19.12) i pronađimo prosječno vrijeme zadržavanja aplikacije u sustavu:

Pronađimo prosječan broj zahtjeva u redu čekanja. Argumentirat ćemo na sljedeći način: broj zahtjeva u redu čekanja jednak je broju zahtjeva u sustavu minus broj zahtjeva u servisu. Dakle (prema pravilu zbrajanja matematičkih očekivanja), prosječni broj aplikacija u redu čekanja jednak je prosječnom broju aplikacija u sustavu minus prosječni broj aplikacija u servisu. Broj zahtjeva u servisu može biti nula (ako je kanal slobodan) ili jedan (ako je zauzet). Matematičko očekivanje takve slučajne varijable jednako je vjerojatnosti da je kanal zauzet (označili smo to kao ). Očito, jednak je jedan minus vjerojatnost da je kanal slobodan;

Stoga je prosječan broj zahtjeva u servisu jednak

SMO ove vrste prilično su raširene. To uključuje red za pregled kod liječnika, red za prelazak mosta kada se vozi jednom trakom i red za ulazak u autobus s uređajem. automatizirano upravljanje prolaz putnika i sl. Takav QS može se prikazati pomoću označenog grafa, prikazanog na sl. 6.

Riža. 6. Jednokanalni QS s neograničenim redom

Pod neograničenim redom čekanja mislimo na to da broj zahtjeva primljenih na servis nije ograničen i da je vrijeme servisa za svaki zahtjev proizvoljno, ali će svi zahtjevi biti opsluženi prije ili kasnije. U ovom slučaju nema smisla govoriti o apsolutnoj propusnosti (A =λ) i relativnoj propusnosti (Q = 1).

Svaki novoprimljeni zahtjev prebacit će QS u novo stanje S s povećanjem indeksa za 1, tj. slijeva na desno. A svaki servisirani zahtjev smanjit će indeks stanja S za 1, tj. pomicanjem po grafu s desna na lijevo. Budući da se samo jedan zahtjev servisira u svakom trenutku (jednokanalni QS), tada su sve stope pristizanja zahtjeva jednake λ i sve stope servisiranja zahtjeva jednake su µ. U stručnoj literaturi je dokazano da ne postoje konačne vjerojatnosti za neograničen broj QS stanja. Za ovaj slučaj konačne vjerojatnosti postoje uzimajući u obzir nametnuta ograničenja: sve će prijave biti uručene prije ili kasnije i uvjet je ispunjen:

Pomoću formula (10) - (13) i (14) određujemo konačne vjerojatnosti događaja.

S obzirom da je 1 + ρ + ρ 2 +ρ 3 + ... + ρ m + ... =1/(1-ρ), dobivamo vrijednost konačne vjerojatnosti događaja S0:

Po=1-ρ. (.21)

Konačne vjerojatnosti sljedećih događaja bit će određene kao:

P1 = ρP0; p2 = ρ 2 Po; pz = ρ 3 P0; Rm = ρ m Po; (22)

Izračunajmo prosječan broj prijava u QS-u. Kako broj zahtjeva može poprimiti vrijednosti 0, 1, 2, 3, ... , m, ... , možemo napisati:

L sustav =0P0+1P1+2P2+3P3+…mPm+..=

Primjenom formule (17) određujemo vrijeme usluge zahtjeva

Odredimo prosječnu duljinu čekanja (prosječan broj aplikacija koje čekaju na servisiranje). Budući da je QS koji razmatramo jednokanalni, može se servisirati samo jedna aplikacija, a ostale aplikacije čekaju svoj red.

Vjerojatnost takvog događaja (zauzeće jednog kanala) bit će jednaka R zan = 1 – R0 = ρ. Budući da QS služi samo jednom zahtjevu, Lobs = ρ.

Duljina reda je razlika između ukupnog broja zahtjeva i zahtjeva u servisu, zatim:

Može se odrediti prosječno vrijeme koje zahtjev provede u redu

Određene su sve karakteristike jednokanalnog QS-a.

Na istovar u veleprodajno skladište dolaze tri vagona na sat (λ = 3). Prosječno vrijeme istovara (Tobs) jednog automobila - 10 min. Odredite karakteristike jednokanalnog QS-a s neograničenim redom čekanja.

Odredite intenzitet održavanja automobila

Pomoću formule (23) određujemo prosječan broj servisiranih automobila:

Pomoću formule (24) određujemo prosječno vrijeme (sat) održavanja automobila:

Pomoću formule (25) određujemo duljinu reda (prosječan broj automobila koji čekaju na istovar):

L och \u003d L syst - ρ \u003d 1 - 0,5 \u003d 0,5.

Pomoću formule (26) određujemo prosječno vrijeme čekanja u koloni automobila.

Razmotrimo sada jednokanalni QS s očekivanjem.

Sustav čekanja ima jedan kanal. Dolazni tok protok servisnih zahtjeva ima intenzitet λ. Intenzitet protoka usluge jednak je μ (tj., u prosjeku, kontinuirano zauzet kanal će izdati μ servisiranih zahtjeva). Trajanje usluge je slučajna varijabla podložna eksponencijalnom zakonu raspodjele. Zahtjev koji stigne u vrijeme kada je kanal zauzet nalazi se u redu i čeka uslugu.

Razmotrimo sustav s ograničeni red čekanja. Pretpostavimo da bez obzira na to koliko zahtjeva uđe u ulaz sustava za posluživanje, ovaj sustav(red + usluženi klijenti) ne može primiti više od N-zahtjevi (aplikacije), od kojih je jedna servisirana, i ( N-1) čekanje, Klijenti koji ne upadnu u čekanje prisiljeni su biti usluženi negdje drugdje i takvi se zahtjevi gube.

Označavamo - vjerojatnost da je sustav n aplikacije. Ova vrijednost izračunava se formulom:

Ovdje je smanjena brzina protoka. Tada je vjerojatnost da je kanal usluge slobodan i da u sustavu nema niti jednog klijenta jednaka: .

Imajući ovo na umu, može se definirati

Definirajmo karakteristike jednokanalnog QS-a s čekanjem i ograničenom duljinom čekanja koja je jednaka (N-1):

vjerojatnost odbijanja usluge aplikacije:

relativna propusnost sustava:

apsolutna propusnost:

A=q∙λ;

prosječan broj aplikacija u sustavu:

Prosječno vrijeme zadržavanja aplikacije u sustavu:

;

prosječno trajanje boravka klijenta (prijave) u redu čekanja:

W q=Ws- 1/μ;

prosječan broj aplikacija (klijenata) u redu čekanja (duljina čekanja):

L q=λ(1- P N)W q.

Razmotrimo primjer jednokanalnog QS-a s čekanjem.

Primjer 9.2. U zonu carinska kontrola na kontrolnoj točki automobili ulaze po sistemu elektronički red čekanja. Svaki prozor za obradu dolaska/odlaska je jednokanalni QS. Broj parkirališta za automobile koji čekaju na registraciju je ograničen i jednak je 3, tj. N-1)=3. Ako su sva parkirališta zauzeta, tj. već su tri automobila u redu, tada se sljedeći automobil ne pušta u zonu carinske kontrole, tj. ne stoji u redu za uslugu. Protok automobila koji pristižu na carinjenje ima intenzitet λ =0,85 (vozila na sat). Vrijeme registracije automobila raspoređeno je po eksponencijalnom zakonu i u prosjeku iznosi = 1,05 sati. Potrebno je odrediti vjerojatnosne karakteristike prozora obrade dolaska/odlaska kontrolne točke koja radi u stacionarnom načinu rada.

Riješenje.

Intenzitet protoka auto servisa: