Rühm G toimib (vasakult) hulgale X, kui mis tahes elementide g ja x X jaoks on defineeritud element gx X ja pealegi g2(g1x) = (g2 g1)x ja ex = x kõigi x X, g1, g2 G. Komplekt

Gх = (gx | g G)

nimetatakse elemendi x orbiidiks. Kahe X-st pärit elemendi orbiidid kas ühtivad või ei lõiku, nii et hulk X jagatakse mittelõikuvateks orbiitideks. Kui on ainult üks orbiit - kogu hulk X, siis me ütleme, et C toimib transitiivselt X-le. Teisisõnu, rühm G toimib transitiivselt hulgale X, kui mis tahes kahe elemendi x, x" jaoks on element X-st. g G-st nii, et gx = x".

X-st pärit elemendi x stabilisaator on alamrühm

StG(x)=(g G | gx = x).

G-st pärineva elemendi g fikseeritud punktide hulk on hulk

Fix(g) = (x X | gx = x).

Orbiidi võimsus on võrdne stabilisaatori indeksiga rühmas G.

Olgu K fikseeritud kuup kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis, G kõigi selle ruumi liikumiste rühm, mis säilitavad orientatsiooni ja viivad K-sse K. Rühmas G on identne liikumine, pöörded 120° ja 240° umbes nelja teljed, mis läbivad vastandtippude kuubi, 180° pööramine telgede ümber, mis läbivad vastasservade keskpunkte, ja 90°, 180° ja 270° pöörded telgede ümber, mis läbivad vastaskülgede keskpunkte. Seega leidsime rühmast G 24 elementi. Näitame, et G-s pole muid elemente. Rühm G toimib kuubiku K tippude hulgal K0 transitiivselt, kuna suvalised kaks tippu K-st võivad olla "ühendatavad naaberahelaga" ja naaberpunktid saab sobiva pööramise teel teisendada üksteiseks. Tipu stabilisaator x peab paigale jätma ka sellest kõige kaugema tipu x. Seetõttu koosneb see identsest liikumisest ja pööretest ümber xx telje 120° ja 240° võrra. Seetõttu |G| = |K°| * || = 8 * 3 = 24 ja seetõttu moodustavad kõik ülaltoodud pöörded rühma G.

Gruppi G nimetatakse kuubiku pööramise rühmaks. Tõestame, et pöörded G-st permuteerivad kuubi nelja pikima diagonaali. Tekib homomorfism: q: G > . Selle homomorfismi tuum on (e), kuna ainult identiteedi liigutus jätab kuubi iga diagonaali paika. Seetõttu on G isomorfne rühma alarühma suhtes. Võrreldes nende rühmade järjestusi, saame, et G .

Sümmeetria rühmad

Üks enim kasutatud rühmade ja eriti permutatsioonirühmade näiteid on rühmad, mis "mõõtvad" geomeetriliste kujundite, nii lamedate kui ka ruumiliste kujundite sümmeetriat.

Tetraeedri sümmeetriarühm.

Tetraeedril (joonis 1) on 4 3. järku sümmeetriatelge l1, l2, l3, l4, mis läbivad selle tippe 1, 2, 3, 4 ja vastaskülgede keskpunkte. Iga telje ümber on lisaks identsele teljele võimalik veel kaks pööret. Need vastavad järgmistele permutatsioonidele:

ümber l1 telje

ümber l2 telje

ümber l3 telje

ümber l4 telje

Lisaks on 3 2. järku sümmeetriatelge, mis läbivad ristumisservade keskpunkte A, B, C, D, E, F. Seetõttu on veel 3 (vastavalt ristuvate servade paaride arvule) mitteidentset teisendust, mis vastavad permutatsioonidele:

ümber AB-telje,

ümber CD telje,

ümber EF-telje.

Seega koos identse teisendusega saame 12 permutatsiooni. Nende teisenduste korral on tetraeeder isejoonduv, pöördub ruumis; selle punktid ei muuda oma asukohta üksteise suhtes. Välja kirjutatud 12 permutatsiooni komplekt on korrutamise suhtes suletud, kuna tetraeedri järjestikuste pöörlemiste sooritamine on jällegi pöörlemine. Nii saame rühma, mida nimetatakse tetraeedri pöörlemisrühmaks.

Teiste ruumiteisenduste korral, mis on tetraeedri enesekokkusattumused, liiguvad tetraeedri sisepunktid üksteise suhtes. Nimelt: tetraeedril on 6 sümmeetriatasandit, millest igaüks läbib ühe selle serva ja vastasserva keskosa. Sümmeetriad nende tasandite suhtes vastavad järgmistele transpositsioonidele tetraeedri tippude hulgas:

Juba nende andmete põhjal võib väita, et tetraeedri kõigi võimalike sümmeetriate rühm koosneb 24 teisendusest. Tõepoolest, iga sümmeetria, mis ühendab tetraeedrit tervikuna, peab oma tipud, servad ja tahud kuidagi ümber korraldama. Eriti sisse sel juhul sümmeetriaid saab iseloomustada tetraeedri tippude permutatsioonidega. Kuna tetraeedril on 4 tippu, ei saa selle sümmeetriarühm koosneda rohkem kui 24 teisendusest. Teisisõnu, see kas langeb kokku sümmeetrilise rühmaga S4 või on selle alamrühm. Tetraeedri sümmeetriad ülalkirjeldatud tasandite suhtes määravad kõik võimalikud transpositsioonid selle tippude hulgas. Kuna need transpositsioonid loovad sümmeetrilise rühma S4, saame vajaliku. Seega määrab tetraeedri tippude mis tahes permutatsiooni selle osa sümmeetriast. Seda ei saa aga öelda tetraeedri servade suvalise permutatsiooni kohta. Kui nõustume tähistama tetraeedri iga serva sama tähega kui selle keskpunkti, siis näiteks servade hulga permutatsioonid

vastavad vastavalt kahele pöördele ümber l1-telje ja pööramisele ümber AB-telje. Olles kõigi sümmeetriateisenduste jaoks hulgale (A, B. C, D, E, F) välja kirjutanud permutatsioonid, saame sümmeetrilise rühma S6 teatud alarühma, mis koosneb 24 permutatsioonist. Tetraeedri tippude permutatsioonirühm ja selle servade permutatsioonirühm on erinevad permutatsioonirühmad, kuna need toimivad erinevatel hulgadel. Kuid nende taga on "nähtav" sama rühm - ruumimuutuste rühm, mis jätab tetraeedri paigale.

Kuubi sümmeetriarühm. Kuubi sümmeetriad, nagu ka tetraeedri sümmeetriad, jagunevad kahte tüüpi - isejoondumine, mille puhul kuubi punktid ei muuda oma asukohta üksteise suhtes ja teisendused, mis jätavad kuubi tervikuna. paigas, kuid liigutage selle punkte üksteise suhtes. Esimest tüüpi teisendusi nimetatakse rotatsioonideks. Kõik pöörded moodustavad rühma, mida nimetatakse kuubi pööramise rühmaks.

Kuubikul on täpselt 24 pööret erinevate sümmeetriatelgede ümber.

Tõepoolest, kui kuubik pöörleb, võib alumise külje asemele astuda ükskõik milline kuubiku kuuest tahust (joonis 2). Iga kuue võimaluse jaoks - kui on näidatud, milline tahk asub allosas - on kuubikul 4 erinevat paigutust, mis vastavad selle pöörlemisele ümber telje, mis läbib ülemise ja alumise külje keskpunkte läbi nurkade 0, p/2, p, 3p/ 2. Seega saame 6×4 = 24 kuubi pööret. Täpsustagem neid selgelt.

Kuubil on sümmeetriakese (selle diagonaalide lõikepunkt), 3 neljandat järku sümmeetriatelge, 4 kolmandat järku sümmeetriatelge ja 6 teist järku sümmeetriatelge. Piisab, kui arvestada pöördeid ümber sümmeetriatelgede.

a) Neljandat järku sümmeetriateljed on vastaskülgede keskpunkte läbivad teljed. Iga nende telgede ümber on kolm mitteidentset pööret, nimelt pöörded nurkade p/2, p, 3p/2 võrra. Need pöörded vastavad kuubi tippude 9 permutatsioonile, milles vastaskülgede tipud on tsükliliselt ja järjekindlalt ümber paigutatud. Näiteks permutatsioonid

vastavad pööretele ümber telje

b) Kolmandat järku sümmeetriatelgedeks on kuubi diagonaalid. Iga nelja diagonaali , , , ümber on kaks mitteidentset pööret nurkade 2p/3, 4p/3 võrra. Näiteks pöörded ümber diagonaali määravad järgmised kuubi tippude permutatsioonid:

Kokku saame 8 sellist pööret.

c) Teist järku sümmeetriateljed on sirged, mis ühendavad kuubi vastasservade keskpunkte. Vastandservi on kuus paari (näiteks , ), iga paar määratleb ühe sümmeetriatelje, st saame 6 teist järku sümmeetriatelge. Iga nende telgede ümber toimub üks mitteidentne pöörlemine. Ainult 6 keerutust. Koos identse teisendusega saame 9+8+6+1=24 erinevat pööret. Kõik kuubiku pöörded on näidatud. Kuubi pöörded määravad permutatsioonid selle tippude, servade, tahkude ja diagonaalide hulgal. Mõelge, kuidas kuubi pöörlemisrühm mõjutab selle diagonaalide hulka. Kuubi erinevad pöörded paigutavad kuubi diagonaale erinevalt ümber, s.t vastavad diagonaalide hulgal erinevatele permutatsioonidele. Seetõttu määrab kuubiku pööramise rühm diagonaalide hulgal permutatsioonirühma, mis koosneb 24 permutatsioonist. Kuna kuubil on ainult 4 diagonaali, on kõigi selliste permutatsioonide rühm sama, mis diagonaalide hulga sümmeetriline rühm. Niisiis, iga kuubi diagonaalide permutatsioon vastab mõnele selle pöörlemisele ja erinevad permutatsioonid vastavad erinevatele pööretele.

Nüüd kirjeldame kogu kuubi sümmeetriarühma. Kuubil on kolm selle keskpunkti läbivat sümmeetriatasandit. Nende tasapindade sümmeetria koos kuubi kõigi pööretega annab meile veel 24 teisendust, mis on kuubi isejoondumine. Seetõttu koosneb kuubi kogu sümmeetriarühm 48 teisendusest.

Oktaeedri sümmeetriarühm. Viiest korrapärasest hulktahukast koosnev oktaeeder. Selle saab saada, ühendades kuubi tahkude keskpunktid ja võttes arvesse keha, mis on piiratud tasapindadega, mis on määratud naabertahkude ühendusjoontega (joonis 3). Seetõttu on iga kuubi sümmeetria samaaegselt ka oktaeedri sümmeetria ja vastupidi. Seega on oktaeedri sümmeetriarühm sama, mis kuubi sümmeetriarühm ja koosneb 48 teisendusest.

Korrapärase hulktahuka sümmeetriarühm koosneb 2l teisendustest, kus l on selle tasapinna nurkade arv. See väide kehtib kõigi tavaliste hulktahukate kohta ja seda saab tõestada üldine vaade, leidmata polüheedri kõiki sümmeetriaid.

Klõpsates nupul "Laadi arhiiv alla", laadite vajaliku faili tasuta alla.
Enne selle faili allalaadimist pidage meeles neid häid esseesid, kontrolltöid, kursusetöid, teesid, artiklid ja muud dokumendid, mis asuvad teie arvutis taotlemata. See on teie töö, see peaks osalema ühiskonna arengus ja tooma inimestele. Otsige üles need tööd ja saatke need teadmistebaasi.
Oleme teile väga tänulikud meie ja kõik üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös.

Dokumendiga arhiivi allalaadimiseks sisestage allolevale väljale viiekohaline number ja klõpsake nuppu "Laadi arhiiv alla"

Sarnased dokumendid

Kaasaegse abstraktse rühmade kontseptsiooni väljatöötamine. Lõplike nilpotentsete rühmade lihtsaimad omadused. Lõpliku rühma Frattini alamrühm on nilpotentne. Nilpotentsete rühmade otsekorrutise leidmine. Binaaralgebraline tehe hulgal.

kursusetöö, lisatud 21.09.2013


Burnside lemma rakendamine kombinatoorsete ülesannete lahendamisel. Permutatsioonirühma orbiidid. Permutatsioonirühma orbiidi pikkus. Burnside'i lemma. kombinatoorsed ülesanded. "Sõelumismeetod". Kaasamise ja välistamise valem.

lõputöö, lisatud 14.06.2007


Teguritava rühma lahendatavus lagundatavate teguritega. Lõplike rühmade omadused, mis on kahe rühma korrutis, millest üks on Schmidti rühm, teine ​​on 2-lagunev. Kaheprimaarsete ja 2-lagunevate rühmade produkt. Teoreemide ja lemmade tõestus.

kursusetöö, lisatud 22.09.2009


Rühmateooria olemus. Selle mõiste roll matemaatikas. Tehete korduv tähistus, rühmade näited. Alarühma olemuse sõnastamine. Rühma homomorfismid. Täielikud ja spetsiaalsed lineaarsed maatriksrühmad. Klassikalised väikeste mõõtmetega rühmad.

kursusetöö, lisatud 03.06.2014


Tõstmine kompleksarvu astmeni. Binaaralgebraline tehe. Kompleksarvude geomeetriline tõlgendamine. Vektorite süsteemi alus-, järk- ja lineaarkombinatsioonid. Polünoomi mitu juurt. Polünoomi lagundamine elementaarmurdudeks.

kontrolltööd, lisatud 25.03.2014


Tavalise hulktahuka esmamainimine. Polüheedrite klassifikatsioon, nende tüübid, omadused, teoreemid kumerate hulktahukate arengute kohta (Cauchy ja Alexandrov). Tavaliste hulktahukate mudelite loomine lahtivoltimise ja origami meetodite abil.

kursusetöö, lisatud 18.01.2011


Peegelduvate ja pöörlevate telgsümmeetriate mõiste eukleidilises geomeetrias ja loodusteadustes. Telgsümmeetria näideteks on liblikas, lumehelves, Eiffeli torn, paleed, nõgeseleht. Peegli peegeldus, radiaalne, aksiaalne ja radiaalne sümmeetria.

esitlus, lisatud 17.12.2013

Olgu G rühm, X mingi hulk ja f: G × X → X

- ekraan. Tähista f(g, x) gx-ga. Me ütleme, et G toiming X-le on antud (või G toimib X-le), kui (gh)x = g(hx) ja ex = x kõigi g, h G, x X korral. Lisaks nimetatakse hulka X G-komplekt.

Kommenteeri. Täpsemalt nimetatakse nii määratletud tegevust vasakule. Õige tegevuse korral käsitleme vastendamist f: X × G → X, võtame kasutusele tähise f(x, g) = xg ja täidame tingimused: x(gh) = (xg)h ja xe = x. On selge, et kõik allpool vasakpoolse toimingu kohta öeldu kehtib (asjakohaste muudatustega) ka parempoolse toimingu kohta. Veelgi enam, pange tähele, et valem xg = g −1 x loob üks-ühele vastavuse G vasak- ja parempoolsete tegevuste vahel X-s (see tähendab, et jämedalt öeldes on rühmade vasak- ja parempoolsed tegevused "sama asi"). . Õige toiming ilmneb loomulikult 10. peatükis.

Alamhulka Y X nimetatakse G-alamhulgaks, kui GY Y (st gy Y kõigi g G, y Y korral).

G-hulga X alamhulka kujul O(x) = (gx | g G) nimetatakse elemendi x X orbiidiks. Orbiidid langevad kokku minimaalsete G-alahulkadega X-is. sama orbiit” on X-i ekvivalentsuhe, nii et orbiidid moodustavad partitsioonikomplekti X.

Fikseeritud x X korral moodustavad elemendid g G nii, et gx = x G alamrühma, mida nimetatakse stabiilseks

Lyzer (või statsionaarne alarühm ) x-st ja seda tähistatakse St(x).

Orbiidid ja stabilisaatorid on seotud järgmiselt:

Ettepanek 7.1 |O(x)| = mis tahes x X jaoks.

Näide. Olgu X = G ja G mõjub X-le konjugatsiooni teel, st (g, x) 7→gxg−1 . Sellise tegevuse orbiiti nimetatakse

konjugeeritud klass ja stabilisaator St(x) tsentraliseerija element x (tähistus - C G(x)). Ilmselgelt C G (x) = (a G | ax = xa). Veelgi enam, kui rühm G on lõplik, siis

kus x summeerimisel jookseb läbi konjugaatsusklasside esindajate hulk (st igast klassist võetakse üks element).

Seda toimingut kasutades tõestame

Teoreem 7.2 (Cauchy teoreem) Kui rühma G järjekord jagub algarvuga p, siis G sisaldab elementi järku p.

7.1. Määrake rühmas X rühma G tegevuse kahe järgmise definitsiooni samaväärsus:

1) G toiming X-le on vastendamine G×X → X, (g, x) 7→gx nii, et (g 1 g2 )x = g1 (g2 x) ja ex = x kõigi g1 , g2 G, x X jaoks.

2) G toime X-le on homomorfism G → S(X) (kus S(X)

– X-i kõigi bijektside rühm iseendale).

7.2. Tõesta, et kui O(x) = O(y), siis St(x) on konjugeeritud St(y). Kas vastupidine on tõsi?

7.3. Kirjeldage järgmiste toimingute orbiite ja stabilisaatoreid:

1) G toime iseendale vasakpoolsete nihketega (st (g, x) 7→gx);

2) G mõju iseendale nihkub paremale (st (g, x) 7→xg).−1 );

3) H mõju G-le vasakule (vastavalt paremale) nihkub, kus H< G;

x X St(x).

4) G mõju konjugatsioonide abil tema alarühmade hulgale (st (g, H) 7 → gHg−1 );

5) G toiming parempoolsete kosettide hulgal G/H, kus H< G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6) Mittedegenereerunud lineaaroperaatorite rühma G = GL(V) loomulik tegevus lineaarruumis V: a) V , b) V × V , c) kõigi V lineaarsete alamruumide hulgal;

7) Ortogonaalsete lineaaroperaatorite rühma G = O(V) loomulik toime eukleidilises ruumis V: a) V , b)

8) G = hσi on S tsükliline alamrühm n, X = (1, 2, . . . , n).

7 .4 .* Rühma G tegevuste isomorfism hulkadel X ja Y on bijektsioon f: X → Y, nii et f(gx) = gf(x) kõigi g G, x X korral. X on transitiivne, kui kõigi x, y X korral on g G nii, et y = gx (st X

on selle tegevuse ainus orbiit). Tõesta, et G iga transitiivne toime X-le on isomorfne vastava alarühma H korral G/H-ga. Millal on G tegevused G/H1 ja G/H2 isomorfsed?

7.5. Leia rühma G loomuliku tegevuse automorfismirühm hulgal G/H.

7.6. Tõesta, et lõpliku rühma konjugaatsusklasside järgud jagavad selle järgu.

7.7.* Tõesta, et lõpliku p-rühma kese on mittetriviaalne.

7 .8 .* Tõesta, et kui |G| = p2 , siis G on Abeli ​​(st G on isomorfne Z(p2 ) või Z(p) × Z(p) suhtes).

7.9 .* Tõesta, et kui G ei ole Abeli ​​ja |G| = p3 , siis |C(G)| = lk.

7.10. G tegevuse tuum X-le on vastava homomorfismi G → S(X) tuum.

a) Kontrollige, et G tegevuse tuum X-l on võrdne b) Leidke G tegevuse tuum G/H-s, kus H< G.

7.11.* Olgu H< G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует tavaline jagaja H-s sisalduva lõppindeksi N ja jagab m! ja jagub m-ga.

Regulaarsete hulktahukate sümmeetriarühmad

Olgu O(3) := (A GL(3, R) | At A = E), SO(3) := O(3) ∩

SL(3, R). Olgu M R3. Pöörlemisrühm M on

Grot (M) = (gSO(3) | gM = M);

sümmeetriarühm M on

Gsym (M) = (g O(3) | gM = M)

(st Grot (M) = Gsym (M) ∩ SO(3)).

7.12. Tõesta, et O(3) SO(3) × Z(2).

7 .13 .* Leia |Grot (M)| ja |Gsym(M)| iga korrapärase hulktahuka (tetraeedri, kuubi, oktaeedri, dodekaeedri, ikosaeedri) jaoks. Siin ja allpool eeldatakse, et M on sisseehitatud R3-sse nii, et selle kese ühtib alguspunktiga.

7 .16 .* Olgu M kuup või oktaeedr. Tõesta, et Grot (M) S4 .

7 .17 .* Olgu M ikosaeeder või dodekaeeder. Tõesta seda

Grot (M) A5 .