Smo พร้อมตัวอย่างเวลารอที่จำกัด แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั่วไป QS แบบช่องสัญญาณเดียวพร้อมการรอโดยไม่ จำกัด ความจุของบล็อกการรอ

30.05.2020 ข้อกำหนด

ที่ กิจกรรมเชิงพาณิชย์ QS ทั่วไปมากขึ้นด้วยการรอ (คิว)

พิจารณา QS ช่องทางเดียวอย่างง่ายที่มีคิวจำกัด ซึ่งจำนวนตำแหน่งในคิว m เป็นค่าคงที่ ดังนั้น แอปพลิเคชันที่มาถึงในขณะที่ทุกสถานที่ในคิวไม่ว่างจึงไม่รับบริการ ไม่เข้าคิว และออกจากระบบ

กราฟของ QS นี้แสดงในรูปที่ 3.4 และตรงกับกราฟในรูปที่ 2.1 บรรยายกระบวนการ "เกิด-ตาย" โดยมีความแตกต่างตรงที่ช่องเดียวเท่านั้น

กราฟที่ติดฉลากของกระบวนการ "เกิด-ตาย" ของการบริการ ความเข้มของกระแสการบริการเท่ากัน

สถานะ QS สามารถแสดงได้ดังนี้:

S0 - ช่องทางบริการฟรี

S - ช่องทางบริการไม่ว่าง แต่ไม่มีคิว

S2 - ช่องทางบริการไม่ว่างมีคำขอหนึ่งรายการอยู่ในคิว

S3 - ช่องทางบริการไม่ว่างมีคำขอสองรายการในคิว

Sm+1 - ช่องทางบริการไม่ว่าง ทุก m ที่อยู่ในคิวถูกครอบครอง คำขอถัดไปจะถูกปฏิเสธ

สำหรับคำอธิบาย กระบวนการสุ่ม QS สามารถใช้กฎและสูตรที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ ให้เราเขียนนิพจน์ที่กำหนดความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐ:

นิพจน์สำหรับ p0 สามารถเขียนได้ในกรณีนี้ในวิธีที่ง่ายกว่า โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าตัวส่วนเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเมื่อเทียบกับ p จากนั้นหลังจากการแปลงที่เหมาะสมเราจะได้:

ค= (1-วินาที)

สูตรนี้ใช้ได้กับ p ทั้งหมดที่ไม่ใช่ 1 แต่ถ้า p = 1 แล้ว p0 = 1/(m + 2) และความน่าจะเป็นอื่นๆ จะเท่ากับ 1/(m + 2)

หากเราถือว่า m = 0 เราจะผ่านจากการพิจารณา QS ช่องทางเดียวโดยรอไปยัง QS ช่องทางเดียวที่พิจารณาแล้วพร้อมการปฏิเสธบริการ

แน่นอน นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นส่วนเพิ่ม p0 ในกรณี m = 0 มีรูปแบบ:

po \u003d m / (ล. + ม.)

และในกรณีของ l \u003d m มันมีค่า p0 \u003d 1 / 2

ให้เรากำหนดคุณสมบัติหลักของ QS แบบช่องสัญญาณเดียวด้วยการรอ: ปริมาณงานสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว ตลอดจนความยาวคิวเฉลี่ย และเวลารอเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชันในคิว

แอปพลิเคชันถูกปฏิเสธหากมาถึงในขณะที่ QS อยู่ในสถานะ Sm + 1 แล้วดังนั้นสถานที่ทั้งหมดในคิวจึงถูกครอบครองและให้บริการหนึ่งช่อง

ดังนั้นความน่าจะเป็นของความล้มเหลวจึงถูกกำหนดโดยความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น

Sm+1 ระบุว่า:

Potc = pm+1 = cm+1 * p0

ปริมาณงานสัมพัทธ์ หรือสัดส่วนของคำขอรับบริการที่มาถึงต่อหน่วยเวลา ถูกกำหนดโดยนิพจน์

Q \u003d 1- potk \u003d 1- cm + 1 * p0

แบนด์วิดท์สัมบูรณ์คือ:

จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ย L ที่อยู่ในคิวบริการถูกกำหนดโดยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม k - จำนวนแอปพลิเคชันที่อยู่ในคิว

ตัวแปรสุ่ม k รับค่าจำนวนเต็มเท่านั้นต่อไปนี้:

1 - มีแอปพลิเคชั่นเดียวในคิว
2 - มีสองแอปพลิเคชันในคิว

t-ทุกสถานที่ในคิวถูกครอบครอง

ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้กำหนดโดยความน่าจะเป็นของรัฐที่เกี่ยวข้อง โดยเริ่มจากสถานะ S2 กฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง k มีดังต่อไปนี้:

ตารางที่ 1. กฎการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนี้คือ:

ทะเลสาบ = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

ในกรณีทั่วไปสำหรับ p ? 1 ผลรวมนี้สามารถแปลงโดยใช้แบบจำลองความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นรูปแบบที่สะดวกกว่า:

ทะเลสาบ = p2 * 13.00 น. * (m-m*p+1)*p0

ในกรณีเฉพาะที่ p = 1 เมื่อความน่าจะเป็นทั้งหมด pk เท่ากัน เราสามารถใช้นิพจน์สำหรับผลรวมของเงื่อนไขของอนุกรมตัวเลขได้

1+2+3+ ม. = ม.(ม.+1)

แล้วเราจะได้สูตร

L "ใช่ \u003d ม.(ม.+1)* p0 = ม.(ม.+1)(p=1).

การใช้เหตุผลและการแปลงที่คล้ายกัน สามารถแสดงให้เห็นว่าเวลารอเฉลี่ยสำหรับการให้บริการคำขอและคิวถูกกำหนดโดยสูตรของ Little

จุด \u003d Loch / A (ที่ p? 1) และ T1och \u003d L "och / A (ที่ p \u003d 1)

ผลลัพธ์ดังกล่าว เมื่อปรากฎว่า Tox ~ 1/l อาจดูแปลก: ด้วยความเข้มข้นของการไหลของคำขอที่เพิ่มขึ้น ดูเหมือนว่าความยาวของคิวควรเพิ่มขึ้น และเวลารอเฉลี่ยควรลดลง อย่างไรก็ตาม พึงระลึกไว้เสมอว่า ประการแรก ค่าของทะเลสาบเป็นฟังก์ชันของ l และ m และประการที่สอง QS ที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นมีความยาวคิวที่จำกัดไม่เกิน m แอปพลิเคชัน

คำขอที่มาถึง QS ในเวลาที่ทุกช่องไม่ว่างจะถูกปฏิเสธ และด้วยเหตุนี้ เวลา "รอ" ใน QS จึงเป็นศูนย์ สิ่งนี้นำไปสู่กรณีทั่วไป (สำหรับ p? 1) การลดลงของ Tochrostom l เนื่องจากสัดส่วนของการใช้งานดังกล่าวเพิ่มขึ้นตามการเติบโตของ l

หากเราละทิ้งการจำกัดความยาวของคิว กล่าวคือ aspire m--> >? แล้วกรณี p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

สำหรับ k ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ความน่าจะเป็นของ pk มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ดังนั้น ปริมาณงานสัมพัทธ์จะเป็น Q = 1 และปริมาณงานสัมบูรณ์จะเท่ากับ A - l Q - l ดังนั้น คำขอที่เข้ามาทั้งหมดจะได้รับการบริการ และความยาวคิวเฉลี่ยจะเท่ากับ:

ทะเลสาบ = p2 1-p

และระยะเวลารอเฉลี่ยตามสูตรของน้อง

จุด \u003d ทะเลสาบ / A

ในขีดจำกัด p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?) ดังนั้นจึงไม่สามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐได้: สำหรับ Q= 1 มีค่าเท่ากับศูนย์ อันที่จริง CMO ไม่ทำหน้าที่ของตน เนื่องจากไม่สามารถให้บริการแอปพลิเคชันที่เข้ามาทั้งหมดได้

มันง่ายที่จะตัดสินว่าส่วนแบ่งของคำขอที่ให้บริการและปริมาณงานที่แน่นอนตามลำดับค่าเฉลี่ย c และ m อย่างไรก็ตามการเพิ่มขึ้นอย่างไม่ จำกัด ในคิวและด้วยเหตุนี้เวลาที่รอจึงนำไปสู่ความจริงที่ว่าหลังจากนั้นไม่นาน คำขอเริ่มสะสมในคิวไม่จำกัดเวลา

ในฐานะหนึ่งในคุณลักษณะของ QS เวลาเฉลี่ย Tsmo ของการเข้าพักของแอปพลิเคชันใน QS จะถูกใช้ ซึ่งรวมถึงเวลาเฉลี่ยที่ใช้ในคิวและเวลาให้บริการโดยเฉลี่ย ค่านี้คำนวณโดยสูตรของ Little: หากความยาวของคิวมีจำกัด จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิวจะเท่ากับ:

Lcmo= m+1;2

tsmo= แอลซีเอ็มโอ;ที่ p?1

ก แล้วเวลาพำนักเฉลี่ยของคำขอในระบบ เข้าคิว(ทั้งในคิวและระหว่างให้บริการ) เท่ากับ:

tsmo= m+1ที่ p ?1 2m

การทำงานหรือประสิทธิภาพของระบบการเข้าคิวมีดังนี้

สำหรับ CMO กับความล้มเหลว:

สำหรับ CMO กับ รอได้ไม่จำกัด ปริมาณงานทั้งแบบสัมบูรณ์และแบบสัมพัทธ์สูญเสียความหมาย เนื่องจากคำขอขาเข้าแต่ละรายการจะได้รับบริการไม่ช้าก็เร็ว สำหรับ QS นั้น ตัวชี้วัดที่สำคัญคือ:

สำหรับ CMO ผสมประเภทใช้ตัวบ่งชี้ทั้งสองกลุ่ม: ทั้งแบบสัมพัทธ์และ แบนด์วิธสัมบูรณ์และลักษณะการคาดหวัง

ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของการดำเนินการเข้าคิว ตัวบ่งชี้ใดๆ ข้างต้น (หรือชุดของตัวบ่งชี้) สามารถเลือกเป็นเกณฑ์ประสิทธิภาพได้

แบบจำลองการวิเคราะห์ QS คือชุดของสมการหรือสูตรที่ทำให้สามารถกำหนดความน่าจะเป็นของสถานะของระบบในระหว่างการดำเนินงาน และคำนวณตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพตามลักษณะที่ทราบของโฟลว์ขาเข้าและช่องทางการบริการ

ไม่มีแบบจำลองการวิเคราะห์ทั่วไปสำหรับ QS . โดยพลการ. แบบจำลองการวิเคราะห์ได้รับการพัฒนาสำหรับกรณีพิเศษของ QS ในจำนวนจำกัด แบบจำลองเชิงวิเคราะห์ที่แสดงถึงระบบจริงอย่างแม่นยำมากหรือน้อยนั้น ตามกฎแล้ว ซับซ้อนและมองเห็นได้ยาก

การสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ของ QS จะอำนวยความสะดวกอย่างมากหากกระบวนการที่เกิดขึ้นใน QS เป็น Markovian (ขั้นตอนของการร้องขอนั้นง่าย เวลาให้บริการจะถูกกระจายแบบทวีคูณ) ในกรณีนี้ กระบวนการทั้งหมดใน QS สามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา และในกรณีจำกัด สำหรับสถานะนิ่ง โดยสมการพีชคณิตเชิงเส้น และเมื่อแก้แล้ว ให้กำหนดตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพที่เลือกไว้

มาพิจารณาตัวอย่าง QS บางส่วน

2.5.1. QS หลายช่องสัญญาณพร้อมความล้มเหลว

ตัวอย่าง 2.5. ผู้ตรวจการจราจรสามคนตรวจสอบใบตราส่งสินค้าของคนขับรถบรรทุก หากมีผู้ตรวจสอบอย่างน้อยหนึ่งคน รถบรรทุกที่ผ่านจะหยุด หากผู้ตรวจสอบทุกคนยุ่ง รถบรรทุกก็จะผ่านไปโดยไม่หยุด การไหลของรถบรรทุกเป็นเรื่องง่ายที่สุด เวลาตรวจสอบจะสุ่มด้วยการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

สถานการณ์ดังกล่าวสามารถจำลองได้โดย QS สามช่องสัญญาณที่มีความล้มเหลว (ไม่มีคิว) ระบบเปิดด้วยการใช้งานที่เป็นเนื้อเดียวกัน เฟสเดียว พร้อมช่องสัญญาณที่เชื่อถือได้อย่างแน่นอน

คำอธิบายของรัฐ:

ผู้ตรวจสอบทุกคนฟรี

ผู้ตรวจสอบคนหนึ่งไม่ว่าง

ผู้ตรวจสอบสองคนกำลังยุ่งอยู่

ผู้ตรวจสอบสามคนกำลังยุ่งอยู่

กราฟของสถานะของระบบจะแสดงในรูปที่ 2.11.

ข้าว. 2.11.

บนกราฟ: - ความเข้มของการไหลของรถบรรทุก; - ความเข้มของการตรวจสอบเอกสารโดยผู้ตรวจการจราจรหนึ่งคน

การจำลองจะดำเนินการเพื่อกำหนดส่วนของรถยนต์ที่จะไม่ได้รับการทดสอบ

วิธีการแก้

ส่วนที่ต้องการของความน่าจะเป็นคือความน่าจะเป็นของการจ้างงานของผู้ตรวจสอบทั้งสามคน เนื่องจากกราฟสถานะแสดงถึงรูปแบบทั่วไปของ "ความตายและการสืบพันธุ์" เราจะพบโดยใช้การพึ่งพา (2.2)

ปริมาณงานของผู้ตรวจสอบการจราจรนี้สามารถระบุได้ ปริมาณงานสัมพัทธ์:

ตัวอย่าง2.6. ในการรับและประมวลผลรายงานจากกลุ่มลาดตระเวณ ได้มอบหมายให้กลุ่มเจ้าหน้าที่สามคนไปยังแผนกลาดตระเวณของสมาคม อัตราการรายงานที่คาดหวังคือ 15 รายงานต่อชั่วโมง เวลาดำเนินการโดยเฉลี่ยของรายงานหนึ่งฉบับโดยเจ้าหน้าที่หนึ่งคนคือ เจ้าหน้าที่แต่ละคนสามารถรับรายงานจากกลุ่มลาดตระเวนใดก็ได้ เจ้าหน้าที่ที่ปล่อยตัวจะประมวลผลรายงานที่ได้รับล่าสุด รายงานขาเข้าต้องได้รับการประมวลผลด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย 95%

ตรวจสอบว่ากลุ่มเจ้าหน้าที่สามคนที่ได้รับมอบหมายเพียงพอหรือไม่ที่จะทำงานที่ได้รับมอบหมายให้เสร็จสิ้น

วิธีการแก้

กลุ่มเจ้าหน้าที่ทำงานเป็น CMO ที่ล้มเหลว ประกอบด้วย 3 ช่องทาง

การไหลของรายงานที่มีความเข้มข้น ถือได้ว่าง่ายที่สุดเนื่องจากเป็นกลุ่มลาดตระเวนหลายกลุ่ม ความเข้มข้นของการบำรุงรักษา . กฎหมายการจัดจำหน่ายไม่เป็นที่รู้จัก แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็น เนื่องจากแสดงให้เห็นว่าสำหรับระบบที่มีความล้มเหลว อาจเป็นได้โดยพลการ

คำอธิบายของสถานะและกราฟสถานะของ QS จะคล้ายกับที่ให้ไว้ในตัวอย่างที่ 2.5

เนื่องจากกราฟสถานะเป็นแบบแผน "ความตายและการสืบพันธุ์" จึงมีนิพจน์สำเร็จรูปสำหรับการจำกัดความน่าจะเป็นของรัฐ:

ความสัมพันธ์ที่เรียกว่า ความเข้มที่ลดลงของการไหลของแอปพลิเคชัน. ความหมายทางกายภาพมีดังนี้: ค่าคือจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่มาถึง QS สำหรับเวลาให้บริการเฉลี่ยของคำขอหนึ่งรายการ

ในตัวอย่าง .

ใน ความล้มเหลวของซีเอ็มโอเกิดขึ้นเมื่อทั้งสามช่องถูกครอบครอง นั่นคือ . แล้ว:

เพราะ ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในการประมวลผลรายงานมากกว่า 34% () จากนั้นจึงจำเป็นต้องเพิ่มบุคลากรของกลุ่ม ให้เราเพิ่มองค์ประกอบของกลุ่มเป็นสองเท่า กล่าวคือ ตอนนี้ QS จะมีหกช่องสัญญาณ และคำนวณ:

ดังนั้นมีเพียงกลุ่มเจ้าหน้าที่ 6 นายเท่านั้นที่จะสามารถประมวลผลรายงานที่เข้ามาด้วยความน่าจะเป็น 95%

2.5.2. QS หลายช่องพร้อมรอ

ตัวอย่าง 2.7. มีด่านข้ามแม่น้ำประเภทเดียวกันจำนวน 15 แห่ง การไหลของอุปกรณ์ที่มาถึงจุดข้ามเฉลี่ย 1 หน่วย/นาที เวลาเฉลี่ยของการข้ามอุปกรณ์หนึ่งหน่วยคือ 10 นาที (โดยคำนึงถึงการส่งคืนสิ่งอำนวยความสะดวกทางข้าม)

ประเมินลักษณะสำคัญของทางม้าลาย รวมถึงโอกาสที่จะมีการข้ามทันทีเมื่ออุปกรณ์มาถึง

วิธีการแก้

แบนด์วิดธ์แบบสัมบูรณ์นั่นคือ ทุกสิ่งที่มาถึงทางข้ามนั้นแทบจะในทันที

จำนวนสิ่งอำนวยความสะดวกทางม้าลายโดยเฉลี่ย:

การใช้ประโยชน์ข้ามและอัตราส่วนการหยุดทำงาน:

โปรแกรมได้รับการพัฒนาเพื่อแก้ปัญหาตัวอย่าง ช่วงเวลาสำหรับการมาถึงของอุปกรณ์ที่ทางข้าม เวลาของการข้ามจะถูกนำไปแจกจ่ายตามกฎเลขชี้กำลัง

อัตราการใช้เรือข้ามฟากหลังจากวิ่ง 50 รอบจะเท่ากัน: .

ความยาวสูงสุดของคิวคือ 15 หน่วย เวลาเฉลี่ยที่ใช้ในคิวคือประมาณ 10 นาที

ในทางปฏิบัติ QS ช่องทางเดียวที่มีคิวเป็นเรื่องปกติธรรมดา (แพทย์ที่ให้บริการผู้ป่วย โทรศัพท์สาธารณะที่มีตู้เดียว คอมพิวเตอร์ที่ปฏิบัติตามคำสั่งของผู้ใช้) ในทฤษฎีการจัดคิว QS แบบช่องสัญญาณเดียวที่มีคิวยังใช้พื้นที่พิเศษด้วย (สูตรการวิเคราะห์ส่วนใหญ่ที่ได้รับจนถึงตอนนี้สำหรับระบบที่ไม่ใช่ของ Markovian อยู่ใน QS ดังกล่าว) ดังนั้นเราจะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับ QS ช่องทางเดียวพร้อมคิว

ให้มี QS ช่องทางเดียวพร้อมคิวที่ไม่มีการกำหนดข้อจำกัด (ไม่เกี่ยวกับความยาวของคิวหรือเวลาที่รอ) QS นี้ได้รับโฟลว์ของแอปพลิเคชันที่มีความเข้ม X; การไหลของบริการมีความเข้มข้นซึ่งกันและกันกับเวลาบริการเฉลี่ยของคำขอ จำเป็นต้อง ค้นหาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะ QS ตลอดจนคุณลักษณะของประสิทธิภาพ:

จำนวนการใช้งานเฉลี่ยในระบบ

เวลาพำนักเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในระบบ

จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว

เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันใช้ในคิว

ความน่าจะเป็นที่ช่องสัญญาณไม่ว่าง (ระดับการโหลดบนช่อง)

สำหรับปริมาณงานที่แน่นอน A และ Q แบบสัมพัทธ์ ไม่จำเป็นต้องคำนวณ: เนื่องจากคิวมีไม่จำกัด แต่ละแอปพลิเคชันจะให้บริการไม่ช้าก็เร็ว ด้วยเหตุผลเดียวกัน

วิธีการแก้. สถานะของระบบเช่นเดิมจะถูกกำหนดหมายเลขตามจำนวนแอปพลิเคชันใน QS:

ช่องฟรี

ช่องไม่ว่าง (ให้บริการตามคำขอ) ไม่มีคิว

ช่องไม่ว่าง หนึ่งแอปพลิเคชันอยู่ในคิว

ช่องไม่ว่าง แอปพลิเคชันอยู่ในคิว

ในทางทฤษฎี จำนวนรัฐไม่ได้ถูกจำกัดด้วยสิ่งใดๆ (อย่างอนันต์) กราฟสถานะมีรูปแบบที่แสดงในรูปที่ 20.2. นี่เป็นแผนของการตายและการสืบพันธุ์ แต่มีจำนวนรัฐไม่สิ้นสุด ตามลูกศรทั้งหมดการไหลของคำขอที่มีความเข้มข้น A โอนระบบจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย - การไหลของบริการที่มีความเข้มข้น

ก่อนอื่น ให้เราถามตัวเองว่า มีความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายในกรณีนี้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้วจำนวนสถานะของระบบนั้นไม่มีที่สิ้นสุดและโดยหลักการแล้วคิวสามารถเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด! ใช่ เป็นความจริง: ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายสำหรับ QS ดังกล่าวไม่ได้มีอยู่จริงเสมอไป แต่เมื่อระบบไม่ได้โอเวอร์โหลดเท่านั้น สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าน้อยกว่าหนึ่งอย่างเคร่งครัด ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายมีอยู่ และสำหรับ คิวจะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ข้อเท็จจริงนี้ดูเหมือน "เข้าใจยาก" โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ ดูเหมือนว่าไม่มีข้อกำหนดที่เป็นไปไม่ได้สำหรับระบบ: ในระหว่างการให้บริการของแอปพลิเคชันหนึ่งแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยหนึ่งรายการเข้ามาและทุกอย่างควรอยู่ในลำดับ แต่ในความเป็นจริงไม่ใช่

ด้วย QS จะจัดการกับโฟลว์ของแอปพลิเคชันก็ต่อเมื่อโฟลว์นี้เป็นปกติ และเวลาให้บริการก็ไม่สุ่มเช่นกัน ซึ่งเท่ากับช่วงเวลาระหว่างแอปพลิเคชัน ในกรณีนี้ "ในอุดมคติ" จะไม่มีคิวใน QS เลย ช่องจะไม่ว่างอย่างต่อเนื่องและจะออกคำขอรับบริการอย่างสม่ำเสมอ แต่ทันทีที่กระแสของคำขอหรือการไหลของบริการกลายเป็นการสุ่มอย่างน้อย คิวก็จะเติบโตอย่างไม่มีกำหนด ในทางปฏิบัติ สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเพียงเพราะ "แอปพลิเคชันในคิวจำนวนอนันต์" เป็นนามธรรม เหล่านี้เป็นข้อผิดพลาดขั้นต้นที่การแทนที่ตัวแปรสุ่มโดยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาสามารถนำไปสู่!

แต่กลับมาที่ QS ช่องทางเดียวของเรากับคิวไม่จำกัด พูดอย่างเคร่งครัดสูตรสำหรับความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายในรูปแบบของความตายและการสืบพันธุ์นั้นมาจากเราเฉพาะในกรณีที่มีจำนวนรัฐที่ จำกัด แต่เอาเสรีภาพ - เราจะใช้สำหรับรัฐจำนวนอนันต์ ให้เราคำนวณความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของรัฐตามสูตร (19.8), (19.7) ในกรณีของเรา จำนวนพจน์ในสูตร (19.8) จะไม่มีที่สิ้นสุด เราได้นิพจน์สำหรับ

อนุกรมในสูตร (20.11) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เรารู้ว่าเมื่ออนุกรมมาบรรจบกัน - นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วยตัวส่วน สำหรับ ซีรีส์แตกต่างออกไป (ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ทางอ้อม แม้ว่าจะไม่ได้เข้มงวด แต่เป็นการพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นในขั้นสุดท้ายมีอยู่สำหรับ เท่านั้น) ทีนี้ สมมติเงื่อนไขนี้เป็นที่พอใจ และสรุปความก้าวหน้าใน (20.11) เรามี

(20.12)

ความน่าจะเป็นหาได้จากสูตร:

เมื่อคำนึงถึง (20.12) ในที่สุดเราก็พบว่า:

อย่างที่คุณเห็น ความน่าจะเป็นสร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยตัวส่วน น่าแปลกที่จำนวนสูงสุดของพวกเขาคือความน่าจะเป็นที่ช่องจะว่างเลย ไม่ว่าระบบการจัดคิวจะยุ่งแค่ไหน หากระบบสามารถจัดการกับการไหลของคำขอได้เลย จำนวนคำขอที่มีแนวโน้มมากที่สุดในระบบจะเป็น 0

มาหาจำนวนการใช้งานเฉลี่ยใน QS กัน ที่นี่คุณต้องคนจรจัดเล็กน้อย ตัวแปรสุ่ม Z - จำนวนแอปพลิเคชันในระบบ - มีค่าที่เป็นไปได้ด้วยความน่าจะเป็น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันคือ

(20.14)

(ผลรวมไม่ได้นำมาจาก 0 ถึง แต่จาก 1 ถึง เนื่องจากเทอมศูนย์เท่ากับศูนย์)

เราแทนที่เป็นสูตร (20.14) นิพจน์สำหรับ

ทีนี้ลองเอามันออกจากเครื่องหมายผลรวม:

ที่นี่เราใช้ "เคล็ดลับเล็ก ๆ น้อย ๆ" อีกครั้ง: ไม่มีอะไรมากไปกว่าอนุพันธ์ของรูขุมขนจากการแสดงออกหมายถึง

โดยการแลกเปลี่ยนการดำเนินการของดิฟเฟอเรนติเอชันและการรวม เราจะได้:

แต่ผลรวมในสูตร (20.15) ไม่ได้เป็นอะไรนอกจากผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดกับสมาชิกตัวแรกและตัวส่วน ผลรวมนี้เท่ากับและอนุพันธ์ของมัน แทนที่นิพจน์นี้เป็น (20.15) เราได้รับ:

(20.16)

ทีนี้ มาประยุกต์ใช้สูตรของ Little (19.12) กัน และหาเวลาพำนักเฉลี่ยของใบสมัครในระบบ:

หาค่าเฉลี่ยของการร้องขอในคิว เราจะโต้แย้งดังนี้ จำนวนคำขอในคิวเท่ากับจำนวนคำขอในระบบลบจำนวนคำขอที่อยู่ภายใต้การบริการ ดังนั้น (ตามกฎของการเพิ่มความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) จำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิวจะเท่ากับจำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในระบบลบด้วยจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่อยู่ภายใต้บริการ จำนวนคำขอที่ให้บริการอาจเป็นศูนย์ (หากช่องว่าง) หรือหนึ่งรายการ (หากไม่ว่าง) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มดังกล่าวจะเท่ากับความน่าจะเป็นที่ช่องสัญญาณไม่ว่าง (เราแสดงเป็น ) แน่นอน มันเท่ากับหนึ่งลบความน่าจะเป็นที่ช่องจะว่าง

ดังนั้นจำนวนคำขอบริการโดยเฉลี่ยเท่ากับ

SMO ประเภทนี้ค่อนข้างแพร่หลาย ซึ่งรวมถึงคิวสำหรับนัดหมายกับแพทย์ คิวสำหรับข้ามสะพานเมื่อขับรถด้วยช่องทางเดียว และคิวสำหรับขึ้นรถบัสด้วยอุปกรณ์ ระบบควบคุมอัตโนมัติทางเดินของผู้โดยสาร ฯลฯ QS ดังกล่าวสามารถแสดงได้โดยใช้กราฟที่มีป้ายกำกับ ดังแสดงในรูปที่ 6.

ข้าว. 6. QS ช่องทางเดียวไม่จำกัดคิว

ด้วยคิวที่ไม่จำกัด เราหมายถึงจำนวนแอปพลิเคชันที่ได้รับสำหรับบริการไม่จำกัด และเวลาให้บริการสำหรับแต่ละแอปพลิเคชันนั้นเป็นไปตามอำเภอใจ แต่แอปพลิเคชันทั้งหมดจะได้รับบริการไม่ช้าก็เร็ว ในกรณีนี้ มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงปริมาณงานสัมบูรณ์ (A =λ) และปริมาณงานสัมพัทธ์ (Q = 1)

คำขอที่ได้รับใหม่แต่ละรายการจะโอน QS ไปยังสถานะใหม่ S โดยมีดัชนีเพิ่มขึ้น 1 นั่นคือจากซ้ายไปขวา และคำขอบริการแต่ละรายการจะลดดัชนีสถานะ S ลง 1 เช่น เคลื่อนที่ไปตามกราฟจากขวาไปซ้าย เนื่องจากการเคลมเพียงครั้งเดียวจะได้รับบริการในแต่ละช่วงเวลา (QS ช่องทางเดียว) ดังนั้นอัตราการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนทั้งหมดจะเท่ากับ λ และอัตราการให้บริการเคลมทั้งหมดจะเท่ากับ µ ได้รับการพิสูจน์ในวรรณกรรมพิเศษว่าไม่มีความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายสำหรับรัฐ QS ที่ไม่จำกัดจำนวน สำหรับ กรณีนี้ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายอยู่ภายใต้ข้อจำกัดที่กำหนดไว้: แอปพลิเคชันทั้งหมดจะให้บริการไม่ช้าก็เร็วและเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

โดยใช้สูตร (10) - (13) และ (14) เราพิจารณาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของเหตุการณ์

เมื่อพิจารณาว่า 1 + ρ + ρ 2 +ρ 3 + ... + ρ m + ... =1/(1-ρ) เราจะได้ค่าความน่าจะเป็นสุดท้ายของเหตุการณ์ S0:

Po=1-ρ. (.21)

ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของเหตุการณ์ที่ตามมาจะถูกกำหนดเป็น:

P1 = ρP0; p2 = ρ 2 โพ; pz = ρ 3 P0; Рm = ρ ม ปอ; (22)

ให้เราคำนวณจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยใน QS เนื่องจากจำนวนคำขอสามารถรับค่า 0, 1, 2, 3, ... , m, ... เราสามารถเขียน:

ระบบ L =0P0+1P1+2P2+3P3+…mPm+..=

ใช้สูตร (17) เรากำหนดเวลาให้บริการของคำขอ

ให้เรากำหนดความยาวเฉลี่ยของคิว (จำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่รอให้บริการ) เนื่องจาก QS ที่เรากำลังพิจารณานั้นเป็นช่องทางเดียว จึงให้บริการได้เพียงแอปพลิเคชันเดียวเท่านั้น และแอปพลิเคชันที่เหลือกำลังรอการมาถึงของพวกเขา

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว (การครอบครองหนึ่งช่อง) จะเท่ากับ Р zan = 1 – Р0 = ρ เนื่องจาก QS ให้บริการเพียงคำขอเดียวเท่านั้น Lobs = ρ

ความยาวคิวคือความแตกต่างระหว่างจำนวนคำขอทั้งหมดและคำขอในบริการ จากนั้น:

สามารถกำหนดเวลาเฉลี่ยที่คำขอใช้ในคิวได้

กำหนดคุณลักษณะทั้งหมดของ QS ช่องทางเดียว

รถสามคันต่อชั่วโมงมาถึงที่คลังค้าส่งเพื่อขนถ่าย (λ = 3) เวลาเฉลี่ยในการขนถ่าย (Tobs) ของรถหนึ่งคัน - 10 นาที กำหนดลักษณะของ QS ช่องทางเดียวด้วยคิวไม่จำกัด

กำหนดความเข้มข้นของการบำรุงรักษารถยนต์

โดยใช้สูตร (23) เรากำหนดจำนวนรถยนต์ที่ให้บริการโดยเฉลี่ย:

โดยใช้สูตร (24) เรากำหนดเวลาเฉลี่ย (ชั่วโมง) ในการบำรุงรักษารถยนต์:

โดยใช้สูตร (25) เรากำหนดความยาวของคิว (จำนวนรถเฉลี่ยที่รอขนถ่าย):

L och \u003d L syst - ρ \u003d 1 - 0.5 \u003d 0.5

โดยใช้สูตร (26) เรากำหนดเวลารอเฉลี่ยในคิวรถ

พิจารณาตอนนี้ QS ช่องทางเดียวด้วยความคาดหวัง

ระบบการเข้าคิวมีช่องทางเดียว กระแสเข้าการไหลของคำขอบริการมีความเข้ม λ ความเข้มข้นของการไหลของบริการเท่ากับ μ (เช่น โดยเฉลี่ย ช่องทางที่ไม่ว่างอย่างต่อเนื่องจะออกคำขอรับบริการ μ) ระยะเวลาการให้บริการเป็นตัวแปรสุ่มภายใต้กฎหมายการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล คำขอที่มาถึงในเวลาที่ช่องไม่ว่างอยู่ในคิวและรอให้บริการ

พิจารณาระบบด้วย คิวจำกัด. ให้เราสมมติว่าไม่ว่าความต้องการจะเข้าสู่ระบบการเสิร์ฟมากแค่ไหน ระบบนี้(คิว + ลูกค้าเสิร์ฟ) ไม่สามารถรองรับได้มากกว่า นู๋-ข้อกำหนด (แอปพลิเคชัน) ที่ให้บริการและ ( นู๋-1) การรอ ลูกค้าที่ไม่ต้องรอถูกบังคับให้ให้บริการที่อื่นและคำขอดังกล่าวจะหายไป

หมายถึง - ความน่าจะเป็นที่ระบบเป็น นแอปพลิเคชัน ค่านี้คำนวณโดยสูตร:

นี่คืออัตราการไหลที่ลดลง จากนั้นความน่าจะเป็นที่ช่องทางบริการจะว่างและไม่มีลูกค้ารายเดียวในระบบเท่ากับ: .

เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราสามารถกำหนดได้

ให้เรากำหนดลักษณะของ QS ช่องทางเดียวด้วยการรอและความยาวคิวที่จำกัดเท่ากับ (N-1):

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธที่จะให้บริการแอปพลิเคชัน:

ปริมาณงานของระบบสัมพัทธ์:

แบนด์วิธสัมบูรณ์:

แต่=q∙λ;

จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในระบบ:

เวลาพำนักเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในระบบ:

;

ระยะเวลาการเข้าพักเฉลี่ยของลูกค้า (แอปพลิเคชัน) ในคิว:

W q=Ws- 1/μ;

จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ย (ไคลเอนต์) ในคิว (ความยาวคิว):

L q=λ(1- พี่หนุ่ย)W q.

พิจารณาตัวอย่าง QS แบบช่องสัญญาณเดียวพร้อมรอ

ตัวอย่าง 9.2. สู่โซน การควบคุมทางศุลกากรที่ด่านรถเข้าตามระบบ คิวอิเล็กทรอนิกส์. หน้าต่างการประมวลผลขาเข้า/ขาออกแต่ละช่องเป็น QS แบบช่องทางเดียว จำนวนที่จอดรถสำหรับรถรอจดทะเบียนจำกัดและเท่ากับ 3 คือ ( นู๋-1)=3. หากมีที่จอดรถเต็มจำนวน กล่าวคือ มีรถอยู่ในคิวอยู่แล้วสามคัน รถคันต่อไปจะไม่ได้รับอนุญาตให้เข้าไปในเขตควบคุมทางศุลกากร กล่าวคือ ไม่เข้าคิวเข้ารับบริการ การไหลของรถที่มาถึงสำหรับการกวาดล้างมีความรุนแรง λ =0.85 (คันต่อชั่วโมง) เวลาในการจดทะเบียนรถจะกระจายตามกฎเลขชี้กำลังและโดยเฉลี่ยคือ = 1.05 ชั่วโมง จำเป็นต้องกำหนดลักษณะความน่าจะเป็นของหน้าต่างการประมวลผลขาเข้า/ขาออกของจุดตรวจที่ทำงานในโหมดหยุดนิ่ง

วิธีการแก้.

ความเข้มข้นของการไหลของบริการรถยนต์: