smo ช่องทางเดียวรอคิวได้ไม่จำกัด สมูทหลายช่องด้วยความยาวคิวที่จำกัด ระบบการเข้าคิวแบบหลายช่องสัญญาณที่มีคิวจำกัดและเวลารอในคิวจำกัด

ในทางปฏิบัติ QS ช่องทางเดียวที่มีคิวเป็นเรื่องปกติธรรมดา (แพทย์ที่ให้บริการผู้ป่วย โทรศัพท์สาธารณะที่มีตู้เดียว คอมพิวเตอร์ที่ปฏิบัติตามคำสั่งของผู้ใช้) ในทางทฤษฎี เข้าคิว QS แบบช่องสัญญาณเดียวที่มีคิวยังใช้พื้นที่พิเศษด้วย (สูตรการวิเคราะห์ส่วนใหญ่ที่ได้รับจนถึงตอนนี้สำหรับระบบที่ไม่ใช่ของ Markovian อยู่ใน QS ดังกล่าว) ดังนั้นเราจะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับ QS ช่องทางเดียวพร้อมคิว

ให้มี QS ช่องทางเดียวพร้อมคิวที่ไม่มีการกำหนดข้อจำกัด (ไม่เกี่ยวกับความยาวของคิวหรือเวลาที่รอ) QS นี้ได้รับกระแสของแอปพลิเคชันที่มีความเข้ม λ; การไหลของบริการมีความเข้มข้น μ ซึ่งตรงกันข้ามกับเวลาบริการเฉลี่ยของคำขอ tb จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของรัฐ QS รวมถึงลักษณะของประสิทธิภาพ:

Lsyst - จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในระบบ

Wsyst คือเวลาพักเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในระบบ

Loch - จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในคิว

Woch - เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในคิว

Rzan - ความน่าจะเป็นที่ช่องไม่ว่าง (ระดับการโหลดช่อง)

สำหรับปริมาณงานสัมบูรณ์ A และ Q แบบสัมพัทธ์ ไม่จำเป็นต้องคำนวณ: เนื่องจากคิวมีไม่จำกัด แต่ละแอปพลิเคชันจะได้รับบริการไม่ช้าก็เร็ว ดังนั้น A = λ ด้วยเหตุผลเดียวกัน Q = 1

วิธีการแก้. สถานะของระบบเช่นเดิมจะถูกกำหนดหมายเลขตามจำนวนแอปพลิเคชันใน QS:

S0 - ช่องฟรี

S1 - ช่องไม่ว่าง (ให้บริการตามคำขอ) ไม่มีคิว

S2 - ช่องไม่ว่าง คำขอหนึ่งอยู่ในคิว

Sk - ช่องไม่ว่าง k - 1 คำขออยู่ในคิว

ในทางทฤษฎี จำนวนรัฐไม่ได้ถูกจำกัดด้วยสิ่งใดๆ (อย่างอนันต์) กราฟสถานะมีรูปแบบที่แสดงในรูปที่ 4.11. นี่เป็นแผนของการตายและการสืบพันธุ์ แต่มีจำนวนรัฐไม่สิ้นสุด สำหรับลูกศรทั้งหมด การไหลของคำขอที่มีความเข้ม λ จะส่งระบบจากซ้ายไปขวา และจากขวาไปซ้าย - การไหลของบริการที่มีความเข้มข้น μ

ข้าว. 4.11. กราฟของสถานะ QS ในรูปแบบของแผนการตายและการสืบพันธุ์ที่มีจำนวนอนันต์

ก่อนอื่น ให้เราถามตัวเองว่า มีความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายในกรณีนี้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว จำนวนสถานะของระบบนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และโดยหลักการแล้ว t→∞ คิวสามารถเติบโตได้ไม่มีกำหนด! ใช่ เป็นความจริง: ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายสำหรับ QS ดังกล่าวไม่ได้มีอยู่จริงเสมอไป แต่เมื่อระบบไม่ได้โอเวอร์โหลดเท่านั้น สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า p มีค่าน้อยกว่าหนึ่งอย่างเคร่งครัด (p<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

แต่กลับมาที่ QS ช่องทางเดียวของเรากับคิวไม่จำกัด พูดอย่างเคร่งครัด สูตรสำหรับความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายในรูปแบบการตายและการสืบพันธุ์นั้นมาจากเราเฉพาะในกรณีที่มีจำนวนรัฐที่จำกัด แต่เราจะใช้สูตรเหล่านี้สำหรับรัฐจำนวนอนันต์เช่นกัน ให้เราคำนวณความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของรัฐตามสูตร (4.21), (4.20) ในกรณีของเรา จำนวนพจน์ในสูตร (4.21) จะไม่มีที่สิ้นสุด เราได้รับนิพจน์สำหรับ p0:

ที่ไหน

ความน่าจะเป็น p1, p2, ..., pk, ... สามารถพบได้โดยสูตร:

เมื่อคำนึงถึง (4.38) ในที่สุดเราก็พบว่า:

พี 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk= ρ4(1- ρ), . . . (4.39)

อย่างที่คุณเห็น ความน่าจะเป็น p0, p1, ..., pk, ... สร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยตัวส่วน p น่าแปลกที่ p0 สูงสุดคือความน่าจะเป็นที่ช่องจะว่างเลย ไม่ว่าระบบจะโหลดด้วยคิวมากแค่ไหน ถ้าเพียง แต่มันสามารถรับมือกับกระแสของแอพพลิเคชั่นได้เลย (p<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

ให้เราหาจำนวนการใช้งานเฉลี่ยใน QS Lsyst ตัวแปรสุ่ม Z - จำนวนแอปพลิเคชันในระบบ - มีค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, ..., k, ... โดยมีความน่าจะเป็น p0, p1, p2, ..., pk, ... ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับ

(ผลรวมไม่ได้นำมาจาก 0 ถึง ∞ แต่จาก 1 ถึง ∞ เนื่องจากเทอมศูนย์เท่ากับศูนย์)

ให้เราแทนที่เป็นสูตร (4.40) นิพจน์สำหรับ рk (4.39):

ตอนนี้เราเอา p (1 - p) ออกจากเครื่องหมายของผลรวม:

ที่นี่เราใช้ "เคล็ดลับเล็กน้อย" อีกครั้ง: kpk-1 ไม่มีอะไรมากไปกว่าอนุพันธ์เทียบกับ p ของนิพจน์ pk; วิธี,

โดยการแลกเปลี่ยนการดำเนินการของดิฟเฟอเรนติเอชันและการรวม เราจะได้:

ทีนี้ ลองใช้สูตรของลิตเติ้ล (4.25) และหาเวลาพำนักเฉลี่ยของคำสั่งในระบบ:

ค้นหาจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิว Loch เราจะโต้แย้งดังนี้ จำนวนแอปพลิเคชันในคิวเท่ากับจำนวนแอปพลิเคชันในระบบลบด้วยจำนวนแอปพลิเคชันที่อยู่ภายใต้บริการ ซึ่งหมายความว่า (ตามกฎของการเพิ่มความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) จำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิว Lch เท่ากับจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในระบบ Lsyst ลบจำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยที่อยู่ภายใต้บริการ จำนวนคำขอที่ให้บริการอาจเป็นศูนย์ (หากช่องว่าง) หรือหนึ่งรายการ (หากไม่ว่าง) การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มดังกล่าวจะเท่ากับความน่าจะเป็นที่ช่องสัญญาณไม่ว่าง (เรากำหนดให้เป็น Rzan) เห็นได้ชัดว่า Pzan เท่ากับหนึ่งลบความน่าจะเป็น p0 ที่ช่องนั้นว่าง:

และในที่สุดก็

ดังนั้นจึงพบคุณลักษณะทั้งหมดของประสิทธิภาพของ QS

ขอแนะนำให้ผู้อ่านแก้ตัวอย่างด้วยตัวเอง: QS ช่องทางเดียวคือลานจัดรถไฟซึ่งรับการไหลของรถไฟที่ง่ายที่สุดด้วยความเข้มข้น λ = 2 (รถไฟต่อชั่วโมง) การบำรุงรักษา (การแยกส่วน) ขององค์ประกอบจะใช้เวลาสุ่ม (สาธิต) โดยมีค่าเฉลี่ย tb = 20 (นาที) ในสวนสาธารณะขาเข้าของสถานี มีสองรางที่รถไฟมาถึงสามารถรอให้บริการได้ ถ้าทั้งสองรางยุ่ง รถไฟจะถูกบังคับให้รอบนรางด้านนอก จำเป็นต้องค้นหา (สำหรับการจำกัด โหมดการทำงานอยู่กับที่ของสถานี): จำนวนเฉลี่ยของรถไฟที่ Lsyst เชื่อมโยงกับสถานี เวลาเฉลี่ยที่ Wsyst ของรถไฟอยู่ที่สถานี (บนรางภายใน บนรางภายนอก และ อยู่ระหว่างการบำรุงรักษา) จำนวนเฉลี่ยของรถไฟ Lch ที่รอต่อแถวสำหรับการยุบ (ไม่สำคัญว่ารางไหน) เวลาเฉลี่ยที่ Wch ของรถไฟอยู่ในสาย นอกจากนี้ ให้ลองค้นหาจำนวนเฉลี่ยของรถไฟที่รอการยุบบนรางภายนอก Lext และเวลาเฉลี่ยของ Wext ที่รอนี้ (ค่าสองค่าสุดท้ายสัมพันธ์กันด้วยสูตรของ Little) สุดท้าย ให้หาค่าปรับ W รายวันทั้งหมด ซึ่งสถานีจะต้องจ่ายสำหรับการตกรางของรถไฟบนรางภายนอก หากสถานีจ่ายค่าปรับ a (รูเบิล) เป็นเวลาหนึ่งชั่วโมงของการลดหย่อนโทษของรถไฟหนึ่งขบวน ในกรณีที่เรารายงานคำตอบ: Lcist = 2 (องค์ประกอบ), Wsyst = i (ชั่วโมง), Loch = 4/3 (องค์ประกอบ), Woch = 2/3 (ชั่วโมง), Lext = 16/27 (องค์ประกอบ), Wext = 8/27 ≈ 0.297 (ชั่วโมง) เราได้รับค่าปรับ W เฉลี่ยรายวันสำหรับการรอรถไฟบนรางภายนอก โดยการคูณจำนวนรถไฟโดยเฉลี่ยที่มาถึงสถานีต่อวัน เวลารอเฉลี่ยสำหรับรถไฟบนรางภายนอก และค่าปรับรายชั่วโมง a: W ≈ 14.2a

การทำงานหรือประสิทธิภาพของระบบการเข้าคิวมีดังนี้

สำหรับ CMO กับความล้มเหลว:

สำหรับ CMO กับการรอคอยไม่จำกัดปริมาณงานทั้งแบบสัมบูรณ์และแบบสัมพัทธ์สูญเสียความหมาย เนื่องจากคำขอขาเข้าแต่ละรายการจะได้รับบริการไม่ช้าก็เร็ว สำหรับ QS นั้น ตัวชี้วัดที่สำคัญคือ:

สำหรับ CMO ผสมประเภทใช้ตัวบ่งชี้ทั้งสองกลุ่ม: ทั้งแบบสัมพัทธ์และ แบนด์วิธสัมบูรณ์และลักษณะการคาดหวัง

ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของการดำเนินการเข้าคิว ตัวบ่งชี้ใดๆ ข้างต้น (หรือชุดของตัวบ่งชี้) สามารถเลือกเป็นเกณฑ์ประสิทธิภาพได้

แบบจำลองการวิเคราะห์ QS คือชุดของสมการหรือสูตรที่ให้คุณกำหนดความน่าจะเป็นของสถานะของระบบในกระบวนการทำงานและคำนวณตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพตามลักษณะที่ทราบ ไหลเข้าและช่องทางการให้บริการ

ไม่มีแบบจำลองการวิเคราะห์ทั่วไปสำหรับ QS . โดยพลการ. แบบจำลองการวิเคราะห์ได้รับการพัฒนาสำหรับกรณีพิเศษของ QS ในจำนวนจำกัด แบบจำลองเชิงวิเคราะห์ที่แสดงถึงระบบจริงอย่างแม่นยำมากหรือน้อยนั้น ตามกฎแล้ว ซับซ้อนและมองเห็นได้ยาก

การสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ของ QS จะอำนวยความสะดวกอย่างมากหากกระบวนการที่เกิดขึ้นใน QS เป็น Markovian (ขั้นตอนของการร้องขอนั้นง่าย เวลาให้บริการจะถูกกระจายแบบทวีคูณ) ในกรณีนี้ กระบวนการทั้งหมดใน QS สามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา และในกรณีจำกัด สำหรับสถานะนิ่ง โดยสมการพีชคณิตเชิงเส้น และเมื่อแก้แล้ว ให้กำหนดตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพที่เลือกไว้

มาพิจารณาตัวอย่าง QS บางส่วน

2.5.1. QS หลายช่องสัญญาณพร้อมความล้มเหลว

ตัวอย่าง 2.5. ผู้ตรวจการจราจรสามคนตรวจสอบใบตราส่งสินค้าของคนขับรถบรรทุก หากมีผู้ตรวจสอบอย่างน้อยหนึ่งคน รถบรรทุกที่ผ่านจะหยุด หากผู้ตรวจสอบทุกคนยุ่ง รถบรรทุกก็จะผ่านไปโดยไม่หยุด การไหลของรถบรรทุกเป็นเรื่องง่ายที่สุด เวลาตรวจสอบจะสุ่มด้วยการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

สถานการณ์ดังกล่าวสามารถจำลองได้โดย QS สามช่องสัญญาณที่มีความล้มเหลว (ไม่มีคิว) ระบบเปิดด้วยการใช้งานที่เป็นเนื้อเดียวกัน เฟสเดียว พร้อมช่องสัญญาณที่เชื่อถือได้อย่างแน่นอน

คำอธิบายของรัฐ:

ผู้ตรวจสอบทุกคนฟรี

ผู้ตรวจสอบคนหนึ่งไม่ว่าง

ผู้ตรวจสอบสองคนกำลังยุ่งอยู่

ผู้ตรวจสอบสามคนกำลังยุ่งอยู่

กราฟของสถานะของระบบจะแสดงในรูปที่ 2.11.

ข้าว. 2.11.

บนกราฟ: - ความเข้มของการไหลของรถบรรทุก; - ความเข้มของการตรวจสอบเอกสารโดยผู้ตรวจการจราจรหนึ่งคน

การจำลองจะดำเนินการเพื่อกำหนดส่วนของรถยนต์ที่จะไม่ได้รับการทดสอบ

วิธีการแก้

ส่วนที่ต้องการของความน่าจะเป็นคือความน่าจะเป็นของการจ้างงานของผู้ตรวจสอบทั้งสามคน เนื่องจากกราฟสถานะแสดงถึงรูปแบบทั่วไปของ "ความตายและการสืบพันธุ์" เราจะพบโดยใช้การพึ่งพา (2.2)

ปริมาณงานของผู้ตรวจสอบการจราจรนี้สามารถระบุได้ ปริมาณงานสัมพัทธ์:

ตัวอย่าง2.6. ในการรับและประมวลผลรายงานจากกลุ่มลาดตระเวณ ได้มอบหมายให้กลุ่มเจ้าหน้าที่สามคนไปยังแผนกลาดตระเวณของสมาคม อัตราการรายงานที่คาดหวังคือ 15 รายงานต่อชั่วโมง เวลาดำเนินการโดยเฉลี่ยของรายงานหนึ่งฉบับโดยเจ้าหน้าที่หนึ่งคนคือ เจ้าหน้าที่แต่ละคนสามารถรับรายงานจากกลุ่มลาดตระเวนใดก็ได้ เจ้าหน้าที่ที่ปล่อยตัวจะประมวลผลรายงานที่ได้รับล่าสุด รายงานขาเข้าต้องได้รับการประมวลผลด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย 95%

ตรวจสอบว่ากลุ่มเจ้าหน้าที่สามคนที่ได้รับมอบหมายเพียงพอหรือไม่ที่จะทำงานที่ได้รับมอบหมายให้เสร็จสิ้น

วิธีการแก้

กลุ่มเจ้าหน้าที่ทำงานเป็น CMO ที่ล้มเหลว ประกอบด้วย 3 ช่องทาง

การไหลของรายงานที่มีความเข้มข้น ถือได้ว่าง่ายที่สุดเนื่องจากเป็นกลุ่มลาดตระเวนหลายกลุ่ม ความเข้มข้นของการบำรุงรักษา . กฎหมายการจัดจำหน่ายไม่เป็นที่รู้จัก แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็น เนื่องจากแสดงให้เห็นว่าสำหรับระบบที่มีความล้มเหลว อาจเป็นได้โดยพลการ

คำอธิบายของสถานะและกราฟสถานะของ QS จะคล้ายกับที่ให้ไว้ในตัวอย่างที่ 2.5

เนื่องจากกราฟสถานะเป็นแบบแผน "ความตายและการสืบพันธุ์" จึงมีนิพจน์สำเร็จรูปสำหรับการจำกัดความน่าจะเป็นของรัฐ:

ความสัมพันธ์ที่เรียกว่า ความเข้มที่ลดลงของการไหลของแอปพลิเคชัน. ความหมายทางกายภาพมีดังนี้: ค่าคือจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่มาถึง QS สำหรับเวลาให้บริการเฉลี่ยของคำขอหนึ่งรายการ

ในตัวอย่าง .

ใน QS ที่พิจารณา ความล้มเหลวเกิดขึ้นเมื่อทั้งสามช่องทางไม่ว่าง นั่นคือ แล้ว:

เพราะ ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในการประมวลผลรายงานมากกว่า 34% () จากนั้นจึงจำเป็นต้องเพิ่มบุคลากรของกลุ่ม ให้เราเพิ่มองค์ประกอบของกลุ่มเป็นสองเท่า กล่าวคือ ตอนนี้ QS จะมีหกช่องสัญญาณ และคำนวณ:

ดังนั้นมีเพียงกลุ่มเจ้าหน้าที่ 6 นายเท่านั้นที่จะสามารถประมวลผลรายงานที่เข้ามาด้วยความน่าจะเป็น 95%

2.5.2. QS หลายช่องพร้อมรอ

ตัวอย่าง 2.7. มีด่านข้ามแม่น้ำประเภทเดียวกันจำนวน 15 แห่ง การไหลของอุปกรณ์ที่มาถึงจุดข้ามเฉลี่ย 1 หน่วย/นาที เวลาเฉลี่ยของการข้ามอุปกรณ์หนึ่งหน่วยคือ 10 นาที (โดยคำนึงถึงการส่งคืนสิ่งอำนวยความสะดวกทางข้าม)

ประเมินลักษณะสำคัญของทางม้าลาย รวมถึงโอกาสที่จะมีการข้ามทันทีเมื่ออุปกรณ์มาถึง

วิธีการแก้

แบนด์วิดธ์แบบสัมบูรณ์นั่นคือ ทุกสิ่งที่มาถึงทางข้ามนั้นแทบจะในทันที

จำนวนสิ่งอำนวยความสะดวกทางม้าลายโดยเฉลี่ย:

การใช้ประโยชน์ข้ามและอัตราส่วนการหยุดทำงาน:

โปรแกรมได้รับการพัฒนาเพื่อแก้ปัญหาตัวอย่าง ช่วงเวลาสำหรับการมาถึงของอุปกรณ์ที่ทางข้าม เวลาของการข้ามจะถูกนำไปแจกจ่ายตามกฎเลขชี้กำลัง

อัตราการใช้เรือข้ามฟากหลังจากวิ่ง 50 รอบจะเท่ากัน: .

ความยาวสูงสุดของคิวคือ 15 หน่วย เวลาเฉลี่ยที่ใช้ในคิวคือประมาณ 10 นาที

พิจารณา QS . แบบหลายช่องสัญญาณ (ป> 1) ที่อินพุตซึ่ง ปัวซองไหลคำขอที่มีความเข้ม a ความเข้มของการบริการของแต่ละช่องคือ p จำนวนสถานที่ในคิวสูงสุดที่เป็นไปได้จะถูก จำกัด ด้วยค่า ทีสถานะที่ไม่ต่อเนื่องของ QS ถูกกำหนดโดยจำนวนคำขอที่ระบบได้รับ ซึ่งสามารถเขียนได้:

Sq - ทุกช่องฟรี k = 0;

ส-มีเพียงช่องเดียวเท่านั้นที่ถูกครอบครอง (ใด ๆ ) k = 1;

*5*2 - มีเพียงสองช่องเท่านั้นที่ถูกครอบครอง (ใด ๆ ), k = 2;

ส น- ทุกคนไม่ว่าง พีช่องทาง k = หน้า

แม้ว่า QS จะอยู่ในสถานะใดๆ เหล่านี้ แต่ก็ไม่มีคิว หลังจากที่ช่องทางการบริการทั้งหมดไม่ว่าง คำขอที่ตามมาจะสร้างคิว ดังนั้นจึงกำหนดสถานะเพิ่มเติมของระบบ:

ส น + -ทุกคนไม่ว่าง พีช่องทางและหนึ่งแอปพลิเคชันอยู่ในคิว k = พี + 1;

ส n +2 - ยุ่งทั้งหมด พีช่องและสองแอปพลิเคชันอยู่ในคิว k = พี + 2;

Sn+m -ทุกคนไม่ว่าง พีเชือกและทั้งหมด tสถานที่ในบรรทัด k = n + ม.

กราฟสถานะ i-channel CMOกับ คิว,ถูก จำกัด tสถานที่ที่แสดงในรูป 5.18.

การเปลี่ยนแปลงของ QS เป็นสถานะที่มีตัวเลขสูงกว่านั้นพิจารณาจากการไหลของคำขอที่เข้ามาอย่างเข้มข้น

ข้าว. 5.18

โดยเงื่อนไขการให้บริการของการร้องขอเหล่านี้มีผู้เข้าร่วมโดย พีช่องทางเดียวกันที่มีอัตราการไหลของบริการเท่ากับ p สำหรับแต่ละช่อง ในเวลาเดียวกัน ความเข้มข้นโดยรวมของการไหลของบริการจะเพิ่มขึ้นตามการเชื่อมต่อของช่องทางใหม่จนถึงสถานะดังกล่าว ส น ,เมื่อทั้งหมด พีช่องจะยุ่ง ด้วยการปรากฏตัวของคิว ความเข้มข้นของการบริการจะไม่เพิ่มขึ้นอีกต่อไป เนื่องจากถึงค่าสูงสุดแล้วเท่ากับ ป.

ให้เราเขียนนิพจน์สำหรับการจำกัดความน่าจะเป็นของรัฐ

นิพจน์สำหรับโรสามารถแปลงได้โดยใช้สูตรความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสำหรับผลรวมของเทอมที่มีตัวส่วน p /ป:

การก่อตัวของคิวเป็นไปได้เมื่อคำขอที่ได้รับใหม่พบในระบบอย่างน้อย พีข้อกำหนด กล่าวคือ เมื่อระบบจะ พีพี + 1, พี + 2, (ป + t- 1) ข้อกำหนด เหตุการณ์เหล่านี้ไม่ขึ้นต่อกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ทุกช่องไม่ว่างจึงเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นตามลำดับ r u Rp + rp +2 > ->RP+t- 1- ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการจัดคิวคือ

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการบริการเกิดขึ้นเมื่อทั้งหมด พีช่องและทั้งหมด tคิวว่าง

ปริมาณงานสัมพัทธ์จะเท่ากับ

แบนด์วิดธ์แบบสัมบูรณ์

ช่องไม่ว่างโดยเฉลี่ย

ช่องที่ไม่ได้ใช้งานโดยเฉลี่ย

อัตราการเข้าพัก(ใช้)ช่อง

อัตราส่วนว่างของช่อง

จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว

ถ้า r/n = 1 สูตรนี้ใช้รูปแบบอื่น:

ระยะเวลารอคิวเฉลี่ยตามสูตรของน้อง

เวลาพักเฉลี่ยของแอปพลิเคชันใน QS สำหรับ QS ช่องทางเดียวนั้นมากกว่าเวลารอเฉลี่ยในคิวโดยเวลาเฉลี่ยในการให้บริการเท่ากับ 1/p เนื่องจากแอปพลิเคชันจะให้บริการเพียงช่องทางเดียวเสมอ :

ตัวอย่าง 5.21 มินิมาร์ทรับกระแสของลูกค้าด้วยความเข้มข้นของลูกค้าหกรายต่อนาที ซึ่งให้บริการโดยผู้ควบคุมแคชเชียร์สามคนด้วยความเข้มข้นของลูกค้าสองคนต่อนาที คิวยาวจำกัด 5 คน กำหนดลักษณะของ QS และประเมินผลการปฏิบัติงาน

วิธีการแก้

น = 3; t = 5; X=6; พี = 2; พี =x/x = 3; r/n = 1.

เราพบความน่าจะเป็นที่จำกัดของสถานะ QS:

ส่วนแบ่งเวลาว่างของผู้ควบคุม - แคชเชียร์

ความน่าจะเป็นที่จะครอบครองช่องเดียวเท่านั้น

ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองช่องกำลังยุ่งอยู่กับการให้บริการ

ความน่าจะเป็นที่ทั้งสามช่องไม่ว่างคือ

ความน่าจะเป็นที่ทั้งสามช่องและห้าตำแหน่งในคิวจะถูกครอบครองคือ

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการบริการเกิดขึ้นเมื่อ k=t+n== 5 + 3 = 8 และ is p$ = p OTK = 0,127.

ปริมาณงานสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ของ QS มีค่าเท่ากับ Q = 1 - r otk= 0.873 และ ล = 0.873A. = 5.24 (ผู้ซื้อ/นาที)

จำนวนช่องที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ยและความยาวคิวเฉลี่ยคือ:

เวลารอเฉลี่ยในคิว n อยู่ใน QS ตามลำดับ เท่ากับ:

ระบบบริการของมินิมาร์ทสมควรได้รับการยกย่องอย่างสูง เนื่องจากความยาวเฉลี่ยของคิว เวลาเฉลี่ยที่ลูกค้าอยู่ในคิวจึงมีน้อย

ตัวอย่าง 5.22 โดยเฉลี่ยแล้วหลังจากผ่านไป 30 นาที รถยนต์ที่มีผลิตภัณฑ์จากผักและผลไม้จะไปถึงฐานผักและผลไม้ เวลาเฉลี่ยในการขนถ่ายรถบรรทุกหนึ่งคันคือ 1.5 ชั่วโมง การขนถ่ายดำเนินการโดยทีมโหลดสองทีม บนอาณาเขตของฐานที่เวทีลงจอด ไม่เกินสี่คันสามารถเข้าแถวรอขนถ่าย มากำหนดตัวบ่งชี้และให้การประเมินการทำงานของ QS

วิธีการแก้

SMO สองช่อง, พี= 2 คิวมีจำนวนจำกัด ม= 4 ความเข้มของการไหลเข้า ล. \u003d 2 อัตโนมัติ / ชม. ความเข้มของบริการ c \u003d 2/3 อัตโนมัติ / ชม. ความเข้มโหลด p \u003d A. / p \u003d 3, r/n = 3/2 = 1,5.

เรากำหนดลักษณะของ QS:

ความน่าจะเป็นที่ลูกเรือทั้งหมดจะไม่โหลดเมื่อไม่มียานพาหนะ

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธเมื่อมีรถสองคันอยู่ระหว่างการขนถ่ายและสี่คันในคิว

จำนวนรถเฉลี่ยในแถว

สัดส่วนของเวลาว่างสำหรับรถตักมีน้อยมากและมีเพียง 1.58% ของเวลาทำงาน และความน่าจะเป็นที่จะถูกปฏิเสธมีสูง - 36% ของแอปพลิเคชันที่ได้รับถูกปฏิเสธไม่ให้ขนถ่าย ทั้งสองทีมเกือบเต็มแล้ว อัตราการจ้างงาน ใกล้เคียงกับความสามัคคีและเท่ากับ 0.96 สัมพันธ์กับปริมาณงานต่ำ - จะให้บริการเพียง 64% ของจำนวนแอปพลิเคชันที่ได้รับเท่านั้น ความยาวเฉลี่ยของคิวคือ 2.6 คัน ดังนั้น SM O ns จึงไม่สามารถรับมือกับการดำเนินการได้ ของการร้องขอบริการและจำเป็นต้องเพิ่มจำนวนทีมรถตักและใช้ประโยชน์จากขั้นตอนการลงจอดให้มากขึ้น

ตัวอย่าง 5.23 บริษัทการค้ารับผักต้นจากโรงเรือนของฟาร์มในเขตชานเมืองสุ่มครั้งด้วยความเข้มข้น 6 หน่วย ในหนึ่งวัน. ห้องเอนกประสงค์ อุปกรณ์ และ ทรัพยากรแรงงานให้คุณประมวลผลและจัดเก็บสินค้าได้จำนวน 2 หน่วย บริษัทจ้างพนักงานสี่คนโดยเฉลี่ยแล้วแต่ละคนสามารถประมวลผลผลิตภัณฑ์ของหนึ่งการจัดส่งได้ภายใน 4 ชั่วโมง วันทำงานสำหรับการทำงานเป็นกะคือ 12 ชั่วโมง สิ่งที่ควรเป็นกำลังการผลิต คลังสินค้าเพื่อให้ผลิตภัณฑ์แปรรูปสมบูรณ์อย่างน้อย 97% ของจำนวนการส่งมอบ?

วิธีการแก้

มาแก้ปัญหาด้วยการกำหนดตัวบ่งชี้ QS สำหรับค่าต่างๆ ของความจุของคลังสินค้าตามลำดับ t= 2, 3, 4, 5 เป็นต้น และเปรียบเทียบในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณความน่าจะเป็นของการบริการด้วยมูลค่าที่กำหนด p 0 () C = 0,97.

เรากำหนดความเข้มของโหลด:

หาความน่าจะเป็นหรือเศษส่วนของเวลาของเวลาที่ว่างสำหรับ เสื้อ = 2:

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการให้บริการหรือสัดส่วนของแอปพลิเคชันที่สูญหาย

ความน่าจะเป็นของการบริการหรือสัดส่วนของคำขอรับบริการจากผู้ที่ได้รับคือ

เนื่องจากค่าที่ได้รับน้อยกว่าค่าที่กำหนดที่ 0.97 เราจึงทำการคำนวณต่อไปสำหรับ t= 3 สำหรับค่านี้ ตัวบ่งชี้ของสถานะ QS มีค่า

ความน่าจะเป็นของการบริการในกรณีนี้ก็น้อยกว่าค่าที่กำหนด ดังนั้นเราจึงทำการคำนวณต่อไป เสื้อ = 4 ซึ่งตัวบ่งชี้สถานะมีค่าดังต่อไปนี้: p$ = 0.12; เน่า = 0.028; pfc= 0.972. ตอนนี้ค่าความน่าจะเป็นของการบริการที่ได้รับเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา ตั้งแต่ 0.972 > 0.97 ดังนั้น ความจุของคลังสินค้าจึงต้องเพิ่มขึ้นเป็น 4 หน่วย

เพื่อความสำเร็จ ความน่าจะเป็นคุณสามารถเลือกจำนวนคนที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการแปรรูปผักด้วยวิธีเดียวกัน โดยการคำนวณตัวบ่งชี้ QS สำหรับ น = 3, 4, 5 เป็นต้น วิธีแก้ปัญหาการประนีประนอมสามารถพบได้โดยการเปรียบเทียบและเปรียบเทียบต้นทุนที่เกี่ยวข้องกับการเพิ่มจำนวนพนักงานและการสร้างพิเศษ อุปกรณ์เทคโนโลยีแต่การแปรรูปผักในวิสาหกิจเชิงพาณิชย์

ดังนั้นโมเดลการจัดคิวจึงรวมกับ วิธีการทางเศรษฐกิจคำจำกัดความของงานทำให้สามารถวิเคราะห์ QS ที่มีอยู่ พัฒนาคำแนะนำสำหรับการปรับโครงสร้างองค์กรเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพในการทำงาน และยังกำหนดตัวบ่งชี้ที่เหมาะสมที่สุดของ QS ที่สร้างขึ้นใหม่

ตัวอย่าง 5.24 เฉลี่ยเก้าคันมาถึงที่ล้างรถต่อชั่วโมง แต่ถ้ามีรถสี่คันอยู่ในแถวแล้วลูกค้าใหม่ตามกฎไม่ต่อคิว แต่ผ่านไป เวลาล้างรถโดยเฉลี่ยคือ 20 นาที และมีเพียงสองแห่งเท่านั้น ราคาเฉลี่ยของการล้างรถคือ 70 รูเบิล กำหนดการสูญเสียรายได้ค่าล้างรถโดยเฉลี่ยระหว่างวัน

วิธีการแก้

X= 9 อัตโนมัติ/ชม.; = 20 นาที; n = 2; t = 4.

การหาความเข้มของโหลด การกำหนดสัดส่วนการหยุดทำงานของการล้างรถ

ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว

ปริมาณงานสัมพัทธ์คือปริมาณงานสัมบูรณ์ จำนวนรถเฉลี่ยในคิว

จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยที่ให้บริการ

เวลารอคิวโดยเฉลี่ย

เวลาล้างรถโดยเฉลี่ย

ดังนั้น 34% ของแอปพลิเคชันจะไม่ถูกให้บริการ การสูญเสียงาน 12 ชั่วโมงในหนึ่งวันจะเฉลี่ย 2,570 รูเบิล (12*9* 0.34 70) เช่น 52% ของรายได้ทั้งหมดเพราะ p otk = 0,52 หน้า 0 ^ s.

• ปริมาณงานสัมพัทธ์หรือความน่าจะเป็นของการบริการ จำนวนเฉลี่ยของปริมาณงานเฉลี่ยของทีมที่ใช้สัมประสิทธิ์การจ้างงานโดยการทำงานของทีมรถตัก

ระบบเข้าคิวหลายช่องทางพร้อมคิวจำกัด

ให้อินพุตของ QS ที่มีช่องทางบริการได้รับกระแสการร้องขอแบบปัวซองด้วยความเข้มข้น ความเข้มข้นของการให้บริการตามคำขอโดยแต่ละช่องทางจะเท่ากัน และจำนวนสูงสุดของสถานที่ในคิวจะเท่ากัน

กราฟของระบบดังกล่าวแสดงในรูปที่ 7

รูปที่ 7 - กราฟของสถานะของ QS แบบหลายช่องสัญญาณที่มีคิวจำกัด

ฟรีทุกช่องไม่มีคิว

ไม่ว่าง lช่อง ( l= 1, n) ไม่มีคิว

ทุกช่องไม่ว่างมีคิว ผมแอปพลิเคชัน ( ผม= 1, ม.)

การเปรียบเทียบกราฟในรูปที่ 2 และรูปที่ 7 แสดงให้เห็นว่าระบบหลังเป็นกรณีพิเศษของระบบการเกิดและการตาย หากมีการสร้างการแทนที่ต่อไปนี้ (เครื่องหมายด้านซ้ายหมายถึงระบบการเกิดและการตาย):

นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายหาได้ง่ายจากสูตร (4) และ (5) เป็นผลให้เราได้รับ:

การก่อตัวของคิวเกิดขึ้นเมื่อในขณะที่ได้รับคำขอถัดไปใน QS ทุกช่องทางไม่ว่าง กล่าวคือ มีทั้ง n หรือ (n+1),… หรือ (n + m - 1) ลูกค้าในระบบ เพราะ เหตุการณ์เหล่านี้เข้ากันไม่ได้ ดังนั้นความน่าจะเป็นของการสร้างคิวจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:

คำขอถูกปฏิเสธบริการเมื่อ m ตำแหน่งทั้งหมดในคิวถูกครอบครอง นั่นคือ:

ปริมาณงานสัมพัทธ์คือ:

จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในคิวถูกกำหนดโดยสูตร (11) และสามารถเขียนได้ดังนี้:

จำนวนเฉลี่ยของคำขอที่ให้บริการใน QS สามารถเขียนได้ดังนี้:

จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยใน CMO:

เวลาพำนักเฉลี่ยของแอปพลิเคชันใน QS และในคิวกำหนดโดยสูตร (12) และ (13)

ระบบเข้าคิวหลายช่องทาง ไม่จำกัดคิว

กราฟของ QS ดังกล่าวแสดงในรูปที่ 8 และได้มาจากกราฟในรูปที่ 7 ด้วย

รูปที่ 8 - กราฟสถานะของ QS แบบหลายช่องสัญญาณพร้อมคิวไม่จำกัด

สูตรสำหรับความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายสามารถหาได้จากสูตรสำหรับ n-channel QS ที่มีขอบเขตคิวที่ ในกรณีนี้ พึงระลึกไว้เสมอว่าเมื่อความน่าจะเป็น p 0 = p 1 =…= p n = 0, เช่น คิวเติบโตอย่างไม่มีกำหนด ดังนั้นกรณีนี้จึงไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ และพิจารณาเฉพาะกรณีด้านล่างเท่านั้น เมื่อจาก (26) เราได้รับ:

สูตรสำหรับความน่าจะเป็นที่เหลือมีรูปแบบเดียวกับ QS ที่มีคิวจำกัด:

จาก (27) เราได้รับนิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นของการก่อตัวของคิวแอปพลิเคชัน:

เนื่องจากคิวไม่ได้จำกัด ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธที่จะให้บริการตามคำขอคือ:

แบนด์วิดท์สัมบูรณ์:

จากสูตร (28) ที่ เราได้รับนิพจน์สำหรับจำนวนคำขอเฉลี่ยในคิว:

จำนวนคำขอบริการเฉลี่ยถูกกำหนดโดยสูตร:

เวลาพักเฉลี่ยใน QS และในคิวถูกกำหนดโดยสูตร (12) และ (13)

ระบบการเข้าคิวแบบหลายช่องสัญญาณที่มีคิวจำกัดและเวลารอในคิวจำกัด

ข้อแตกต่างระหว่าง QS ดังกล่าวกับ QS ที่พิจารณาในมาตรา 5.5 คือ เวลารอรับบริการเมื่อแอปพลิเคชันอยู่ในคิวถือเป็นตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎเลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์ โดยที่เวลารอเฉลี่ยคือ ของแอปพลิเคชันในคิวและความเข้มข้นของการไหลของคำขอออกจากคิว กราฟของ QS ดังกล่าวแสดงในรูปที่ 9

รูปที่ 9 - กราฟของ QS แบบหลายช่องสัญญาณที่มีคิวจำกัดและ เวลา จำกัดรอเข้าแถว

การกำหนดที่เหลือที่นี่มีความหมายเช่นเดียวกับในส่วนย่อย

เปรียบเทียบกราฟในรูปที่ 3 และ 9 แสดงว่าระบบหลังเป็นกรณีพิเศษของระบบการเกิดและการตายหากมีการทดแทนดังต่อไปนี้ (สัญลักษณ์ด้านซ้ายหมายถึงระบบการเกิดและการตาย):

นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายหาได้ง่ายจากสูตร (4) และ (5) โดยคำนึงถึง (29) เป็นผลให้เราได้รับ:

ที่ไหน. ความน่าจะเป็นของการสร้างคิวถูกกำหนดโดยสูตร:

คำขอถูกปฏิเสธการให้บริการเมื่อมีคิวว่างทั้งหมด m ตำแหน่ง กล่าวคือ การปฏิเสธความน่าจะเป็นของการบริการ:

ปริมาณงานสัมพัทธ์:

แบนด์วิดท์สัมบูรณ์:

จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในคิวพบโดยสูตร (11) และเท่ากับ:

จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยที่ให้บริการใน QS นั้นหาได้จากสูตร (10) และเท่ากับ:

ในทางปฏิบัติ QS ช่องทางเดียวที่มีคิวเป็นเรื่องปกติธรรมดา (แพทย์ที่ให้บริการผู้ป่วย โทรศัพท์สาธารณะที่มีตู้เดียว คอมพิวเตอร์ที่ปฏิบัติตามคำสั่งของผู้ใช้) ในทฤษฎีการจัดคิว QS แบบช่องสัญญาณเดียวที่มีคิวยังใช้พื้นที่พิเศษด้วย (สูตรการวิเคราะห์ส่วนใหญ่ที่ได้รับจนถึงตอนนี้สำหรับระบบที่ไม่ใช่ของ Markovian อยู่ใน QS ดังกล่าว) ดังนั้นเราจะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับ QS ช่องทางเดียวพร้อมคิว

ให้มี QS ช่องทางเดียวพร้อมคิวที่ไม่มีการกำหนดข้อจำกัด (ไม่เกี่ยวกับความยาวของคิวหรือเวลาที่รอ) QS นี้ได้รับโฟลว์ของแอปพลิเคชันที่มีความเข้ม X; การไหลของบริการมีความเข้มข้นซึ่งกันและกันกับเวลาบริการเฉลี่ยของคำขอ จำเป็นต้อง ค้นหาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะ QS ตลอดจนคุณลักษณะของประสิทธิภาพ:

จำนวนการใช้งานเฉลี่ยในระบบ

เวลาพำนักเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในระบบ

จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว

เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันใช้ในคิว

ความน่าจะเป็นที่ช่องสัญญาณไม่ว่าง (ระดับการโหลดบนช่อง)

สำหรับปริมาณงานที่แน่นอน A และ Q แบบสัมพัทธ์ ไม่จำเป็นต้องคำนวณ: เนื่องจากคิวมีไม่จำกัด แต่ละแอปพลิเคชันจะให้บริการไม่ช้าก็เร็ว ด้วยเหตุผลเดียวกัน

วิธีการแก้. สถานะของระบบเช่นเดิมจะถูกกำหนดหมายเลขตามจำนวนแอปพลิเคชันใน QS:

ช่องฟรี

ช่องไม่ว่าง (ให้บริการตามคำขอ) ไม่มีคิว

ช่องไม่ว่าง หนึ่งแอปพลิเคชันอยู่ในคิว

ช่องไม่ว่าง แอปพลิเคชันอยู่ในคิว

ในทางทฤษฎี จำนวนรัฐไม่ได้ถูกจำกัดด้วยสิ่งใดๆ (อย่างอนันต์) กราฟสถานะมีรูปแบบที่แสดงในรูปที่ 20.2. นี่เป็นแผนของการตายและการสืบพันธุ์ แต่มีจำนวนรัฐไม่สิ้นสุด ตามลูกศรทั้งหมดการไหลของคำขอที่มีความเข้มข้น A โอนระบบจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย - การไหลของบริการที่มีความเข้มข้น

ก่อนอื่น ให้เราถามตัวเองว่า มีความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายในกรณีนี้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้วจำนวนสถานะของระบบนั้นไม่มีที่สิ้นสุดและโดยหลักการแล้วคิวสามารถเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด! ใช่ เป็นความจริง: ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายสำหรับ QS ดังกล่าวไม่ได้มีอยู่จริงเสมอไป แต่เมื่อระบบไม่ได้โอเวอร์โหลดเท่านั้น สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าน้อยกว่าหนึ่งอย่างเคร่งครัด ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายมีอยู่ และสำหรับ คิวจะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ข้อเท็จจริงนี้ดูเหมือน "เข้าใจยาก" โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ ดูเหมือนว่าไม่มีข้อกำหนดที่เป็นไปไม่ได้สำหรับระบบ: ในระหว่างการให้บริการของแอปพลิเคชันหนึ่งแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยหนึ่งรายการเข้ามาและทุกอย่างควรอยู่ในลำดับ แต่ในความเป็นจริงไม่ใช่

ด้วย QS จะจัดการกับโฟลว์ของแอปพลิเคชันก็ต่อเมื่อโฟลว์นี้เป็นปกติ และเวลาให้บริการก็ไม่สุ่มเช่นกัน ซึ่งเท่ากับช่วงเวลาระหว่างแอปพลิเคชัน ในกรณีนี้ "ในอุดมคติ" จะไม่มีคิวใน QS เลย ช่องจะไม่ว่างอย่างต่อเนื่องและจะออกคำขอรับบริการอย่างสม่ำเสมอ แต่ทันทีที่กระแสของคำขอหรือการไหลของบริการกลายเป็นการสุ่มอย่างน้อย คิวก็จะเติบโตอย่างไม่มีกำหนด ในทางปฏิบัติ สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเพียงเพราะ "แอปพลิเคชันในคิวจำนวนอนันต์" เป็นนามธรรม เหล่านี้เป็นข้อผิดพลาดขั้นต้นที่การแทนที่ตัวแปรสุ่มโดยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาสามารถนำไปสู่!

แต่กลับมาที่ QS ช่องทางเดียวของเรากับคิวไม่จำกัด พูดอย่างเคร่งครัดสูตรสำหรับความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายในรูปแบบของความตายและการสืบพันธุ์นั้นมาจากเราเฉพาะในกรณีที่มีจำนวนรัฐที่ จำกัด แต่เอาเสรีภาพ - เราจะใช้สำหรับรัฐจำนวนอนันต์ ให้เราคำนวณความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของรัฐตามสูตร (19.8), (19.7) ในกรณีของเรา จำนวนพจน์ในสูตร (19.8) จะไม่มีที่สิ้นสุด เราได้นิพจน์สำหรับ

อนุกรมในสูตร (20.11) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เรารู้ว่าเมื่ออนุกรมมาบรรจบกัน - นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วยตัวส่วน สำหรับ ซีรีส์แตกต่างออกไป (ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ทางอ้อม แม้ว่าจะไม่ได้เข้มงวด แต่เป็นการพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นในขั้นสุดท้ายมีอยู่สำหรับ เท่านั้น) ทีนี้ สมมติเงื่อนไขนี้เป็นที่พอใจ และสรุปความก้าวหน้าใน (20.11) เรามี

(20.12)

ความน่าจะเป็นหาได้จากสูตร:

เมื่อคำนึงถึง (20.12) ในที่สุดเราก็พบว่า:

อย่างที่คุณเห็น ความน่าจะเป็นสร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยตัวส่วน น่าแปลกที่จำนวนสูงสุดของพวกเขาคือความน่าจะเป็นที่ช่องจะว่างเลย ไม่ว่าระบบการจัดคิวจะยุ่งแค่ไหน หากระบบสามารถจัดการกับการไหลของคำขอได้เลย จำนวนคำขอที่มีแนวโน้มมากที่สุดในระบบจะเป็น 0

มาหาจำนวนการใช้งานเฉลี่ยใน QS กัน ที่นี่คุณต้องคนจรจัดเล็กน้อย ตัวแปรสุ่ม Z - จำนวนแอปพลิเคชันในระบบ - มีค่าที่เป็นไปได้ด้วยความน่าจะเป็น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันคือ

(20.14)

(ผลรวมไม่ได้นำมาจาก 0 ถึง แต่จาก 1 ถึง เนื่องจากเทอมศูนย์เท่ากับศูนย์)

เราแทนที่เป็นสูตร (20.14) นิพจน์สำหรับ

ทีนี้ลองเอามันออกจากเครื่องหมายผลรวม:

ที่นี่เราใช้ "เคล็ดลับเล็ก ๆ น้อย ๆ" อีกครั้ง: ไม่มีอะไรมากไปกว่าอนุพันธ์ของรูขุมขนจากการแสดงออกหมายถึง

โดยการแลกเปลี่ยนการดำเนินการของดิฟเฟอเรนติเอชันและการรวม เราจะได้:

แต่ผลรวมในสูตร (20.15) ไม่ได้เป็นอะไรนอกจากผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดกับสมาชิกตัวแรกและตัวส่วน ผลรวมนี้เท่ากับและอนุพันธ์ของมัน แทนที่นิพจน์นี้เป็น (20.15) เราได้รับ:

(20.16)

ทีนี้ มาประยุกต์ใช้สูตรของ Little (19.12) กัน และหาเวลาพำนักเฉลี่ยของใบสมัครในระบบ:

หาค่าเฉลี่ยของการร้องขอในคิว เราจะโต้แย้งดังนี้ จำนวนคำขอในคิวเท่ากับจำนวนคำขอในระบบลบจำนวนคำขอที่อยู่ภายใต้การบริการ ดังนั้น (ตามกฎของการเพิ่มความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) จำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิวจะเท่ากับจำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในระบบลบด้วยจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่อยู่ภายใต้บริการ จำนวนคำขอที่ให้บริการอาจเป็นศูนย์ (หากช่องว่าง) หรือหนึ่งรายการ (หากไม่ว่าง) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มดังกล่าวจะเท่ากับความน่าจะเป็นที่ช่องสัญญาณไม่ว่าง (เราแสดงเป็น ) แน่นอน มันเท่ากับหนึ่งลบความน่าจะเป็นที่ช่องจะว่าง

ดังนั้นจำนวนคำขอบริการโดยเฉลี่ยเท่ากับ