โฟลว์ที่ง่ายที่สุดคือกระบวนการของมาร์คอฟและห่วงโซ่การตัดสินใจ แนวคิดของกระบวนการสุ่มของ Markov แนวคิดพื้นฐานของกระบวนการมาร์คอฟ

30.05.2020 บริการออนไลน์

ในการบรรยายครั้งก่อน เราได้เรียนรู้วิธีจำลองเหตุการณ์แบบสุ่ม นั่นคือเราสามารถเล่นได้ ที่ของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้จะเกิดขึ้นและ ซึ่งในปริมาณ. ในการพิจารณาสิ่งนี้ จำเป็นต้องทราบลักษณะทางสถิติของการเกิดเหตุการณ์ เช่น ค่าดังกล่าวอาจเป็นความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ หรือการแจกแจงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่าง ๆ หากมีหลายประเภทนับไม่ถ้วน เหตุการณ์

แต่มักจะสำคัญที่ต้องรู้ เมื่อไรเหตุการณ์บางอย่างจะเกิดขึ้นในเวลา

เมื่อมีเหตุการณ์มากมายและติดตามกันจึงก่อตัวขึ้น ไหล. โปรดทราบว่าเหตุการณ์ในกรณีนี้จะต้องเป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ มีความคล้ายคลึงกันไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ตัวอย่างเช่น การปรากฏตัวของคนขับที่ปั๊มน้ำมันที่ต้องการเติมน้ำมันรถ นั่นคือเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันก่อตัวเป็นอนุกรม ในกรณีนี้จะถือว่าลักษณะทางสถิติของปรากฏการณ์นี้ (ความเข้มของการไหลของเหตุการณ์) ถูกกำหนดไว้ ความรุนแรงของกระแสเหตุการณ์บ่งบอกว่า เฉลี่ยเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้นต่อหน่วยเวลา แต่เมื่อเหตุการณ์เฉพาะเจาะจงเกิดขึ้นจริง ๆ จะต้องกำหนดโดยวิธีการสร้างแบบจำลอง เป็นสิ่งสำคัญที่เมื่อเราสร้าง ตัวอย่างเช่น 1,000 เหตุการณ์ใน 200 ชั่วโมง จำนวนของเหตุการณ์จะเท่ากับความรุนแรงเฉลี่ยของการเกิดเหตุการณ์ 1000/200 = 5 เหตุการณ์ต่อชั่วโมงโดยประมาณ ซึ่งเป็นค่าทางสถิติที่แสดงลักษณะโฟลว์นี้ โดยรวม

ความเข้มข้นของการไหลในแง่หนึ่งคือการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา แต่ในความเป็นจริง อาจกลายเป็นว่า 4 เหตุการณ์จะปรากฏในหนึ่งชั่วโมง และอีก 6 เหตุการณ์ในอีก 1 เหตุการณ์ แม้ว่าโดยเฉลี่ยแล้ว 5 เหตุการณ์ต่อชั่วโมงจะได้รับ ดังนั้นค่าหนึ่งจึงไม่เพียงพอที่จะระบุลักษณะโฟลว์ ค่าที่สองที่กำหนดลักษณะการแพร่กระจายของเหตุการณ์ที่สัมพันธ์กับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์เช่นเมื่อก่อนคือการกระจาย อันที่จริง ค่านี้เป็นตัวกำหนดความสุ่มของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ความสามารถในการคาดการณ์ที่อ่อนแอของช่วงเวลาที่เกิดขึ้น เราจะพูดถึงคุณค่านี้ในการบรรยายครั้งต่อไป

กระแสของเหตุการณ์คือลำดับของเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งเกิดขึ้นทีละอย่างในช่วงเวลาสุ่ม บนแกนเวลา เหตุการณ์เหล่านี้มีลักษณะดังแสดงในรูปที่ 28.1.

ตัวอย่างของกระแสเหตุการณ์คือ ลำดับของช่วงเวลาที่เครื่องบินแตะพื้นรันเวย์ที่มาถึงสนามบิน

อัตราการไหล λ คือจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา อัตราการไหลสามารถคำนวณได้จากการทดลองโดยใช้สูตร: λ = นู๋/ตู่น, ที่ไหน นู๋จำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นระหว่างการสังเกต ตู่น.

ถ้าช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ τ เจเท่ากับค่าคงที่หรือกำหนดโดยสูตรบางอย่างในรูปแบบ: t เจ = ฉ(t เจ 1)จากนั้นจึงเรียกกระแสว่า กำหนดขึ้น. มิฉะนั้นจะเรียกสตรีมแบบสุ่ม

สตรีมแบบสุ่มคือ:

ธรรมดา: ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นพร้อมกันของสองเหตุการณ์ขึ้นไปเป็นศูนย์
เครื่องเขียน : ความถี่เหตุการณ์ λ (t) = const( t) ;
ไม่มีผล: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มไม่ได้ขึ้นอยู่กับช่วงเวลาของเหตุการณ์ก่อนหน้า

ปัวซองไหล

สำหรับมาตรฐานการไหลในการสร้างแบบจำลอง เป็นเรื่องปกติที่จะใช้กระแสปัวซอง.

ปัวซองไหลเป็นกระแสธรรมดาไม่มีผล

ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลาหนึ่ง (t 0 , t 0 + τ ) เกิดขึ้น มเหตุการณ์ถูกกำหนดจากกฎของปัวซอง:

ที่ไหน เอพารามิเตอร์ปัวซอง

ถ้า λ (t) = const( t) , นั่นคือ กระแสปัวซองคงที่(ง่ายที่สุด). ในกรณีนี้ เอ = λ · t . ถ้า λ =var( t) , นั่นคือ กระแสปัวซองไม่คงที่.

สำหรับโฟลว์ที่ง่ายที่สุด ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น มเหตุการณ์ตามกาลเวลา τ เท่ากับ:

ความน่าจะเป็นของการไม่ปรากฏตัว (นั่นคือไม่มี ม= 0 ) เหตุการณ์เมื่อเวลาผ่านไป τ เท่ากับ:

ข้าว. 28.2 แสดงให้เห็นถึงการพึ่งพา พี 0 จากเวลา เห็นได้ชัดว่ายิ่งเวลาสังเกตนานเท่าไร ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ไม่เกิดขึ้นก็จะยิ่งลดลง ยิ่งค่ายิ่งสูง λ ยิ่งกราฟมีความชันมากเท่าใด ความน่าจะเป็นจะลดลงเร็วขึ้นเท่านั้น ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าหากความรุนแรงของเหตุการณ์เกิดขึ้นสูง ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ไม่เกิดขึ้นก็จะลดลงอย่างรวดเร็วตามเวลาที่สังเกต

ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ ( พี XB1S ) มีการคำนวณดังนี้:

เพราะ พี HB1S + พี 0 = 1 (อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์จะปรากฏขึ้น หรือไม่มีเหตุการณ์ใดปรากฏขึ้น อีกเหตุการณ์หนึ่งจะไม่ได้รับ)

จากกราฟในรูป 28.3 จะเห็นได้ว่าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์มีแนวโน้มที่จะเป็นหนึ่งเดียวกันเมื่อเวลาผ่านไป กล่าวคือ ด้วยการสังเกตเหตุการณ์ระยะยาวที่เหมาะสม เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอนไม่ช้าก็เร็ว ยิ่งเราสังเกตเหตุการณ์นานขึ้น (ยิ่ง t) ยิ่งความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นมากเท่าใด กราฟของฟังก์ชันก็เพิ่มขึ้นอย่างจำเจ

ความรุนแรงของการเกิดเหตุการณ์ยิ่งมากขึ้น (ยิ่ง λ ) ยิ่งเหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเร็วเท่าใด และฟังก์ชันก็มีแนวโน้มที่จะรวมเป็นหนึ่งเร็วขึ้นเท่านั้น บนกราฟ พารามิเตอร์ λ แสดงโดยความชันของเส้น (ความชันของเส้นสัมผัส)

ถ้าคุณเพิ่มขึ้น λ แล้วเมื่อสังเกตเหตุการณ์ในเวลาเดียวกัน τ , ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์เพิ่มขึ้น (ดูรูปที่ 28.4) เห็นได้ชัดว่ากราฟเริ่มต้นจาก 0 เนื่องจากหากเวลาสังเกตมีขนาดเล็กมาก ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นในช่วงเวลานี้มีน้อยมาก และในทางกลับกัน หากเวลาสังเกตนานเป็นอนันต์ เหตุการณ์ก็จะเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ซึ่งหมายความว่ากราฟมีแนวโน้มที่จะมีค่าความน่าจะเป็นเท่ากับ 1

จากการศึกษากฎหมายสามารถกำหนดได้ว่า: ม x = 1/λ , σ = 1/λ ก็คือสำหรับการไหลที่ง่ายที่สุด ม x = σ . ความเท่าเทียมกันของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหมายความว่าโฟลว์ที่กำหนดนั้นเป็นโฟลว์ที่ไม่มีผลกระทบ การกระจาย (แม่นยำกว่านั้นคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ของการไหลดังกล่าวมีขนาดใหญ่ ทางกายภาพ นี่หมายความว่าเวลาที่เกิดเหตุการณ์ (ระยะห่างระหว่างเหตุการณ์) คาดเดาได้ไม่ดี สุ่ม อยู่ในช่วง ม x σ < τ เจ < ม x + σ . แม้ว่าจะเป็นที่ชัดเจนว่าโดยเฉลี่ยแล้วจะเท่ากับ: τ เจ = ม x = ตู่ไม่มี นู๋ . เหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ตลอดเวลา แต่ภายในช่วงเวลานั้น τ เจค่อนข้าง ม xบน [ σ ; +σ ] (ค่าของผลที่ตามมา) ในรูป 28.5 แสดงตำแหน่งที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ 2 ที่สัมพันธ์กับแกนเวลาสำหรับที่กำหนด σ . ที่ กรณีนี้เขาว่ากันว่าเหตุการณ์แรกไม่มีผลกับเหตุการณ์ที่สอง เหตุการณ์ที่สองไม่ส่งผลต่อเหตุการณ์ที่สาม และต่อๆ ไปคือไม่มีผลที่ตามมา

ภายในความหมายของ พีเท่ากับ r(ดูการบรรยาย 23. การสร้างแบบจำลองเหตุการณ์สุ่ม การสร้างแบบจำลองกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้) ดังนั้นจึงแสดง τ จากสูตร (*) ในที่สุด เพื่อกำหนดช่วงเวลาระหว่างสองเหตุการณ์สุ่ม เรามี:

τ = 1/ λ Ln( r) ,

ที่ไหน rกระจายอย่างสม่ำเสมอจาก 0 ถึง 1 หมายเลขสุ่มซึ่งนำมาจาก RNG τ ช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์สุ่ม (ตัวแปรสุ่ม τ เจ ).

ตัวอย่างที่ 1 . พิจารณาการไหลของผลิตภัณฑ์ที่มาถึงการดำเนินการทางเทคโนโลยี สินค้ามาถึงแบบสุ่มเฉลี่ยแปดชิ้นต่อวัน (อัตราการไหล λ = 8/24 [หน่วย/ชั่วโมง]). จำเป็นต้องจำลองกระบวนการนี้ในช่วง ตู่ชั่วโมง = 100 ชั่วโมง ม = 1/λ = 24/8 = 3 นั่นคือ โดยเฉลี่ย หนึ่งรายละเอียดต่อสามชั่วโมง สังเกตว่า σ = 3 . ในรูป 28.6 แสดงอัลกอริทึมที่สร้างกระแสของเหตุการณ์สุ่ม

ในรูป 28.7 แสดงผลการทำงานของอัลกอริธึมตามเวลาที่ชิ้นส่วนมาถึงการทำงาน อย่างที่เห็นในช่วงเวลานั้นเอง ตู่ n = 100 โหนดการผลิตที่ประมวลผล นู๋= 33 สินค้า ถ้าเรารันอัลกอริทึมอีกครั้งแล้ว นู๋อาจเท่ากับ เช่น 34, 35 หรือ 32 แต่โดยเฉลี่ย สำหรับ Kอัลกอริทึมทำงาน นู๋จะเท่ากับ 33.33 หากเราคำนวณระยะทางระหว่างเหตุการณ์ tกับ ผมและช่วงเวลาที่กำหนดเป็น 3 ผมแล้วค่าเฉลี่ยจะเท่ากับ σ = 3 .

การสร้างแบบจำลองกระแสเหตุการณ์ที่ไม่ธรรมดา

หากทราบว่าโฟลว์ไม่ธรรมดา ก็จำเป็นต้องจำลอง นอกเหนือจากช่วงเวลาที่เกิดเหตุการณ์แล้ว ยังรวมถึงจำนวนเหตุการณ์ที่อาจปรากฏขึ้นในขณะนั้นด้วย ตัวอย่างเช่น เกวียน สถานีรถไฟมาถึงเป็นส่วนหนึ่งของรถไฟในเวลาสุ่ม (การไหลของรถไฟธรรมดา) แต่ในขณะเดียวกัน รถไฟอาจมีจำนวนรถ (สุ่ม) ต่างกัน ในกรณีนี้ การไหลของเกวียนเป็นกระแสของเหตุการณ์ที่ไม่ธรรมดา

สมมุติว่า เอ็ม k = 10 , σ = 4 (นั่นคือโดยเฉลี่ยแล้วใน 68 กรณีจาก 100 คันจาก 6 ถึง 14 คันเข้ามาในรถไฟ) และจำนวนของพวกเขาจะถูกกระจายตามกฎหมายปกติ ในตำแหน่งที่ทำเครื่องหมาย (*) ในอัลกอริทึมก่อนหน้า (ดูรูปที่ 28.6) คุณต้องแทรกส่วนที่แสดงในรูปที่ 28.8.

ตัวอย่างที่ 2 . มีประโยชน์มากในการผลิตคือการแก้ปัญหาต่อไปนี้ เวลาเฉลี่ยที่ไม่ได้ใช้งานรายวันของอุปกรณ์ของโหนดเทคโนโลยีคือเท่าใด หากโหนดประมวลผลแต่ละผลิตภัณฑ์ตามเวลาสุ่มที่ระบุโดยความเข้มของการไหลของเหตุการณ์สุ่ม λ 2? ในเวลาเดียวกัน ได้มีการทดลองแล้วว่าผลิตภัณฑ์ถูกนำเข้ามาเพื่อการประมวลผลตามเวลาสุ่มที่ระบุโดยโฟลว์ λ 1 แบทช์ 8 ชิ้น และขนาดของแบทช์จะสุ่มตามกฏปกติด้วย ม = 8 , σ = 2 (ดูการบรรยาย 25) ก่อนการจำลอง ตู่= 0 ไม่มีสินค้าในสต็อก จำเป็นต้องจำลองกระบวนการนี้ในช่วง ตู่ชั่วโมง = 100 ชั่วโมง

ในรูป 28.9 แสดงอัลกอริธึมที่สุ่มสร้างกระแสของการมาถึงของแบทช์ของผลิตภัณฑ์สำหรับการประมวลผลและการไหลของเหตุการณ์สุ่มของผลผลิตของแบทช์ของผลิตภัณฑ์จากการประมวลผล

ในรูป รูปที่ 28.10 แสดงผลการทำงานของอัลกอริธึม จุดเวลาเมื่อชิ้นส่วนมาถึงการทำงาน และจุดเวลาที่ชิ้นส่วนออกจากการทำงาน บรรทัดที่สามแสดงจำนวนชิ้นส่วนที่อยู่ในคิวสำหรับการประมวลผล (อยู่ในคลังสินค้าของโหนด) ที่จุดต่างๆ ในช่วงเวลาต่างๆ

โดยการทำเครื่องหมายสำหรับโหนดการประมวลผลเวลาที่ไม่ได้ใช้งานรอส่วนถัดไป (ดูการแรเงาสีแดงในรูปที่ 28.10) เราสามารถคำนวณเวลาที่ไม่ได้ใช้งานทั้งหมดของโหนดสำหรับเวลาการสังเกตทั้งหมด แล้วคำนวณค่าเฉลี่ยรอบเดินเบา เวลาในระหว่างวัน สำหรับการดำเนินการนี้ เวลานี้คำนวณดังนี้:

ตู่ประชาสัมพันธ์ cf. = 24 ( t 1 พ. + t 2 ave. + t 3 ave. + t 4 พ. + + t นู๋เป็นต้น)/ ตู่น.

แบบฝึกหัดที่ 1 . เปลี่ยนค่า σ , ติดตั้งการพึ่งพา ตู่ประชาสัมพันธ์ cf. ( σ ) . การตั้งค่าต้นทุนสำหรับการหยุดทำงานของหน่วย 100 ยูโร / ชั่วโมงตั้งค่าการสูญเสียประจำปีขององค์กรจากความผิดปกติในการทำงานของซัพพลายเออร์ เสนอถ้อยคำของข้อตกลงระหว่างองค์กรและซัพพลายเออร์ "จำนวนเงินค่าปรับสำหรับความล่าช้าในการส่งมอบผลิตภัณฑ์"

งานที่ 2 . โดยการเปลี่ยนมูลค่าของการบรรจุเริ่มต้นของคลังสินค้า กำหนดว่าการสูญเสียประจำปีขององค์กรจะเปลี่ยนจากความผิดปกติในการทำงานของซัพพลายเออร์อย่างไร ขึ้นอยู่กับมูลค่าของหุ้นที่นำมาใช้ในองค์กร

การสร้างแบบจำลองสตรีมเหตุการณ์ที่ไม่คงที่

ในบางกรณี อัตราการไหลอาจเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป λ (t) . การไหลดังกล่าวเรียกว่าไม่คงที่ ตัวอย่างเช่น จำนวนรถพยาบาลเฉลี่ยต่อชั่วโมงที่ออกจากสถานีเมื่อมีสายเรียกเข้าจากประชาชน เมืองใหญ่ในระหว่างวันอาจแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันดีว่าจำนวนการโทรสูงสุดอยู่ที่ช่วงเวลาระหว่าง 23:00 น. ถึง 01:00 น. และ 05:00 ถึง 07:00 น. ในขณะที่ในชั่วโมงอื่น ๆ จะลดลงครึ่งหนึ่ง (ดูรูปที่ 28.11)

ในกรณีนี้ การแจกแจง λ (t) สามารถระบุได้ด้วยกราฟ หรือสูตร หรือตาราง และในอัลกอริทึมที่แสดงในรูปที่ 28.6 ในตำแหน่งที่มีเครื่องหมาย (**) คุณจะต้องแทรกส่วนที่แสดงในรูปที่ 28.12.

4. การสร้างแบบจำลองตามแบบแผนของกระบวนการสุ่มของ Markov

ในการคำนวณพารามิเตอร์เชิงตัวเลขที่แสดงลักษณะของวัตถุสุ่ม จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นบางอย่างของปรากฏการณ์ โดยคำนึงถึงปัจจัยสุ่มที่มาพร้อมกัน สำหรับคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์มากมายที่พัฒนาในรูปแบบของกระบวนการสุ่ม เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาขึ้นในทฤษฎีความน่าจะเป็นสำหรับกระบวนการสุ่มของ Markov ที่เรียกว่าสามารถนำไปใช้ได้สำเร็จ มาอธิบายแนวคิดนี้กัน ให้มีระบบทางกายภาพบ้าง ส, สถานะที่เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา (ภายใต้ระบบ สอะไรก็ได้ที่เข้าใจได้: อุปกรณ์ทางเทคนิค ร้านซ่อม คอมพิวเตอร์ ฯลฯ) ถ้ารัฐ สแปรผันตามกาลเวลาอย่างสุ่มว่าในระบบ สกระบวนการสุ่มเกิดขึ้น ตัวอย่าง: กระบวนการทำงานของคอมพิวเตอร์ (การรับคำสั่งสำหรับคอมพิวเตอร์ ประเภทของคำสั่งเหล่านี้ ความล้มเหลวแบบสุ่ม) กระบวนการเล็งขีปนาวุธนำวิถีไปที่เป้าหมาย (การรบกวนแบบสุ่ม (การรบกวน) ในระบบควบคุมขีปนาวุธ) กระบวนการ ของการให้บริการลูกค้าในร้านทำผมหรือร้านซ่อม (สุ่มลักษณะการไหลของแอปพลิเคชัน (ข้อกำหนด) ที่ได้รับจากลูกค้า)

กระบวนการสุ่มเรียกว่ากระบวนการมาร์คอฟ (หรือ "กระบวนการที่ไม่มีผลกระทบ") หากในแต่ละครั้ง t0 ความน่าจะเป็นของสถานะใด ๆ ของระบบในอนาคต (ที่ t> t0 ) ขึ้นอยู่กับสภาพในปัจจุบันเท่านั้น (at t= t0 ) และไม่ขึ้นอยู่กับว่าระบบมาถึงสถานะนี้เมื่อใดและอย่างไร (เช่น กระบวนการพัฒนาในอดีตอย่างไร) อนุญาต สอุปกรณ์ทางเทคนิคที่มีลักษณะการเสื่อมสภาพในระดับหนึ่ง ส. เราสนใจว่ามันจะทำงานต่อไปอย่างไร การประมาณการครั้งแรก ประสิทธิภาพของระบบในอนาคต (อัตราความล้มเหลว จำเป็นต้องซ่อมแซม) ขึ้นอยู่กับสถานะของอุปกรณ์ใน ช่วงเวลานี้และไม่ขึ้นอยู่กับว่าอุปกรณ์ถึงสถานะปัจจุบันเมื่อใดและอย่างไร

ทฤษฎีกระบวนการสุ่มของมาร์กอฟเป็นส่วนที่ครอบคลุมของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่มีการใช้งานที่หลากหลาย (ปรากฏการณ์ทางกายภาพ เช่น การแพร่กระจายหรือการผสมของประจุระหว่างการหลอมละลายในเตาหลอม กระบวนการเข้าคิว)

4.1. การจำแนกประเภทของกระบวนการมาร์คอฟ

กระบวนการสุ่มของ Markov แบ่งออกเป็นคลาส ลักษณะการจำแนกประเภทแรกคือลักษณะของสเปกตรัมของรัฐ กระบวนการสุ่ม (SP) เรียกว่ากระบวนการที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องหากสถานะที่เป็นไปได้ของระบบ S1,S2,เอส3…สามารถแจงนับได้และกระบวนการเองประกอบด้วยความจริงที่ว่าบางครั้งระบบ S กระโดด (ทันที) จากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่ง

ตัวอย่าง. อุปกรณ์ทางเทคนิคประกอบด้วยสองโหนด I และ II ซึ่งแต่ละโหนดสามารถล้มเหลวได้ รัฐ: S1– โหนดทั้งสองทำงาน S2- โหนดแรกล้มเหลว โหนดที่สองทำงาน ส 3 - โหนดที่สองล้มเหลว การทำงานครั้งแรก; S4ทั้งสองโหนดล้มเหลว

มีกระบวนการที่มีสถานะต่อเนื่อง (การเปลี่ยนจากสถานะเป็นสถานะอย่างราบรื่น) ตัวอย่างเช่น การเปลี่ยนแปลงแรงดันไฟฟ้าในเครือข่ายแสงสว่าง เราจะพิจารณาเฉพาะ SP ที่มีสถานะไม่ต่อเนื่อง ในกรณีนี้ สะดวกในการใช้กราฟสถานะ ซึ่งสถานะที่เป็นไปได้ของระบบจะแสดงด้วยโหนด และการเปลี่ยนแปลงที่เป็นไปได้จะแสดงด้วยส่วนโค้ง

ลักษณะการจำแนกประเภทที่สองคือลักษณะของการทำงานในเวลา SP เรียกว่ากระบวนการที่มีเวลาไม่ต่อเนื่องหากการเปลี่ยนระบบจากสถานะเป็นสถานะเป็นไปได้เฉพาะในเวลาที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัดและกำหนดไว้ล่วงหน้า: t1,t2…. หากการเปลี่ยนแปลงของระบบจากสถานะเป็นสถานะเป็นไปได้ในช่วงเวลาสุ่มใด ๆ ที่ไม่ทราบล่วงหน้า เราจะพูดถึง SP ที่มีเวลาต่อเนื่องกัน

4.2. การคำนวณลูกโซ่ Markov แบบแยกเวลา

สกับรัฐที่ไม่ต่อเนื่อง S1,เอส2, ...snและเวลาไม่ต่อเนื่อง t1,t2, … ,ทีเค ...(ขั้นตอน, ขั้นตอนของกระบวนการ, SP ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ (หมายเลขขั้นตอน)) ในกรณีทั่วไป SP ประกอบด้วยช่วงการเปลี่ยนภาพ S1® S1® S2® S3® S4® S1® … ในช่วงเวลา t1,t2,t3 ....

เราจะแสดงว่าเหตุการณ์ประกอบด้วยความจริงที่ว่าหลังจาก k– ขั้นตอนที่ระบบอยู่ในสถานะ ซิ. สำหรับใดๆ kเหตุการณ์ https://pandia.ru/text/78/060/images/image004_39.gif" width="159" height="25 src=">

ลำดับเหตุการณ์แบบสุ่มดังกล่าวเรียกว่าห่วงโซ่มาร์คอฟ เราจะอธิบายเครือ Markov (MC) โดยใช้ความน่าจะเป็นของรัฐ ให้ เป็นความน่าจะเป็นที่หลัง k- ขั้นตอนที่ระบบอยู่ในสถานะ ซิ. ง่ายที่จะเห็นว่า " k DIV_ADBLOCK389">

ฉันใช้เหตุการณ์ข้างต้น https://pandia.ru/text/78/060/images/image008_34.gif" width="119" height="27 src="> ผลรวมของสมาชิกในแต่ละแถวของเมทริกซ์ ควรเท่ากับ 1 เมทริกซ์ความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนมักจะใช้กราฟสถานะที่มีป้ายกำกับ (หมายถึงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงที่ไม่เป็นศูนย์ในส่วนโค้ง ไม่จำเป็นต้องมีความน่าจะเป็นของความล่าช้า เนื่องจากคำนวณได้ง่าย เช่น P11=1-(P12+ป13)). เมื่อมีกราฟแสดงสถานะ (หรือเมทริกซ์ของความน่าจะเป็นการเปลี่ยนแปลง) และทราบสถานะเริ่มต้นของระบบ เราสามารถหาความน่าจะเป็นของรัฐได้ พี1(เค)หน้า2(เค)…พีเอ็น(k)" เค

ให้สถานะเริ่มต้นของระบบ sm, แล้ว

p1(0)=0 p2(0)=0…น.(0)=1…น(0)=0.

ขั้นแรก:

p1(1)=Pm1, p2(1)=Pm2,…pm(1)=Pmm,… ,pn(1)=Pmn.

หลังจากขั้นตอนที่สอง โดยใช้สูตรความน่าจะเป็นรวม เราได้รับ:

p1(2)=p1(1)P11+p2(1)P21+…pn(1)Pn1,

pi(2)=p1(1)P1i+p2(1)P2i+…pn(1)Pni หรือhttps://pandia.ru/text/78/060/images/image010_33.gif" width="149" height="47"> (ผม=1,2,..น)

สำหรับ MC ต่างกัน ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับหมายเลขขั้นตอน ให้เราแสดงความน่าจะเป็นการเปลี่ยนแปลงสำหรับขั้นตอน k as .

จากนั้นสูตรการคำนวณความน่าจะเป็นของรัฐจะอยู่ในรูปแบบ:

4.3. มาร์คอฟผูกมัดกับเวลาต่อเนื่อง

4.3.1. สมการของโคลโมโกรอฟ

ในทางปฏิบัติ สถานการณ์จะพบได้บ่อยมากขึ้นเมื่อระบบเปลี่ยนจากสถานะเป็นสถานะเกิดขึ้นในช่วงเวลาสุ่มที่ไม่สามารถระบุได้ล่วงหน้า: ตัวอย่างเช่น ความล้มเหลวขององค์ประกอบใด ๆ ของอุปกรณ์ การสิ้นสุดของการซ่อมแซม (การกู้คืน) ขององค์ประกอบนี้ . เพื่ออธิบายกระบวนการดังกล่าว ในหลายกรณี โครงร่างของกระบวนการสุ่มของ Markov ที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องและเวลาต่อเนื่อง ซึ่งเป็นห่วงโซ่ Markov แบบต่อเนื่องสามารถนำไปใช้ได้สำเร็จ ให้เราแสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นของรัฐสำหรับกระบวนการดังกล่าวแสดงออกมาอย่างไร อนุญาต ส=(S1,เอส2,…สน).แสดงโดย ปี่ (เสื้อ)- ความน่าจะเป็นที่ขณะนี้ tระบบ สจะอยู่ในสถานะ ). อย่างชัดเจน . มาตั้งค่างาน - เพื่อกำหนดใด ๆ tปี่ (เสื้อ). แทนที่จะเป็นความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลง ปิจญ์เรานำมาพิจารณาความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลง

ถ้าไม่ขึ้นอยู่กับ tพวกเขาพูดถึงลูกโซ่ที่เป็นเนื้อเดียวกันหรืออย่างอื่น - เกี่ยวกับลูกโซ่ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน แจ้งให้เราทราบสำหรับทุกคู่ของรัฐ (มีกราฟสถานะที่ระบุ) ปรากฎว่าเมื่อรู้กราฟสถานะที่ติดฉลาก คุณสามารถกำหนดได้ พี1(เสื้อ)หน้า2(ท)..พีเอ็น(เสื้อ)เป็นหน้าที่ของเวลา ความน่าจะเป็นเหล่านี้เป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์บางประเภท (สมการของ Kolmogorov)

การรวมสมการเหล่านี้กับสถานะเริ่มต้นที่ทราบของระบบจะทำให้ความน่าจะเป็นของสถานะที่ต้องการเป็นฟังก์ชันของเวลา สังเกตว่า p1+p2+p3+p4=1และเราทำได้ด้วยสามสมการ

กฎสำหรับการรวบรวมสมการของ Kolmogorov. ด้านซ้ายของแต่ละสมการประกอบด้วยอนุพันธ์ของความน่าจะเป็นของรัฐ และด้านขวามีคำศัพท์มากที่สุดเท่าที่มีลูกศรที่เกี่ยวข้องกับสถานะที่กำหนด หากลูกศรถูกชี้ออกจากสถานะ คำที่เกี่ยวข้องมีเครื่องหมายลบ หากเข้าสู่สถานะ จะเป็นเครื่องหมายบวก แต่ละเทอมจะเท่ากับผลคูณของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกับลูกศรที่กำหนด คูณด้วยความน่าจะเป็นของสถานะที่ลูกศรเกิดขึ้น

4.3.2. การไหลของเหตุการณ์ การไหลที่ง่ายที่สุดและคุณสมบัติของมัน

เมื่อพิจารณากระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องและเวลาต่อเนื่อง มักจะสะดวกที่จะจินตนาการถึงกระบวนการราวกับว่าการเปลี่ยนผ่านของระบบจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของกระแสเหตุการณ์บางประเภท กระแสของเหตุการณ์คือลำดับของเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งเกิดขึ้นทีละเหตุการณ์ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นช่วงเวลาสุ่มของเวลา (การไหลของการโทรที่การแลกเปลี่ยนโทรศัพท์ การไหลของความผิดปกติ (ความล้มเหลว) ของคอมพิวเตอร์ การไหลของรถไฟบรรทุกสินค้ามาถึงสถานี การไหลของผู้เข้าชม การไหลของการยิงที่มุ่งเป้า) เราจะอธิบายการไหลของเหตุการณ์เป็นลำดับของจุดบนแกนเวลา ot. ตำแหน่งของแต่ละจุดบนแกนจะเป็นแบบสุ่ม กระแสของเหตุการณ์เรียกว่า ปกติ , หากเหตุการณ์เกิดขึ้นทีละอย่างในช่วงเวลาที่กำหนดอย่างเคร่งครัด (ซึ่งพบได้ยากในทางปฏิบัติ) พิจารณาโฟลว์ประเภทพิเศษ สำหรับสิ่งนี้ เราจึงแนะนำคำจำกัดความจำนวนหนึ่ง 1. กระแสของเหตุการณ์เรียกว่า เครื่องเขียน , หากความน่าจะเป็นที่จะชนจำนวนเหตุการณ์หนึ่งหรือหลายเหตุการณ์ในช่วงเวลาของความยาวขึ้นอยู่กับความยาวของส่วนเท่านั้นและไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่แน่นอนบนแกน ot ส่วนนี้ตั้งอยู่ (ความสม่ำเสมอของเวลา) - ลักษณะความน่าจะเป็น ของกระแสดังกล่าวไม่ควรเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความเข้ม (หรือความหนาแน่น) ที่เรียกว่าการไหลของเหตุการณ์ (จำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา) เป็นค่าคงที่

2. กระแสของเหตุการณ์เรียกว่า ไหลไม่มีผลหากช่วงเวลาที่ไม่ทับซ้อนกันจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับหนึ่งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนเหตุการณ์ที่ตกอยู่ในอีกเหตุการณ์หนึ่ง (หรืออื่น ๆ หากพิจารณาว่ามากกว่าสองส่วน) การไม่มีผลที่ตามมาในสตรีมหมายความว่าเหตุการณ์ที่ก่อตัวเป็นสตรีมปรากฏขึ้นที่จุดต่อเนื่องกันในเวลาโดยไม่ขึ้นกับกันและกัน

3.กระแสของเหตุการณ์เรียกว่า สามัญ หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ขึ้นไปที่กระทบกลุ่มพื้นฐานนั้นเล็กเล็กน้อยเมื่อเทียบกับความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์หนึ่ง (เหตุการณ์ในสตรีมมาเพียงลำพัง ไม่ใช่เป็นคู่ แฝดสาม ฯลฯ)

กระแสของเหตุการณ์ที่มีคุณสมบัติทั้งสามเรียกว่า ง่ายที่สุด (หรือแบบปัวซอง). โฟลว์ปัวซองที่ไม่คงที่มีคุณสมบัติเพียง 2 และ 3 โฟลว์ของเหตุการณ์ปัวซอง (ทั้งแบบอยู่กับที่และไม่อยู่กับที่) มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการแจกแจงแบบปัวซองที่ทราบ กล่าวคือ จำนวนของเหตุการณ์โฟลว์ที่ตกลงบนเซ็กเมนต์ใดๆ ถูกแจกจ่ายตามกฎหมายปัวซอง มาอธิบายสิ่งนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติม

พิจารณาบนแกน เกี่ยวกับt, ที่สังเกตการไหลของเหตุการณ์, บางส่วนของความยาว t, เริ่มในขณะนี้ t0 และสิ้นสุด ณ บัดนี้ t0 + ที มันง่ายที่จะพิสูจน์ (มีการพิสูจน์ในทุกหลักสูตรของทฤษฎีความน่าจะเป็น) ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ m ที่กระทบส่วนนี้นั้นแสดงโดยสูตร:

(ม=0,1…),

ที่ไหน เอคือจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ต่อเซ็กเมนต์ t

สำหรับกระแสปัวซองที่อยู่กับที่ (ง่ายที่สุด) ก=lt, กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งบนแกน otพื้นที่ t ถูกถ่าย สำหรับกระแสปัวซองที่ไม่คงที่ ปริมาณ เอแสดงโดยสูตร

ดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับจุดที่ t0 ส่วน t เริ่มต้นขึ้น

พิจารณาบนแกน otการไหลของเหตุการณ์ที่ง่ายที่สุดด้วยความเข้มข้นคงที่ l เราจะสนใจช่วงเวลา T ระหว่างเหตุการณ์ในสตรีมนี้ ให้ l เป็นความเข้ม (จำนวนเหตุการณ์เฉลี่ยต่อ 1 ครั้ง) ของการไหล ความหนาแน่นของการกระจาย ฉ(t) ตัวแปรสุ่ม ตู่(ช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ที่อยู่ติดกันในสตรีม) ฉ(t)= lอี- lt (t> 0) . กฎการกระจายที่มีความหนาแน่นดังกล่าวเรียกว่าเลขชี้กำลัง (exponential) มาหาค่าตัวเลขของตัวแปรสุ่มกัน ตู่: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ย) และผลต่างที่เหลือ">

ช่วงเวลา ตู่ระหว่างเหตุการณ์ที่อยู่ใกล้เคียงในโฟลว์ที่ง่ายที่สุดถูกแจกจ่ายตามกฎเลขชี้กำลัง ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ โดยที่ l คือความเข้มของการไหล สำหรับโฟลว์ดังกล่าว ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์โฟลว์หนึ่งเหตุการณ์ในช่วงเวลาพื้นฐาน ∆t จะแสดงเป็น เราจะเรียกความน่าจะเป็นนี้ว่า "องค์ประกอบของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์"

สำหรับโฟลว์ปัวซองที่ไม่อยู่กับที่ กฎการกระจายสำหรับช่วง T จะไม่เป็นแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลอีกต่อไป รูปแบบของกฎหมายนี้จะขึ้นอยู่กับตำแหน่งบนแกน otเหตุการณ์แรกตั้งอยู่และประการที่สองตามประเภทของการพึ่งพา . อย่างไรก็ตาม หากมีการเปลี่ยนแปลงค่อนข้างช้าและการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาระหว่างสองเหตุการณ์มีน้อย กฎการกระจายของช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์สามารถพิจารณาได้โดยประมาณแบบทวีคูณ โดยสมมติในสูตรนี้ว่าค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยในพื้นที่ ที่เราสนใจ

4.3.3. ปัวซองไหลเหตุการณ์และ

โซ่มาร์คอฟอย่างต่อเนื่อง

พิจารณาระบบทางกายภาพบางอย่าง ส=(S1,เอส2,…sn)ซึ่งเปลี่ยนจากรัฐหนึ่งไปสู่อีกรัฐหนึ่งภายใต้อิทธิพลของเหตุการณ์สุ่มบางอย่าง (การโทร ความล้มเหลว การยิง) ให้เราจินตนาการว่าเหตุการณ์ที่ถ่ายโอนระบบจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งเป็นสตรีมเหตุการณ์บางประเภท

ให้ระบบ สในขณะนั้น tอยู่ในสถานะ ซิและสามารถไปจากสถานะนั้นได้ sjภายใต้อิทธิพลของกระแสปัวซองบางส่วนอย่างเข้มข้น lอิจ: ทันทีที่เหตุการณ์แรกของเธรดนี้เกิดขึ้น ระบบจะเปลี่ยนจาก .ทันที ซิใน sj..gif" width="582" height="290 src=">

4.3.4. จำกัดความน่าจะเป็นของรัฐ

ให้มีระบบทางกายภาพ ส=(S1,เอส2,…sn)ซึ่งกระบวนการสุ่มของ Markov ที่มีเวลาต่อเนื่อง (ห่วงโซ่ Markov แบบต่อเนื่อง) เกิดขึ้น มาแสร้งทำเป็นว่า lอิจ=constกล่าวคือ โฟลว์เหตุการณ์ทั้งหมดเป็นแบบเรียบง่าย (ปัวซองแบบคงที่) เมื่อเขียนระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของ Kolmogorov สำหรับความน่าจะเป็นของรัฐและรวมสมการเหล่านี้ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้น เราได้รับ พี1(เสื้อ)หน้า2(ท),…พีเอ็น(t) สำหรับใดๆ t. เราตั้งคำถามต่อไปนี้: จะเกิดอะไรขึ้นกับระบบ สที่ t® ¥. จะคุณสมบัติ ปี่ (t) มุ่งมั่นเพื่อขีด จำกัด บางอย่าง? ขีดจำกัดเหล่านี้ ถ้ามี จะเรียกว่าความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐ เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบท: หากจำนวนสถานะ S มี จำกัด และจากแต่ละสถานะเป็นไปได้ที่จะผ่าน (สำหรับขั้นตอนหนึ่งหรือหลายขั้นตอน) ซึ่งกันและกันความน่าจะเป็นที่ จำกัด ของรัฐมีอยู่และไม่ขึ้นอยู่กับ สถานะเริ่มต้นของระบบ สมมติให้เป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุและมีความน่าจะเป็นที่จำกัดอยู่ (ผม=1,2,…น), .

ดังนั้นที่ t® ¥ ในระบบ สระบอบการปกครองแบบคงที่ที่ จำกัด บางอย่างได้รับการจัดตั้งขึ้น ความหมายของความน่าจะเป็นนี้คือไม่มีอะไรมากไปกว่าเวลาเฉลี่ยสัมพัทธ์ที่ระบบใช้ในสถานะที่กำหนด ในการคำนวณ ปี่ในระบบสมการ Kolmogorov ที่อธิบายความน่าจะเป็นของรัฐ ต้องตั้งค่าด้านซ้ายมือทั้งหมด (อนุพันธ์) เท่ากับ 0 ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่ได้จะต้องแก้ร่วมกับสมการ .

4.3.5. แผนการตายและการสืบพันธุ์

เรารู้ว่าด้วยกราฟสถานะที่มีป้ายกำกับ เราสามารถเขียนสมการ Kolmogorov สำหรับความน่าจะเป็นของรัฐได้อย่างง่ายดาย เช่นเดียวกับการเขียนและแก้สมการพีชคณิตสำหรับความน่าจะเป็นขั้นสุดท้าย ในบางกรณี เป็นไปได้ที่จะแก้สมการสุดท้ายในรูปแบบตัวอักษรล่วงหน้า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้สามารถทำได้หากกราฟสถานะของระบบเรียกว่า "แผนการตายและการสืบพันธุ์"

https://pandia.ru/text/78/060/images/image044_6.gif" width="73" height="45 src="> (4.4)

จากข้อที่สอง พิจารณา (4.4) เราได้รับ:

https://pandia.ru/text/78/060/images/image046_5.gif" width="116" height="45 src="> (4.6)

และโดยทั่วไป สำหรับ k ใดๆ (ตั้งแต่ 1 ถึง N):

https://pandia.ru/text/78/060/images/image048_4.gif" width="267" height="48 src=">

ดังนั้นเราจึงได้รับนิพจน์สำหรับ p0

(4. 8)

(เรายกวงเล็บยกกำลัง -1 เพื่อไม่ให้เขียนเศษส่วนสองชั้น) ความน่าจะเป็นอื่นๆ ทั้งหมดแสดงในรูปของ p0 (ดูสูตร (4.4) - (4.7)) โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์ที่ p0 ในแต่ละค่าไม่ใช่ค่าสัมประสิทธิ์ที่ต่อเนื่องกันของอนุกรมหลังจากเอกภาพในสูตร (4.8) ดังนั้นโดยการคำนวณ p0 เราพบสัมประสิทธิ์เหล่านี้แล้ว

สูตรที่ได้รับมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดของทฤษฎี เข้าคิว.

เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

เล่มที่ 13 เล่มพิเศษ 5, 2008

การตรวจสอบกระแสเหตุการณ์กึ่งมาร์โคเวียน

A. A. Nazarov, S. V. Lopukhova Tomsk State University, รัสเซีย อีเมล: [ป้องกันอีเมล]น. สึ รู [ป้องกันอีเมล] en

ไออาร์ กาเรชินะ

สาขาเคเมโรโว มหาวิทยาลัยของรัฐใน Anzhero-Sudzhensk ประเทศรัสเซีย [ป้องกันอีเมล]

ในงานที่ส่งจะพิจารณากระบวนการเซมิมาร์โคเวียน พิจารณารูปแบบการจำกัด ผลลัพธ์ของการบำบัดเชิงวิเคราะห์ของแบบจำลองการจำกัดจะถูกนำมาเปรียบเทียบกับผลลัพธ์ที่ได้จากวิธี asymptotic

บทนำ

มีปัญหาในการขยายคลาสของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระแสเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน บ่อยครั้ง โมเดลคลาสสิกของกระแสเหตุการณ์สุ่มไม่สามารถเพียงพอกับข้อมูลจริงและกระแสโทรคมนาคม แบบจำลองปัวซโซและโฟลว์อย่างง่ายมักจะไม่เพียงพอสำหรับคำอธิบายที่น่าเชื่อถือและสมจริงมากขึ้นของโฟลว์ที่เข้ามาสำหรับระบบการจัดคิว แม้ว่าจะมีกระแสประเภทเฟสและกระแสปัวซองแบบมอดูเลตที่เพียงพอกว่า สถานการณ์จริงแบบจำลองโฟลว์กึ่งมาร์คอฟเป็นที่น่าสนใจอย่างยิ่ง กรณีพิเศษคือโฟลว์การกู้คืนของมาร์คอฟและโฟลว์ข้างต้นทั้งหมด วิธีการศึกษาแบบจำลองดังกล่าวค่อนข้างซับซ้อนและนำไปสู่ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ ดังนั้น ควบคู่ไปกับงานขยายคลาสของกระแส มีปัญหาในการพัฒนาวิธีการศึกษาพวกเขา

1. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

กระแสสุ่มของเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน (สตรีม) เป็นลำดับที่เรียงลำดับ

t\< ¿2 < ■ ■ ■

ตัวแปรสุ่ม tm - ช่วงเวลาของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในโฟลว์

ให้เมทริกซ์กึ่งมาร์คอฟ A(x) ที่มีองค์ประกอบ Aklk2 (x) กำหนด เมทริกซ์ P = lim A(x) เป็นแบบสุ่ม ดังนั้น สำหรับการแจกแจงเริ่มต้นที่กำหนด

มันกำหนดบางลูกโซ่มาร์คอฟ k (tm) กับเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งเราจะเรียกลูกโซ่มาร์คอฟที่ฝังอยู่ในกระแสกึ่งมาร์คอฟ

A. A. Nazarov, S. V. Lopukhova, I. R. Garayshina

กระแสสุ่มของเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันจะเรียกว่ากึ่งมาร์กอฟ ถ้ากฎความน่าจะเป็นของการก่อตัวของลำดับ (1) ถูกกำหนดโดยการแจกแจงเริ่มต้นและความเท่าเทียมกัน

Ak1k2 (x) = P (k(bm+1) = k2, bm+1 - bm< х ^^т) = к\ }

สำหรับ m > 1 ทั้งหมด

ให้เราแสดงด้วย n(b) จำนวนเหตุการณ์ของกระแสกึ่งมาร์โคเวียที่สะสมในช่วงเวลา b ในช่วงเวลา

จุดมุ่งหมายของบทความนี้คือเพื่อสร้างการแจกแจงความน่าจะเป็น P(n, b) = P(n(b) = n) สำหรับการทำงานที่อยู่กับที่ของโซ่ Markov ตามหลักสรีรศาสตร์ k(lm) เห็นได้ชัดว่ากระบวนการ n(b) ไม่ใช่ Markovian ดังนั้นเราจึงกำหนดกระบวนการสุ่มอีกสองกระบวนการ: r(b) คือความยาวของช่วงเวลาจากเวลา b ถึงช่วงเวลาของเหตุการณ์ถัดไปในโฟลว์ที่พิจารณา k(b ) เป็นกระบวนการต่อเนื่องทางซ้ายที่มีเวลาต่อเนื่องกันซึ่งมีค่าคงที่บนช่วง (bm,bm+1] และกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน k(b) = k(bm+1) ตามคำจำกัดความข้างต้น กระบวนการสุ่ม (k(b), n(b), r(b)) คือกระบวนการ Markov ที่มีเวลาต่อเนื่อง

โปรดทราบว่ากระบวนการสุ่ม k(b) ไม่ใช่กึ่งมาร์กอฟในคำจำกัดความคลาสสิกของ เนื่องจากกระบวนการกึ่งมาร์กอฟ B(b) มีความต่อเนื่องกัน และตามที่ระบุไว้ใน ไม่มีสมการวิวัฒนาการเชิงอนุพันธ์ของโคลโมโกรอฟสำหรับการเปลี่ยนแปลง ความน่าจะเป็นในขณะที่กระบวนการที่เสนอข้างต้น (k(b), n(b), r(b)) คือ Markovian ดังนั้นสำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็น

P (k, n, r, b) = P (k (b) = k, n (b) = n, r (b)< г} (2)

การเขียนระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของ Kolmogorov ไม่ใช่เรื่องยาก

^ dT (u, 1b - 1, 0, b) A (\ 2-^-

db dg dg ^ dg

หมายถึง

H(k, u, r, r) = ^ อี "uPR(k, n, r, b),

โดยที่ ] = ¡~ ~~ หน่วยจินตภาพ สำหรับฟังก์ชันเหล่านี้ จากระบบ Kolmogorov ของสมการเชิงอนุพันธ์ เราสามารถเขียน

dH (k, u, z, b) dH (k, u, z, b) dH (k, u, 0, b), u ^ dH (u, u, 0, b)

db dg dg ^ dg

แสดงว่า H (u, r, b) = (H (1, u, r, b) , H (2, u, r, b),...) สตริงของฟังก์ชันเวกเตอร์ จากนั้นเราจะเขียนระบบของ สมการ (3) ในรูปแบบเมทริกซ์

dN(ผม,ก,ก) _ dN(ผม,ก.,ก.) dN(ผม,0,ก.) Mc,g h n t

dg dg + dg 1 [) "" [ )

ซึ่งโซลูชันตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น H(u,z, 0) = R(z) โดยที่ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ และการกระจายแบบคงที่ R(z) ของกระบวนการ Markov สองมิติ (k(t), z( t)) เป็นวิธีการแก้ปัญหา Cauchy

<Ш = <Ш(1-Мг)),

และถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน R(z) = seit / (P - A(x))dx โดยที่ aei = ที่นี่ r คือเวกเตอร์

แถวของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบคงที่ของค่าลูกโซ่ Markov ที่ซ้อนกัน

k(tm); E คือเวกเตอร์คอลัมน์และเมทริกซ์ A = (P - A(x))dx

2. รุ่นพรีลิมิต

ขอให้เรามีสมการอนุพันธ์ (4) ซึ่งคำตอบ H (u,z,t) เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น H(u, z, 0) = R(z) จากนั้นฟูริเยร์แปลง - Stieltjess

φ>(u, a, t) = / ejaz dz H (u, z, t) ของฟังก์ชันเวกเตอร์ H (u, z, t) เป็นไปตามสมการ

df(u, a, b). . dH (u, 0, b), .*. . ก.ล.

m \u003d ~ zaf (u a, + - (e? uA * (a) - /) (5)

และเงื่อนไขเบื้องต้น

φ(u, a, 0) = R*(a) = ^ e > a2

โดยที่ A*(a) = J e>a"2dA(z) คำตอบของสมการ (5) มีรูปแบบ

φ(u, a, 1) = e~zab [ II*(a) + I (¿>uA*(a) - I) dt] . (6)

ให้ b มีแนวโน้มที่จะอนันต์ในนิพจน์ (6) เราได้รับการแปลงฟูริเยร์ใน m

dH (u, 0, t) ^ ^ "l

จากฟังก์ชันเวกเตอร์--- หลังจากทำการแปลงฟูเรียร์ผกผัน เราจะกำหนด

ฉัน e-j *A*(อจ) 1da.

A. A. Nazarov, S. V. Lopukhova, I. R. Raraishshia

ตอนนี้ความเท่าเทียมกัน (6) สามารถเขียนเป็น

f (scha, g) \u003d e-ab R * (a) +

+ - / e] ที่ I e ~ zutK * (y) (/ - e> uA * (y)) 1 Au (e "uA * (a) - /)<*г). (7)

เมื่อรู้ว่า H(u, x, r) = H(u, r) = φ(u, 0,1) เราได้รับนิพจน์สำหรับฟังก์ชันเวกเตอร์ H(u, r):

จากนั้นการกระจายความน่าจะเป็น P(n, r) ของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลา r คือ

tion H(u, b) = MeUn(b = H(u, b)E มันมีรูปแบบ

1 C a1 G 1 - e-™b

P(n, 1) = - e~zipNSH)E(1u = - / -^-5

ฉัน - A * (y) A * (y) p-1Eyu, (8)

ฉัน - A * (y) E<1у

บทสรุป

ดำเนินการศึกษาแบบไม่แสดงอาการของกระแสเหตุการณ์กึ่ง Markovian คล้ายกับการศึกษากระแสการต่ออายุ Markov เราได้รับว่าลำดับที่สามสำหรับฟังก์ชันคุณลักษณะสามารถเขียนได้เป็น

MeHan(1) = ^"(อีกครั้ง+^ae^+^aez*)

โดยที่สัมประสิทธิ์ s31, a2, a3 สำหรับโฟลว์กึ่งมาร์คอฟถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับที่ทำในผลงาน ความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์ (8) กำหนดการกระจายความน่าจะเป็น P(n, r) ของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในโฟลว์กึ่งมาร์กอฟที่อยู่กับที่ซึ่งกำหนดโดยเมทริกซ์กึ่งมาร์คอฟ A(x) และการแปลงฟูริเยร์-สไตลเจส A*(x ) การใช้สูตรเชิงตัวเลข (8) ทำให้สามารถค้นหาค่าตัวเลขของความน่าจะเป็น P(n, r) สำหรับเมทริกซ์ A*(x) และค่าของ r ที่หลากหลายเพียงพอ อย่างไรก็ตาม ความเป็นไปได้ ของการดำเนินการเชิงตัวเลขถูกจำกัดโดยทรัพยากรการคำนวณ สำหรับค่า r ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้วิธีการวิเคราะห์เชิงซีมโทติกของโฟลว์กึ่งมาร์กอฟในลักษณะเดียวกับที่ทำสำหรับโฟลว์การต่ออายุมาร์กอฟในการอ้างอิง และโฟลว์การต่ออายุมาร์กอฟแบบตะแกรงในการอ้างอิง การมีอยู่ของอัลกอริธึมเชิงตัวเลข (8) ทำให้สามารถกำหนดขอบเขตของผลลัพธ์เชิงซีมโทติกได้ สำหรับการไหลที่พิจารณาด้วยสามสถานะของห่วงโซ่ Markov ที่ซ้อนกัน ระยะห่างระหว่าง Kolmogorov - Smirnov ระหว่างการแจกแจง

ได้รับแบบไม่แสดงและตามสูตร (8) ไม่เกิน 2-3% สำหรับค่าบางอย่างของ t = T สิ่งนี้ทำให้เราสามารถยืนยันว่าสำหรับ t > T การใช้ผลลัพธ์เชิงสัญลักษณ์นั้นมีประสิทธิภาพและสำหรับ t< Т целесообразно использовать формулы (8), полученные в данной работе.

บรรณานุกรม

กอโรลยุก ค.ศ. โมเดลสุ่มของระบบ Kyiv: Nauk, Dumka, 1989. 208 p.

Nazarov A.A. , Lopukhova C.V. การตรวจสอบการไหลของการกู้คืน Markov โดยวิธี asymptotic อันดับสอง // Mater ระหว่างประเทศ วิทยาศาสตร์ คอนเฟิร์ม "วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับการปรับปรุงประสิทธิภาพของเครือข่ายโทรคมนาคม". Grodno, 2007, หน้า 170-174.

Lopukhova C.B. การตรวจสอบการไหลกึ่งมาร์คอฟโดยวิธี asymptotic ของลำดับที่สาม // Mater วี อินเตอร์ ทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติ คอนเฟิร์ม "เทคโนโลยีสารสนเทศและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์". Tomsk: สำนักพิมพ์ฉบับที่ un-ta, 2550. ตอนที่ 2 ส. 30-34.

จุดประสงค์ของการบรรยาย: การเรียนรู้แนวคิดของกระแสของเหตุการณ์, การไหลของเหตุการณ์ที่ง่ายที่สุด, กระบวนการของ Markov

1. กระแสของเหตุการณ์ คุณสมบัติสตรีมเหตุการณ์ ลำดับเหตุการณ์ที่ง่ายที่สุด สูตรปัวซอง

2. กระบวนการบริการเป็นกระบวนการมาร์คอฟ

3. QS ช่องทางเดียวพร้อมรอ

กระแสของเหตุการณ์เป็นลำดับของเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ตามมาทีละเหตุการณ์แบบสุ่ม

ตัวอย่างอาจเป็น:

การไหลของการโทรที่การแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์

กระแสของคอมพิวเตอร์ขัดข้อง

กระแสของการยิงที่พุ่งไปที่เป้าหมาย ฯลฯ

ไหลปกติเรียกว่ากระแสซึ่งเหตุการณ์ต่างๆ ตามมาเป็นระยะๆ (ลำดับเหตุการณ์ที่กำหนดขึ้น)

เหตุการณ์เช่นนี้แทบจะไม่พบเห็นในทางปฏิบัติ ในระบบโทรคมนาคม โฟลว์เป็นเรื่องปกติมากขึ้น โดยทั้งช่วงเวลาของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและช่วงเวลาระหว่างกันนั้นเป็นแบบสุ่ม

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของกระแสเหตุการณ์ว่าเป็นความนิ่ง ความธรรมดา และการไม่มีผลที่ตามมา

การไหลคงที่ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์จำนวนหนึ่งในช่วงเวลาหนึ่ง τ ขึ้นอยู่กับความยาวของช่วงเวลานี้เท่านั้นและไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งบนแกนเวลา สำหรับโฟลว์แบบคงที่ จำนวนเหตุการณ์เฉลี่ยต่อหน่วยเวลาจะคงที่

ไหลธรรมดาโฟลว์เรียกว่าโฟลว์ที่ความน่าจะเป็นของการกดปุ่มสองคำขอขึ้นไปในช่วงเวลาสั้นๆ ที่กำหนดนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับความน่าจะเป็นที่จะกดปุ่มหนึ่งคำขอ

ในระบบโทรคมนาคมถือว่ากระแสเป็นเรื่องปกติ

ไหลไม่มีผลโดดเด่นด้วยความจริงที่ว่าสำหรับสองช่วงเวลาที่ไม่ทับซ้อนกัน

ความน่าจะเป็นของการเกิดจำนวนเหตุการณ์ในช่วงที่สองไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาแรก

พารามิเตอร์กระแสเรียกว่าลิมิต

โดยที่ความน่าจะเป็นที่คำสั่งซื้อจะปรากฏในช่วงเวลานั้น

ความเข้มของการไหล μ คือจำนวนเหตุการณ์เฉลี่ยต่อหน่วยเวลา

สำหรับการไหลแบบคงที่ พารามิเตอร์จะไม่ขึ้นอยู่กับเวลา

สำหรับการไหลแบบคงที่และแบบธรรมดา λ=μ

ง่ายที่สุดหรือ ปัวซองไหล เรียกว่า กระแสน้ำนิ่ง ธรรมดาไม่มีผล

การไหลที่ง่ายที่สุดเป็นไปตามกฎหมายการกระจายปัวซอง

ความเข้มของการไหลอยู่ที่ไหน

จำนวนเหตุการณ์ที่ปรากฏในช่วงเวลา

โฟลว์ที่ง่ายที่สุดสามารถกำหนดได้โดยการกระจายช่องว่างระหว่างการโทรที่อยู่ติดกัน

F(t)=P(z .) เสื้อ)

P(z>t) เท่ากับความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลา t จะไม่มีการเรียกมากกว่าหนึ่งครั้ง

F(t)=P(z>t)=1- (t)=1-

กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มนี้เรียกว่าเลขชี้กำลัง

คุณสมบัติและลักษณะของการไหลที่ง่ายที่สุด:

ก) สำหรับการไหลที่ง่ายที่สุด ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของช่องว่าง z มีค่าเท่ากัน MZ= σz=1/λ;

ข) มูลค่าที่คาดหวังและความแปรปรวนของจำนวนการโทร i เป็นระยะเวลาหนึ่ง t มีค่าเท่ากัน Mi=Di= λt

ความบังเอิญของค่าเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในทางปฏิบัติเมื่อตรวจสอบการไหลจริงเพื่อให้ตรงกับค่าที่ง่ายที่สุด

CMO เป็นระบบที่แสดงถึงการมีอยู่ของ 2 กระบวนการในนั้น: การรับแอปพลิเคชันและบริการของแอปพลิเคชัน

แบบมีเงื่อนไขนำเสนอในรูปแบบ

และตัวสะสมK

อุปกรณ์บริการ

ขั้นตอนการสมัครเป็นกระบวนการตามเวลา

กระแสของเหตุการณ์คือลำดับของช่วงเวลาของการเกิดเหตุการณ์ใดๆ

มี 3 สตรีมที่เกี่ยวข้องกับ QS:

1) กระแสอินพุต ลำดับเวลาของการรับใบสมัคร

2) กระแสเอาต์พุต ลำดับช่วงเวลาของการออกเดินทางของคำขอรับบริการ

3) การไหลของบริการ ลำดับของจุดเวลาสำหรับการสิ้นสุดของการร้องขอการบริการ สมมติว่าการให้บริการนั้นต่อเนื่อง

ลักษณะการไหล ความเข้ม -จำนวนเหตุการณ์เฉลี่ยต่อหน่วยเวลา

สตรีมที่เรียกว่า ปกติหากช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ในนั้นเท่ากัน ผิดปกติ– หากช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์เป็นตัวแปรสุ่ม

ไหล กำเริบหากช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์เป็นตัวแปรสุ่มกระจายตามกฎหมายเดียวกัน

สตรีมที่เรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันหากเป็น x-Xia โดยชุด (ti) ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเท่านั้น ต่างกัน– หากอธิบายโดยเซต (ti, fi) โดยที่ ti คือช่วงเวลาของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น fi คือแอตทริบิวต์ของคำขอ

SMOs เองแบ่งออกเป็น QS ที่มีความล้มเหลวและ QS พร้อมคิว. QS พร้อมคิวแบ่งออกเป็นคิวที่จำกัดและคิวไม่จำกัด กรณีพิเศษคือเวลาในการรอที่จำกัดในคิว

ในระบบประเภทหลัง คำขอที่ไม่สามารถให้บริการได้ทันทีจะถูกจัดคิวและด้วยความช่วยเหลือจากระเบียบวินัยในการให้บริการบางอย่าง จะถูกเลือกจากคำขอนั้น สาขาวิชาที่ใช้มากที่สุด:

1) FIFO (เข้าก่อน - ออกก่อน) - ตามลำดับการรับ;

2) LIFO (เข้าก่อนออกก่อน) - คนสุดท้ายที่ได้รับจะเสิร์ฟก่อน

3) SIRO (บริการแบบสุ่ม) - แบบสุ่ม;

4) - ระบบลำดับความสำคัญ (ลำดับความสำคัญแบบสัมบูรณ์และแบบสัมพัทธ์ ด้วยลำดับความสำคัญแบบสัมพัทธ์ แอปพลิเคชันจะถูกจัดเรียงตามค่าลำดับความสำคัญ - สูงก่อน แล้วจึงต่ำลง)

สำหรับคำอธิบายสั้น ๆ ของ QS D. Kendall แนะนำสัญลักษณ์ (สัญกรณ์)

m คือจำนวนช่องทางการให้บริการ

n คือจำนวนสถานที่รอ (ความจุ)

k คือจำนวนแหล่งที่มา

A และ B กำหนดลักษณะสตรีมอินพุตและสตรีมบริการตามลำดับ โดยการตั้งค่าฟังก์ชันการกระจายของช่วงเวลาระหว่างคำขอในสตรีมอินพุตและฟังก์ชันการกระจายของเวลาให้บริการ

A และ B สามารถรับค่าได้:

D - การกระจายแบบกำหนด;

M - บ่งชี้;

E r คือการกระจาย Erlang;

H r - บ่งชี้มากเกินไป;

G คือการกระจายทั่วไป

นี่ถือว่ากระแสคือ กำเริบ, เช่น. ช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน 3 ตำแหน่งแรกมีผลบังคับในสัญกรณ์ โดยค่าเริ่มต้น หากไม่มี n เรามีระบบที่ล้มเหลว หากไม่มี k แสดงว่าโดยค่าเริ่มต้น - แหล่งที่มาเดียว

9. การไหลที่ง่ายที่สุด คุณสมบัติและความสำคัญในการศึกษา sm.

สตรีมที่ตรงตามข้อกำหนดสามข้อต่อไปนี้เรียกว่าง่ายที่สุด

1) ไหล เครื่องเขียนหากความน่าจะเป็นของการมาถึงของจำนวนเหตุการณ์ที่กำหนดในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งมีความยาวคงที่ขึ้นอยู่กับระยะเวลาของช่วงเวลานั้นเท่านั้นและไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของเหตุการณ์บนแกนเวลา

2)การไหล สามัญ, หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์สองเหตุการณ์ขึ้นไปในช่วงเวลาประถม
→0 เป็นค่าที่น้อยมากเมื่อเทียบกับความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์หนึ่งในช่วงเวลานี้

3) กระแสเรียกว่าสตรีม ไม่มีผลหากมีช่วงเวลาที่ไม่ทับซ้อนกัน จำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับหนึ่งในนั้นจะไม่ขึ้นอยู่กับจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับอีกเหตุการณ์หนึ่ง บางครั้งคุณสมบัตินี้ถูกกำหนดไว้ดังนี้: การกระจายเวลาไปยังเหตุการณ์ที่ใกล้ที่สุดไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาสังเกต กล่าวคือ เวลาผ่านไปนานเท่าไรตั้งแต่เหตุการณ์ที่แล้ว

กระแสที่ตอบสนองสามเงื่อนไขนี้เรียกว่า ง่ายที่สุด

สำหรับเขา จำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนดใด ๆ เป็นไปตามกฎของปัวซอง ดังนั้นจึงเรียกอีกอย่างว่า ปัวซองนิ่ง

ความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลาหนึ่ง τ เกิดขึ้นอย่างแน่นอน มเหตุการณ์

เงื่อนไขของการไม่มีผลที่ตามมา (คำขอมาถึงโดยอิสระจากกัน) เป็นสิ่งสำคัญที่สุดสำหรับโฟลว์ที่ง่ายที่สุด

การกระจายปัวซอง

ความน่าจะเป็นที่สำหรับ จะไม่มีเหตุการณ์ใดเกิดขึ้น

ความน่าจะเป็นที่ทันเวลา อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์จะเกิดขึ้น

บางครั้งการวิเคราะห์ระบบจะสะดวกกว่าโดยพิจารณาจากช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ T:

นี่คือกฎเลขชี้กำลังที่มีความเข้มข้น .

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และค่าเฉลี่ยรูตสำหรับ T:

คุณสมบัติของการไม่มีผลที่ตามมาทำให้เราใช้เครื่องมือของโซ่มาร์คอฟเพื่อศึกษาการไหลที่ง่ายที่สุด

ให้เราแนะนำสถานะของระบบดังนี้: เราถือว่าระบบอยู่ในสถานะ S ถ้าในช่วงเวลา t มีการร้องขอ S ในระบบ

ให้เรากำหนดความน่าจะเป็นของระบบซึ่งสถานะจะถูกกำหนดโดยการมาถึงของคำขอเท่านั้นซึ่งในขณะนี้
ระบบจะยังคงอยู่ในสถานะเดิม แน่นอน ความน่าจะเป็นนี้ถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับช่วงเวลา
จะไม่รับใบสมัคร