นิยามของกระแสปัวซอง คุณสมบัติ. ดูหน้าที่กล่าวถึงคำว่า กระแสปัวซอง กระแสปัวซองแบบคงที่

ประสิทธิภาพของปั๊มน้ำมันขึ้นอยู่กับระดับความสามารถในการให้บริการของตู้จ่ายน้ำมัน (FRC) เป็นหลัก สมมุติว่ากระแสปัวซองมีผลกับ TEC

พิจารณาคุณลักษณะของการก่อสร้างแต่ละระดับ ในทางปฏิบัติ กระแสอุปสงค์ที่เข้ามาโดยทั่วไปจะถือว่าปัวซอง /47, 70, 74, 80/ กระแสปัวซองมีลักษณะเฉพาะด้วยความคงที่ ความธรรมดา และไม่มีผลที่ตามมา ลองพิจารณาคุณสมบัติเหล่านี้

ในแบบจำลองมาโครที่พิจารณา กระแสความต้องการขาเข้าโดยทั่วไปมีคุณสมบัติของความคงที่ ความธรรมดา และไม่มีผลกระทบที่ตามมา การไหลแบบปัวซองได้รับการอธิบายอย่างสมบูรณ์โดยพารามิเตอร์เดียว - ความเข้มของการไหล R สูตรโดยประมาณสำหรับ R มีรูปแบบ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด (โฟลว์ปัวซอง) ความน่าจะเป็นที่ลูกค้าจะปรากฏในช่วงเวลาสั้นๆ จะเป็นสัดส่วนกับระยะเวลาของช่วงเวลานี้ และไม่ขึ้นอยู่กับว่ามีลูกค้าในช่วงเวลาก่อนหน้าหรือไม่

เนื่องจากเรากำลังพิจารณาการไหลแบบปัวซองที่เป็นเนื้อเดียวกันของเรือที่มีความเข้ม q ดังนั้นการเติมเต็มความเท่าเทียมร่วมกัน

Y(t) = k และ Y(T-t)= q-k (ซึ่งตามมาจากการไม่มีผลที่ตามมาในโฟลว์ปัวซอง) นั่นเป็นเหตุผลที่

สตรีมที่เกิดจากการเจือจางแบบสุ่มหรือการรวมตัวของสตรีมปัวซองก็เป็นปัวซองเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น ในกรณีของคำอธิบายเชิงวิเคราะห์ของโฟลว์ข้อมูล นี่อาจเป็นโฟลว์ของข้อกำหนดปัวซองซึ่งมีธรรมดา อยู่กับที่ และไม่มีผลที่ตามมา อาจเป็นกระแสที่มีการกระจายความต้องการอย่างสม่ำเสมอ หากการแจกแจงได้รับจากข้อมูลเชิงประจักษ์ ค่า 7i1 7i2, .. คุณสามารถเป็นองค์ประกอบของฮิสโตแกรม ฯลฯ

มักมีการเปลี่ยนแปลงที่ต้องการการรวมสตรีมที่มาจากอินพุตต่างๆ ในกรณีนี้ สัญญาณเอาท์พุตอาจแสดงถึงการรวมกันของกระแสเหล่านี้เป็นหนึ่งเดียวกับคุณลักษณะอื่นๆ ตัวอย่างเช่น หากอินพุตสองรายการเพื่อบล็อก C ได้รับคำขอปัวซอง สัญญาณเอาต์พุตอาจเป็นสตรีมปัวซองที่มีพารามิเตอร์เท่ากับผลรวมของพารามิเตอร์ของสตรีมดั้งเดิม

ให้การชำระเงินครั้งเดียวติดตามกันในช่วงเวลาสุ่ม กระจายตามกฎเลขชี้กำลังที่มีพารามิเตอร์ R > 0 (ขั้นตอนการชำระเงินปัวซอง) ฟังก์ชันการกระจายส่วนต่างซึ่งมีรูปแบบ

สำหรับโฟลว์ปัวซองที่ไม่อยู่กับที่ กฎการกระจายของช่วงเวลา / จะไม่ชี้ให้เห็นอีกต่อไป เนื่องจากมันขึ้นอยู่กับตำแหน่งบนแกน Ot และรูปแบบของการพึ่งพา R(7) อย่างไรก็ตาม สำหรับปัญหาบางอย่าง ด้วยการเปลี่ยนแปลงที่ค่อนข้างเล็กใน R(0) มันสามารถพิจารณาได้โดยประมาณแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลด้วยความเข้ม R เท่ากับค่าเฉลี่ย R(0-

ดังนั้น สำหรับระบบ S ภายใต้การศึกษาที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องและเวลาต่อเนื่อง การเปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งเกิดขึ้นภายใต้การกระทำของเหตุการณ์ปัวซองที่มีความเข้มข้น H

ในรุ่นที่กำลังพิจารณา ควรพิจารณาความจุที่จำกัด กระแสความต้องการที่เข้ามามาจากเครื่องจักรที่ใช้งานได้จำนวนจำกัด (N - k) ซึ่งสุ่มล้มเหลวและจำเป็นต้องบำรุงรักษา นอกจากนี้ แต่ละเครื่องจาก (N - k) ยังทำงานอยู่ สร้างกระแสความต้องการแบบปัวซองด้วยความเข้มข้น

ให้เราเป็นตัวแทนของรถเป็นระบบ S ที่มีสถานะไม่ต่อเนื่อง iSj,. 2. .... Sn ซึ่งผ่านจากสถานะ S/ ไปยังสถานะ Sj(i - 1, 2, ..., n, j = I, 2, ... และ) ภายใต้อิทธิพลของกระแสปัวซอง ของเหตุการณ์ (ความล้มเหลว) ที่มีความเข้ม xd เราจะพิจารณาสถานะของรถดังต่อไปนี้ ซึ่งอาจอยู่ในขั้นตอนการทำงานและมีลักษณะการหยุดทำงานตลอดทั้งวัน

กระแสปัวซองของเหตุการณ์ 53

โปรดทราบว่าในขณะที่กระแสปัวซอง k (t) ของสถานการณ์ที่นำไปสู่การชำระบัญชีโดยผู้ฝากเงินนั้นไม่สามารถสังเกตได้ในแบบจำลองของเรา ความน่าจะเป็น q (tu,t) ของการรักษาบัญชีและระยะเวลาที่คาดไว้ XI1 = Mt - 10 โดยหลักการแล้วการมีอยู่ของบัญชีสามารถประมาณได้จากสถิติที่สังเกตได้ การมีค่าประมาณทางสถิติ m - 10 และ 4-(tu, t) สำหรับปริมาณ Mm - 0 และ q (t0, t) ทำให้ง่ายต่อการรับค่าประมาณ (0 0 สำหรับพารามิเตอร์ A ของกระบวนการปัวซองที่ไม่สามารถสังเกตได้ พารามิเตอร์ X ที่ประมาณการด้วยวิธีนี้มีความหมายของจำนวนการเกิดขึ้นที่คาดหวังต่อหน่วยเวลาของสถานการณ์ที่นำไปสู่การปิดบัญชี

กระบวนการเกิดของประชากรของผู้ประกอบการหรือผู้ประกอบการรายใหม่จึงถูกมองว่าเป็นกระแสปัวซองที่ง่ายที่สุด

สำหรับโฟลว์ปัวซองที่ง่ายที่สุด ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ m เกิดขึ้นในเวลา r คือ

คำจำกัดความ 5.8. กระแสปัวซองแบบคงที่เรียกว่าง่ายที่สุด

ให้เราพิจารณาการไหลแบบปัวซองแบบไม่นิ่งที่มีความเข้มข้น Mf) ช่วงเวลาหนึ่งของความยาว r>0 เริ่มจากช่วงเวลาที่ t0 (และสิ้นสุด ดังนั้น ในขณะนี้ + r) และตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X p r) - จำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในโฟลว์ระหว่างช่วงเวลาตั้งแต่ ta ถึง t0+r

ข้อพิสูจน์ 6.1 ในกระแสปัวซองที่ไม่คงที่ที่มีความเข้ม A(t) ความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลาตั้งแต่ t0 ถึง t0 + r

คำจำกัดความ 6.2 องค์ประกอบความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในโฟลว์ปัวซองที่ไม่คงที่คือความน่าจะเป็น >, (AO ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์สำหรับช่วงเวลาพื้นฐาน (เล็กพอสมควร) จาก t0 ถึง t0+bt

ทฤษฎีบท 6.2 สำหรับองค์ประกอบความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในช่วงเวลาพื้นฐานตั้งแต่ t0 ถึง t0 + Af ในโฟลว์ปัวซองที่ไม่คงที่ด้วยความเข้มข้น A(t) สูตรโดยประมาณจะเกิดขึ้น

ความเข้มของกระแสปัวซองที่ไม่คงที่ A(t)

อย่างไรก็ตาม ใน ปีที่ผ่านมามันได้รับการพิสูจน์แล้วว่า "ถ้ากระแสของปัวซองของความเข้ม /I ​​เข้าสู่ระบบบริการประกอบด้วยอุปกรณ์ /7 และระยะเวลาการให้บริการอยู่ภายใต้กฎหมายการกระจายโดยพลการอย่างสมบูรณ์ C (ES) คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ซึ่งคือ I / c จากนั้นสำหรับความน่าจะเป็นที่ จำกัด P สูตรยังคงใช้ได้ (36) ดังนั้นในระบอบการปกครองแบบคงที่ความน่าจะเป็น / ไม่ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการกระจายความน่าจะเป็นของระยะเวลาการบริการ แต่เฉพาะในระยะเวลาการบริการเฉลี่ย ... เช่น

ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวในเงื่อนไขของ Neftekumsk UBR การวิเคราะห์งานของบริการทดสอบทำให้สามารถรวบรวมชุดสถิติของความเข้มข้นของการทดสอบระบบหลุมสำหรับการทดสอบและระยะเวลาของการทดสอบได้ การศึกษาอนุกรมวิธานทำให้เราสรุปได้ว่าการไหลของหลุมที่เข้าสู่การทดสอบเป็นการไหลแบบคงที่เพียงจุดเดียวโดยไม่มีผลกระทบ กล่าวคือ มีคุณสมบัติของกระแสปัวซอง ด้วยระดับความแม่นยำที่เพียงพอ เราสามารถสรุปได้ว่าเวลาให้บริการถูกกระจายตามกฎเลขชี้กำลัง จากชุดข้อมูลทางสถิติ ได้รวบรวมตารางเพื่อแจกแจงความเข้มของการว่าจ้างหลุมสำหรับการทดสอบ (ตารางที่ 36)

งานนี้ถูกกำหนดขึ้นดังนี้: การไหลของอุปสงค์คือปัวซองที่มีความเข้มข้น R ระยะเวลาการบริการถูกกระจายตามกฎเลขชี้กำลัง และระยะเวลาบริการเฉลี่ย iAy หากจำนวนอุปกรณ์บริการเท่ากับ n ดังนั้นด้วยกระแสความต้องการแบบปัวซองแบบคงที่ ความน่าจะเป็น Pt (t) (ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ I ครอบครองในขณะนี้ t) ใกล้เคียงกับค่าขีดจำกัด (สูตรเอิร์ลแลช)

หากโฟลว์ธรรมดาอิสระหลายโฟลว์ที่มีความเข้มเท่ากันมารวมกัน เมื่อจำนวนเงื่อนไขของโฟลว์เพิ่มขึ้น โฟลว์ที่รวมกันจะเข้าใกล้โฟลว์ที่ง่ายที่สุดโดยที่ไม่คงที่ที่เป็นไปได้ หากเงื่อนไขโฟลว์คงที่ จะได้รับโฟลว์ปัวซองในขีดจำกัด ความเข้มของการไหลรวมจะเท่ากับผลรวมของความเข้มของแต่ละการไหล

แต่ละหน่วยที่รวมอยู่ในบล็อกเป็นระบบที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนมาก ความล้มเหลวของแต่ละคนอาจทำให้สูญเสียความสามารถในการปฏิบัติงานของทั้งหน่วย การไหลของความล้มเหลวของหน่วยในเวลาเกิดขึ้นจากการซ้อนทับของหลายเหตุการณ์ - การไหลของความล้มเหลวขององค์ประกอบที่รวมอยู่ในองค์ประกอบ เมื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ความล้มเหลวในองค์ประกอบถือได้ว่าเป็นอิสระ (หรือขึ้นอยู่กับน้อย) และเหตุการณ์ปกติ ดังนั้น สำหรับการไหลของความล้มเหลวทั้งหมดของมวลรวมทั้งหมด จึงเป็นเรื่องถูกต้องที่จะใช้ทฤษฎีบทลิมิตโฟลว์ในทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม . ทฤษฎีบทนี้กำหนดเงื่อนไขซึ่งผลรวมของกระแสเหตุการณ์ปกติที่เป็นอิสระ (หรือขึ้นอยู่กับน้อย) จะลดลงจนถึงการกระจายแบบปัวซองของจำนวนความล้มเหลวของหน่วยในช่วงเวลาที่กำหนด t เงื่อนไขคือกระแสรวมควรมีค่าใกล้เคียงกัน ส่งผลกระทบต่อการไหลทั้งหมด ในทางปฏิบัติทางวิศวกรรม ขอแนะนำให้พิจารณาผลรวมของโฟลว์มากกว่า 5-7 โฟลว์เป็นโฟลว์ปัวซอง ถ้าความเข้มของโฟลว์เหล่านี้อยู่ในลำดับเดียวกัน ข้อความนี้อ้างอิงจากการศึกษาหลายชิ้นที่ดำเนินการโดยการทดสอบทางสถิติ จากที่กล่าวมาจำนวนความล้มเหลว t ของแต่ละหน่วยของบล็อก CES ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลา (/, M-m) มีการแจกแจงแบบฟอร์ม

ในช่วงเวลาของการทำงานปกติของหน่วย (ในส่วนกลาง) เมื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ มักจะถือว่า R, (/) = R = onst, i.e. นำแบบจำลองการไหลของความล้มเหลวปัวซองที่อยู่กับที่ ในกรณีนี้ สูตร (2.8.1) จะอยู่ในรูป

ตามตัวบ่งชี้ความน่าเชื่อถือของหน่วย CES เวลาเฉลี่ยระหว่างความล้มเหลวของ TNB ถูกนำมาใช้และตัวบ่งชี้การบำรุงรักษาคือเวลาการกู้คืนเฉลี่ยหลังจากความล้มเหลวของ TVB ในการรับสูตรสำหรับการคำนวณตัวบ่งชี้เหล่านี้เราใช้คุณสมบัติ

ในการบรรยายครั้งก่อน เราได้เรียนรู้วิธีจำลองเหตุการณ์แบบสุ่ม นั่นคือเราสามารถเล่นได้ ที่ของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้จะเกิดขึ้นและ ซึ่งในปริมาณ. ในการพิจารณาสิ่งนี้ จำเป็นต้องทราบลักษณะทางสถิติของการเกิดเหตุการณ์ เช่น ค่าดังกล่าวอาจเป็นความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ หรือการแจกแจงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่าง ๆ หากมีหลายประเภทนับไม่ถ้วน เหตุการณ์

แต่มักจะสำคัญที่ต้องรู้ เมื่อไรเหตุการณ์บางอย่างจะเกิดขึ้นในเวลา

เมื่อมีเหตุการณ์มากมายและติดตามกันจึงก่อตัวขึ้น ไหล. โปรดทราบว่าเหตุการณ์ในกรณีนี้จะต้องเป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ มีความคล้ายคลึงกันไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ตัวอย่างเช่น การปรากฏตัวของคนขับที่ปั๊มน้ำมันที่ต้องการเติมน้ำมันรถ นั่นคือเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันก่อตัวเป็นอนุกรม ในกรณีนี้จะถือว่าลักษณะทางสถิติของปรากฏการณ์นี้ (ความเข้มของการไหลของเหตุการณ์) ถูกกำหนดไว้ ความรุนแรงของกระแสเหตุการณ์บ่งบอกว่า เฉลี่ยเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้นต่อหน่วยเวลา แต่เมื่อเหตุการณ์เฉพาะเจาะจงเกิดขึ้นจริง ๆ จะต้องกำหนดโดยวิธีการสร้างแบบจำลอง เป็นสิ่งสำคัญที่เมื่อเราสร้าง ตัวอย่างเช่น 1,000 เหตุการณ์ใน 200 ชั่วโมง จำนวนของเหตุการณ์จะเท่ากับความรุนแรงเฉลี่ยของการเกิดเหตุการณ์ 1000/200 = 5 เหตุการณ์ต่อชั่วโมงโดยประมาณ ซึ่งเป็นค่าทางสถิติที่แสดงลักษณะโฟลว์นี้ โดยรวม

ความเข้มข้นของการไหลในแง่หนึ่งคือการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา แต่ในความเป็นจริง อาจกลายเป็นว่า 4 เหตุการณ์จะปรากฏในหนึ่งชั่วโมง และอีก 6 เหตุการณ์ในเหตุการณ์อื่น ถึงแม้ว่าจะได้รับโดยเฉลี่ย 5 เหตุการณ์ต่อชั่วโมง ดังนั้นค่าหนึ่งจึงไม่เพียงพอต่อการกำหนดลักษณะโฟลว์ ปริมาณที่สองที่กำหนดลักษณะการแพร่กระจายของเหตุการณ์ที่สัมพันธ์กับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ดังเช่นเมื่อก่อน การกระจายตัว อันที่จริง ค่านี้เป็นตัวกำหนดความสุ่มของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ความสามารถในการคาดการณ์ที่อ่อนแอของช่วงเวลาที่เกิดขึ้น เราจะพูดถึงคุณค่านี้ในการบรรยายครั้งต่อไป

กระแสของเหตุการณ์คือลำดับของเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งเกิดขึ้นทีละเหตุการณ์ในช่วงเวลาสุ่ม บนแกนเวลา เหตุการณ์เหล่านี้มีลักษณะดังแสดงในรูปที่ 28.1.

ตัวอย่างของกระแสเหตุการณ์คือ ลำดับของช่วงเวลาที่เครื่องบินแตะพื้นรันเวย์ที่มาถึงสนามบิน

อัตราการไหล λ คือจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา อัตราการไหลสามารถคำนวณได้จากการทดลองโดยใช้สูตร: λ = นู๋/ตู่น, ที่ไหน นู๋จำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นระหว่างการสังเกต ตู่น.

ถ้าช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ τ เจเท่ากับค่าคงที่หรือกำหนดโดยสูตรบางอย่างในรูปแบบ: t เจ = ฉ(t เจ 1)จากนั้นจึงเรียกกระแสว่า กำหนดขึ้น. มิฉะนั้นจะเรียกสตรีมแบบสุ่ม

สตรีมแบบสุ่มคือ:

• ธรรมดา: ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นพร้อมกันของสองเหตุการณ์ขึ้นไปเป็นศูนย์
• เครื่องเขียน : ความถี่เหตุการณ์ λ (t) = const( t) ;
• ไม่มีผล: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มไม่ได้ขึ้นอยู่กับช่วงเวลาของเหตุการณ์ก่อนหน้า

ปัวซองไหล

สำหรับมาตรฐานการไหลในการสร้างแบบจำลอง เป็นเรื่องปกติที่จะใช้กระแสปัวซอง.

ปัวซองไหลเป็นกระแสธรรมดาไม่มีผล

ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลาหนึ่ง (t 0 , t 0 + τ ) เกิดขึ้น มเหตุการณ์ถูกกำหนดจากกฎของปัวซอง:

ที่ไหน เอพารามิเตอร์ปัวซอง

ถ้า λ (t) = const( t) , นั่นคือ กระแสปัวซองคงที่(ง่ายที่สุด). ในกรณีนี้ เอ = λ · t . ถ้า λ =var( t) , นั่นคือ กระแสปัวซองไม่คงที่.

สำหรับโฟลว์ที่ง่ายที่สุด ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น มเหตุการณ์ตามกาลเวลา τ เท่ากับ:

ความน่าจะเป็นของการไม่ปรากฏตัว (นั่นคือไม่มี ม= 0 ) เหตุการณ์เมื่อเวลาผ่านไป τ เท่ากับ:

ข้าว. 28.2 แสดงให้เห็นถึงการพึ่งพา พี 0 จากเวลา เห็นได้ชัดว่ายิ่งเวลาสังเกตนานเท่าไร ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ไม่เกิดขึ้นก็จะยิ่งลดลง ยิ่งค่ายิ่งสูง λ ยิ่งกราฟมีความชันมากเท่าใด ความน่าจะเป็นจะลดลงเร็วขึ้นเท่านั้น ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าหากความรุนแรงของเหตุการณ์เกิดขึ้นสูง ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ไม่เกิดขึ้นก็จะลดลงอย่างรวดเร็วตามเวลาที่สังเกต

ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ ( พี XB1S ) มีการคำนวณดังนี้:

เพราะ พี HB1S + พี 0 = 1 (อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์จะปรากฏขึ้น หรือไม่มีเหตุการณ์ใดปรากฏขึ้น อีกเหตุการณ์หนึ่งจะไม่ได้รับ)

จากกราฟในรูป 28.3 จะเห็นได้ว่าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์มีแนวโน้มที่จะเป็นหนึ่งเดียวกันเมื่อเวลาผ่านไป กล่าวคือ ด้วยการสังเกตเหตุการณ์ระยะยาวที่เหมาะสม เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอนไม่ช้าก็เร็ว ยิ่งเราสังเกตเหตุการณ์นานขึ้น (ยิ่ง t) ยิ่งความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นมากเท่าใด กราฟของฟังก์ชันก็เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ

ความรุนแรงของการเกิดเหตุการณ์ยิ่งมากขึ้น (ยิ่ง λ ) ยิ่งเหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเร็วเท่าใด และฟังก์ชันก็มีแนวโน้มที่จะรวมเป็นหนึ่งเร็วขึ้นเท่านั้น บนกราฟ พารามิเตอร์ λ แสดงโดยความชันของเส้น (ความชันของเส้นสัมผัส)

ถ้าคุณเพิ่มขึ้น λ แล้วเมื่อสังเกตเหตุการณ์ในเวลาเดียวกัน τ , ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์เพิ่มขึ้น (ดูรูปที่ 28.4) เห็นได้ชัดว่ากราฟเริ่มต้นจาก 0 เนื่องจากหากเวลาสังเกตมีขนาดเล็กมาก ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นในช่วงเวลานี้จะเล็กน้อย และในทางกลับกัน หากเวลาสังเกตนานเป็นอนันต์ เหตุการณ์ก็จะเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ซึ่งหมายความว่ากราฟมีแนวโน้มที่จะมีค่าความน่าจะเป็นเท่ากับ 1

จากการศึกษากฎหมายสามารถกำหนดได้ว่า: ม x = 1/λ , σ = 1/λ นั่นก็คือเพื่อการโฟลว์ที่ง่ายที่สุด ม x = σ . ความเท่าเทียมกันของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหมายความว่าโฟลว์ที่กำหนดนั้นเป็นโฟลว์ที่ไม่มีผลกระทบ การกระจาย (แม่นยำกว่านั้นคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ของการไหลดังกล่าวมีขนาดใหญ่ ทางกายภาพ นี่หมายความว่าเวลาที่เกิดเหตุการณ์ (ระยะห่างระหว่างเหตุการณ์) คาดเดาได้ไม่ดี สุ่ม อยู่ในช่วง ม x – σ < τ เจ < ม x + σ . แม้ว่าจะเป็นที่ชัดเจนว่าโดยเฉลี่ยแล้วจะเท่ากับ: τ เจ = ม x = ตู่ไม่มี นู๋ . เหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ตลอดเวลา แต่ภายในช่วงเวลานั้น τ เจค่อนข้าง ม xบน [ σ ; +σ ] (ค่าของผลที่ตามมา) ในรูป 28.5 แสดงตำแหน่งที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ 2 ที่สัมพันธ์กับแกนเวลาสำหรับที่กำหนด σ . ที่ กรณีนี้เขาว่ากันว่าเหตุการณ์แรกไม่มีผลกับเหตุการณ์ที่สอง เหตุการณ์ที่สองไม่ส่งผลต่อเหตุการณ์ที่สาม และต่อๆ ไปคือไม่มีผลที่ตามมา

ภายในความหมายของ พีเท่ากับ r(ดูการบรรยาย 23. การสร้างแบบจำลองเหตุการณ์สุ่ม การสร้างแบบจำลองกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้) ดังนั้นจึงแสดง τ จากสูตร (*) ในที่สุด เพื่อกำหนดช่วงเวลาระหว่างสองเหตุการณ์สุ่ม เรามี:

τ = 1/ λ Ln( r) ,

ที่ไหน rกระจายอย่างสม่ำเสมอจาก 0 ถึง 1 หมายเลขสุ่มซึ่งนำมาจาก RNG τ ช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์สุ่ม (ตัวแปรสุ่ม τ เจ ).

ตัวอย่างที่ 1 . พิจารณาการไหลของผลิตภัณฑ์ที่มาถึงการดำเนินการทางเทคโนโลยี สินค้ามาถึงแบบสุ่มเฉลี่ยแปดชิ้นต่อวัน (อัตราการไหล λ = 8/24 [หน่วย/ชั่วโมง]). จำเป็นต้องจำลองกระบวนการนี้ในช่วง ตู่ชั่วโมง = 100 ชั่วโมง ม = 1/λ = 24/8 = 3 นั่นคือ โดยเฉลี่ย หนึ่งรายละเอียดต่อสามชั่วโมง สังเกตว่า σ = 3 . ในรูป 28.6 แสดงอัลกอริทึมที่สร้างกระแสของเหตุการณ์สุ่ม

ในรูป 28.7 แสดงผลการทำงานของอัลกอริธึมตามเวลาที่ชิ้นส่วนมาถึงการทำงาน อย่างที่เห็นในช่วงเวลานั้น ตู่ n = 100 โหนดการผลิตที่ประมวลผล นู๋= 33 สินค้า ถ้าเรารันอัลกอริทึมอีกครั้งแล้ว นู๋อาจเท่ากับ เช่น 34, 35 หรือ 32 แต่โดยเฉลี่ย สำหรับ Kอัลกอริทึมทำงาน นู๋จะเท่ากับ 33.33 หากเราคำนวณระยะทางระหว่างเหตุการณ์ tกับ ผมและช่วงเวลาที่กำหนดเป็น 3 ผมแล้วค่าเฉลี่ยจะเท่ากับ σ = 3 .

การสร้างแบบจำลองกระแสเหตุการณ์ที่ไม่ธรรมดา

หากทราบว่าโฟลว์ไม่ธรรมดา ก็จำเป็นต้องจำลอง นอกเหนือจากช่วงเวลาที่เกิดเหตุการณ์แล้ว ยังรวมถึงจำนวนเหตุการณ์ที่อาจปรากฏขึ้นในขณะนั้นด้วย ตัวอย่างเช่น เกวียน สถานีรถไฟมาถึงเป็นส่วนหนึ่งของรถไฟในเวลาสุ่ม (การไหลของรถไฟธรรมดา) แต่ในขณะเดียวกัน รถไฟอาจมีจำนวนรถ (สุ่ม) ต่างกัน ในกรณีนี้ การไหลของเกวียนเป็นกระแสของเหตุการณ์ที่ไม่ธรรมดา

สมมุติว่า เอ็ม k = 10 , σ = 4 (นั่นคือโดยเฉลี่ยแล้วใน 68 กรณีจาก 100 คันจาก 6 ถึง 14 คันเข้ามาในรถไฟ) และจำนวนของพวกเขาจะถูกกระจายตามกฎหมายปกติ ในตำแหน่งที่ทำเครื่องหมาย (*) ในอัลกอริทึมก่อนหน้า (ดูรูปที่ 28.6) คุณต้องแทรกส่วนที่แสดงในรูปที่ 28.8.

ตัวอย่างที่ 2 . มีประโยชน์มากในการผลิตคือการแก้ปัญหาต่อไปนี้ เวลาเฉลี่ยที่ไม่ได้ใช้งานรายวันของอุปกรณ์ของโหนดเทคโนโลยีคือเท่าใด หากโหนดประมวลผลแต่ละผลิตภัณฑ์ตามเวลาสุ่มที่ระบุโดยความเข้มของการไหลของเหตุการณ์สุ่ม λ 2? ในเวลาเดียวกัน มีการทดลองแล้วว่าผลิตภัณฑ์ถูกนำเข้ามาเพื่อการประมวลผลตามเวลาสุ่มที่ระบุโดยโฟลว์ λ 1 แบทช์ 8 ชิ้น และขนาดของแบทช์จะสุ่มตามกฏปกติด้วย ม = 8 , σ = 2 (ดูการบรรยาย 25) ก่อนการจำลอง ตู่= 0 ไม่มีสินค้าในสต็อก จำเป็นต้องจำลองกระบวนการนี้ในช่วง ตู่ชั่วโมง = 100 ชั่วโมง

ในรูป 28.9 แสดงอัลกอริธึมที่สุ่มสร้างกระแสของการมาถึงของแบทช์ของผลิตภัณฑ์สำหรับการประมวลผลและการไหลของเหตุการณ์สุ่มของผลผลิตของแบทช์ของผลิตภัณฑ์จากการแปรรูป

ในรูป รูปที่ 28.10 แสดงผลการทำงานของอัลกอริธึม จุดเวลาเมื่อชิ้นส่วนมาถึงการทำงาน และจุดเวลาที่ชิ้นส่วนออกจากการทำงาน บรรทัดที่สามแสดงจำนวนชิ้นส่วนที่อยู่ในคิวสำหรับการประมวลผล (อยู่ในคลังสินค้าของโหนด) ณ จุดต่างๆ ในเวลา

โดยการทำเครื่องหมายสำหรับโหนดการประมวลผลเวลาที่ไม่ได้ใช้งานรอส่วนถัดไป (ดูการแรเงาสีแดงในรูปที่ 28.10) เราสามารถคำนวณเวลาที่ไม่ได้ใช้งานทั้งหมดของโหนดสำหรับเวลาการสังเกตทั้งหมด แล้วคำนวณค่าเฉลี่ยรอบเดินเบา เวลาในระหว่างวัน สำหรับการดำเนินการนี้ เวลานี้คำนวณดังนี้:

ตู่ประชาสัมพันธ์ cf. = 24 ( t 1 พ. + t 2 ave. + t 3 ave. + t 4 พ. + + t นู๋เป็นต้น)/ ตู่น.

แบบฝึกหัดที่ 1 . เปลี่ยนค่า σ , ติดตั้งการพึ่งพา ตู่ประชาสัมพันธ์ cf. ( σ ) . การตั้งราคาสำหรับการหยุดทำงานของหน่วยที่ 100 ยูโรต่อชั่วโมง กำหนดการสูญเสียประจำปีขององค์กรจากความผิดปกติในการทำงานของซัพพลายเออร์ เสนอถ้อยคำของข้อตกลงระหว่างองค์กรและซัพพลายเออร์ "จำนวนเงินค่าปรับสำหรับความล่าช้าในการส่งมอบผลิตภัณฑ์"

งานที่ 2 . โดยการเปลี่ยนมูลค่าของการบรรจุเริ่มต้นของคลังสินค้า กำหนดว่าการสูญเสียประจำปีขององค์กรจะเปลี่ยนจากความผิดปกติในการทำงานของซัพพลายเออร์อย่างไร ขึ้นอยู่กับมูลค่าของหุ้นที่นำมาใช้ในองค์กร

การสร้างแบบจำลองสตรีมเหตุการณ์ที่ไม่คงที่

ในบางกรณี อัตราการไหลอาจเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป λ (t) . การไหลดังกล่าวเรียกว่าไม่คงที่ ตัวอย่างเช่น จำนวนรถพยาบาลเฉลี่ยต่อชั่วโมงที่ออกจากสถานีเมื่อมีสายเรียกเข้าจากประชาชน เมืองใหญ่ในระหว่างวันอาจแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันดีว่าจำนวนการโทรสูงสุดอยู่ระหว่าง 23:00 ถึง 01:00 น. และ 05:00 ถึง 07:00 น. ในขณะที่ในชั่วโมงอื่น ๆ จะลดลงครึ่งหนึ่ง (ดูรูปที่ 28.11)

ในกรณีนี้ การแจกแจง λ (t) สามารถระบุได้ด้วยกราฟ หรือสูตร หรือตาราง และในอัลกอริทึมที่แสดงในรูปที่ 28.6 ในตำแหน่งที่มีเครื่องหมาย (**) คุณจะต้องแทรกส่วนที่แสดงในรูปที่ 28.12.

ท่ามกลางกระแสเหตุการณ์ สถานที่พิเศษถูกครอบครองโดยสิ่งที่เรียกว่า "กระแสปัวซอง" ซึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับสถานที่อื่นๆ มีคุณสมบัติหลายประการที่ช่วยอำนวยความสะดวกในการแก้ปัญหาอย่างมาก

กระแสเหตุการณ์ปัวซองเรียกว่ากระแสที่มีสองคุณสมบัติ - ธรรมดาและไม่มีผล

กระแสเรียกว่า ไหลไม่มีผลถ้าสำหรับสองส่วนที่ไม่ทับซ้อนกัน t 1 และ t 2 จำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในส่วนใดส่วนหนึ่งจะไม่ขึ้นอยู่กับจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในอีกส่วนหนึ่ง

เราระบุจำนวนเหตุการณ์สุ่มที่เกิดขึ้นในช่วงเวลา t 1 ถึง X 1 และในช่วง t 2 , ถึง X 12 . สำหรับการไหลที่ไม่มีผลกระทบ ตัวแปรสุ่ม X 1 และ X 2 เป็นอิสระ กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์จำนวนหนึ่งในส่วนที่ t 2 ม 2ไม่ขึ้นกับกี่เหตุการณ์ ม.1เกิดขึ้นที่ไซต์ t 1 .

พี(x 2 =ม 2½ x 1 =ม 1) = พี(x 2 =ม).

(ม 1 =0, 1, 2,…)

(ม 2 =0, 1, 2,…). (2.47)

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากทฤษฎีความน่าจะเป็นที่สำหรับกระแสปัวซองจำนวนเหตุการณ์ X 1 ตกบนช่วงใด ๆ ของความยาว t ประชิดกับจุด เสื้อเผยแพร่ตามกฎของปัวซอง (รูปที่ 2.5.):

ที่ไหน ( a×(t× t)) มคือจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลา t ประจวบกับช่วงเวลา t. จึงเรียกกระแสว่า "ปัวซอง"

จำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์สำหรับการไหลปกติเท่ากับความเข้มของการไหล l( t). ดังนั้น จำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลา t ประชิดกับเวลา tจะเท่ากับ:

หากกระแสของปัวซองหยุดนิ่ง แสดงว่าปริมาณ เอจะไม่ขึ้นอยู่กับ เสื้อ:

ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลาที่เลือกโดยพลการของระยะเวลา t มเหตุการณ์ถูกกำหนดโดยสูตร:

การไหลคงที่มักถูกเรียกว่าการไหลที่ง่ายที่สุด เนื่องจากการใช้การไหลอย่างง่ายในการวิเคราะห์ระบบต่างๆ เข้าคิวนำไปสู่การแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด มาหากฎการกระจายของช่วงเวลาระหว่างสองเหตุการณ์ในโฟลว์ที่ง่ายที่สุด (รูปที่ 2.6.):

ความน่าจะเป็นที่พื้นที่ t, การติดตามหนึ่งเหตุการณ์จะไม่ปรากฏ จะไม่มีเหตุการณ์ใดเกิดขึ้น:

แต่ความน่าจะเป็นนี้เท่ากับความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม ตู่จะใหญ่กว่า t. เพราะเหตุนี้,

F(t)=พี(ตู่<1)=1 - พี×( ตู่>t)=1 - e-lt , t>0. (2.54)

ที่ไหน F(t) เป็นฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม ตู่.

การแยกความแตกต่างของนิพจน์นี้ เราได้รับความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม ตู่:

ฉ( t)=ล e-lt , (t>0). (2.55)

ดังนั้นในโฟลว์ที่ง่ายที่สุด ช่วงเวลาระหว่างสองเหตุการณ์ที่อยู่ใกล้เคียงจะถูกกระจายตามกฎหลักฐานที่มีพารามิเตอร์ l

เนื่องจากไม่มีผลที่ตามมา ช่วงเวลาทั้งหมดระหว่างเหตุการณ์ที่อยู่ติดกันจึงเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ นั่นเป็นเหตุผลที่ ไหลง่ายที่สุดเป็นกระแสคงที่ ปาล์ม.

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม ตู่- ช่วงเวลาระหว่างสองเหตุการณ์ในโฟลว์ที่ง่ายที่สุดเท่ากับ:

ทางนี้,

กระแสของเหตุการณ์ปกติ:

ที่ไหน ท*พื้นที่ที่เหตุการณ์สุ่มตก

ไหลปกติเป็นลำดับเหตุการณ์ที่คั่นด้วยช่วงเวลาเท่ากันอย่างเคร่งครัด

ความหนาแน่นการกระจายของช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ใดๆ สามารถแสดงเป็น:

ฉ(t)=d( t-mt), (2.59)

ที่ไหน d( t) เป็นฟังก์ชันเดลต้าที่รู้จัก

เนื่องจากช่วงเวลาระหว่างจุดที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่อย่างเคร่งครัดและเท่ากับ m tเห็นได้ชัดว่า มูลค่าที่คาดหวังช่วงเวลานี้คือ m t, แ Dt= 0.

มาหากฎการกระจายของเวลา Q จากจุดสุ่มไปยังเหตุการณ์ถัดไป:

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ที่อยู่ติดกันในสตรีมปกติจะเป็น:

g(x)= อี - imtx. (2.61)

กระแสเหตุการณ์ปกติมักไม่ค่อยใช้ในการแก้ปัญหาที่ประยุกต์ใช้ สิ่งนี้อธิบายได้ด้วยข้อเท็จจริงที่ว่ากระแสของเหตุการณ์ดังกล่าวมีผลกระทบที่ตามมามาก (ไม่จำกัด) เนื่องจากการรู้เพียงชั่วขณะของการเกิดเหตุการณ์ในกระแสปกติ จึงสามารถเรียกคืนอดีตทั้งหมดของสตรีมนี้และคาดการณ์ อนาคต.

อธิบายจำนวนเหตุการณ์สุ่มที่เกิดขึ้นในอัตราคงที่

คุณสมบัติความน่าจะเป็นของกระแสปัวซองนั้นมีลักษณะเฉพาะอย่างสมบูรณ์โดยฟังก์ชัน Λ(A)เท่ากับการเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา แต่ฟังก์ชั่นลดลงบางส่วน บ่อยครั้งที่กระแสปัวซองมีค่าพารามิเตอร์ทันที λ(t)- ฟังก์ชั่นที่จุดต่อเนื่องซึ่งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์การไหลในช่วงเวลา เท่ากับ λ(t)dt. ถ้า แต่- ส่วนเส้น , แล้ว

Λ (A) = ∫ a b λ (t) d t (\displaystyle \Lambda (A)=\int \limits _(a)^(b)\lambda (t)\,dt)

กระแสปัวซองซึ่ง λ(t)เท่ากับค่าคงที่ λ เรียกว่าโฟลว์ที่ง่ายที่สุดด้วยพารามิเตอร์ λ .

โฟลว์ปัวซองถูกกำหนดไว้สำหรับหลายมิติ และโดยทั่วไปแล้ว ช่องว่างที่เป็นนามธรรมใดๆ ที่สามารถแนะนำการวัดได้ Λ(A). การไหลของปัวซองแบบคงที่ในพื้นที่หลายมิตินั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยความหนาแน่นเชิงพื้นที่ λ . โดยที่ Λ(A)เท่ากับปริมาตรของพื้นที่ แต่คูณด้วย λ .

การจำแนกประเภท

กระบวนการปัวซองมีสองประเภท: ง่าย (หรือเพียง: กระบวนการปัวซอง) และซับซ้อน (ทั่วไป)

กระบวนการปัวซองอย่างง่าย

อนุญาต λ > 0 (\displaystyle \lambda >0). กระบวนการสุ่ม ( X t ) t ≥ 0 (\displaystyle \(X_(t)\)_(t\geq 0))เรียกว่ากระบวนการปัวซองที่เป็นเนื้อเดียวกันด้วยความเข้มข้น λ (\displaystyle \lambda ), ถ้า

กระบวนการปัวซองที่ซับซ้อน (ทั่วไป)

แสดงโดย S k (\displaystyle S_(k))ผลรวมขององค์ประกอบ k ตัวแรกของลำดับที่ป้อน

จากนั้นเราจะกำหนดกระบวนการปัวซองที่ซับซ้อน ( Y t ) (\displaystyle \(Y_(t)\))อย่างไร S N (t) (\displaystyle S_(N(t))) .

คุณสมบัติ

• กระบวนการปัวซองยอมรับเฉพาะค่าจำนวนเต็มไม่เป็นลบเท่านั้น และยิ่งกว่านั้น

P (X t = k) = λ k t k k ! e − λ t , k = 0 , 1 , 2 , … (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t)=k)=(\frac (\lambda ^(k)t^(k))(k}e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\ldots } !}.

• เส้นทางวิถีของกระบวนการปัวซองนั้นคงที่เป็นชิ้น ๆ ฟังก์ชันไม่ลดลงด้วยการกระโดดเท่ากับหนึ่งเกือบแน่นอน แม่นยำยิ่งขึ้น

P (X t + h − X t = 0) = 1 − λ h + o (h) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t+h)-X_(t)=0)=1-\lambda ชั่วโมง+o(ซ)) P (X t + h − X t = 1) = λ h + o (h) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t+h)-X_(t)=1)=\lambda h+o( ชม)) P (X t + h − X t > 1) = o (h) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t+h)-X_(t)>1)=o(h))ที่ ชั่วโมง → 0 (\displaystyle h\to 0),

ที่ไหน o (h) (\displaystyle o(h))ย่อมาจาก "o small"

เกณฑ์

เพื่อจะได้มีกระบวนการสุ่ม ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\))ด้วยเวลาต่อเนื่องเป็นปัวซอง (ง่าย ๆ เป็นเนื้อเดียวกัน) หรือศูนย์เหมือนกันก็เพียงพอแล้วที่จะปฏิบัติตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

คุณสมบัติของข้อมูล

มันขึ้นอยู่กับ T (\รูปแบบการแสดงผล T)จากส่วนก่อนหน้าของวิถี?
P (( T > t + s ∣ T > s )) (\displaystyle \mathbb (P) (\(T>t+s\mid T>s\))) - ?

อนุญาต u (t) = P (T > t) (\displaystyle u(t)=\mathbb (P) (T>t)).

U (t ∣ s) = P (T > t + s ∩ T > s) P (T > s) = P (T > t + s) P (T > s) (\displaystyle u(t\mid s) =(\frac (\mathbb (P) (T>t+s\cap T>s))(\mathbb (P) (T>s)))=(\frac (\mathbb (P) (T>t +s))(\mathbb (P) (T>s))))
u (t ∣ s) u (s) = u (t + s) (\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s))
u (t ∣ s) = s (t) ⇔ u (t) = e − α t (\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^(-\alpha t )).
การกระจายระยะเวลาระหว่างการกระโดดมีคุณสมบัติของหน่วยความจำไม่เพียงพอ ⇔ เป็นเลขชี้กำลัง

X (b) − X (a) = n (\displaystyle X(b)-X(a)=n)- จำนวนการกระโดดในส่วน [ a , b ] (\displaystyle ).
การกระจายแบบมีเงื่อนไขของโมเมนต์การกระโดด τ 1 , … , τ n ∣ X (b) − X (a) = n (\displaystyle \tau _(1),\dots ,\tau _(n)\mid X(b)-X(a)= น)สอดคล้องกับการกระจายของอนุกรมวิธานที่สร้างจากตัวอย่างความยาว n (\displaystyle n)จาก R [ a , b ] (\displaystyle R).

ความหนาแน่นของการกระจายนี้ f τ 1 , … , τ n (t) = n ! (b − a) n I (t j ∈ [ a , b ] ∀ j = 1 , n ¯) (\displaystyle f_(\tau _(1),\dots ,\tau _(n))(t)=( \frac (น{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (t_{j}\in \ \forall j={\overline {1,n}})} !}

CPT

• ทฤษฎีบท.

P (X (t) − λ เสื้อ λ t< x) ⇉ x λ t → ∞ Φ (x) ∼ N (0 , 1) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − u 2 2 d u {\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}

อัตราการบรรจบกัน:
ซุป x | P (X (t) − λ เสื้อ λ t< x) − Φ (x) | ⩽ C 0 λ t {\displaystyle \sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}} ,
ที่ไหน C 0 (\displaystyle C_(0))คือค่าคงที่  Berry-Esseen

แอปพลิเคชัน

กระแสปัวซองใช้เพื่อจำลองกระแสจริงต่างๆ: อุบัติเหตุ การไหลของอนุภาคที่มีประจุจากอวกาศ อุปกรณ์ขัดข้อง และอื่นๆ นอกจากนี้ยังสามารถใช้สำหรับการวิเคราะห์กลไกทางการเงิน เช่น กระแสการชำระเงินและกระแสที่แท้จริงอื่นๆ เพื่อสร้างแบบจำลองระบบบริการต่างๆ และวิเคราะห์ความเหมาะสม

การใช้สตรีมปัวซองช่วยลดความยุ่งยากในการแก้ปัญหาของระบบการจัดคิวที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณประสิทธิภาพได้อย่างมาก แต่การแทนที่อย่างไม่สมเหตุสมผลของกระแสที่แท้จริงโดยกระแสปัวซอง ซึ่งสิ่งนี้ไม่เป็นที่ยอมรับ นำไปสู่การคำนวณที่ผิดพลาดอย่างร้ายแรง

ในทางปฏิบัติ ส่วนใหญ่มักถูกจำกัดให้พิจารณาโฟลว์แอปพลิเคชันที่ง่ายที่สุด (ปัวซอง)

คำนิยาม.สตรีมเหตุการณ์พร้อมคุณสมบัติ ความธรรมดา ความคงที่ และไม่มีผล, เรียกว่า ง่ายที่สุด (หรือ ปัวซอง) ไหล. สำหรับการไหลของเหตุการณ์ที่ง่ายที่สุด ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ k จะเกิดขึ้นในช่วงเวลาของความยาว t มีการแจกแจงแบบปัวซองและถูกกำหนดโดยสูตร:

P(X(t,t) = k) = a k e -a /k! (k=0, 1, 2,…),

ที่ไหน a = lt, l คือความเข้มของการไหล

ความหมายทางกายภาพของความรุนแรงของกระแสของเหตุการณ์คือจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา (จำนวนคำขอต่อหน่วยเวลา) มิติคือ 1/ครั้ง

โฟลว์นี้เรียกว่าง่ายที่สุดเพราะการศึกษาระบบภายใต้อิทธิพลของโฟลว์ที่ง่ายที่สุดนั้นดำเนินการด้วยวิธีที่ง่ายที่สุด

การกระจายช่วงเวลาระหว่างคำขอสำหรับโฟลว์ที่ง่ายที่สุดจะเป็นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล (เอ็กซ์โพเนนเชียล) พร้อมฟังก์ชันการกระจายและความหนาแน่น โดยที่ความเข้มข้นของการมาถึงของคำขอใน QS

พิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของโฟลว์ที่ง่ายที่สุด:

ความไม่คงที่;

สามัญ;

ไม่มีผลที่ตามมา

ความไม่คงที่. คุณสมบัติของความนิ่งเป็นที่ประจักษ์ในความจริงที่ว่าความน่าจะเป็นที่จะชนกับจำนวนเหตุการณ์ที่กำหนดในช่วงเวลาขึ้นอยู่กับ ความยาวส่วน และ ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งบนแกน . กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความไม่คงที่ หมายถึงค่าคงที่ของระบอบความน่าจะเป็นของการไหลของเหตุการณ์ในเวลา กระแสที่มีคุณสมบัติคงที่เรียกว่า เครื่องเขียน. สำหรับโฟลว์แบบคงที่ จำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ที่ส่งผลต่อระบบระหว่างหน่วยเวลาจะคงที่ กระแสของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจริงในระบบเศรษฐกิจขององค์กรนั้นอยู่นิ่งเพียงในระยะเวลาที่จำกัดเท่านั้น

ความธรรมดา.คุณสมบัติของโฟลว์ธรรมดานั้นมีอยู่ ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ขึ้นไปที่กระทบกับช่วงเวลาพื้นฐานนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับความยาวของช่วงเวลานี้ คุณสมบัติของความธรรมดาหมายความว่าแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะมีเหตุการณ์มากกว่าหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้นในช่วงเวลาสั้นๆ กระแสที่มีคุณสมบัติเป็นลำดับเรียกว่า สามัญ.กระแสของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจริงในระบบเศรษฐกิจต่างๆ เป็นเรื่องธรรมดา หรืออาจลดทอนให้เหลือเพียงธรรมดาก็ได้

ไม่มีผล. คุณสมบัติของโฟลว์นี้คือสำหรับเซ็กเมนต์เวลาที่ไม่ทับซ้อนกัน จำนวนเหตุการณ์ที่ตรงกับหนึ่งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนเหตุการณ์ที่อยู่ในเซ็กเมนต์เวลาอื่น โฟลว์ที่มีคุณสมบัติไม่มีผล เรียกว่า ไหลไม่มีผล.

กระแสของเหตุการณ์ที่ควบคู่ไปกับคุณสมบัติของความนิ่ง ความธรรมดา และไม่มีผลที่ตามมา เรียกว่า การไหลของเหตุการณ์ที่ง่ายที่สุด

2.6. ส่วนประกอบและการจำแนกประเภท

รุ่นของระบบคิว (QS)

ปัญหาแรกของทฤษฎีระบบการเข้าคิว (TSMO) ได้รับการพิจารณาโดยพนักงานของบริษัทโทรศัพท์ในโคเปนเฮเกน นักวิทยาศาสตร์ชาวเดนมาร์ก A.K. Erlang (1878–1929) ระหว่างปี 1908 และ 1922 งานเหล่านี้เกิดขึ้นได้ด้วยความปรารถนาที่จะปรับปรุงการทำงานของเครือข่ายโทรศัพท์และเพื่อพัฒนาวิธีการปรับปรุงคุณภาพการบริการลูกค้าล่วงหน้า ขึ้นอยู่กับจำนวนอุปกรณ์ที่ใช้ ปรากฎว่าสถานการณ์ที่เกิดขึ้นจากการแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์นั้นเป็นเรื่องปกติไม่เพียง แต่สำหรับการสื่อสารทางโทรศัพท์เท่านั้น การทำงานของสนามบิน การทำงานของท่าเรือทางทะเลและแม่น้ำ ร้านค้า ชั้นอาคารผู้โดยสาร คอมเพล็กซ์เรดาร์ สถานีเรดาร์ ฯลฯ ฯลฯ สามารถอธิบายได้ภายในกรอบของ TSMO

ระบบจัดคิว- เป็นระบบที่รับคำขอบริการแบบสุ่มในขณะที่คำขอที่ได้รับจะได้รับบริการโดยใช้ช่องทางบริการที่มีให้กับระบบ

จากตำแหน่งของการสร้างแบบจำลองกระบวนการเข้าคิว สถานการณ์เมื่อคิวของการร้องขอ (ข้อกำหนด) สำหรับการบริการเกิดขึ้นดังนี้ เมื่อเข้าสู่ระบบการให้บริการ ความต้องการจะเข้าร่วมคิวของข้อกำหนดอื่นๆ (ที่ได้รับก่อนหน้านี้) ช่องทางบริการจะเลือกคำขอจากผู้ที่อยู่ในคิวเพื่อเริ่มให้บริการ หลังจากเสร็จสิ้นขั้นตอนการให้บริการสำหรับคำขอถัดไป ช่องทางบริการจะเริ่มให้บริการสำหรับคำขอถัดไป หากมีหนึ่งรายการในบล็อกการรอ

วงจรการทำงานของระบบการเข้าคิวประเภทนี้จะเกิดซ้ำหลายครั้งตลอดระยะเวลาการทำงานของระบบการเสิร์ฟ สันนิษฐานว่าการเปลี่ยนแปลงของระบบเพื่อให้บริการความต้องการถัดไปหลังจากเสร็จสิ้นการให้บริการตามข้อกำหนดก่อนหน้านี้จะเกิดขึ้นทันที โดยสุ่มตามเวลา

ตัวอย่างของระบบคิว ได้แก่ เสาบำรุงรักษารถยนต์ องค์กรใด ๆ ในภาคบริการ คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลที่ให้บริการแอปพลิเคชันขาเข้าหรือข้อกำหนดสำหรับการแก้ปัญหาบางอย่าง บริษัทตรวจสอบบัญชี; แผนกตรวจสอบภาษีที่เกี่ยวข้องกับการยอมรับและตรวจสอบการรายงานปัจจุบันขององค์กร การแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์ ฯลฯ

ระบบจริงที่ต้องจัดการในทางปฏิบัติ ตามกฎแล้ว นั้นซับซ้อนมากและรวมถึงการบำรุงรักษาหลายขั้นตอน (ขั้นตอน) นอกจากนี้ ในแต่ละขั้นตอน อาจมีความเป็นไปได้ของความล้มเหลวในการดำเนินการหรือมีสถานการณ์ของบริการที่มีลำดับความสำคัญที่เกี่ยวข้องกับข้อกำหนดอื่นๆ ในกรณีนี้ ลิงก์บริการแต่ละรายการอาจหยุดทำงาน (สำหรับการซ่อมแซม การปรับปรุง ฯลฯ) หรืออาจมีการเชื่อมต่อเงินเพิ่มเติม อาจมีบางกรณีที่คำขอที่ถูกปฏิเสธถูกนำเข้าสู่ระบบอีกครั้ง (สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ในระบบข้อมูล)

องค์ประกอบหลักของระบบการเข้าคิวทุกประเภท ได้แก่ :

กระแสข้อมูลขาเข้าของข้อกำหนดที่เข้ามาหรือคำขอบริการ

วินัยคิว;

กลไกการบริการ

ความต้องการกระแสอินพุต. ในการอธิบายโฟลว์อินพุต จำเป็นต้องกำหนดกฎความน่าจะเป็นที่กำหนดลำดับของช่วงเวลาที่มาถึงของคำขอรับบริการและระบุจำนวนคำขอดังกล่าวในการมาถึงแต่ละครั้ง ในกรณีนี้ตามกฎแล้วพวกเขาดำเนินการด้วยแนวคิดเรื่อง "การกระจายความน่าจะเป็นของช่วงเวลาที่ได้รับข้อกำหนด" ที่นี่ ความต้องการทั้งแบบเดี่ยวและแบบกลุ่มสามารถมาถึงได้ (ข้อกำหนดเข้าสู่ระบบเป็นกลุ่ม) ในกรณีหลัง เรามักจะพูดถึงระบบการจัดคิวด้วยบริการกลุ่มคู่ขนาน

วินัยคิว- นี่เป็นองค์ประกอบสำคัญของระบบการเข้าคิว โดยจะกำหนดหลักการตามข้อกำหนดที่มาถึงที่อินพุตของระบบเสิร์ฟที่เชื่อมต่อจากคิวไปยังขั้นตอนการบริการ สาขาวิชาคิวที่ใช้บ่อยที่สุดถูกกำหนดโดยกฎต่อไปนี้:

- เข้าก่อนออกก่อน (FIFO)

– มาถึงล่าสุด – เสิร์ฟก่อน (LIFO);

– สุ่มเลือกคำขอ (RANDOM);

– การเลือกแอปพลิเคชันตามเกณฑ์ลำดับความสำคัญ (PR);

– จำกัดเวลารอสำหรับช่วงเวลาที่ให้บริการ (มีคิวที่มีเวลารอจำกัดหรือจำนวนที่นั่งซึ่งเชื่อมโยงกับแนวคิดของ "ความยาวคิวที่ยอมรับได้")

ควรสังเกตว่าเวลาในการให้บริการแอปพลิเคชันขึ้นอยู่กับลักษณะของแอปพลิเคชันเองหรือความต้องการของลูกค้าและขึ้นอยู่กับสถานะและความสามารถของระบบการให้บริการ ในหลายกรณี ยังจำเป็นต้องคำนึงถึงความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์บริการจะออกหลังจากผ่านช่วงเวลาที่จำกัดไปแล้ว

โครงสร้างของระบบบริการถูกกำหนดโดยจำนวนและการจัดเรียงช่องทางบริการร่วมกัน (กลไก อุปกรณ์ ฯลฯ) ระบบบริการอาจมีช่องทางบริการมากกว่าหนึ่งช่องทาง แต่หลายช่องทาง - ระบบประเภทนี้สามารถตอบสนองความต้องการหลายอย่างพร้อมกันได้ ในกรณีนี้ หากทุกช่องทางบริการให้บริการแบบเดียวกัน ก็สามารถโต้แย้งได้ว่ามีบริการแบบขนาน - ระบบหลายช่องสัญญาณ

ระบบบริการสามารถประกอบด้วยช่องทางการให้บริการประเภทต่างๆ ได้หลายประเภท ซึ่งความต้องการบริการแต่ละอย่างต้องผ่าน กล่าวคือ ในระบบบริการ ขั้นตอนการให้บริการข้อกำหนดจะถูกดำเนินการตามลำดับ

เมื่อพิจารณาถึงองค์ประกอบหลักของระบบการจัดคิวแล้ว เราสามารถโต้แย้งได้ว่าการทำงานของระบบการจัดคิวใด ๆ ถูกกำหนดโดยปัจจัยหลักดังต่อไปนี้:

การกระจายความน่าจะเป็นของช่วงเวลาที่ได้รับคำขอบริการ (เดี่ยวหรือกลุ่ม)

การกระจายความน่าจะเป็นของระยะเวลาการให้บริการ

การกำหนดค่าระบบบริการ (บริการแบบขนาน แบบอนุกรมหรือแบบขนาน)

จำนวนและประสิทธิภาพของช่องทางการให้บริการ

วินัยคิว;

ความต้องการแหล่งพลังงาน

ในระบบที่มีการรอจำกัด ความยาวของคิว เวลาที่ใช้ในคิวอาจถูกจำกัด

ในระบบที่มีการรอไม่จำกัด แอปพลิเคชันที่อยู่ในคิวจะรอบริการอย่างไม่มีกำหนด กล่าวคือ จนกว่าคิวจะมาถึง

การจำแนกประเภทของ QS ข้างต้นเป็นแบบมีเงื่อนไข ในทางปฏิบัติ ระบบการจัดคิวส่วนใหญ่มักทำหน้าที่เป็นระบบผสม ตัวอย่างเช่น คำขอรอให้บริการเริ่มต้นจนถึงช่วงเวลาหนึ่ง หลังจากนั้นระบบเริ่มทำงานเป็นระบบที่มีความล้มเหลว

เรื่องของทฤษฎีการเข้าคิวคือการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยที่กำหนดการทำงานของระบบคิวและประสิทธิภาพของการทำงานของระบบ ในกรณีส่วนใหญ่ พารามิเตอร์ทั้งหมดที่อธิบายระบบการจัดคิวเป็นตัวแปรหรือฟังก์ชันแบบสุ่ม ดังนั้นระบบเหล่านี้จึงเรียกว่าระบบสุ่ม

เป็นหลัก เกณฑ์ประสิทธิภาพสำหรับระบบการเข้าคิวขึ้นอยู่กับลักษณะของปัญหาที่กำลังแก้ไข อาจมี:

ความน่าจะเป็นของการบริการทันทีของใบสมัครที่ได้รับ

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการให้บริการของแอปพลิเคชันที่ได้รับ

ปริมาณงานสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ของระบบ

เปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่ถูกปฏิเสธการให้บริการ

เวลารอเฉลี่ยในคิว

ความยาวคิวเฉลี่ย

รายได้เฉลี่ยจากการทำงานของระบบต่อหน่วยเวลา

ลักษณะสุ่มของการไหลของคำขอและระยะเวลาของการบริการนำไปสู่ความจริงที่ว่ากระบวนการสุ่มเกิดขึ้นในระบบการเข้าคิว ตามลักษณะของกระบวนการสุ่มที่เกิดขึ้นในระบบการจัดคิว (QS) มาร์กอฟและไม่ใช่มาร์กอฟจะมีความแตกต่างกัน โดยไม่คำนึงถึงลักษณะของกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบการจัดคิว QS มีสองประเภทหลัก:

ระบบที่มีความล้มเหลวซึ่งการเรียกร้องที่เข้าสู่ระบบในเวลาที่ทุกช่องไม่ว่างได้รับการปฏิเสธและออกจากคิว

ระบบที่มีการรอ (queuing) ซึ่งคำขอซึ่งมาถึงในขณะที่ทุกช่องทางการบริการไม่ว่างรอคิวและรอจนกว่าช่องใดช่องหนึ่งจะว่าง

เพื่อระบุประเภทของ QS จะใช้การกำหนด Kendall-Bash ที่ยอมรับโดยทั่วไป: X/Y/Z/m,

ที่ไหน เอ็กซ์-ประเภทของกฎหมายว่าด้วยการแบ่งช่วงเวลาในการรับใบสมัคร
ย-ประเภทของกฎหมายว่าด้วยการกระจายเวลาให้บริการของแอปพลิเคชัน
ซี-จำนวนช่อง;

ม-จำนวนที่นั่งในคิว

ในสัญกรณ์ประเภทกฎหมายว่าด้วยการจำหน่ายหนังสือ เอ็มสอดคล้องกับการแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง (จากคำว่า Markovian), จดหมาย อี– การกระจาย Erlang R– การกระจายสม่ำเสมอและ ดี- ปริมาณที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น รายการ M/M/1หมายถึงระบบช่องทางเดียวที่มีการแจกแจงแบบทวีคูณของเวลาที่รับและการบริการตามคำขอ ( เอ็ม– Markovian) โดยไม่ต้องต่อคิว

2.7. การคำนวณคุณสมบัติหลักของ QS

ขึ้นอยู่กับการใช้แบบจำลองการวิเคราะห์ของพวกเขา

ให้เราพิจารณา QS ดังกล่าว ซึ่งสถานะที่เป็นไปได้ของระบบก่อตัวเป็นลูกโซ่ และแต่ละสถานะ ยกเว้นสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้าย เชื่อมต่อกันโดยตรงและป้อนกลับกับสองสถานะที่อยู่ใกล้เคียง โครงร่างของกระบวนการดังกล่าวที่เกิดขึ้นในระบบเรียกว่า โครงการ "ความตายและการสืบพันธุ์"คำนี้มีต้นกำเนิดมาจากงานทางชีววิทยา กระบวนการนี้อธิบายการเปลี่ยนแปลงของขนาดประชากร

หากในระบบดังกล่าวโฟลว์ทั้งหมดที่ถ่ายโอนระบบจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งคือปัวซอง กระบวนการนั้นจะถูกเรียก Markov กระบวนการสุ่มของการตายและการสืบพันธุ์

โปรดทราบว่าในระบบดังกล่าว สถานะทั้งหมดมีความสำคัญ ซึ่งหมายความว่ามีความน่าจะเป็นของสถานะสุดท้ายที่สามารถพบได้จากระบบเชิงเส้นของสมการเออร์ลัง

ในทางปฏิบัติ ส่วนสำคัญของระบบ (QS) สามารถอธิบายได้ภายในกรอบของกระบวนการ "การตายและการสืบพันธุ์"

พิจารณาบางประเภทของระบบดังกล่าว:

ก) ช่องสัญญาณเดียวที่มีความล้มเหลว (ไม่มีคิว);

b) ช่องสัญญาณเดียวที่มีคิวจำกัด

c) หลายช่องทางที่มีความล้มเหลว (ไม่มีคิว);

d) หลายช่องสัญญาณด้วยคิวที่จำกัด