Smo piiratud ooteajaga näide. Tüüpilised matemaatilised mudelid. Ühe kanaliga QS koos ootamisega ilma ooteploki mahupiiranguteta

30.05.2020 Tingimused

AT äritegevus levinum QS koos ootamisega (järjekord).

Vaatleme lihtsat ühekanalilist piiratud järjekorraga QS-i, milles kohtade arv järjekorras m on fikseeritud väärtus. Järelikult ei võeta rakendust, mis saabub hetkel, kui kõik kohad järjekorras on hõivatud, teenindusse, ei sisene järjekorda ja lahkub süsteemist.

Selle QS-i graafik on näidatud joonisel fig. 3.4 ja langeb kokku joonisel fig. 2.1 kirjeldades protsessi "sünd - surm", selle erinevusega, et ainult ühe kanali olemasolul.

Teenuse "sünd-surm" protsessi märgistatud graafik, kõik teenusevoogude intensiivsused on võrdsed

QS olekuid saab esitada järgmiselt:

S0 - teeninduskanal on tasuta,

S, - teeninduskanal on hõivatud, kuid järjekorda pole,

S2 - teeninduskanal on hõivatud, järjekorras on üks päring,

S3 - teeninduskanal on hõivatud, järjekorras on kaks päringut,

Sm+1 - teeninduskanal on hõivatud, kõik m kohta järjekorras on hõivatud, iga järgmine päring lükatakse tagasi.

Kirjelduseks juhuslik protsess QS saab kasutada eelnevalt märgitud reegleid ja valemeid. Kirjutame olekute piiravaid tõenäosusi defineerivad avaldised:

Avaldise p0 saab sel juhul kirjutada lihtsamalt, kasutades seda, et nimetaja on geomeetriline progressioon p suhtes, siis pärast vastavaid teisendusi saame:

c= (1-s)

See valem kehtib kõigi p jaoks peale 1, kuid kui p = 1, siis p0 = 1/(m + 2) ja kõik muud tõenäosused on samuti võrdsed 1/(m + 2).

Kui eeldame, et m = 0, siis läheme ühe kanaliga QS-i arvestamisest koos ootamisega üle juba käsitletud ühekanalilisele teenusekeeluga QS-ile.

Tõepoolest, piirtõenäosuse p0 avaldis juhul m = 0 on kujul:

po \u003d m / (l + m)

Ja l \u003d m puhul on selle väärtus p0 \u003d 1/2.

Määratleme ühe kanaliga QS-i peamised omadused koos ootamisega: suhteline ja absoluutne läbilaskevõime, ebaõnnestumise tõenäosus, aga ka keskmine järjekorra pikkus ja keskmine ooteaeg järjekorras oleva rakenduse jaoks.

Taotlus lükatakse tagasi, kui see saabub hetkel, mil QS on juba olekus Sm + 1 ja seetõttu on kõik kohad järjekorras hõivatud ja üks kanal teenindab

Seetõttu määrab ebaõnnestumise tõenäosuse esinemise tõenäosus

Sm+1 ütleb:

Potc = pm+1 = cm+1 * p0

Suhteline läbilaskevõime ehk ajaühikus saabuvate teenindatud päringute osakaal määratakse avaldisega

Q \u003d 1- potk \u003d 1- cm + 1 * p0

absoluutne ribalaius on:

Keskmine teenindusjärjekorras olevate rakenduste arv L määratakse juhusliku suuruse k matemaatilise ootusega - järjekorras seisvate rakenduste arvuga

juhuslik muutuja k võtab ainult järgmised täisarvud:

1 - järjekorras on üks rakendus,
2 - järjekorras on kaks rakendust,

t-kõik kohad järjekorras on hõivatud

Nende väärtuste tõenäosused määratakse vastavate olekutõenäosustega, alustades olekust S2. Diskreetse juhusliku suuruse k jaotusseadus on kujutatud järgmiselt:

Tabel 1. Diskreetse juhusliku suuruse jaotuse seadus

Selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus on:

Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

Üldjuhul p ? 1 korral saab selle summa teisendada geomeetriliste progressioonimudelite abil mugavamale kujule:

Loch = p2 * 13:00 * (m-m*p+1)*p0

Konkreetsel juhul p = 1 korral, kui kõik tõenäosused pk osutuvad võrdseks, võib kasutada arvurea liikmete summa avaldist

1+2+3+ m = m(m+1)

Siis saame valemi

L "och \u003d m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).

Sarnaseid arutluskäike ja teisendusi rakendades saab näidata, et päringu ja järjekorra teenindamise keskmine ooteaeg määratakse Little'i valemitega

Punkt \u003d Loch / A (punktis p? 1) ja T1och \u003d L "och / A (punktis p \u003d 1).

Selline tulemus, kui selgub, et Tox ~ 1/l, võib tunduda veider: päringuvoo intensiivsuse kasvades tundub, et järjekorra pikkus peaks suurenema ja keskmine ooteaeg vähenema. Siiski tuleb meeles pidada, et esiteks on Lochi väärtus l ja m funktsioon ning teiseks on vaadeldaval QS-il piiratud järjekorra pikkus, mis ei ületa m rakendust.

Taotlus, mis saabub QS-i ajal, mil kõik kanalid on hõivatud, lükatakse tagasi ja sellest tulenevalt on selle ooteaeg QS-is null. See viib üldiselt (p? 1 puhul) Tochrostom l vähenemiseni, kuna selliste rakenduste osakaal suureneb l kasvades.

Kui loobuda järjekorra pikkuse piirangust, s.o. aspire m--> >?, siis juhtumid lk< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

Piisavalt suure k korral kipub pk tõenäosus olema null. Seetõttu on suhteline läbilaskevõime Q \u003d 1 ja absoluutne läbilaskevõime võrdub A - l Q - l, seetõttu teenindatakse kõiki sissetulevaid päringuid ja järjekorra keskmine pikkus on võrdne:

Loch = p2 1-p

ja keskmine ooteaeg Little'i valemi järgi

Punkt \u003d Loch / A

Limiidis lk<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Seetõttu ei saa olekute piiravaid tõenäosusi määrata: Q= 1 korral on need võrdsed nulliga. Tegelikult ei täida ühine turukorraldus oma funktsioone, kuna see ei suuda kõiki sissetulevaid rakendusi teenindada.

Lihtne on kindlaks teha, et teenindatud päringute osakaal ja absoluutne läbilaskevõime on vastavalt keskmine c ja m, kuid järjekorra piiramatu suurenemine ja seega ka ooteaeg selles viib selleni, et mõne aja pärast päringuid hakkavad kogunema järjekorda piiramatuks ajaks.

QS-i ühe tunnusena kasutatakse rakenduse QS-is viibimise keskmist aega Tsmo, sealhulgas keskmist järjekorras viibimise aega ja keskmist teenindusaega. See väärtus arvutatakse Little'i valemite abil: kui järjekorra pikkus on piiratud, võrdub keskmine rakenduste arv järjekorras:

Lmo= m+1;2

tsmo= Lcmo; p?1 juures

A siis päringu keskmine viibimisaeg süsteemis järjekorras seismine(nii järjekorras kui ka teenuses) on võrdne:

tsmo= m+1 p ?1 2m

järjekorrasüsteemi toimimine või tõhusus on järgmised.

Sest Ühine turukorraldus tõrgetega:

Sest CMO koos piiramatu ootamine nii absoluutne kui ka suhteline läbilaskevõime kaotavad oma tähenduse, kuna iga sissetulev päring teenindatakse varem või hiljem. Sellise QS jaoks on olulised näitajad:

Sest Ühise turukorralduse segatüüp kasutatakse mõlemat näitajate rühma: nii suhtelist kui ka absoluutne ribalaius ja ootuste omadused.

Olenevalt järjekorra toimingu eesmärgist saab jõudluskriteeriumiks valida ükskõik millise ülaltoodud näitajatest (või indikaatorite komplekti).

analüütiline mudel QS on võrrandite või valemite kogum, mis võimaldab määrata süsteemi olekute tõenäosusi selle töö käigus ja arvutada jõudlusnäitajaid sissetuleva voo ja teeninduskanalite teadaolevate omaduste põhjal.

Suvalise QS jaoks puudub üldine analüütiline mudel. Piiratud arvu QS-i erijuhtude jaoks on välja töötatud analüütilised mudelid. Analüütilised mudelid, mis enam-vähem täpselt kujutavad tegelikke süsteeme, on reeglina keerulised ja raskesti nähtavad.

QS-i analüütilist modelleerimist hõlbustab oluliselt see, kui QS-is toimuvad protsessid on markovised (päringute vood on lihtsad, teenindusajad on eksponentsiaalselt jaotunud). Sel juhul saab kõiki QS-i protsesse kirjeldada tavaliste diferentsiaalvõrranditega ja piiraval juhul statsionaarsete olekute puhul lineaarsete algebraliste võrranditega ja pärast nende lahendamist määrata valitud jõudlusnäitajad.

Vaatleme mõne QS näiteid.

2.5.1. Mitmekanaliline QS tõrgetega

Näide 2.5. Kolm liiklusinspektorit kontrollivad veokijuhtide saatelehti. Kui vähemalt üks kontrollija on vaba, peatatakse mööduv veok. Kui kõik inspektorid on hõivatud, möödub veok peatumata. Veokite voog on kõige lihtsam, kontrollaeg on juhuslik eksponentsiaalse jaotusega.

Sellist olukorda saab simuleerida kolme kanaliga riketega QS (ilma järjekorrata). Süsteem on avatud, homogeensete rakendustega, ühefaasiline, absoluutselt usaldusväärsete kanalitega.

Seisukohtade kirjeldus:

Kõik inspektorid on tasuta;

Üks inspektor on hõivatud;

Kaks inspektorit on hõivatud;

Kolm inspektorit on hõivatud.

Süsteemi olekute graafik on näidatud joonisel fig. 2.11.

Riis. 2.11.

Graafikul: - veokite voolu intensiivsus; - ühe liiklusinspektori dokumendikontrolli intensiivsus.

Simulatsioon viiakse läbi selleks, et teha kindlaks, millist osa autodest ei testita.

Lahendus

Soovitav tõenäosuse osa on kõigi kolme inspektori töölevõtmise tõenäosus. Kuna olekugraafik kujutab tüüpilist "surma ja paljunemise" skeemi, leiame sõltuvuste (2.2) kasutamise.

Selle liiklusinspektori ametikoha läbilaskevõimet saab iseloomustada suhteline läbilaskevõime:

Näide 2.6. Luurerühma teadete vastuvõtmiseks ja töötlemiseks määrati ühingu luureosakonda kolmest ohvitserist koosnev rühm. Eeldatav aruandlusmäär on 15 teadet tunnis. Ühe ametniku ühe aruande töötlemise keskmine aeg on . Iga ohvitser võib saada teateid mis tahes luurerühmalt. Vabastatud ohvitser töötleb viimast laekunud teadet. Sissetulevad aruanded tuleb töödelda vähemalt 95% tõenäosusega.

Tehke kindlaks, kas kolmest ohvitserist koosnev rühm on määratud ülesande täitmiseks piisav.

Lahendus

Rühm ametnikke töötab kolmest kanalist koosneva tõrgetega ühise korraldusasutusena.

Intensiivne aruannete voog võib pidada kõige lihtsamaks, kuna see on mitme luurerühma kokku. Hoolduse intensiivsus . Jaotusseadus on teadmata, kuid see pole oluline, kuna on näidatud, et tõrgetega süsteemide puhul võib see olla meelevaldne.

QS-i olekute kirjeldus ja olekugraafik on sarnased näites 2.5 toodud kirjeldatutega.

Kuna olekugraafik on "surma ja taastootmise" skeem, on selle piiravate olekutõenäosuste jaoks valmis avaldised:

Seost nimetatakse rakenduste voo vähenenud intensiivsus. Selle füüsiline tähendus on järgmine: väärtus on QS-i saabuvate päringute keskmine arv ühe päringu keskmise teenindusaja jooksul.

Näites .

Aastal Ühise turukorralduse ebaõnnestumine tekib siis, kui kõik kolm kanalit on hõivatud, st . Seejärel:

Sest ebaõnnestumise tõenäosus aruannete menetlemisel on üle 34% (), siis on vaja suurendada kontserni personali. Kahekordistame grupi koosseisu, see tähendab, et QS-il on nüüd kuus kanalit, ja arvutame:

Seega saab saabuvaid teateid 95% tõenäosusega töödelda vaid kuuest ametnikust koosnev rühm.

2.5.2. Mitmekanaliline QS koos ootamisega

Näide 2.7. Jõe sundlõigul on 15 sama tüüpi ületusrajatist. Ülekäigukohale saabuvate sõidukite voog on keskmiselt 1 ühik/min, keskmine ühe varustusühiku ületamise aeg on 10 minutit (arvestades ülekäigurajatise tagasitulekut).

Hinnake ülekäiguraja põhiomadusi, sealhulgas kohese ületamise tõenäosust seadme kohalejõudmisel.

Lahendus

Absoluutne ribalaius, ehk kõik, mis ülekäigule tuleb, on peaaegu kohe ületatud.

Töötavate ülekäigurajatiste keskmine arv:

Ristmise kasutus- ja seisakuaja suhtarvud:

Näite lahendamiseks töötati välja ka programm. Varustuse ülekäigukohale jõudmise ajaintervallid, ülesõidu aeg võetakse jaotatuna eksponentsiaalseaduse järgi.

Parvlaevade kasutusmäärad pärast 50 sõitu on praktiliselt samad: .

Järjekorra maksimaalne pikkus on 15 ühikut, keskmine järjekorras viibimise aeg on ca 10 minutit.

Praktikas on üsna levinud ühekanaliline järjekorraga QS (patsiente teenindav arst; ühe kabiiniga taksotelefon; kasutaja tellimusi täitev arvuti). Järjekorrateoorias on erilisel kohal ka ühe kanaliga QS koos järjekorraga (selliste QS-i alla kuulub enamik seni mitte-Markovi süsteemide kohta saadud analüütilisi valemeid). Seetõttu pöörame erilist tähelepanu ühe kanaliga järjekorraga QS-idele.

Olgu siis ühe kanaliga QS järjekorraga, millele piiranguid ei sea (ei järjekorra pikkusele ega ooteajale). See QS võtab vastu rakenduste voo intensiivsusega X; teenusevoo intensiivsus on pöördvõrdeline päringu keskmise teenindamisajaga. On vaja leida QS olekute lõplikud tõenäosused ja selle efektiivsuse karakteristikud:

Keskmine rakenduste arv süsteemis,

rakenduse keskmine viibimisaeg süsteemis,

Keskmine taotluste arv järjekorras,

Keskmine aeg, mille rakendus järjekorras veedab,

Tõenäosus, et kanal on hõivatud (kanali koormuse aste).

Mis puutub absoluutsesse läbilaskevõimesse A ja suhtelisse Q, siis pole vaja neid arvutada: kuna järjekord on piiramatu, teenindatakse iga rakendus varem või hiljem, seega samal põhjusel

Lahendus. Süsteemi olekud, nagu varemgi, nummerdatakse vastavalt QS-is olevate rakenduste arvule:

Kanal on tasuta

Kanal on hõivatud (teenindab päringut), järjekorda pole,

Kanal on hõivatud, üks rakendus on järjekorras,

Kanal on hõivatud, rakendused on järjekorras,

Teoreetiliselt ei piira olekute arvu miski (lõpmatult). Olekugraafikul on joonisel fig. 20.2. See on surma ja paljunemise skeem, kuid lõpmatu arvu olekutega. Kõigi noolte puhul edastab intensiivsusega A päringute voog süsteemi vasakult paremale ja paremalt vasakule - intensiivsusega teenuste voo

Kõigepealt küsigem endalt, kas sel juhul on lõplikud tõenäosused? Süsteemi olekute arv on ju lõpmatu ja põhimõtteliselt võib järjekord lõputult suureneda! Jah, see on tõsi: sellise QS-i lõplikud tõenäosused ei eksisteeri alati, vaid ainult siis, kui süsteem pole ülekoormatud. Saab tõestada, et kui rangelt vähem kui üks, siis on lõplikud tõenäosused olemas ja puhul järjekord kasvab piiramatult. See asjaolu tundub eriti “arusaamatu” siis, kui tundub, et süsteemile pole võimatuid nõudeid: ühe rakenduse teenindamise ajal tuleb keskmiselt sisse üks rakendus ja kõik peaks korras olema, kuid tegelikult ei ole.

QS-iga tuleb see rakenduste vooga toime ainult siis, kui see voog on regulaarne ja teenindusaeg pole samuti juhuslik, võrdne rakendustevahelise intervalliga. Sellisel "ideaalsel" juhul ei teki QS-is üldse järjekorda, kanal on pidevalt hõivatud ja väljastab regulaarselt teenindatud päringuid. Kuid niipea, kui päringute voog või teenuste voog muutub vähemalt veidi juhuslikuks, kasvab järjekord juba lõputult. Praktikas ei juhtu see ainult seetõttu, et "lõpmatu arv rakendusi järjekorras" on abstraktsioon. Need on jämedad vead, milleni võib juhuslike muutujate asendamine nende matemaatiliste ootustega kaasa tuua!

Kuid pöördume tagasi meie piiramatu järjekorraga ühe kanaliga QS-i juurde. Rangelt võttes tuletasime surma ja taastootmise skeemi lõpptõenäosuste valemid ainult lõpliku arvu olekute korral, kuid võtame vabadused - me kasutame neid lõpmatu arvu olekute jaoks. Arvutame olekute lõpptõenäosused valemite (19.8), (19.7) järgi. Meie puhul on valemis (19.8) olevate liikmete arv lõpmatu. Saame väljendi jaoks

Seeria valemis (20.11) on geomeetriline progressioon. Teame, et kui jada läheneb – see on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetajaga. Kui , seeria lahkneb (mis on kaudne, kuigi mitte range tõend selle kohta, et lõppoleku tõenäosused eksisteerivad ainult puhul ). Oletame nüüd, et see tingimus on täidetud, ja kui võtta kokku (20.11) edenemine, on meil

(20.12)

Tõenäosused leitakse valemite abil:

kust (20.12) arvesse võttes leiame lõpuks:

Nagu näete, moodustavad tõenäosused nimetajaga geomeetrilise progressiooni. Kummalisel kombel on nende maksimum tõenäosus, et kanal üldse vabaks saab. Ükskõik kui hõivatud järjekorrasüsteem ka poleks, kui see päringute vooga üldse hakkama saab, on kõige tõenäolisem päringute arv süsteemis 0.

Leiame keskmise rakenduste arvu QS-is . Siin tuleb natuke nokitseda. Juhuslikul muutujal Z - süsteemis olevate rakenduste arvul - on võimalikud väärtused tõenäosusega

Selle matemaatiline ootus on

(20.14)

(summat ei võeta 0-st, vaid 1-st kuni, kuna null liige on võrdne nulliga).

Asendame valemisse (20.14) avaldise

Nüüd võtame selle summa märgist välja:

Siin rakendame taas "väikest nippi": pole midagi muud kui pooride tuletis väljendist,

Vahetades diferentseerimise ja liitmise toiminguid, saame:

Kuid valemis (20.15) olev summa pole midagi muud kui lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa esimese liikme ja nimetajaga; see summa on võrdne ja selle tuletis . Asendades selle avaldise (20.15), saame:

(20.16)

Noh, nüüd rakendame Little'i valemit (19.12) ja leiame rakenduse keskmise viibimisaja süsteemis:

Leiame keskmise päringute arvu järjekorras Vaidleme järgmiselt: päringute arv järjekorras on võrdne päringute arvuga süsteemis miinus teenindatavate päringute arv. Seega (matemaatiliste ootuste liitmise reegli järgi) on keskmine rakenduste arv järjekorras võrdne keskmise rakenduste arvuga süsteemis, millest on lahutatud keskmine teenuses olevate rakenduste arv. Teenuse all olevate päringute arv võib olla kas null (kui kanal on vaba) või üks (kui see on kinni). Sellise juhusliku muutuja matemaatiline ootus on võrdne tõenäosusega, et kanal on hõivatud (tähistasime selle kui ). Ilmselgelt on see võrdne ühega, millest on lahutatud tõenäosus, et kanal on vaba;

Seetõttu on teenindatavate päringute keskmine arv võrdne

Seda tüüpi SMO-d on üsna laialt levinud. See hõlmab arsti vastuvõtu järjekorda, ühe sõidureaga sõites silla ületamise järjekorda ja seadmega bussi sisenemise järjekorda. automatiseeritud juhtimine reisijate läbipääs jne. Sellist QS-i saab esitada märgistatud graafiku abil, mis on näidatud joonisel fig. 6.

Riis. 6. Ühe kanaliga QS piiramatu järjekorraga

Piiramatu järjekorra all peame silmas seda, et kättetoimetamiseks saabuvate avalduste arv ei ole piiratud ja iga avalduse kättetoimetamise aeg on suvaline, kuid kõik taotlused toimetatakse varem või hiljem kätte. Sel juhul pole mõtet rääkida absoluutsest läbilaskevõimest (A =λ) ja suhtelisest läbilaskevõimest (Q = 1).

Iga äsja saabunud päring kannab QS-i uude olekusse S, mille indeks suureneb 1 võrra, st vasakult paremale. Ja iga teenindatud päring vähendab olekuindeksit S 1 võrra, st liigub piki graafikut paremalt vasakule. Kuna igal ajahetkel teenindatakse ainult ühte kahjujuhtumit (ühe kanaliga QS), on kõik kahjude saabumise määrad võrdsed λ-ga ja kõik kahjude teenindamise määrad on võrdsed µ-ga. Erikirjanduses on tõestatud, et piiramatul arvul QS olekutel pole lõplikke tõenäosusi. Sest sel juhul lõplikud tõenäosused on seatud piiranguid arvestades olemas: kõik taotlused toimetatakse varem või hiljem kätte ja tingimus on täidetud:

Valemite (10) - (13) ja (14) abil määrame sündmuste lõplikud tõenäosused.

Arvestades, et 1 + ρ + ρ 2 +ρ 3 + ... + ρ m + ... =1/(1-ρ), saame sündmuse S0 lõpptõenäosuse väärtuse:

Po=1-ρ. (.21)

Järgnevate sündmuste lõplikud tõenäosused määratakse järgmiselt:

P1 = ρP0; p2 = ρ2Po; pz = ρ3PO; Рm = ρ m Po; (22)

Arvutagem välja keskmine rakenduste arv QS-is. Kuna päringute arv võib olla 0, 1, 2, 3, ... , m, ... , võime kirjutada:

L süsteem =0P0+1P1+2P2+3P3+…mPm+..=

Rakendades valemit (17), määrame päringu teenindusaja

Määrame järjekorra keskmise pikkuse (teenindamist ootavate rakenduste keskmine arv). Kuna meie käsitletav QS on ühe kanaliga, saab teenindada ainult ühte rakendust ja ülejäänud rakendused ootavad oma korda.

Sellise sündmuse tõenäosus (ühe kanali hõivatus) on võrdne Р zan = 1 – Р0 = ρ. Kuna QS teenindab ainult ühte päringut, siis lobs = ρ.

Järjekorra pikkus on taotluste koguarvu ja teenuses olevate päringute vahe, siis:

Saab määrata keskmise aja, mille päring järjekorras viibib

Määratakse kindlaks kõik ühekanalilise QS omadused.

Kolm autot tunnis jõuab hulgimüügidepoosse mahalaadimiseks (λ = 3). Ühe auto keskmine mahalaadimise aeg (Tobs) - 10 min. Määrake piiramatu järjekorraga ühekanalilise QS-i omadused.

Määrake auto hoolduse intensiivsus

Valemi (23) abil määrame hooldatud autode keskmise arvu:

Valemi (24) abil määrame auto hoolduse keskmise aja (tunnid):

Valemi (25) abil määrame järjekorra pikkuse (keskmine mahalaadimist ootavate autode arv):

L och \u003d L süsteem - ρ \u003d 1 - 0,5 \u003d 0,5.

Valemi (26) abil määrame keskmise ooteaja autode järjekorras.

Kaaluge nüüd ühe kanaliga QS-i ootustega.

Järjekorrasüsteemil on üks kanal. Sissetulev voog teenusetaotluste voo intensiivsus on λ. Teenuse voo intensiivsus on võrdne μ-ga (st pidevalt hõivatud kanal väljastab keskmiselt μ teenindatud taotlusi). Teenuse kestus on juhuslik muutuja, mille suhtes kehtib eksponentsiaalse jaotuse seadus. Taotlus, mis saabub ajal, mil kanal on hõivatud, on järjekorras ja ootab teenust.

Kaaluge süsteemi koos piiratud järjekord. Oletame, et olenemata sellest, kui palju nõudmisi teenindussüsteemi sisendisse sisestatakse, see süsteem(järjekord + teenindatud kliendid) ei mahuta rohkem kui N-nõuded (rakendused), millest üks on teenindatud, ja ( N-1) ootamine, Kliendid, kes ei lange ootama, on sunnitud teenindama mujal ja sellised taotlused lähevad kaotsi.

Tähista - tõenäosus, et süsteem on n rakendusi. See väärtus arvutatakse järgmise valemi abil:

Siin on vähendatud voolukiirus. Siis on tõenäosus, et teeninduskanal on vaba ja süsteemis pole ühtegi klienti, võrdne: .

Seda silmas pidades saab määratleda

Määratleme ühe kanaliga QS-i omadused, millel on ootamine ja piiratud järjekorra pikkus, mis on võrdne (N-1):

taotluse teenindamisest keeldumise tõenäosus:

süsteemi suhteline läbilaskevõime:

absoluutne ribalaius:

AGA=q∙λ;

keskmine rakenduste arv süsteemis:

Rakenduse keskmine viibimisaeg süsteemis:

;

kliendi (avalduse) keskmine järjekorras viibimise kestus:

W q=Ws- 1/μ;

keskmine taotluste (klientide) arv järjekorras (järjekorra pikkus):

L q=λ(1- P N)W q.

Vaatleme näidet ühe kanaliga QS-ist koos ootamisega.

Näide 9.2. Tsooni juurde tollikontroll kontrollpunktis sisenevad autod süsteemi järgi elektrooniline järjekord. Iga saabumise/väljumise töötlemise aken on ühe kanaliga QS. Parkimiskohtade arv registreerimist ootavatele autodele on piiratud ja võrdne 3-ga, s.o ( N-1)=3. Kui kõik parklad on hõivatud, s.t järjekorras on juba kolm autot, siis järgmist autot tollikontrolli tsooni ei lasta, s.t. ei seisa teeninduse järjekorras. Kliirensse saabuvate autode voog on intensiivne λ =0,85 (sõidukeid tunnis). Auto registreerimise aeg jaotub eksponentsiaalseaduse järgi ja on keskmiselt = 1,05 tundi. On vaja määrata statsionaarses režiimis töötava kontrollpunkti saabumise/väljumise töötlemise akna tõenäosuslikud karakteristikud.

Lahendus.

Autoteenuste voo intensiivsus: