Praktikas on üsna levinud ühekanaliline järjekorraga QS (patsiente teenindav arst; ühe kabiiniga taksotelefon; kasutaja tellimusi täitev arvuti). Teoorias järjekorras seismine erilisel kohal on ka ühe kanaliga järjekorraga QS-id (selliste QS-ide alla kuulub enamik seni mitte-Markovi süsteemide kohta saadud analüütilisi valemeid). Seetõttu pöörame erilist tähelepanu ühe kanaliga järjekorraga QS-idele.
Olgu siis ühe kanaliga QS järjekorraga, millele piiranguid ei sea (ei järjekorra pikkusele ega ooteajale). See QS võtab vastu rakenduste voo intensiivsusega λ; teenuste voo intensiivsus μ on pöördvõrdeline päringu tb keskmise teenindusajaga. On vaja leida QS-i olekute lõplikud tõenäosused ja selle efektiivsuse omadused:
Lsyst - keskmine rakenduste arv süsteemis,
Wsyst on rakenduse keskmine viibimisaeg süsteemis,
Loch - keskmine rakenduste arv järjekorras,
Woch – keskmine aeg, mil rakendus on järjekorras,
Rzan - tõenäosus, et kanal on hõivatud (kanali koormuse aste).
Mis puutub absoluutsesse ribalaius A ja suhteline Q, siis pole vaja neid arvutada: kuna järjekord on piiramatu, siis iga rakendus varem või hiljem kätte toimetatakse, seega A = λ, samal põhjusel Q = 1.
Lahendus. Süsteemi olekud, nagu varemgi, nummerdatakse vastavalt QS-is olevate rakenduste arvule:
S0 - kanal on tasuta,
S1 - kanal on hõivatud (teenidab päringut), järjekorda pole,
S2 - kanal on hõivatud, üks päring on järjekorras,
Sk - kanal on hõivatud, k - 1 päringut on järjekorras.
Teoreetiliselt ei piira olekute arvu miski (lõpmatult). Olekugraafikul on joonisel fig. 4.11. See on surma ja paljunemise skeem, kuid lõpmatu arvu olekutega. Kõigi noolte puhul edastab päringute voog intensiivsusega λ süsteemi vasakult paremale ja paremalt vasakule - teenuste voo intensiivsusega μ.
Riis. 4.11. QS olekute graafik lõpmatu arvu olekutega surma ja paljunemise skeemi kujul
Kõigepealt küsigem endalt, kas sel juhul on lõplikud tõenäosused? Süsteemi olekute arv on ju lõpmatu ja põhimõtteliselt võib t→∞ korral järjekord lõputult kasvada! Jah, see on tõsi: sellise QS-i lõplikud tõenäosused ei eksisteeri alati, vaid ainult siis, kui süsteem pole ülekoormatud. Võib tõestada, et kui p on rangelt väiksem kui üks (lk<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!
Kuid pöördume tagasi meie ühe kanaliga QS-i juurde, mille nr piiratud järjekord. Rangelt võttes tuletasime surma ja taastootmise skeemi lõpptõenäosuste valemid ainult lõpliku arvu olekute puhul, kuid kasutame neid ka lõpmatu arvu olekute puhul. Arvutame olekute lõpptõenäosused valemite (4.21), (4.20) järgi. Meie puhul on liikmete arv valemis (4.21) lõpmatu. Saame p0 avaldise:
kusTõenäosused p1, p2, ..., pk, ... saab leida valemitega:
kust (4.38) arvesse võttes leiame lõpuks:
lk 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk= ρ4(1- ρ), . . . (4,39)
Nagu näha, moodustavad tõenäosused p0, p1, ..., pk, ... geomeetrilise progressiooni nimetajaga p. Kummalisel kombel on nende maksimum p0 tõenäosus, et kanal üldse vabaks jääb. Olenemata sellest, kui koormatud süsteem järjekorraga on, kui see ainult rakenduste vooga üldse hakkama saab (p<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.
Leiame QS Lsysti rakenduste keskmise arvu. Juhuslikul muutujal Z - rakenduste arvul süsteemis - on võimalikud väärtused 0, 1, 2, ..., k, ... tõenäosustega p0, p1, p2, ..., pk, ... matemaatiline ootus on võrdne
| |
(summat ei võeta 0-st ∞-ni, vaid 1-st ∞-ni, kuna nullliige on võrdne nulliga).
Asendame valemis (4.40) рk (4.39) avaldise:
Nüüd võtame summa märgist välja p (1 - p):
Siin rakendame taas “väikest nippi”: kpk-1 pole midagi muud kui avaldise pk tuletis p suhtes; tähendab,
Vahetades diferentseerimise ja liitmise toiminguid, saame:
Noh, nüüd rakendame Little'i valemit (4.25) ja leiame tellimuse keskmise viibimisaja süsteemis:
| |
Leidke keskmine rakenduste arv järjekorras Loch. Me vaidleme järgmiselt: järjekorras olevate rakenduste arv võrdub süsteemis olevate rakenduste arvuga, millest on lahutatud teenuses olevate rakenduste arv. See tähendab (vastavalt matemaatiliste ootuste liitmise reeglile), et keskmine rakenduste arv järjekorras Lch võrdub keskmise rakenduste arvuga süsteemis Lsyst miinus keskmine teenuses olevate rakenduste arv. Teenuse all olevate päringute arv võib olla kas null (kui kanal on vaba) või üks (kui see on kinni). Sellise juhusliku muutuja matemaatiline ootus on võrdne tõenäosusega, et kanal on hõivatud (tähistasime seda kui Rzan). Ilmselt on Pzan võrdne ühega, millest on lahutatud tõenäosus p0, et kanal on vaba:
ja lõpuks
Seega on leitud kõik QS efektiivsuse omadused.
Teeme lugejale ettepaneku lahendada näide iseseisvalt: ühe kanaliga QS on raudtee sorteerimisjaam, mis võtab vastu kõige lihtsama rongide voolu intensiivsusega λ = 2 (ronge tunnis). Kompositsiooni hooldus (laiali võtmine) kestab juhuslikult (demonstratiivselt) keskmise väärtusega tb = 20 (min). Jaama saabumispargis on kaks rada, millel saabuvad rongid saavad teenust oodata; kui mõlemad rajad on hõivatud, on rongid sunnitud ootama välimistel rööbasteedel. On vaja leida (jaama piirava, statsionaarse töörežiimi jaoks): jaamaga seotud keskmine rongide arv Lsyst, rongi jaamas viibimise keskmine aeg Wsyst (sise-, välis- ja hoolduses), laialisaatmise järjekorras seisvate rongide keskmine arv Lch (pole vahet, millistel rööbasteedel), keskmine aeg Wch rongi järjekorras viibimisest. Lisaks proovige leida keskmine rongide arv, mis ootavad lahkumist välistel rööbasteedel Lext ja selle ooteaeg Wext (kaks viimast väärtust on seotud Little'i valemiga). Lõpuks leidke päevane kogutrahv W, mille jaam peab tasuma rongide seisaku eest välistel rööbasteedel, kui jaam maksab trahvi a (rubla) ühe rongi ühetunnise seisaku eest. Igaks juhuks anname vastused teada: Lcist = 2 (koosseis), Wsyst = i (tund), Loch = 4/3 (koosseis), Woch = 2/3 (tunnid), Lext = 16/27 (koosseis), Wext = 8 /27 ≈ 0,297 (tundi). Keskmine päevane trahv W rongide ootamise eest välisteedel saadakse, kui korrutatakse ööpäevas keskmine jaama saabuvate rongide arv, keskmine rongi ooteaeg välisteedel ja tunnitrahv a: W ≈ 14,2a.
järjekorrasüsteemi toimimine või tõhusus on järgmised.Sest Ühine turukorraldus tõrgetega:
Sest CMO piiramatu ootamisega nii absoluutne kui ka suhteline läbilaskevõime kaotavad oma tähenduse, kuna iga sissetulev päring teenindatakse varem või hiljem. Sellise QS jaoks on olulised näitajad:
Sest Ühise turukorralduse segatüüp kasutatakse mõlemat näitajate rühma: nii suhtelist kui ka absoluutne ribalaius ja ootuste omadused.
Olenevalt järjekorra toimingu eesmärgist saab jõudluskriteeriumiks valida ükskõik millise ülaltoodud näitajatest (või indikaatorite komplekti).
analüütiline mudel QS on võrrandite või valemite kogum, mis võimaldab teil määrata süsteemi olekute tõenäosusi selle tööprotsessis ja arvutada jõudlusnäitajaid vastavalt teadaolevatele omadustele. sissetulev vool ja teeninduskanalid.
Suvalise QS jaoks puudub üldine analüütiline mudel. Piiratud arvu QS-i erijuhtude jaoks on välja töötatud analüütilised mudelid. Analüütilised mudelid, mis enam-vähem täpselt kujutavad tegelikke süsteeme, on reeglina keerulised ja raskesti nähtavad.
QS-i analüütilist modelleerimist hõlbustab oluliselt see, kui QS-is toimuvad protsessid on markovised (päringute vood on lihtsad, teenindusajad on eksponentsiaalselt jaotunud). Sel juhul saab kõiki QS-i protsesse kirjeldada tavaliste diferentsiaalvõrranditega ja piiraval juhul statsionaarsete olekute puhul lineaarsete algebraliste võrranditega ja pärast nende lahendamist määrata valitud jõudlusnäitajad.
Vaatleme mõne QS näiteid.
2.5.1. Mitmekanaliline QS tõrgetega
Näide 2.5. Kolm liiklusinspektorit kontrollivad veokijuhtide saatelehti. Kui vähemalt üks kontrollija on vaba, peatatakse mööduv veok. Kui kõik inspektorid on hõivatud, möödub veok peatumata. Veokite voog on kõige lihtsam, kontrollaeg on juhuslik eksponentsiaalse jaotusega.
Sellist olukorda saab simuleerida kolme kanaliga riketega QS (ilma järjekorrata). Süsteem on avatud, homogeensete rakendustega, ühefaasiline, absoluutselt usaldusväärsete kanalitega.
Seisukohtade kirjeldus:
Kõik inspektorid on tasuta;
Üks inspektor on hõivatud;
Kaks inspektorit on hõivatud;
Kolm inspektorit on hõivatud.
Süsteemi olekute graafik on näidatud joonisel fig. 2.11.
Riis. 2.11.
Graafikul: - veokite voolu intensiivsus; - ühe liiklusinspektori dokumendikontrolli intensiivsus.
Simulatsioon viiakse läbi selleks, et teha kindlaks, millist osa autodest ei testita.
Lahendus
Soovitav tõenäosuse osa on kõigi kolme inspektori töölevõtmise tõenäosus. Kuna olekugraafik kujutab tüüpilist "surma ja paljunemise" skeemi, leiame sõltuvuste (2.2) kasutamise.
Selle liiklusinspektori ametikoha läbilaskevõimet saab iseloomustada suhteline läbilaskevõime:
Näide 2.6. Luurerühma teadete vastuvõtmiseks ja töötlemiseks määrati ühingu luureosakonda kolmest ohvitserist koosnev rühm. Eeldatav aruandlusmäär on 15 teadet tunnis. Ühe ametniku ühe aruande töötlemise keskmine aeg on . Iga ohvitser võib saada teateid mis tahes luurerühmalt. Vabastatud ohvitser töötleb viimast laekunud teadet. Sissetulevad aruanded tuleb töödelda vähemalt 95% tõenäosusega.
Tehke kindlaks, kas kolmest ohvitserist koosnev rühm on määratud ülesande täitmiseks piisav.
Lahendus
Rühm ametnikke töötab kolmest kanalist koosneva tõrgetega ühise korraldusasutusena.
Intensiivne aruannete voog 
võib pidada kõige lihtsamaks, kuna see on mitme luurerühma kokku. Hoolduse intensiivsus 
. Jaotusseadus on teadmata, kuid see pole oluline, kuna on näidatud, et tõrgetega süsteemide puhul võib see olla meelevaldne.
QS-i olekute kirjeldus ja olekugraafik on sarnased näites 2.5 toodud kirjeldatutega.
Kuna olekugraafik on "surma ja taastootmise" skeem, on selle piiravate olekutõenäosuste jaoks valmis avaldised:
Seost nimetatakse rakenduste voo vähenenud intensiivsus. Selle füüsiline tähendus on järgmine: väärtus on QS-i saabuvate päringute keskmine arv ühe päringu keskmise teenindusaja jooksul.
Näites 
.
Vaadeldavas QS-is ilmneb tõrge, kui kõik kolm kanalit on hõivatud, st . Seejärel:
Sest ebaõnnestumise tõenäosus aruannete menetlemisel on üle 34% (), siis on vaja suurendada kontserni personali. Kahekordistame grupi koosseisu, see tähendab, et QS-il on nüüd kuus kanalit, ja arvutame:
Seega saab saabuvaid teateid 95% tõenäosusega töödelda vaid kuuest ametnikust koosnev rühm.
2.5.2. Mitmekanaliline QS koos ootamisega
Näide 2.7. Jõe sundlõigul on 15 sama tüüpi ületusrajatist. Ülekäigukohale saabuvate sõidukite voog on keskmiselt 1 ühik/min, keskmine ühe varustusühiku ületamise aeg on 10 minutit (arvestades ülekäigurajatise tagasitulekut).
Hinnake ülekäiguraja põhiomadusi, sealhulgas kohese ületamise tõenäosust seadme kohalejõudmisel.
Lahendus
Absoluutne ribalaius, ehk kõik, mis ülekäigule tuleb, on peaaegu kohe ületatud.
Töötavate ülekäigurajatiste keskmine arv:
Ristmise kasutus- ja seisakuaja suhtarvud:
Näite lahendamiseks töötati välja ka programm. Varustuse ülekäigukohale jõudmise ajaintervallid, ülesõidu aeg võetakse jaotatuna eksponentsiaalseaduse järgi.
Parvlaevade kasutusmäärad pärast 50 sõitu on praktiliselt samad: 
.
Järjekorra maksimaalne pikkus on 15 ühikut, keskmine järjekorras viibimise aeg on ca 10 minutit.
Mõelge mitme kanaliga QS-ile (P> 1), mille sisendis tuleb Poissoni vool päringud intensiivsusega a, iga kanali teenuse intensiivsus on p, maksimaalne võimalik kohtade arv järjekorras on piiratud väärtusega t. QS-i diskreetsed olekud määratakse süsteemi poolt vastuvõetud päringute arvu järgi, mille saab kirjutada:
Sq - kõik kanalid on tasuta, k = 0;
S- ainult üks kanal on hõivatud (ükskõik milline), k = 1;
*5*2 - ainult kaks kanalit on hõivatud (ükskõik milline), k = 2;
S n- kõik on hõivatud P kanalid, k = p.
Kuigi QS on üheski neist olekutest, pole järjekorda. Kui kõik teeninduskanalid on hõivatud, moodustavad järgnevad päringud järjekorra, määrates seeläbi süsteemi edasise oleku:
S n + - kõik on hõivatud P kanalid ja üks rakendus on järjekorras, k = P + 1;
S n +2 – kõik hõivatud P kanalid ja kaks rakendust on järjekorras, k = P + 2;
Sn+m – kõik on hõivatud P köied ja kõik t kohad järjekorras k = n + m.
Olekugraafik i-kanal CMO Koos järjekord, piiratud t kohad, mis on näidatud joonisel fig. 5.18.
QS-i ülemineku suuremate numbritega olekusse määrab sissetulevate päringute voog intensiivsusega
Riis. 5.18
arvestades, et tingimusel osalevad nende taotluste kättetoimetamises P identsed kanalid, mille teenuse vookiirus on võrdne iga kanali p-ga. Samal ajal suureneb teenusevoo summaarne intensiivsus uute kanalite ühendamisel kuni sellise olekuni S n , kui kõik P kanalid on hõivatud. Järjekorra tulekuga teenuse intensiivsus enam ei suurene, kuna see on juba saavutanud maksimaalse väärtuse, mis on võrdne tel.
Kirjutame avaldised olekute piiravate tõenäosuste jaoks
Rho avaldist saab teisendada, kasutades nimetajaga p terminite summa geomeetrilise progressiooni valemit /P:
Järjekorra moodustamine on võimalik siis, kui äsja saabunud päring leiab vähemalt süsteemist P nõuded, s.t. millal süsteem saab olema p, lk + 1, P + 2, (P + t- 1) nõuded. Need sündmused on sõltumatud, seega on tõenäosus, et kõik kanalid on hõivatud, võrdne vastavate tõenäosuste summaga r u Rp + rp +2 >> ->Rp+t- 1- Seetõttu on järjekorra tekkimise tõenäosus
Teenuse osutamisest keeldumise tõenäosus ilmneb siis, kui kõik P kanalid ja kõik t kohad järjekorras on hõivatud
Suhteline läbilaskevõime on võrdne
Absoluutne ribalaius
Keskmiselt hõivatud kanalid
Keskmine tühikäigu kanalite arv
Kanalite täituvus (kasutus).
Kanali tühikäigu suhe
Keskmine taotluste arv järjekorras,
kui r/n = 1, on see valem teistsugusel kujul:
Keskmine ooteaeg järjekorras määratakse Little'i valemitega 
Rakenduse keskmine viibimisaeg QS-is, nagu ka ühe kanaliga QS-i puhul, on keskmisest ooteajast järjekorras pikem keskmise teenindusaja võrra, mis on võrdne 1/p, kuna rakendust teenindab alati ainult üks kanal :
Näide 5.21. Minimarket võtab vastu klientide voo intensiivsusega kuus klienti minutis, keda teenindavad kolm kassakontrolöri intensiivsusega kaks klienti minutis. Järjekorra pikkus on piiratud viie kliendiga. Määrake QS-i omadused ja hinnake selle toimivust.
Lahendus
n = 3; t = 5; X=6; p = 2; p =x/x = 3; r/n = 1.
Leiame QS olekute piiravad tõenäosused:
Kontrollerite-kassapidajate jõudeaja osakaal
Tõenäosus, et ainult üks kanal on hõivatud
Tõenäosus, et kaks kanalit teenindavad
Tõenäosus, et kõik kolm kanalit on hõivatud, on
Tõenäosus, et kõik kolm kanalit ja viis kohta järjekorras on hõivatud, on
Teenuse osutamisest keeldumise tõenäosus ilmneb siis, kui k=t+n== 5 + 3 = 8 ja on p$ = p OTK = 0,127.
QS suhteline ja absoluutne läbilaskevõime on vastavalt võrdne K = 1 - r otk= 0,873 ja L = 0,873A. = 5,24 (ostja/min).
Keskmine hõivatud kanalite arv ja keskmine järjekorra pikkus on:
Keskmine ooteaeg järjekorras n QS-is viibimise korral on võrdne:
Kiitust väärib minimarketi teenindussüsteem, kuna järjekorra keskmine pikkus ja ostja keskmine järjekorras viibimise aeg on väikesed.
Näide 5.22. Keskmiselt 30 minuti pärast jõuavad puu- ja juurviljabaasi autod puu- ja juurviljatoodetega. Keskmine ühe veoki mahalaadimise aeg on 1,5 tundi.Mahalaadimist teostavad kaks laadurite meeskonda. Maandumisjärgus oleva baasi territooriumil ei tohi mahalaadimist ootamas olla rohkem kui neli sõidukit. Määrame näitajad ja anname hinnangu QS tööle.
Lahendus
SMO kahe kanaliga, P= 2 piiratud arvu kohti järjekorras m= 4, sissetuleva voolu intensiivsus l. \u003d 2 auto / h, teenuse intensiivsus c \u003d 2/3 auto / h, koormuse intensiivsus p \u003d A. / p \u003d 3, r/n = 3/2 = 1,5.
Määrame QS-i omadused:
tõenäosus, et kõik meeskonnad ei ole koormatud, kui sõidukeid pole,
Keeldumise tõenäosus, kui mahalaadimisel on kaks autot ja järjekorras neli autot,
Keskmine rivis olevate autode arv
Laadurite jõudeaja osakaal on väga väike ja moodustab vaid 1,58% tööajast ning keeldumise tõenäosus on suur - laekunute hulgast keeldutakse maha laadimast 36% taotlustest, mõlemad meeskonnad on peaaegu täielikult hõivatud, tööhõive määr on ühtsusele lähedane ja võrdub 0,96, suhteline läbilaskevõime on madal - ainult 64% saabunud taotluste arvust teenindatakse, järjekorra keskmine pikkus on 2,6 sõidukit, seetõttu ei saa CM O ns täitmisega hakkama hooldustaotluste arvust ning on vaja suurendada laadurimeeskondade arvu ning kasutada rohkem maandumislava.
Näide 5.23. Kaubandusettevõte saab varajast juurvilja äärelinna sovhoosi kasvuhoonetest juhuslikel aegadel intensiivsusega 6 ühikut. päevas. Majapidamisruumid, tehnika ja tööjõuressursse võimaldab teil töödelda ja säilitada tooteid 2 ühiku ulatuses. Ettevõttes töötab neli inimest, kellest igaüks suudab keskmiselt ühe tarne toodangut töödelda 4 tunni jooksul Vahetustega töö tööpäev on 12 tundi Milline peaks olema võimsus ladu et toodete täielik töötlemine oleks vähemalt 97% tarnete arvust?
Lahendus
Lahendame probleemi, määrates järjestikku QS-indikaatorid lao võimsuse erinevate väärtuste jaoks t= 2, 3, 4, 5 jne. ja võrdlust antud väärtusega teenindamise tõenäosuse arvutamise igas etapis p 0 () C = 0,97.
Määrame koormuse intensiivsuse:
Leidke jõudeaja tõenäosus või osa ajast t = 2:
teenusest keeldumise tõenäosus või kaotatud taotluste osakaal,
Teenuse osutamise tõenäosus ehk teenindatavate päringute osakaal saadud päringute hulgas on
Kuna saadud väärtus on väiksem kui antud väärtus 0,97, jätkame arvutusi t= 3. Selle väärtuse jaoks on QS olekute indikaatoritel väärtused
Teenuse tõenäosus on sel juhul samuti väiksem kui etteantud väärtus, seega jätkame arvutusi järgmise jaoks t = 4, mille olekuindikaatoritel on järgmised väärtused: p$ = 0,12; Rotk = 0,028; pofc= 0,972. Nüüd rahuldab saadud teenindamise tõenäosuse väärtus probleemi tingimust, kuna 0,972 > 0,97, seega tuleb lao mahtu suurendada 4 ühikuni.
Saavutuse eest antud tõenäosus teenusega saate samal viisil valida köögiviljade töötlemiseks optimaalse inimeste arvu, arvutades järjestikku QS näitajad n = 3, 4, 5 jne. Kompromisslahenduse saab leida, kui võrrelda ja vastandada kulusid, mis on seotud nii töötajate arvu suurendamise kui ka eriteenistuse loomisega. tehnoloogilised seadmed aga köögiviljade töötlemine äriettevõttes.
Seega järjekorda mudelid koos majanduslikud meetodidülesannete määratlused võimaldavad analüüsida olemasolevaid kvaliteedistandardeid, töötada välja soovitused nende ümberkorraldamiseks töö efektiivsuse tõstmiseks ning määrata ka vastloodud QS-ide optimaalsed näitajad.
Näide 5.24. Autopesulasse jõuab tunnis keskmiselt üheksa autot, aga kui järjekorras on juba neli autot, siis uued kliendid reeglina järjekorda ei seisa, vaid mööduvad. Keskmine autopesuaeg on 20 minutit ja pesukohti on vaid kaks. Autopesula keskmine maksumus on 70 rubla. Määrake keskmine väärtus autopesutulu vähenemine päeva jooksul.
Lahendus
X= 9 auto/h; = 20 min; n = 2, t = 4.
Koormuse intensiivsuse leidmine 
Autopesu seisakute osakaalu määramine
Ebaõnnestumise tõenäosus
Suhteline läbilaskevõime on Absoluutne läbilaskevõime Järjekorras olevate autode keskmine arv
Keskmine kasutuses olevate rakenduste arv,
Keskmine ooteaeg järjekorras
Keskmine autopesu aeg
Seega jääb 34% taotlustest kättetoimetamata, ühe päeva 12 töötunni kahjum on keskmiselt 2570 rubla. (12*9* 0,34 70), s.o. 52% kogu tulust, sest p otk = 0,52 p 0 ^ s.
- suhteline läbilaskevõime ehk teenindamise tõenäosus, absoluutne läbilaskevõime keskmine töötavate meeskondade arv tööhõive koefitsient laadurimeeskondade töö järgi
Piiratud järjekorraga mitme kanaliga järjekorrasüsteem
Laske teeninduskanalitega QS-i sisendil vastu võtta intensiivsusega Poissoni päringute voog. Iga kanali päringu teenindamise intensiivsus on võrdne ja maksimaalne kohtade arv järjekorras on võrdne.
Sellise süsteemi graafik on näidatud joonisel 7.
Joonis 7 – Piiratud järjekorraga mitme kanaliga QS-i olekute graafik
Kõik kanalid on tasuta, järjekorda pole;
hõivatud l kanalid ( l= 1, n), järjekorda pole;
Kõik n kanalit on hõivatud, on järjekord i rakendused ( i= 1, m).
Joonise 2 ja 7 graafikute võrdlus näitab, et viimane süsteem on sünni- ja surmasüsteemi erijuht, kui selles on tehtud järgmised asendused (vasakpoolsed märgid viitavad sünni- ja surmasüsteemile):
Lõplike tõenäosuste avaldisi on lihtne leida valemitest (4) ja (5). Selle tulemusena saame:
Järjekorra tekkimine toimub siis, kui QS-is järgmise päringu saabumise hetkel on kõik kanalid hõivatud, s.t. süsteemis on kas n või (n+1),… või (n + m - 1) klienti. Sest need sündmused on kokkusobimatud, siis on järjekorra p och moodustamise tõenäosus võrdne vastavate tõenäosuste summaga:
Päringu teenusest keeldutakse, kui kõik m kohta järjekorras on hõivatud, st:
Suhteline läbilaskevõime on:
Järjekorras olevate rakenduste keskmine arv määratakse valemiga (11) ja selle saab kirjutada järgmiselt:
QS-is esitatud päringute keskmise arvu saab kirjutada järgmiselt:
Keskmine taotluste arv ühises turukorralduses:
Rakenduse keskmine viibimisaeg QS-is ja järjekorras määratakse valemitega (12) ja (13).
Mitme kanaliga järjekorrasüsteem piiramatu järjekorraga
Sellise QS-i graafik on näidatud joonisel 8 ja on saadud joonisel 7 olevast graafikust koos.
Joonis 8 – piiramatu järjekorraga mitme kanaliga QS-i olekute graafik
Lõplike tõenäosuste valemid saab n-kanaliga QS-i valemitest, mille järjekord on piiratud. Tuleb meeles pidada, et kui tõenäosus p 0 = p 1 =…= p n = 0, s.o. järjekord kasvab lõputult. Seetõttu ei paku see juhtum praktilist huvi ja allpool käsitletakse ainult juhtumit. Millal (26) saame:
Ülejäänud tõenäosuste valemid on sama kujuga kui piiratud järjekorraga QS-i puhul:
(27) saame avaldise rakenduste järjekorra tekkimise tõenäosuse kohta:
Kuna järjekord ei ole piiratud, on päringu teenindamisest keeldumise tõenäosus:
Absoluutne ribalaius:
Valemist (28) kohas , saame avaldise järjekorras olevate päringute keskmise arvu kohta:
Teenindatud taotluste keskmine arv määratakse järgmise valemiga:
Keskmine viibimisaeg QS-is ja järjekorras määratakse valemitega (12) ja (13).
Mitme kanaliga järjekorrasüsteem piiratud järjekorra ja piiratud ooteajaga järjekorras
Sellise QS-i ja punktis 5.5 käsitletud QS-i erinevus seisneb selles, et teenuse ooteaega, kui rakendus on järjekorras, loetakse juhuslikuks muutujaks, mis on jaotatud vastavalt eksponentsiaalseadusele parameetriga, kus on keskmine ooteaeg rakendus järjekorras ja - on mõistlik järjekorrast väljuvate päringute voo intensiivsus. Sellise QS-i graafik on näidatud joonisel 9.
Joonis 9 - Piiratud järjekorraga mitme kanaliga QS-i graafik ja piiratud aeg järjekorras ootamas
Ülejäänud tähistused on siin sama tähendusega, mis alajaotises.
Graafikute võrdlus joonisel fig. 3 ja 9 näitab, et viimane süsteem on sünni- ja surmasüsteemi erijuht, kui selles on tehtud järgmised asendused (vasakpoolne märge viitab sünni- ja surmasüsteemile):
Lõplike tõenäosuste avaldisi on lihtne leida valemitest (4) ja (5), võttes arvesse (29). Selle tulemusena saame:
kus. Järjekorra tekkimise tõenäosus määratakse järgmise valemiga:
Päringu teenusest keeldutakse, kui kõik m kohta järjekorras on hõivatud, st. teenuse keelamise tõenäosus:
Suhteline läbilaskevõime:
Absoluutne ribalaius:
Järjekorras olevate rakenduste keskmine arv leitakse valemiga (11) ja see on võrdne:
QS-is esitatud rakenduste keskmine arv leitakse valemiga (10) ja see on võrdne:
Praktikas on üsna levinud ühekanaliline järjekorraga QS (patsiente teenindav arst; ühe kabiiniga taksotelefon; kasutaja tellimusi täitev arvuti). Järjekorrateoorias on erilisel kohal ka ühe kanaliga QS koos järjekorraga (selliste QS-i alla kuulub enamik seni mitte-Markovi süsteemide kohta saadud analüütilisi valemeid). Seetõttu pöörame erilist tähelepanu ühe kanaliga järjekorraga QS-idele.
Olgu siis ühe kanaliga QS järjekorraga, millele piiranguid ei sea (ei järjekorra pikkusele ega ooteajale). See QS võtab vastu rakenduste voo intensiivsusega X; teenusevoo intensiivsus on pöördvõrdeline päringu keskmise teenindamisajaga. On vaja leida QS olekute lõplikud tõenäosused ja selle efektiivsuse karakteristikud:
Keskmine rakenduste arv süsteemis,
rakenduse keskmine viibimisaeg süsteemis,
Keskmine taotluste arv järjekorras,
Keskmine aeg, mille rakendus järjekorras veedab,
Tõenäosus, et kanal on hõivatud (kanali koormuse aste).
Mis puutub absoluutsesse läbilaskevõimesse A ja suhtelisse Q, siis pole vaja neid arvutada: kuna järjekord on piiramatu, teenindatakse iga rakendus varem või hiljem, seega samal põhjusel
Lahendus. Süsteemi olekud, nagu varemgi, nummerdatakse vastavalt QS-is olevate rakenduste arvule:
Kanal on tasuta
Kanal on hõivatud (teenindab päringut), järjekorda pole,
Kanal on hõivatud, üks rakendus on järjekorras,
Kanal on hõivatud, rakendused on järjekorras,
Teoreetiliselt ei piira olekute arvu miski (lõpmatult). Olekugraafikul on joonisel fig. 20.2. See on surma ja paljunemise skeem, kuid lõpmatu arvu olekutega. Kõigi noolte puhul edastab intensiivsusega A päringute voog süsteemi vasakult paremale ja paremalt vasakule - intensiivsusega teenuste voo
Kõigepealt küsigem endalt, kas sel juhul on lõplikud tõenäosused? Süsteemi olekute arv on ju lõpmatu ja põhimõtteliselt võib järjekord lõputult suureneda! Jah, see on tõsi: sellise QS-i lõplikud tõenäosused ei eksisteeri alati, vaid ainult siis, kui süsteem pole ülekoormatud. Saab tõestada, et kui rangelt vähem kui üks, siis on lõplikud tõenäosused olemas ja puhul järjekord kasvab piiramatult. See asjaolu tundub eriti “arusaamatu” siis, kui tundub, et süsteemile pole võimatuid nõudeid: ühe rakenduse teenindamise ajal tuleb keskmiselt sisse üks rakendus ja kõik peaks korras olema, kuid tegelikult ei ole.
QS-iga tuleb see rakenduste vooga toime ainult siis, kui see voog on regulaarne ja teenindusaeg pole samuti juhuslik, võrdne rakendustevahelise intervalliga. Sellisel "ideaalsel" juhul ei teki QS-is üldse järjekorda, kanal on pidevalt hõivatud ja väljastab regulaarselt teenindatud päringuid. Kuid niipea, kui päringute voog või teenuste voog muutub vähemalt veidi juhuslikuks, kasvab järjekord juba lõputult. Praktikas ei juhtu see ainult seetõttu, et "lõpmatu arv rakendusi järjekorras" on abstraktsioon. Need on jämedad vead, milleni võib juhuslike muutujate asendamine nende matemaatiliste ootustega kaasa tuua!
Kuid pöördume tagasi meie piiramatu järjekorraga ühe kanaliga QS-i juurde. Rangelt võttes tuletasime surma ja taastootmise skeemi lõpptõenäosuste valemid ainult lõpliku arvu olekute korral, kuid võtame vabadused - me kasutame neid lõpmatu arvu olekute jaoks. Arvutame olekute lõpptõenäosused valemite (19.8), (19.7) järgi. Meie puhul on valemis (19.8) olevate liikmete arv lõpmatu. Saame väljendi jaoks
Seeria valemis (20.11) on geomeetriline progressioon. Teame, et kui jada läheneb – see on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetajaga. Kui , seeria lahkneb (mis on kaudne, kuigi mitte range tõend selle kohta, et lõppoleku tõenäosused eksisteerivad ainult puhul ). Oletame nüüd, et see tingimus on täidetud, ja kui võtta kokku (20.11) edenemine, on meil
(20.12)
Tõenäosused leitakse valemite abil:
kust (20.12) arvesse võttes leiame lõpuks:
Nagu näete, moodustavad tõenäosused nimetajaga geomeetrilise progressiooni. Kummalisel kombel on nende maksimum tõenäosus, et kanal üldse vabaks saab. Ükskõik kui hõivatud järjekorrasüsteem ka poleks, kui see päringute vooga üldse hakkama saab, on kõige tõenäolisem päringute arv süsteemis 0.
Leiame keskmise rakenduste arvu QS-is . Siin tuleb natuke nokitseda. Juhuslikul muutujal Z - süsteemis olevate rakenduste arvul - on võimalikud väärtused tõenäosusega
Selle matemaatiline ootus on
(20.14)
(summat ei võeta 0-st, vaid 1-st kuni, kuna null liige on võrdne nulliga).
Asendame valemisse (20.14) avaldise
Nüüd võtame selle summa märgist välja:
Siin rakendame taas "väikest nippi": pole midagi muud kui pooride tuletis väljendist,
Vahetades diferentseerimise ja liitmise toiminguid, saame:
Kuid valemis (20.15) olev summa pole midagi muud kui lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa esimese liikme ja nimetajaga; see summa on võrdne ja selle tuletis . Asendades selle avaldise (20.15), saame:
(20.16)
Noh, nüüd rakendame Little'i valemit (19.12) ja leiame rakenduse keskmise viibimisaja süsteemis:
Leiame keskmise päringute arvu järjekorras Vaidleme järgmiselt: päringute arv järjekorras on võrdne päringute arvuga süsteemis miinus teenindatavate päringute arv. Seega (matemaatiliste ootuste liitmise reegli järgi) on keskmine rakenduste arv järjekorras võrdne keskmise rakenduste arvuga süsteemis, millest on lahutatud keskmine teenuses olevate rakenduste arv. Teenuse all olevate päringute arv võib olla kas null (kui kanal on vaba) või üks (kui see on kinni). Sellise juhusliku muutuja matemaatiline ootus on võrdne tõenäosusega, et kanal on hõivatud (tähistasime selle kui ). Ilmselgelt on see võrdne ühega, millest on lahutatud tõenäosus, et kanal on vaba;
Seetõttu on teenindatavate päringute keskmine arv võrdne
