Eelmistes loengutes õppisime, kuidas simuleerida juhuslike sündmuste algust. See tähendab, et me saame mängida mis võimalikest sündmustest tulevad ja milles kogus. Selle kindlaksmääramiseks on vaja teada sündmuste toimumise statistilisi karakteristikuid, näiteks võib selliseks väärtuseks olla sündmuse toimumise tõenäosus või erinevate sündmuste tõenäosusjaotus, kui neid on lõpmata palju liike. sündmused.
Kuid sageli on oluline teada millal teatud sündmus toimub õigel ajal.
Kui sündmusi on palju ja need järgnevad üksteisele, siis need moodustuvad voolu. Pange tähele, et sündmused peavad sel juhul olema homogeensed, st mingil moel üksteisega sarnased. Näiteks juhtide ilmumine bensiinijaamadesse, kes soovivad oma autot tankida. See tähendab, et homogeensed sündmused moodustavad sarja. Sel juhul loetakse, et antud nähtuse statistiline tunnus (sündmuste voo intensiivsus) on antud. Sündmuste voo intensiivsus näitab, kui palju keskmine sellised sündmused toimuvad ajaühikus. Kuid millal iga konkreetne sündmus täpselt toimub, tuleb modelleerimismeetoditega kindlaks määrata. On oluline, et kui genereerime näiteks 1000 sündmust 200 tunni jooksul, oleks nende arv ligikaudu võrdne sündmuste esinemise keskmise intensiivsusega 1000/200 = 5 sündmust tunnis, mis on seda voolu iseloomustav statistiline väärtus. tervikuna.
Voo intensiivsus on teatud mõttes sündmuste arvu matemaatiline ootus ajaühikus. Kuid tegelikkuses võib selguda, et ühes tunnis ilmub 4 sündmust ja teises 6, kuigi keskmiselt saadakse 5 sündmust tunnis, seega ühest väärtusest voolu iseloomustamiseks ei piisa. Teine suurus, mis iseloomustab, kui suur on sündmuste levik matemaatilise ootuse suhtes, nagu varemgi, dispersioon. Tegelikult määrab see väärtus sündmuse toimumise juhuslikkuse, selle toimumise hetke nõrga prognoositavuse. Sellest väärtusest räägime järgmises loengus.
Sündmuste voog on juhuslike ajavahemike järel üksteise järel toimuvate homogeensete sündmuste jada. Ajateljel näevad need sündmused välja nagu näidatud joonisel fig. 28.1.
Sündmuste voo näiteks on hetkede jada, mil lennukid puudutavad lennujaama saabuvat rada.
Voolukiirus λ on sündmuste keskmine arv ajaühikus. Voolukiirust saab eksperimentaalselt arvutada järgmise valemi abil: λ = N/T n, kus N vaatluse käigus toimunud sündmuste arv T n .
Kui sündmuste vaheline intervall τ j on võrdne konstandiga või defineeritud mõne valemiga kujul: t j = f(t j 1), siis nimetatakse voolu deterministlik. Vastasel juhul nimetatakse voogu juhuslikuks.
Juhuslikud vood on:
- tavaline: kahe või enama sündmuse samaaegse toimumise tõenäosus on null;
- statsionaarne: sündmuste sagedus λ (t) = const( t) ;
- ei mingit järelmõju: juhusliku sündmuse toimumise tõenäosus ei sõltu eelnevate sündmuste hetkest.
Poissoni vool
Voolustandardi jaoks modelleerimisel on tavaks võtta Poissoni voog.
Poissoni vool on tavaline vool, millel pole järelmõju.
Nagu varem öeldud, on tõenäosus, et teatud aja jooksul (t 0 , t 0 + τ ) juhtuma m sündmused, määratakse kindlaks Poissoni seadusest:
kus a Poissoni parameeter.
Kui a λ (t) = const( t) , see on statsionaarne Poissoni vool(kõige lihtsam). Sel juhul a = λ · t . Kui a λ =var( t) , see on ebakindel Poissoni vool.
Lihtsaima voolu korral esinemise tõenäosus m sündmused aja jooksul τ on võrdne:
mitteilmumise tõenäosus (st mitte ilmumise tõenäosus, m= 0 ) sündmused aja jooksul τ on võrdne:
Riis. 28.2 illustreerib sõltuvust P 0 ajast. On ilmne, et mida pikem on vaatlusaeg, seda väiksem on tõenäosus, et sündmust ei toimu. Pealegi, mida suurem on väärtus λ , mida järsemaks graafik läheb, st seda kiiremini tõenäosus väheneb. See vastab asjaolule, et kui sündmuste toimumise intensiivsus on suur, siis sündmuse mittetoimumise tõenäosus väheneb kiiresti koos vaatlusajaga.
Tõenäosus, et toimub vähemalt üks sündmus ( P XB1S ) arvutatakse järgmiselt:
sest P HB1S + P 0 = 1 (kas ilmub vähemalt üks sündmus või ei ilmu ühtegi, teist ei anta).
Jooniselt fig. 28.3 on näha, et vähemalt ühe sündmuse toimumise tõenäosus kipub ajas ühtlustuma, st sündmuse asjakohasel pikaajalisel vaatlusel juhtub see kindlasti varem või hiljem. Mida kauem me sündmust jälgime (seda rohkem t), seda suurem on sündmuse toimumise tõenäosus, funktsiooni graafik monotoonselt kasvab.
Mida suurem on sündmuse toimumise intensiivsus (seda rohkem λ ), seda kiiremini see sündmus toimub ja seda kiiremini kipub funktsioon ühtlustuma. Graafikul parameeter λ mida esindab joone järsus (puutuja kalle).
Kui suurendate λ , siis sama aja sündmust jälgides τ , suureneb sündmuse toimumise tõenäosus (vt joonis 28.4). Ilmselgelt algab graafik nullist, sest kui vaatlusaeg on lõpmatult väike, siis tõenäosus, et sündmus selle aja jooksul aset leiab, on tühine. Ja vastupidi, kui vaatlusaeg on lõpmatult pikk, siis sündmus toimub kindlasti vähemalt korra, mis tähendab, et graafik kaldub tõenäosusväärtusele 1.
Õigust uurides saab kindlaks teha, et: m x = 1/λ , σ = 1/λ , see tähendab kõige lihtsama voolu jaoks m x = σ . Matemaatilise ootuse võrdsus standardhälbega tähendab, et antud voog on järelmõjuta voog. Sellise voolu hajuvus (täpsemalt standardhälve) on suur. Füüsiliselt tähendab see, et sündmuse toimumise aeg (sündmustevaheline kaugus) on halvasti ennustatav, juhuslik, jääb intervalli m x σ < τ j < m x + σ . Kuigi on selge, et keskmiselt on see ligikaudu võrdne: τ j = m x = T n/ N . Sündmus võib ilmneda igal ajahetkel, kuid selle hetke ulatuses τ j suhteliselt m x peal [ σ ; +σ ] (järelmõju väärtus). Joonisel fig. 28.5 näitab sündmuse 2 võimalikke asukohti antud ajatelje suhtes σ . AT sel juhul nad ütlevad, et esimene sündmus ei mõjuta teist, teine ei mõjuta kolmandat ja nii edasi, see tähendab, et järelmõju pole.
Selle tähenduses P võrdub r(vt loeng 23. Juhusliku sündmuse modelleerimine. Kokkusobimatute sündmuste täieliku rühma modelleerimine), seega väljendades τ valemist (*) Lõpuks, et määrata kahe juhusliku sündmuse vahelised intervallid, on meil:
τ = 1/ λ Ln( r) ,
kus rühtlaselt jaotatud 0 kuni 1 juhuslik arv, mis on võetud RNG-st, τ intervall juhuslike sündmuste vahel (juhuslik muutuja τ j ).
Näide 1. Mõelge tehnoloogilisele operatsioonile tulevate toodete voogudele. Üksusi saabub juhuslikult keskmiselt kaheksa tükki päevas (voolukiirus λ = 8/24 [ühik/tund]). Seda protsessi on vaja selle ajal simuleerida T h = 100 tundi. m = 1/λ = 24/8 = 3 , see tähendab keskmiselt üks detail kolme tunni kohta. Märka seda σ = 3. Joonisel fig. 28.6 näitab algoritmi, mis genereerib juhuslike sündmuste voo.
Joonisel fig. 28.7 näitab algoritmi töö tulemuseks ajahetke, millal osad tulid operatsioonile. Nagu näha, just sellel perioodil T n = 100 töödeldud tootmissõlme N= 33 toodet. Kui käivitame algoritmi uuesti, siis N võib olla võrdne näiteks 34, 35 või 32-ga. Keskmiselt aga K algoritm töötab N on võrdne 33,33-ga, kui arvutame sündmuste vahemaad t Koos i ja ajahetked, mis on määratletud kui 3 i, siis on keskmine väärtus võrdne σ = 3 .
Ebatavaliste sündmuste voogude modelleerimine
Kui on teada, et voog ei ole tavaline, siis tuleb modelleerida lisaks sündmuse toimumise hetkele ka sündmuste arv, mis sel hetkel võiksid ilmneda. Näiteks vagunid raudteejaam saabuda osana rongist juhuslikel kellaaegadel (tavaline rongivool). Kuid samal ajal võib rongis olla erinev (juhuslik) arv autosid. Sel juhul räägitakse vagunite voolust kui erakordsete sündmuste voolust.
Oletame, et M k = 10 , σ = 4 (see tähendab, et keskmiselt 68 juhul 100-st saabub rongi 6 kuni 14 autot) ja nende arv jaguneb vastavalt tavaseadusele. Eelmises algoritmis (vt joon. 28.6) tähistatud kohta (*) tuleb sisestada joonisel fig. 28.8.
Näide 2 . Tootmises väga kasulik on järgmise probleemi lahendus. Kui suur on tehnoloogilise sõlme seadmete keskmine päevane tühikäiguaeg, kui sõlm töötleb iga toodet juhusliku aja, mis on määratud juhuslike sündmuste voo intensiivsusega λ 2? Samas tehti katseliselt kindlaks, et tooteid tuuakse töötlemiseks ka voolu poolt määratud juhuslikel aegadel λ 1 partiidena 8 tükki ja partii suurus kõigub juhuslikult vastavalt tavaseadusele m = 8 , σ = 2 (vt loeng 25). Enne simulatsiooni T= 0 kaupa ei olnud laos. Seda protsessi on vaja selle ajal simuleerida T h = 100 tundi.
Joonisel fig. 28.9 näitab algoritmi, mis genereerib juhuslikult töötlemiseks tootepartiide saabumise voo ja töötlemisest pärinevate tootepartiide väljundi juhuslike sündmuste voo.
Joonisel fig. 28.10 näitab algoritmi töö tulemuseks ajahetke, millal osad jõudsid toimingule, ja ajapunkte, millal osad operatsioonist lahkusid. Kolmas rida näitab, mitu osa oli erinevatel ajahetkedel töötlemise järjekorras (ladus sõlme laos).
Märkides töötlemissõlme aegu, mil see oli jõude, oodates järgmist osa (vt punast varjundit joonisel 28.10), saame arvutada sõlme kogu jõudeoleku kogu vaatlusaja kohta ja seejärel arvutada keskmise jõudeoleku. aega päeva jooksul. Selle teostuse jaoks arvutatakse see aeg järgmiselt:
T pr vrd. = 24 ( t 1 pr. + t 2 ave. + t 3 ave. + t 4 pr. + + t N jne.)/ T n.
1. harjutus. Väärtuse muutmine σ , installige sõltuvus T pr vrd. ( σ ) . Määrates ühiku seisaku maksumuseks 100 eurot / tund, määrake ettevõtte iga-aastane kahjum tarnijate töö ebakorrapärasusest. Pakkuda välja ettevõtte ja tarnijate vahelise lepingu punkti "Trahvi suurus toodete kohaletoimetamise viivitamise eest" sõnastus.
Ülesanne 2 . Lao esmase täitumise väärtust muutes tehke kindlaks, kuidas muutuvad ettevõtte iga-aastased kahjumid tarnijate töö ebakorrapärasusest sõltuvalt ettevõttes kasutusele võetud varude väärtusest.
Mittestatsionaarsete sündmuste voogude modelleerimine
Mõnel juhul võib voolukiirus aja jooksul muutuda. λ (t) . Sellist voolu nimetatakse mittestatsionaarseks. Näiteks keskmine kiirabiautode arv tunnis, mis lahkuvad jaamast avalikkuse väljakutsete peale suur linn päeva jooksul võib olla erinev. Näiteks on teada, et kõige rohkem kõnesid langeb ajavahemikule 23.00–01.00 ja 05.00–07.00, teistel tundidel aga poole vähem (vt joon. 28.11).
Sel juhul jaotus λ (t) saab määrata kas graafiku, valemi või tabeli abil. Ja joonisel fig. 28.6, peate (**) tähistatud kohta sisestama joonisel fig. 28.12.
4. Modelleerimine Markovi juhuslike protsesside skeemi järgi
Stohhastilisi objekte iseloomustavate numbriliste parameetrite arvutamiseks on vaja ehitada nähtusest mingi tõenäosusmudel, võttes arvesse sellega kaasnevaid juhuslikke tegureid. Paljude juhusliku protsessina arenevate nähtuste matemaatiliseks kirjeldamiseks saab edukalt rakendada tõenäosusteoorias nn Markovi juhuslike protsesside jaoks välja töötatud matemaatilist aparaati. Selgitame seda kontseptsiooni. Olgu mingi füüsiline süsteem S, mille olek aja jooksul muutub (süsteemi all S millest võib aru saada: tehniline seade, remonditöökoda, arvuti jne). Kui riik S varieerub aja jooksul juhuslikult, ütlevad nad seda süsteemis S toimub juhuslik protsess. Näited: arvuti tööprotsess (arvuti tellimuste vastuvõtmine, nende tellimuste tüüp, juhuslikud tõrked), juhitava raketi sihtmärgile suunamise protsess (juhuslikud häired (interferents) raketijuhtimissüsteemis), protsess klientide teenindamine juuksuris või remonditöökojas (juhuslik klientidelt saadud taotluste (nõuete) voog).
Juhuslikku protsessi nimetatakse Markovi protsessiks (või tagajärgedeta protsessiks), kui iga aja t0 korral on süsteemi mis tahes oleku tõenäosus tulevikus (at t> t0 ) sõltub ainult selle olekust olevikus (at t= t0 ) ja ei sõltu sellest, millal ja kuidas süsteem sellesse olekusse jõudis (st kuidas protsess minevikus arenes). Lase S tehniline seade, mida iseloomustab teatav riknemine S. Oleme huvitatud, kuidas see edaspidi toimib. Esimese ligikaudse hinnanguna sõltub süsteemi jõudlus tulevikus (tõrgete määr, remondivajadus) seadme olekust Sel hetkel ja ei sõltu sellest, millal ja kuidas seade oma praegusesse olekusse jõudis.
Markovi juhuslike protsesside teooria on ulatuslik tõenäosusteooria osa, millel on lai kasutusala (füüsikalised nähtused nagu laengu difusioon või segunemine kõrgahjus sulamisel, protsesside järjekord).
4.1. Markovi protsesside klassifikatsioon
Markovi juhuslikud protsessid on jagatud klassideks. Esimene klassifitseerimistunnus on olekute spektri olemus. Juhuslikuks protsessiks (SP) nimetatakse diskreetsete olekutega protsessi, kui süsteemi võimalikud olekud S1,S2,S3… saab loetleda ja protsess ise seisneb selles, et aeg-ajalt süsteem S hüppab (hetkeliselt) ühest olekust teise.
Näide. Tehniline seade koosneb kahest sõlmest I ja II, millest igaüks võib ebaõnnestuda. Osariigid: S1– mõlemad sõlmed töötavad; S2- esimene sõlm ebaõnnestus, teine töötab; S 3 - teine sõlm ebaõnnestus, esimene töötab; S4 mõlemad sõlmed ebaõnnestusid.
On pidevate olekutega protsesse (sujuv üleminek olekust olekusse), näiteks pingemuutus valgustusvõrgus. Vaatleme ainult diskreetsete olekutega SP-d. Sel juhul on mugav kasutada olekugraafikut, kus süsteemi võimalikud olekud on tähistatud sõlmedega, võimalikud üleminekud aga kaaredega.
Teine klassifitseerimistunnus on ajas toimimise olemus. SP-d nimetatakse diskreetse ajaga protsessiks, kui süsteemi üleminekud olekust olekusse on võimalikud ainult rangelt määratletud, eelnevalt fikseeritud aegadel: t1,t2…. Kui süsteemi üleminek olekust olekusse on võimalik suvalisel juhuslikul, eelnevalt teadmata hetkel, siis räägitakse pideva aja SP-st.
4.2. Diskreetse aja Markovi ahela arvutamine
S diskreetsete olekutega S1,S2, ...sn ja diskreetne aeg t1,t2, … ,tk,...(sammud, protsessi etapid, SP-d võib pidada argumendi funktsiooniks (sammu number)). Üldjuhul seisneb SP selles, et on olemas üleminekud S1® S1® S2® S3® S4® S1® … hetkedel t1,t2,t3 ....
Tähistame sündmust, mis seisneb selles, et pärast k– sammud, kus süsteem on olekus Si. Iga k sündmused https://pandia.ru/text/78/060/images/image004_39.gif" width="159" height="25 src=">.
Sellist juhuslikku sündmuste jada nimetatakse Markovi ahelaks. Kirjeldame Markovi ahelat (MC) olekutõenäosuste abil. Olgu tõenäosus, et pärast k- sammud, kus süsteem on olekus Si. Seda on lihtne näha " k DIV_ADBLOCK389">
.
Kasutan ülaltoodud sündmusi https://pandia.ru/text/78/060/images/image008_34.gif" width="119" height="27 src=">. Maatriksi iga rea liikmete summa peaks olema võrdne 1-ga. Selle asemel kasutavad üleminekutõenäosuste maatriksid sageli märgistatud olekugraafikut (need tähistavad nullist erinevat üleminekutõenäosust kaaredel, viivituse tõenäosusi pole vaja, kuna neid on näiteks lihtne arvutada P11=1-(P12+P13)). Kui meie käsutuses on märgistatud olekute graafik (või üleminekutõenäosuste maatriks) ja teades süsteemi algolekut, saame leida olekute tõenäosused. p1(k),p2(k),…pn(k)" k.
Olgu süsteemi algseisund sm, siis
p1(0)=0 p2(0)=0…pm(0)=1…pn(0)=0.
Esimene samm:
p1(1)=Pm1, p2(1)=Pm2,…pm(1)=Pmm,… ,pn(1)=Pmn.
Pärast teist sammu, kasutades kogu tõenäosuse valemit, saame:
p1(2)=p1(1)P11+p2(1)P21+…pn(1)Pn1,
pi(2)=p1(1)P1i+p2(1)P2i+…pn(1)Pni võihttps://pandia.ru/text/78/060/images/image010_33.gif" width="149" height="47"> (i=1,2,..n).
Sest heterogeenne MC
ülemineku tõenäosused sõltuvad sammu numbrist. Tähistame sammu k as üleminekutõenäosused 
.
Siis on olekute tõenäosuste arvutamise valem järgmine:
.
4.3. Markovi ketid pideva ajaga
4.3.1. Kolmogorovi võrrandid
Praktikas on palju sagedasemad olukorrad, kus süsteemi üleminekud olekust olekusse toimuvad juhuslikel aegadel, mida ei saa eelnevalt kindlaks määrata: näiteks mõne riistvaraelemendi rike, selle elemendi parandamise (taastamise) lõpp. Selliste protsesside kirjeldamiseks saab paljudel juhtudel edukalt rakendada diskreetsete olekute ja pideva ajaga Markovi juhusliku protsessi skeemi, pidevat Markovi ahelat. Näitame, kuidas väljenduvad sellise protsessi olekutõenäosused. Lase S=(S1,S2,…sn). Tähistage pi(t)- tõenäosus, et hetkel t süsteem S on osariigis). Ilmselgelt. Seadke ülesandeks - määrata mis tahes jaoks tpi(t). Üleminekutõenäosuste asemel Pij võtame arvesse ülemineku tõenäosuse tihedust
.
Kui see ei sõltu t, räägivad nad homogeensest ahelast, muidu - ebahomogeensest. Andke meile teada kõigi olekupaaride kohta (antud on märgistatud olekute graafik). Selgub, et teades märgistatud olekugraafikut, saate määrata p1(t),p2(t)..pn(t) aja funktsioonina. Need tõenäosused rahuldavad teatud tüüpi diferentsiaalvõrrandeid (Kolmogorovi võrrandid).
 |
Nende võrrandite integreerimine süsteemi teadaoleva algolekuga annab soovitud olekutõenäosused aja funktsioonina. Märka seda p1+p2+p3+p4=1 ja saame hakkama kolme võrrandiga.
Kolmogorovi võrrandite koostamise reeglid. Iga võrrandi vasak pool sisaldab oleku tõenäosuse tuletist ja parem pool nii palju termineid, kui on antud olekuga seotud nooli. Kui nool on suunatud olekust välja, on vastaval terminil miinusmärk, kui olekusse, siis plussmärk. Iga liige on võrdne antud noolele vastava ülemineku tõenäosustiheduse korrutisega, mis on korrutatud selle oleku tõenäosusega, millest nool pärineb.
4.3.2. Sündmuste voog. Lihtsaim vool ja selle omadused
Diskreetsete olekute ja pideva ajaga süsteemis toimuvate protsesside puhul on sageli mugav ette kujutada protsessi nii, nagu toimuksid süsteemi üleminekud olekust olekusse mingite sündmuste voogude toimel. Sündmuste voog on homogeensete sündmuste jada, mis järgneb üksteisele teatud, üldiselt öeldes juhuslikel ajahetkedel. (Telefoni keskjaama kõnede voog; arvuti rikete (rikkete) voog; jaama saabuvate kaubarongide voog; külastajate voog; sihtmärki suunatud laskude voog). Kujutame sündmuste kulgu ajateljel olevate punktide jadana ot. Iga punkti asukoht teljel on juhuslik. Sündmuste voogu nimetatakse regulaarne , kui sündmused järgnevad üksteise järel rangelt määratletud ajavahemike järel (praktikas esineb seda harva). Mõelge voogude eritüübile, selleks tutvustame mitmeid määratlusi. 1. Sündmuste kulgu nimetatakse paigal , kui ühe või teise arvu sündmuste tabamise tõenäosus pikkuses ajasegmendis sõltub ainult lõigu pikkusest ja ei sõltu sellest, kus ot-teljel see segment täpselt asub (homogeensus ajas) - tõenäosuskarakteristikud sellise voolu maht ei tohiks aja jooksul muutuda. Eelkõige on konstantne sündmuste voo nn intensiivsus (või tihedus) (keskmine sündmuste arv ajaühikus).
2. Sündmuste kulgu nimetatakse vool ilma tagajärgedeta, kui mittekattuvate ajavahemike puhul ei sõltu ühele neist langevate sündmuste arv sellest, kui palju sündmusi langes teisele (või teistele, kui arvestada rohkem kui kahte jaotist). Tagajärje puudumine voos tähendab, et voogu moodustavad sündmused ilmuvad üksteisest sõltumatult järjestikustel ajahetkedel.
3. Sündmuste kulgu nimetatakse tavaline , kui tõenäosus, et kaks või enam sündmust tabavad elementaarsegmenti, on tühiselt väike võrreldes ühe sündmuse tabamise tõenäosusega (sündmused voos tulevad üksikult, mitte paarikaupa, kolmikutena jne).
Kutsutakse sündmuste voogu, millel on kõik kolm omadust kõige lihtsam (või statsionaarne Poisson). Mittestatsionaarsel Poissoni voolul on ainult omadused 2 ja 3. Poissoni sündmuste voog (nii statsionaarne kui ka mittestatsionaarne) on tihedalt seotud teadaoleva Poissoni jaotusega. Nimelt jaotub mis tahes lõigule langevate voolusündmuste arv Poissoni seaduse järgi. Selgitame seda üksikasjalikumalt.
Mõelge teljel umbest, kus vaadeldakse sündmuste kulgu, mingit lõiku pikkusega t, alates hetkest t0 ja lõppeb hetkel t0 + t. Lihtne on tõestada (tõestus on antud kõigis tõenäosusteooria kursustes), et selle lõigu tabamise tõenäosust täpselt m on väljendatud valemiga:
(m=0,1…),
kus a on sündmuste keskmine arv segmendis t.
Statsionaarse (lihtsaima) Poissoni voolu jaoks a=lt, st ei sõltu sellest, kus teljel asub ot ala t võetakse. Ebakindla Poissoni voolu korral kogus a väljendatakse valemiga
ja seepärast sõltub sellest, millisel hetkel t0 alajagu t.
Mõelge teljel ot lihtsaim konstantse intensiivsusega sündmuste voog l. Meid huvitab selle voo sündmuste vaheline ajavahemik T. Olgu l voo intensiivsus (keskmine sündmuste arv 1 korra kohta). Jaotustihedus f(t)
juhuslik muutuja T(ajavahemik voos külgnevate sündmuste vahel) f(t)=
le-
lt (t>
0)
. Sellise tihedusega jaotusseadust nimetatakse eksponentsiaalseks (eksponentsiaalseks). Leiame juhusliku suuruse arvväärtused T: matemaatiline ootus (keskmine) 
ja dispersioon vasakule>
Ajavahemik T naabersündmuste vahel jaotatakse kõige lihtsamas voos eksponentsiaalseaduse järgi; selle keskmine väärtus ja standardhälve on , kus l on voolu intensiivsus. Sellise voolu korral väljendatakse täpselt ühe voolusündmuse toimumise tõenäosust elementaarajavahemikus ∆t kui . Nimetame seda tõenäosust "sündmuse toimumise tõenäosuse elemendiks".
Mittestatsionaarse Poissoni voolu korral ei ole intervalli T jaotusseadus enam eksponentsiaalne. Selle seaduse vorm sõltub esiteks sellest, kus teljel asub ot esimene sündmustest paikneb ja teiseks sõltuvuse tüübist. Kui aga see muutub suhteliselt aeglaselt ja selle muutus kahe sündmuse vahelise aja jooksul on väike, siis võib sündmustevahelise ajaintervalli jaotuse seadust pidada ligikaudu indikatiivseks, eeldades selles valemis väärtust, mis on võrdne piirkonna keskmise väärtusega. mis meid huvitab.
4.3.3. Poisson voolab sündmused ja
pidevad Markovi ketid
Mõelge mõnele füüsilisele süsteemile S=(S1,S2,…sn), mis läheb olekust olekusse mingite juhuslike sündmuste (kõned, tõrked, kaadrid) mõjul. Kujutagem seda ette nii, nagu oleksid sündmused, mis kannavad süsteemi olekust olekusse, mingid sündmuste vood.
Las süsteem S sellel ajal t on olekus Si ja saab sellest riigile minna sj mõne Poissoni intensiivsusega sündmustevoo mõjul lij: niipea, kui selle lõime esimene sündmus toimub, lülitub süsteem koheselt üle Si sisse sj..gif" width="582" height="290 src=">
4.3.4. Olekute tõenäosuse piiramine
Olgu füüsiline süsteem S=(S1,S2,…sn), milles toimub pideva ajaga Markovi stohhastiline protsess (pidev Markovi ahel). Teeskleme seda lij=konst, st kõik sündmuste vood on lihtsad (statsionaarne Poisson). Olles kirjutanud Kolmogorovi diferentsiaalvõrrandite süsteemi olekutõenäosuste jaoks ja integreerides need võrrandid etteantud algtingimustel, saame p1(t),p2(t),…pn(t), mis tahes t. Esitame järgmise küsimuse: mis juhtub süsteemiga S juures t® ¥. Kas funktsioone pi(t) mingite piiride poole püüdlema? Neid piire, kui need on olemas, nimetatakse olekute piiravateks tõenäosusteks. Võimalik on tõestada teoreem: kui olekute arv S on lõplik ja igast olekust on võimalik (ühe või teise arvu astmete korral) üksteisele üle minna, siis olekute piiravad tõenäosused on olemas ega sõltu süsteemi algseisund. Oletame, et esitatud tingimus on täidetud ja piirtõenäosused on olemas (i=1,2,…n), .
Seega, kl t® ¥ süsteemis S kehtestatakse teatud piirav statsionaarne režiim. Selle tõenäosuse tähendus on see, et see pole midagi muud kui keskmine suhteline aeg, mille süsteem antud olekus veedab. Arvutada pi olekute tõenäosusi kirjeldavas Kolmogorovi võrrandite süsteemis tuleb kõik vasakpoolsed küljed (tuletised) määrata võrdseks 0-ga. Saadud lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem tuleb lahendada koos võrrandiga .
4.3.5. Surma ja paljunemise skeem
Teame, et märgistatud olekugraafikuga saame hõlpsasti kirjutada Kolmogorovi võrrandid olekutõenäosuste jaoks, samuti kirjutada ja lahendada lõpptõenäosuste algebralisi võrrandeid. Mõnel juhul on võimalik lahendada viimased võrrandid ette, sõnasõnalises vormis. Eelkõige saab seda teha siis, kui süsteemi olekugraafik on nn "surma ja taastootmise skeem".
https://pandia.ru/text/78/060/images/image044_6.gif" width="73" height="45 src="> (4.4)
Teisest, võttes arvesse (4.4), saame:
https://pandia.ru/text/78/060/images/image046_5.gif" width="116" height="45 src="> (4.6)
ja üldiselt mis tahes k jaoks (1 kuni N):
https://pandia.ru/text/78/060/images/image048_4.gif" width="267" height="48 src=">
seega saame p0 avaldise.
(4. 8)
(tõstsime sulgu astmeni -1, et mitte kirjutada kahekorruselisi murde). Kõik muud tõenäosused on väljendatud p0-ga (vt valemeid (4.4) - (4.7)). Pange tähele, et kõigi nende koefitsiendid p0 juures ei ole midagi muud kui valemi (4.8) ühtsuse järel rea järjestikused liikmed. Seega, arvutades p0, oleme kõik need koefitsiendid juba leidnud.
Saadud valemid on väga kasulikud teooria lihtsamate ülesannete lahendamisel järjekorras seismine.
Arvutustehnoloogiad
13. köide, 5. erinumber 2008
Poolmarkoviliku sündmuste voolu uurimine
A. A. Nazarov, S. V. Lopukhova Tomski Riiklik Ülikool, Venemaa e-post: [e-postiga kaitstud] pmk. tsu. ru, [e-postiga kaitstud] et
I.R. Garayshina
Kemerovo filiaal riigiülikool Anžero-Sudzhenskis, Venemaal e-post: [e-postiga kaitstud]
Esitatud töös on käsitletud semimarkovi protsessi. käsitletakse piiravat mudelit. Piiravate mudelite analüütilise käsitlemise tulemusi võrreldakse asümptootilise meetodi abil saadud tulemustega.
Sissejuhatus
Probleemiks on homogeensete sündmuste voogude matemaatiliste mudelite klassi laiendamine. Sageli ei saa juhuslike sündmuste voogude klassikalised mudelid olla tegelike teabe- ja telekommunikatsioonivoogudega adekvaatsed. Poisso ja lihtsad voolumudelid ei ole sageli piisavad järjekorrasüsteemide sissetulevate voogude usutavamaks ja realistlikumaks kirjeldamiseks. Kuigi on faasitüüpi vooge ja moduleeritud Poissoni vooge, mis on adekvaatsemad tõelisi olukordi, suurt huvi pakuvad poolMarkovi voolumudelid, mille erijuhtumiks on Markovi taastumisvood ja kõik ülaltoodud vood. Selliste mudelite uurimise meetodid on üsna keerulised ja toovad kaasa olulisi matemaatilisi probleeme. Seetõttu on koos voogude klasside laiendamise ülesandega ka nende uurimismeetodite väljatöötamise probleem.
Juhuslik homogeensete sündmuste voog (voog) on järjestatud jada
t\< ¿2 < ■ ■ ■ juhuslikud muutujad tm - sündmuste toimumise hetked voos. Olgu antud poolMarkovi maatriks A(x) elementidega Aklk2 (x) Maatriks P = lim A(x) on stohhastiline, seega antud algjaotuse korral see defineerib mingi diskreetse ajaga Markovi ahela k (tm), mida me nimetame Markovi ahelaks, mis on põimitud poolMarkovi voolu, © Venemaa Teaduste Akadeemia Siberi filiaali arvutustehnoloogia instituut, 2008. A. A. Nazarov, S. V. Lopuhhova, I. R. Garaišina Juhuslikku homogeensete sündmuste voogu nimetatakse poolMarkoviks, kui jada (1) moodustumise tõenäosusseadus on määratud algjaotuse ja võrdustega Ak1k2 (x) = P (k(bm+1) = k2, bm+1 - bm< х ^^т) = к\ } kõigile m > 1. Tähistame n(b)-ga pool-Markovi voolu sündmuste arvu, mis on kogunenud aja b jooksul üle intervalli . Käesoleva töö eesmärgiks on luua tõenäosusjaotus P(n, b) = P(n(b) = n) ergoodilise Markovi ahela k(lm) statsionaarseks talitluseks. Ilmselgelt on protsess n(b) mitte-Markovi protsess, seega defineerime veel kaks juhuslikku protsessi: r(b) on intervalli pikkus ajast b kuni vaadeldava voo järgmise sündmuse toimumise hetkeni, k(b) ) on pideva ajaga vasakpoolne pidev protsess, mille väärtused on vahemikus (bm,bm+1] konstantsed ja defineeritud võrratustega k(b) = k(bm+1). Ülaltoodud definitsioonide kohaselt , juhuslik protsess (k(b), n(b), r(b)) on Markovi protsess pideva ajaga. Pange tähele, et juhuslik protsess k(b) ei ole klassikalises definitsioonis poolMarkovi protsess, kuna poolMarkovi protsess B(b) on parem-pidev ja nagu näidatud , pole selle ülemineku jaoks Kolmogorovi diferentsiaalevolutsiooni võrrandeid. tõenäosused, samas kui ülal pakutud protsess (k(b), n(b), r(b)) on Markovi, seega selle tõenäosusjaotuse jaoks P (k, n, r, b) = P (k (b) = k, n (b) = n, r (b)< г} (2) Kolmogorovi diferentsiaalvõrrandi süsteemi koostamine pole keeruline ^ dT (u, 1b - 1, 0, b) A (\ 2-^- db dg dg ^ dg Tähistage H(k, u, r, r) = ^ e "uPR(k, n, r, b), kus ] = ¡~ ~~ kujuteldav ühik. Nende funktsioonide jaoks saame kolmogorovi diferentsiaalvõrrandi süsteemist kirjutada dH (k, u, z, b) dH (k, u, z, b) dH (k, u, 0, b), u ^ dH (u, u, 0, b) db dg dg ^ dg Tähistame H (u, r, b) = (H (1, u, r, b) , H (2, u, r, b),...) vektorfunktsiooni stringi, siis kirjutame ümber süsteemi võrrandid (3) maatriksi kujul dN(i,g,g) _ dN(i,g,g) dN(i,0,g) Mc,g h n t dg dg + dg 1 [) "" [ ) mille lahendus rahuldab algtingimust H(u,z, 0) = R(z), kus I on identsusmaatriks ja kahemõõtmelise Markovi protsessi statsionaarne jaotus R(z) (k(t), z( t)) on Cauchy probleemi lahendus <Ш = <Ш(1-Мг)), ja on defineeritud võrrandiga R(z) = seit / (P - A(x))dx, kus aei = Siin r on vektor pesastatud Markovi ahela väärtuste statsionaarse tõenäosusjaotuse rida k(tm); E on ühikuline veeruvektor ja maatriks A = (P - A(x))dx. 2. Eelmudel Olgu meil diferentsiaalvõrrand (4), mille lahend H (u,z,t) rahuldab algtingimust H(u, z, 0) = R(z). Siis Fourier' teisendus – Stieltjess φ>(u, a, t) = / ejaz dz H (u, z, t) vektorfunktsioonist H (u, z, t) rahuldab võrrandit df(u, a, b) . . dH (u, 0, b) , .*. . gl, . m \u003d ~ zaf (u a, + - (e? uA * (a) - /) (5) ja esialgne seisund φ(u, a, 0) = R*(a) = ^ e > a2 kus A*(a) = J e>a"2dA(z). Võrrandi (5) lahend on kujul φ(u, a, 1) = e~zab [ II*(a) + I (¿>uA*(a) - I) dt] . (6) Kui b kaldub avaldises (6) lõpmatusse, saame Fourier' teisenduse m-s dH (u, 0, t) ^ ^ "l vektorfunktsioonist ---. Pärast Fourier' pöördteisendust määrame I e-j A. A. Nazarov, S. V. Lopuhhova, I. R. Raraiššia Nüüd võib võrdsuse (6) kirjutada kui f (scha, g) \u003d e-ab R * (a) + + - / e] at I e ~ zutK * (y) (/ - e> uA * (y)) 1 Au (e "uA * (a) - /)<*г). (7) Teades, et H(u, x, r) = H(u, r) = φ(u, 0,1), saame vektorfunktsiooni H(u, r) avaldise: Siis on aja jooksul r toimuvate sündmuste arvu tõenäosusjaotus P(n, r). ting H(u, b) = MeUn(b = H(u, b)E, sellel on vorm 1 C a1 G1 - e-™b P(n, 1) = - e~zipNSH)E(1u = - / -^-5 I - A * (y) A * (y) p-1Eyu, (8) I – A* (y) E<1у Järeldus Sarnaselt Markovi uuenemisvoogude uurimisega pool-Markovi sündmuste voo asümptootilisi uuringuid tehes saame, et iseloomuliku funktsiooni kolmandat järku asümptootika saab kirjutada järgmiselt. MeHan(1) = ^"(re^+^ae^+^aez*) kus poolMarkovi voolu koefitsiendid s31, a2, a3 määratakse samamoodi, nagu seda tehti töödes. Saadud võrrandid (8) määravad poolMarkovi maatriksiga A(x) ja selle Fourier-Stieltjessi teisendusega A*(x) antud statsionaarses poolMarkovi voolus toimuvate sündmuste arvu tõenäosusjaotuse P(n, r). ). Valemite (8) numbriline rakendamine võimaldab leida tõenäosuste P(n, r) arvväärtusi piisavalt laia maatriksite A*(x) ja r väärtuste jaoks. arvutuslik rakendamine on piiratud arvutusressurssidega. Piisavalt suurte r väärtuste korral on loomulik kasutada poolMarkovi voolu asümptootilise analüüsi meetodit samamoodi, nagu seda tehti Markovi uuenemisvoolu puhul viites ja sõelutud Markovi uuenemisvoolu puhul viites. Numbrilise algoritmi (8) olemasolu võimaldab määrata asümptootiliste tulemuste ulatuse. Vaadeldavate voogude puhul, millel on pesastatud Markovi ahela kolm olekut, on Kolmogorovi - Smirnovi kaugus jaotuste vahel, asümptootiliselt ja valemitega (8) saadud, ei ületa t = T teatud väärtuste korral 2-3%, mis võimaldab väita, et t > T korral on asümptootiliste tulemuste kasutamine efektiivne ja t korral< Т целесообразно использовать формулы (8), полученные в данной работе. Bibliograafia Korolyuk B.C. Süsteemide stohhastilised mudelid. Kiiev: Nauk, Dumka, 1989. 208 lk. Nazarov A.A., Lopukhova C.V. Markovi taastumise voolu uurimine teist järku asümptootilise meetodiga // Mater. Rahvusvaheline teaduslik konf. "Telekommunikatsioonivõrkude efektiivsuse tõstmise matemaatilised meetodid". Grodno, 2007, lk 170-174. Lopukhova C.B. Pool-Markovi voolu uurimine kolmandat järku asümptootilisel meetodil // Mater. VI intern. teaduslik ja praktiline. konf. "Infotehnoloogiad ja matemaatiline modelleerimine". Tomsk: kirjastus, kd. un-ta, 2007. Osa 2. S. 30-34. Loengu eesmärk: sündmuste kulgemise, kõige lihtsama sündmuste kulgemise, Markovi protsessi mõistete valdamine. 1. Sündmuste voog. Sündmuste voo atribuudid. Lihtsaim sündmuste voog. Poissoni valem. 2. Teenindusprotsess Markovi protsessina. 3. Ühe kanaliga QS koos ootamisega. Sündmuste voog on homogeensete sündmuste jada, mis järgneb üksteisele juhuslikel aegadel. Näited võivad olla järgmised: Kõnevoog telefonikeskjaamas; Arvuti krahhi voog; Sihtmärgile suunatud laskude voog jne. Regulaarne vool nimetatakse vooluks, milles sündmused järgnevad üksteise järel korrapäraste ajavahemike järel (deterministlik sündmuste jada). Sellist sündmuste kulgu näeb praktikas harva. Telekommunikatsioonisüsteemides on levinumad vood, mille puhul on nii sündmuste toimumise hetked kui ka nendevahelised ajaintervallid juhuslikud. Vaatleme selliseid sündmuste voogude omadusi nagu statsionaarsus, tavalisus ja järelmõju puudumine. Voolu on paigal kui teatud arvu sündmuste toimumise tõenäosus ajavahemikus τ
sõltub ainult selle intervalli pikkusest ja ei sõltu selle asukohast ajateljel. Statsionaarse voolu korral on sündmuste keskmine arv ajaühikus konstantne. Tavaline vool Vooguks nimetatakse voogu, mille puhul kahe või enama päringu tabamise tõenäosus antud lühikese aja jooksul on tühiselt väike, võrreldes ühe päringu tabamise tõenäosusega. Telekommunikatsioonisüsteemides peetakse voogu tavaliseks. Voolu tagajärgedeta mida iseloomustab asjaolu, et kahe mittekattuva ajaintervalli jaoks sündmuste arvu esinemise tõenäosus teises intervallis ei sõltu sündmuste esinemiste arvust esimeses intervallis. Parameeter voolu nimetatakse piiriks kus on tõenäosus, et intervallile ilmuvad tellimused. Voolu intensiivsus μ on sündmuste keskmine arv ajaühikus. Statsionaarse voolu korral ei sõltu selle parameeter ajast. Statsionaarse ja tavalise voolu korral λ=μ. kõige lihtsam või Poissoni vool
nimetatakse statsionaarseks tavaliseks vooluks ilma järelmõjuta. Lihtsaim voog järgib Poissoni jaotuse seadust kus on voolu intensiivsus; Aja jooksul ilmunud sündmuste arv . Lihtsaima voo saab anda külgnevate kõnede vahe jaotamise funktsiooniga F(t)=P(z P(z>t) on võrdne tõenäosusega, et pikkusega t intervallis ei esine rohkem kui üks kõne. F(t)=P(z>t)=1- (t)=1- Seda juhusliku suuruse jaotuse seadust nimetatakse eksponentsiaalseks. Lihtsaima voolu omadused ja omadused: a) kõige lihtsama voolu korral on vahe z matemaatiline ootus ja standardhälve omavahel võrdsed MZ= σz=1/λ; b) Oodatud väärtus ja kõnede arvu i dispersioon ajavahemikul t on üksteisega võrdsed Mi=Di= λt. Nende väärtuste kokkulangevust kasutatakse praktikas tegeliku voolu kontrollimisel, et see sobiks selle kõige lihtsamaga. CMO on süsteem, mis eeldab 2 protsessi olemasolu selles: taotluste vastuvõtmine ja rakenduste teenindamine. Tinglikult esitatakse skeem kujul Ja akumulaator K teenindusseade Taotlusprotsess on ajapõhine protsess. Sündmuste voog on mis tahes sündmuste toimumise ajahetkede jada. Iga QS-iga on seotud 3 voogu: 1) sisendvoog. Taotluste laekumise ajapunktide järjestus 2) väljundvoog. Teenindatud päringute lähtepunktide järjestus. 3) teenusevoog. Teeninduspäringute lõppemise ajapunktide jada, eeldades, et teenindus on pidev. Voolu on iseloomustatud intensiivsus - keskmine sündmuste arv ajaühikus. Stream helistas regulaarne, kui selles sisalduvate sündmuste vahelised ajavahemikud on samad. Ebaregulaarne– kui sündmuste vahelised ajavahemikud on juhuslikud. Voolu korduv, kui sündmuste vahelised ajaintervallid on sama seaduse järgi jaotatud juhuslikud muutujad. Stream helistas homogeenne, kui see on x-Xia ainult toimunud sündmuste hulga (ti) järgi. Heterogeenne– kui seda kirjeldab hulk (ti, fi), kus ti on sündmuste toimumise ajahetked, siis fi on päringu atribuut. SMOd ise jagunevad alajaotusteks QS tõrgetega ja QS järjekordadega. Järjekordadega QS jaguneb piiratud järjekorraks ja piiramatuks järjekorraks. Erijuhtum on piiratud ooteaeg järjekorras. Viimast tüüpi süsteemides seatakse järjekorda need päringud, mida ei saa kohe teenindada, ja valitakse sealt mõne teenindusdistsipliini abil välja. Mõned enim kasutatud erialad: 1) FIFO (first in - first out) - laekumise järjekorras; 2) LIFO (viimane sisse - esimene välja) - esimesena serveeritakse viimane, kes saabus; 3) SIRO (service in random order) - juhuslikus järjekorras; 4) - prioriteetsed süsteemid. (absoluutsed ja suhtelised prioriteedid. Suhtelise prioriteedi korral järjestatakse rakendused prioriteedi väärtuse järgi - kõigepealt kõrge, seejärel madalam.) QS-i lühikirjelduseks D. Kendall tutvustas sümboolikat (tähistust) m on teenindavate kanalite arv; n on ootekohtade arv (salvestusmaht). k on allikate arv. A ja B iseloomustavad vastavalt sisendvoogu ja teenusevoogu, määrates sisendvoos päringute vaheliste intervallide jaotusfunktsiooni ja teenindusaegade jaotusfunktsiooni. A ja B võivad võtta järgmised väärtused: D - deterministlik jaotus; M - soovituslik; E r on Erlangi jaotus; H r - hüperindikatiivne; G on üldine jaotus. See eeldab, et vood on korduv, st. sündmuste vahelised intervallid on sõltumatud ja neil on sama jaotus. Esimesed 3 positsiooni on märkuses kohustuslikud. Vaikimisi, kui n puudub, on meil tõrgetega süsteem, kui k puudub, siis vaikimisi - üks allikas. Voogu, mis vastab kolmele järgmisele nõudele, nimetatakse lihtsaimaks. 1) Voolu paigal, kui teatud arvu sündmuste saabumise tõenäosus kindla pikkusega ajaintervalli jooksul sõltub ainult intervalli kestusest ja ei sõltu selle asukohast ajateljel. 2) Voolu tavaline, kui kahe või enama sündmuse toimumise tõenäosus elementaarse ajaintervalli jooksul 3) Oja nimetatakse ojaks ei mingit järelmõju, kui mittekattuvate ajavahemike puhul ei sõltu ühele neist langevate sündmuste arv teistele langevate sündmuste arvust. Mõnikord on see omadus sõnastatud järgmiselt: aja jaotus lähima sündmuseni ei sõltu vaatlusajast, s.t. kui palju aega on möödunud viimasest sündmusest. Voolu, mis vastab neile kolmele tingimusele, nimetatakse kõige lihtsam. Tema jaoks järgib mis tahes fikseeritud ajavahemikku langevate sündmuste arv Poissoni seadust, mistõttu seda nimetatakse ka statsionaarne Poisson. tõenäosus, et teatud aja jooksul τ
juhtuda täpselt m sündmused. Tagajärgede puudumise tingimus (päringud saabuvad üksteisest sõltumatult) on kõige lihtsama voo jaoks hädavajalik. Poissoni jaotus. Tõenäosus, et Tõenäosus, et aja jooksul Mõnikord on süsteemi mugavam analüüsida, võttes arvesse sündmuste vahelisi intervalle T: See on intensiivsusega eksponentsiaalne seadus T matemaatiline ootus ja ruutkeskmine: Järelmõju puudumise omadus võimaldab kõige lihtsama voolu uurimiseks kasutada Markovi kettide aparaati. Tutvustame süsteemi olekuid järgmiselt: loeme süsteemi olekus S olevaks, kui süsteemis on hetkel t S klienti. Määrakem tõenäosus süsteemile, mille oleku määrab ainult päringute saabumine, et hetkel Sarja laiendades saame: Vähemalt ühe taotluse saamise tõenäosus Sarnaseid seoseid saab saavutada rakenduste teenindamise protsessi kaalumisel. Lihtsamaid või neile lähedasi voogusid kohtab praktikas sageli. Piisavalt suure arvu järelmõjuga voolude summeerimisel saadakse järelmõjuga voog. Lihtsaimas voolus ligikaudu 68% väikestest intervallidest Lihtsaima voolu tõenäosuslikul sõelumisel saadakse lihtsaim vool 10. Pidev-stohhastilised mudelid (K-skeem). Ühe kanaliga QS blokeeringuga. Hooneoleku graafik. Seda tüüpi mudelite koostamisel lähtutakse reeglina modelleeritavatest objektidest nagu Queuing Systems (QS). Nii saab kujutada erineva füüsikalise iseloomuga protsesse - majanduslikke, tehnilisi, tootmis- jne. QS-is on kaks stohhastilist protsessi: Teenusetaotluste vastuvõtmine; Rakendusteenus. Sündmuste voog- sündmuste jada, mis toimuvad mingil ajahetkel üksteise järel. QS-is eristame kahte voogu: Sisendvoog: süsteemi sisenevate päringute ajahetkede kogum; Teenuse voog: hetkede kogum, mil süsteem lõpetab päringute töötlemise. Üldjuhul saab elementaarset QS-i esitada järgmiselt teenindusseade I - allikas; O - järjekord; K - teeninduskanal. Ühe kanaliga QS blokeeringuga.
SüsteemM
/
M/
1/
n Vaatleme kahefaasilist süsteemi, mille jaoks P-skeemide uurimisel eeldasime deterministlikku sisendit ja sõelutud teenusevoogu. Nagu varemgi, FIFO teenindusdistsipliin koos allika blokeerimisega. Staatus – taotluste arv süsteemis. Täiesti võimalik n+3
ütleb: 0 kuni n+2
. Tähistage Samamoodi + 1- Võrrandisüsteem: juures Pidades silmas voogude statsionaarsust, on meil: Samamoodi ka süsteemi teiste ridade puhul. Lõpuks on meil: Saadakse algebraliste võrrandite süsteem. Teisendame selle, alustades teisest ja lõpetades eelviimasega - saame uue võrrandi, lisades vana uuele eelmisele. Selle tulemusena langeb uus eelviimane võrrand kokku vana viimase võrrandiga: Tähistage Kasutame normaliseerimisvõrrandit See on geomeetrilise progressiooni summa: Keskmine teenindusaeg rakendusi9. Lihtsaim vool, selle omadused ja tähendus sm uurimisel.
→0 on lõpmata väike väärtus võrreldes ühe sündmuse esinemise tõenäosusega sellel intervallil.
üritust ei toimu 
toimub vähemalt üks sündmus 
.
süsteem jääb samasse olekusse. Ilmselt määrab selle tõenäosuse asjaolu, et intervalli jaoks 
avaldusi ei laeku 
(S=0, 1, 2…)
Arvestame, et nüüd on sisendvoo intensiivsusega Poisson 
, ja teenusevoog on Poissoni intensiivsusega 
.
- tulemise tõenäosus 
i rakendused;
- teenindamise tõenäosus 
i rakendused.
tavalist silmas pidades
=
+
ja 
- oleku tõenäosused.
saame
ja 
,
i=0, 1,…n+1
,
;
;
