На практиці досить часто зустрічаються одноканальні СМО з чергою (лікар, який обслуговує пацієнтів; телефон-автомат з однією будкою; ЕОМ, що виконує замовлення користувачів). В теорії масового обслуговуванняодноканальні СМО із чергою також займають особливе місце (саме до таких СМО належить більшість отриманих досі аналітичних формул для немарківських систем). Тому ми приділимо одноканальній СМО із чергою особливу увагу.
Нехай є одноканальна СМО з чергою, на яку не накладено жодних обмежень (ні за довжиною черги, ні за часом очікування). На цю СМО надходить потік заявок з інтенсивністю? потік обслуговування має інтенсивність μ, зворотну середньому часу обслуговування заявки tоб. Потрібно знайти фінальні ймовірності станів СМО, а також характеристики її ефективності:
Lсист - середня кількість заявок у системі,
Wсист - середній час перебування заявки у системі,
Lоч - середня кількість заявок у черзі,
Woч - середній час перебування заявки у черзі,
Рзан - ймовірність того, що канал зайнятий (ступінь завантаження каналу).
Що ж до абсолютної пропускної спроможності А і відносної Q, то обчислювати їх немає потреби: через те, що черга необмежена, кожна заявка рано чи пізно буде обслужена, тому А=λ, з тієї причини Q = 1.
Рішення. Стан системи, як і раніше, будемо нумерувати за кількістю заявок, що знаходяться в СМО:
S0 - канал вільний,
S1 - канал зайнятий (обслуговує заявку), черги немає,
S2 - канал зайнятий, одна заявка стоїть у черзі,
Sk – канал зайнятий, k – 1 заявок стоять у черзі.
Теоретично кількість станів нічим не обмежена (нескінченно). Граф станів має вигляд, показаний на рис. 4.11. Це - схема загибелі та розмноження, але з нескінченним числом станів. За всіма стрілками потік заявок з інтенсивністю λ переводить систему зліва направо, а праворуч наліво - потік обслуговувань з інтенсивністю μ.
Рис. 4.11. Граф станів СМО у вигляді схеми загибелі та розмноження з нескінченним числом станів
Насамперед запитаємо себе, а чи існують у цьому випадку фінальні ймовірності? Адже кількість станів системи нескінченна, і, в принципі, при черзі t→∞ може необмежено зростати! Так, так воно і є: фінальні ймовірності для такої СМО існують не завжди, а лише коли система не перевантажена. Можна довести, що якщо строго менше одиниці (р<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!
Але повернемося до нашої одноканальної СМО із необмеженою чергою. Строго кажучи, формули для фінальних ймовірностей у схемі загибелі та розмноження виводилися нами тільки для випадку кінцевого числа станів, але скористаємося ними і для нескінченного стану. Підрахуємо фінальні ймовірності станів за формулами (4.21), (4.20). У нашому випадку кількість доданків у формулі (4.21) буде нескінченною. Отримаємо вираз для р0:
звідкиІмовірності р1, р2, ..., рk, ... знайдуться за формулами:
звідки, з урахуванням (4.38), знайдемо остаточно:
p 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk= ρ4(1- ρ), . . . (4.39)
Як бачимо, ймовірності р0, р1, ..., pk, ... утворюють геометричну прогресію зі знаменником р. Як це не дивно, максимальна з них р0 - ймовірність того, що канал взагалі буде вільний. Як би не була навантажена система з чергою, якщо вона взагалі справляється з потоком заявок (р<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.
Знайдемо середню кількість заявок у СМО Lсист. Випадкова величина Z - число заявок у системі - має можливі значення 0, 1, 2, ..., k, ... з ймовірностями р0, р1, p2, ..., рk, ... Її математичне очікування дорівнює
| |
(Сума береться не від 0 до ∞, а від 1 до ∞, так як нульовий член дорівнює нулю).
Підставимо формулу (4.40) вираз для рk (4.39):
Тепер винесемо за знак суми р (1 – р):
Тут ми знову застосуємо «маленьку хитрість»: kpk-1 не що інше, як похідна по р від висловлювання рk; значить,
Змінюючи місцями операції диференціювання та підсумовування, отримаємо:
Ну, а тепер застосуємо формулу Літтла (4.25) і знайдемо середній час перебування заявки у системі:
| |
Знайдемо середню кількість заявок у черзі Lоч. Будемо міркувати так: кількість заявок у черзі дорівнює кількості заявок у системі мінус кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням. Значить (за правилом складання математичних очікувань), середня кількість заявок у черзі Lоч дорівнює середньому числу заявок у системі Lсист мінус середня кількість заявок під обслуговуванням. Число заявок під обслуговуванням може бути або банкрутом (якщо канал вільний), або одиницею (якщо він зайнятий). Математичне очікування такої випадкової величини дорівнює ймовірності того, що канал зайнятий (ми її позначили Рзан). Очевидно, Рзан дорівнює одиниці мінус ймовірність того, що канал вільний:
та остаточно
Таким чином, усі характеристики ефективності СМО знайдені.
Запропонуємо читачеві самостійно вирішити приклад: одноканальна СМО є залізничною сортувальною станцією, на яку надходить найпростіший потік складів з інтенсивністю λ = 2 (складу на годину). Обслуговування (розформування) складу триває випадковий (показовий) час із середнім значенням tоб = 20 (хв.). У парку прибуття станції є два шляхи, на яких можуть очікувати обслуговування склади, що прибувають; якщо обидва шляхи зайняті, склади змушені чекати зовнішніх шляхах. Потрібно знайти (для граничного, стаціонарного режиму роботи станції): середня кількість складів Lсист, пов'язаних зі станцією, середній час Wсист перебування складу при станції (на внутрішніх шляхах, на зовнішніх шляхах і під обслуговуванням), середня кількість Lоч складів, що очікують черги на розформування (Все одно, на яких шляхах), середній час Wоч перебування складу на черзі. Крім того, спробуйте знайти середню кількість складів, що очікують розформування на зовнішніх шляхах Lзовніш і середній час цього очікування Wзовніш (дві останні величини пов'язані формулою Літтла). Нарешті, знайдіть сумарний добовий штраф Ш, який доведеться заплатити станції за простої потягів на зовнішніх шляхах, якщо за одну годину простою одного потягу станція сплачує штраф а (руб.). Про всяк випадок повідомляємо відповіді: Lcіст = 2 (складу), Wсист = i (година), Lоч = 4/3 (складу), Wоч = 2/3 (години), Lзовніш = 16/27 (складу), Wзовніш = 8 /27 ≈ 0,297 (години). Середній добовий штраф за очікування складів на зовнішніх шляхах отримаємо, перемножуючи середню кількість складів, що прибувають на станцію за добу, середній час очікування складу на зовнішніх шляхах і годинний штраф а: Ш ≈ 14,2а.
операції чи ефективності системи масового обслуговування є такі.Для СМО з відмовами:
Для СМО з необмеженим очікуваннямяк абсолютна, так і відносна пропускна здібності втрачають сенс, так як кожна заявка, що надійшла, рано чи пізно буде обслужена. Для таких СМО важливими показниками є:
Для СМО змішаного типувикористовуються обидві групи показників: як відносна та абсолютна пропускна здатність, і характеристики очікування.
Залежно від мети операції масового обслуговування будь-який із наведених показників (або сукупність показників) може бути обраний як критерій ефективності.
Аналітичною моделлюСМО є сукупність рівнянь або формул, що дозволяють визначати ймовірність станів системи у процесі її функціонування та розраховувати показники ефективності за відомими характеристиками вхідного потокута каналів обслуговування.
Загальної аналітичної моделі для довільної СМО немає. Аналітичні моделі розроблені для обмеженої кількості окремих випадків СМО. Аналітичні моделі, що більш-менш точно відображають реальні системи, як правило, складні та важкооглядні.
Аналітичне моделювання СМО суттєво полегшується, якщо процеси, що протікають у СМО, марківські (потоки найпростіших заявок, часи обслуговування розподілені експоненційно). В цьому випадку всі процеси в СМО можна описати звичайними диференціальними рівняннями, а в граничному випадку, для стаціонарних станів - лінійними рівняннями алгебри і, вирішивши їх, визначити обрані показники ефективності.
Розглянемо приклади деяких СМО.
2.5.1. Багатоканальна СМО з відмовами
Приклад 2.5. Три автоінспектори перевіряють дорожні листи у водіїв вантажних автомобілів. Якщо хоча б один інспектор вільний, вантажівку, що проїжджає, зупиняють. Якщо всі інспектори зайняті, вантажівка, не затримуючись, проїжджає повз. Потік вантажівок найпростіший, час перевірки випадковий з експонентним розподілом.
Таку ситуацію можна моделювати триканальним СМО з відмовами (без черги). Система розімкнена, з однорідними заявками, однофазна, з абсолютно надійними каналами.
Опис станів:
Усі інспектори вільні;
Зайнятий один інспектор;
Зайняті два інспектори;
Зайнято трьох інспекторів.
Граф станів системи наведено на рис. 2.11.
Рис. 2.11.
На графі: - Інтенсивність потоку вантажних автомобілів; - Інтенсивність перевірок документів одним автоінспектором.
Моделювання проводиться з метою визначення частини автомобілів, які не будуть перевірені.
Рішення
Шукана частина ймовірності – ймовірності зайнятості всіх трьох інспекторів. Оскільки граф станів представляє типову схему " загибелі та розмноження " , то знайдемо , використовуючи залежності (2.2).
Пропускну здатність цієї посади автоінспекторів можна характеризувати відносною пропускною здатністю:
Приклад 2.6. Для прийому та обробки донесень від розвідгрупи у розвідвідділі об'єднання призначено групу у складі трьох офіцерів. Очікувана інтенсивність потоку донесень - 15 донесень на годину. Середній час обробки одного повідомлення одним офіцером - . Кожен офіцер може приймати повідомлення від будь-якої розвідгрупи. Офіцер, що звільнився, обробляє останнє з донесень, що надійшли. Донесення, що надходять, повинні оброблятися з ймовірністю не менше 95%.
Визначити, чи достатньо призначеної групи із трьох офіцерів для виконання поставленого завдання.
Рішення
Група офіцерів працює як СМО з відмовами, що складається із трьох каналів.
Потік донесень з інтенсивністю 
можна вважати найпростішим, тому що він сумарний від кількох розвідгруп. Інтенсивність обслуговування 
. Закон розподілу невідомий, але це несуттєво, оскільки показано, що з систем з відмовими може бути довільним.
Опис станів та граф станів СМО будуть аналогічні наведеним у прикладі 2.5.
Оскільки граф станів - це схема "загибелі та розмноження", то для неї є готові вирази для граничних ймовірностей стану:
Ставлення називають наведеною інтенсивністю потоку заявок. Фізичний зміст її наступний: величина є середнім числом заявок, які приходять до СМО за середній час обслуговування однієї заявки.
У прикладі 
.
У аналізованої СМО відмова настає при зайнятості всіх трьох каналів, тобто . Тоді:
Так як ймовірність відмовиу обробці донесень становить понад 34 % (), необхідно збільшити особовий склад групи. Збільшимо склад групи вдвічі, тобто СМО матиме тепер шість каналів, і розрахуємо:
Таким чином, тільки група з шести офіцерів зможе обробляти донесення, що надходять, з ймовірністю 95 %.
2.5.2. Багатоканальна СМО з очікуванням
Приклад 2.7. На ділянці форсування річки є 15 однотипних переправних засобів. Потік надходження техніки на переправу в середньому становить 1 од./хв, середній час переправи однієї одиниці техніки – 10 хв (з урахуванням повернення назад переправного засобу).
Оцінити основні характеристики переправи, у тому числі ймовірність негайної переправи відразу після прибуття одиниці техніки.
Рішення
Абсолютна пропускна спроможність, тобто все, що підходить до переправи, відразу практично переправляється.
Середня кількість працюючих переправних засобів:
Коефіцієнти використання та простою переправи:
Для вирішення прикладу було також розроблено програму. Інтервали часу надходження техніки на переправу, час переправи прийнято розподіленими за експонентним законом.
Коефіцієнти використання переправи після 50 прогонів практично збігаються: 
.
Максимальна довжина черги 15 од., середній час перебування у черзі близько 10 хв.
Розглянемо багатоканальну СМО (п> 1), на вхід якої надходить пуасонівський потікзаявок з інтенсивністю а інтенсивність обслуговування кожного каналу становить р, максимально можлива кількість місць у черзі обмежена величиною т.Дискретні стани СМО визначаються кількістю заявок, що надійшли до системи, які можна записати:
Sq - всі канали вільні, k = 0;
S -зайнятий лише один канал (будь-який), k = 1;
*5*2 - зайняті лише два канали (будь-яких), k = 2;
S n- зайняті всі пканалів, k = п.
Поки СМО перебуває у будь-якому з цих станів, черги немає. Після того, як зайняті всі канали обслуговування, наступні заявки утворюють чергу, тим самим визначаючи подальший стан системи:
S n + -зайняті всі пканалів та одна заявка стоїть у черзі, k = п + 1;
S n +2 - зайняті всі пканалів та дві заявки стоять у черзі, k = п + 2;
S n+m -зайняті всі пканатів і все тмісць у черзі, k = n+m.
Граф станів і-канальної СМОз чергою,обмеженою тмісцями представлений на рис. 5.18.
Перехід СМО в стан з великими номерами визначається потоком заявок, що надходять, з інтенсивністю
Рис. 5.18
тоді як за умовою в обслуговуванні цих заявок беруть участь поднакових каналів з інтенсивністю потоку обслуговування, що дорівнює р для кожного каналу. При цьому повна інтенсивність потоку обслуговування збільшується з підключенням нових каналів аж до такого стану. S n ,коли всі пканалів виявляться зайнятими З появою черги інтенсивність обслуговування більше не збільшується, оскільки вона досягла максимального значення, рівного пх.
Запишемо вирази для граничних ймовірностей станів
Вираз для ро можна перетворити, використовуючи формулу геометричної прогресії для суми членів із знаменником р /п:
Утворення черги можливе, коли заявка, що знову надійшла, застане в системі не менше пвимог, тобто. коли в системі буде перебувати п, п + 1, п + 2, (п + т- 1) вимог. Ці події незалежні, тому ймовірність того, що всі канали зайняті, дорівнює сумі відповідних ймовірностей р ю Рп+ьРп+2 > ->Рп+т- 1- Тому ймовірність утворення черги дорівнює
Імовірність відмови в обслуговуванні настає тоді, коли всі пканалів і все тмісць у черзі зайняті
Відносна пропускна здатність дорівнюватиме
Абсолютна пропускна спроможність
Середня кількість зайнятих каналів
Середня кількість каналів, що простоюють.
Коефіцієнт зайнятості (використання) каналів
Коефіцієнт простою каналів
Середня кількість заявок, що знаходяться у чергах,
у разі якщо р/п = 1, ця формула набуває іншого вигляду:
Середній час очікування у черзі визначається формулами Літтла 
Середній час перебування заявки в СМО, як і для одноканальної СМО, більший за середній час очікування в черзі на середній час обслуговування, що дорівнює 1/р, оскільки заявка завжди обслуговується лише одним каналом:
Приклад 5.21. До мінімаркету надходить потік покупців з інтенсивністю шість покупців за хвилину, яких обслуговують три контролери-касири з інтенсивністю два покупці за хвилину. Довжина черги обмежена п'ятьма покупцями. Визначте характеристики СМО та дайте оцінку її роботі.
Рішення
п = 3; т = 5; X =6; р = 2; р =Х/г = 3; р/п = 1.
Знаходимо граничні ймовірності станів СМО:
Частка простою контролерів-касирів
Імовірність того, що зайнятий обслуговуванням лише один канал,
Імовірність того, що зайняті обслуговуванням два канали,
Імовірність того, що зайняті всі три канали,
Імовірність того, що зайняті всі три канали та п'ять місць у черзі,
Імовірність відмови в обслуговуванні настає при k = т + п = = 5 + 3 = 8 і становить р$ = р ВТК = 0,127.
Відносна та абсолютна пропускні здібності СМО відповідно рівні Q = 1 - р відк= 0,873 та Л = 0,873А. = 5,24 (покупця/хв).
Середня кількість зайнятих каналів та середня довжина черги рівні:
Середній час очікування в черзі перебування в СМО відповідно дорівнює:
Система обслуговування мінімаркету заслуговує на високу оцінку, оскільки середня довжина черги, середній час перебування покупця в черзі становлять малі величини.
Приклад 5.22. На плодоовочеву базу в середньому через 30 хв прибувають автомашини з плодоовочевою продукцією. Середній час розвантаження однієї машини становить 1,5 год. Розвантаження роблять дві бригади вантажників. На території бази у дебаркадера можуть перебувати в черзі, чекаючи розвантаження не більше чотирьох автомашин. Визначимо показники та дамо оцінку роботи СМО.
Рішення
СМО двоканальна, п= 2 з обмеженою кількістю місць у черзі m= 4, інтенсивність вхідного потоку л. = 2 авт/год, інтенсивність обслуговування ц = 2/3 авт/год, інтенсивність навантаження р = А./р = 3, р/п = 3/2 = 1,5.
Визначаємо характеристики СМО:
Імовірність того, що всі бригади не завантажені, коли немає машин,
Імовірність відмови, коли під розвантаженням два автомобілі, а в черзі чотири автомобілі,
Середня кількість автомобілів у черзі
Частка часу простою вантажників дуже мала і становить всього 1,58% робочого часу, а ймовірність відмови велика - 36% заявок з числа надійшли одержують відмову в розвантаженні, обидві бригади практично зайняті повністю, коефіцієнт зайнятості близький до одиниці і дорівнює 0,96, відносна пропускна спроможність мала - всього 64% з числа заявок, що надійшли, будуть обслужені, середня довжина черги - 2,6 автомашини, отже, СМОНС справляється з виконанням заявок на обслуговування і необхідно збільшити кількість бригад вантажників і ширше використовувати можливості дебаркадера.
Приклад 5.23. Комерційна фірма отримує але кільцевого завезення ранні овочі з теплиць заміського радгоспу у довільні моменти часу з інтенсивністю 6 од. в день. Підсобні приміщення, обладнання та трудові ресурсидозволяють обробити та зберігати продукцію в обсязі 2 од. У фірмі працюють чотири особи, кожна з яких у середньому може обробити продукцію одного завезення протягом 4 год. Тривалість робочого дня при змінній роботі складає 12 год. Яка має бути ємність складського приміщеннящоб повна обробка продукції була б не менше 97% з числа здійснюваних поставок?
Рішення
Розв'яжемо задачу шляхом послідовного визначення показників СМО для різних значень ємності складського приміщення т= 2, 3, 4, 5 тощо. та порівняння на кожному етапі розрахунків ймовірності обслуговування із заданою величиною р 0 ()С = 0,97.
Визначаємо інтенсивність навантаження:
Знаходимо ймовірність, або час, простою для т = 2:
Ймовірність відмови в обслуговуванні, або частка втрачених заявок,
Імовірність обслуговування, або частка обслужених заявок з числа тих, що надійшли, становить
Оскільки отримана величина менше заданої величини 0,97, то продовжуємо обчислення для т= 3. Для цієї величини показники станів СМО мають значення
Імовірність обслуговування і в цьому випадку менша за задану величину, тому продовжуємо обчислення для наступного т = 4, для якого показники стану мають такі значення: р$ = 0,12; Ротк = 0,028; Pofc = 0,972. Тепер отримана величина ймовірності обслуговування задовольняє умові завдання, оскільки 0,972>0,97, отже, ємність складського приміщення необхідно збільшити до обсягу 4 од.
Для досягнення заданої ймовірностіобслуговування можна підібрати таким же чином оптимальну кількість осіб на обробці овочів, проводячи послідовно обчислення показників СМО для п = 3, 4, 5 і т.д. Компромісний варіант рішення можна знайти шляхом порівняння та зіставлення для різних варіантів організацій СМО витрат, пов'язаних як зі збільшенням числа працюючих, так і зі створенням спеціального технологічного обладнаннята обробці овочів на комерційному підприємстві.
Таким чином, моделі масового обслуговування в поєднанні з економічними методамипостановки завдань дозволяють проводити аналіз існуючих СМО, розробляти рекомендації щодо їх реорганізації для підвищення ефективності роботи, а також визначати оптимальні показники новостворених СМО.
Приклад 5.24. На автомийку в середньому за годину приїжджають дев'ять автомобілів, але якщо в черзі вже знаходяться чотири автомобілі, клієнти, що знову під'їжджають, як правило, не встають у чергу, а проїжджають повз. Середній час миття автомобіля становить 20 хв, а місць для миття всього два. Середня вартість миття автомобіля складає 70 руб. Визначте середню величину втрати виручки автомийки протягом дня.
Рішення
X= 9 авт/год; = 20 хв; п = 2; т = 4.
Знаходимо інтенсивність навантаження 
Визначаємо частку часу простою автомийки
Ймовірність відмови
Відносна пропускна здатність дорівнює Абсолютна пропускна здатність Середня кількість автомобілів у черзі
Середня кількість заявок, що знаходяться в обслуговуванні,
Середній час очікування у черзі
Середній час перебування машини на мийці
Таким чином, 34% заявок не будуть обслужені, втрата за 12 год роботи одного дня становитиме в середньому 2570 руб. (12 * 9 * 0,34 70), тобто. 52% від усієї виручки, оскільки р відк = 0,52 р 0 ^ с.
- відносна пропускна спроможність, або ймовірність обслуговування, абсолютна пропускна спроможність середня кількість зайнятих бригад коефіцієнт зайнятості роботою бригад вантажників
Багатоканальна система масового обслуговування з обмеженою чергою
Нехай на вхід СМО, що має канали обслуговування, надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю. Інтенсивність обслуговування заявки кожним каналом дорівнює, а максимальна кількість місць у черзі дорівнює.
Граф такої системи представлений малюнку 7.
Малюнок 7 - Граф станів багатоканальної СМО з обмеженою чергою
Усі канали вільні, черги немає;
Зайняті lканалів ( l= 1, n), черги немає;
Зайняті всі n каналів, у черзі перебуває iзаявок ( i= 1, м).
Порівняння графів на малюнку 2 і малюнку 7 показує, що остання система є окремим випадком системи народження та загибелі, якщо в ній зробити наступні заміни (ліві позначення відносяться до системи народження та загибелі):
Вирази для фінальних ймовірностей легко знайти з формул (4) та (5). В результаті отримаємо:
Освіта черги відбувається, як у момент вступу до СМО черговий заявки все канали зайняті, тобто. у системі перебувають або n, або (n+1),…, або (n + m - 1) заявок. Т.к. ці події несумісні, то ймовірність утворення черги p оч дорівнює сумі відповідних ймовірностей:
Відмова в обслуговуванні заявки відбувається, коли всі m місць у черзі зайняті, тобто:
Відносна пропускна здатність дорівнює:
Середня кількість заявок, що перебувають у черзі, визначається за формулою (11) і може бути записана у вигляді:
Середня кількість заявок, які обслуговуються в СМО, може бути записана у вигляді:
Середня кількість заявок, що знаходяться в СМО:
Середній час перебування заявки до СМО та в черзі визначається формулами (12) та (13).
Багатоканальна система масового обслуговування з необмеженою чергою
Граф такий СМО зображений малюнку 8 і виходить із графа малюнку 7 при.
Малюнок 8 - Граф станів багатоканальної СМО з необмеженою чергою
Формули для фінальних ймовірностей можна отримати з формул для n-канальної СМО з обмеженою чергою. У цьому слід пам'ятати, що з ймовірність р 0 = р 1 =…= p n = 0, тобто. черга необмежено зростає. Отже, цей випадок практичного інтересу не є і нижче розглядається лише випадок. При з (26) отримаємо:
Формули для інших ймовірностей мають той самий вигляд, що й для СМО з обмеженою чергою:
З (27) отримаємо вираз для ймовірності утворення черги заявок:
Оскільки черга не обмежена, то ймовірність відмови в обслуговуванні заявки:
Абсолютна пропускна спроможність:
З формули (28) при отримаємо вираз для середньої кількості заявок у черзі:
Середня кількість заявок, що обслуговуються, визначається формулою:
Середній час перебування у СМО та в черзі визначається формулами (12) та (13).
Багатоканальна система масового обслуговування з обмеженою чергою та обмеженим часом очікування у черзі
Відмінність такої СМО від СМО, розглянутої в підрозділі 5.5, полягає в тому, що час очікування обслуговування, коли заявка знаходиться в черзі, вважається випадковою величиною, розподіленою за показовим законом з параметром, де середній час очікування заявки в черзі, а має сенс інтенсивності потоку догляду заявок із черги. Граф такий СМО зображений малюнку 9.
Малюнок 9 - Граф багатоканальної СМО з обмеженою чергою та обмеженим часомочікування у черзі
Інші позначення мають тут той самий зміст, що й у підрозділі.
Порівняння графів на рис. 3 і 9 показує, що остання система є окремим випадком системи народження та загибелі, якщо в ній зробити наступні заміни (ліві позначення відносяться до системи народження та загибелі):
Вирази для фінальних ймовірностей легко знайти з формул (4) та (5) з урахуванням (29). В результаті отримаємо:
де. Імовірність утворення черги визначається формулою:
Відмова у обслуговуванні заявки відбувається, коли всі m місць у черзі зайняті, тобто. ймовірність відмови в обслуговуванні:
Відносна пропускна спроможність:
Абсолютна пропускна спроможність:
Середня кількість заявок, що перебувають у черзі, знаходиться за формулою (11) і дорівнює:
Середня кількість заявок, що обслуговуються в СМО, знаходиться за формулою (10) і дорівнює:
На практиці досить часто зустрічаються одноканальні СМО з чергою (лікар, який обслуговує пацієнтів; телефон-автомат з однією будкою; ЕОМ, що виконує замовлення користувачів). Теоретично масового обслуговування одноканальні СМО з чергою також займають особливе місце (саме до таких СМО належить більшість отриманих досі аналітичних формул для немарківських систем). Тому ми приділимо одноканальній СМО із чергою особливу увагу.
Нехай є одноканальна СМО з чергою, на яку не накладено жодних обмежень (ні за довжиною черги, ні за часом очікування). Цю СМО надходить потік заявок з інтенсивністю X; потік обслуговування має інтенсивність, зворотну середньому часу обслуговування заявки Потрібно знайти фінальні ймовірності станів СМО, а також характеристики її ефективності:
Середня кількість заявок у системі,
Середній час перебування заявки у системі,
Середня кількість заявок у черзі,
Середній час перебування заявки у черзі,
Імовірність того, що канал зайнятий (ступінь завантаження каналу).
Що стосується абсолютної пропускної спроможності А та відносної Q, то обчислювати їх немає потреби: в силу того, що черга необмежена, кожна заявка рано чи пізно буде обслужена, тому з тієї ж причини
Рішення. Стан системи, як і раніше, будемо нумерувати за кількістю заявок, що знаходяться в СМО:
Канал вільний,
Канал зайнятий (обслуговує заявку), черги немає,
Канал зайнятий, одна заявка стоїть у черзі,
Канал зайнятий, заявок стоять у черзі,
Теоретично кількість станів нічим не обмежена (нескінченно). Граф станів має вигляд, показаний на рис. 20.2. Це - схема загибелі та розмноження, але з нескінченним числом станів. За всіма стрілками потік заявок з інтенсивністю А переводить систему зліва направо, а праворуч наліво - потік обслуговування з інтенсивністю
Насамперед спитаємо себе, а чи існують у цьому випадку фінальні ймовірності? Адже кількість станів системи нескінченна, і, в принципі, при черзі може необмежено зростати! Так, так воно і є: фінальні ймовірності для такої СМО існують не завжди, а лише коли система не перевантажена. Можна довести, що якщо строго менше одиниці, то фінальні ймовірності існують, а при черзі при зростає необмежено. Особливо «незрозумілим» здається цей факт при Здавалося б, до системи не пред'являється нездійсненних вимог: за час обслуговування однієї заявки приходить в середньому одна заявка, і все має бути в порядку, а от насправді – не так.
При СМО справляється з потоком заявок, тільки якщо цей потік - регулярний, і час обслуговування - теж не випадковий, рівний інтервалу між заявками. У цьому «ідеальному» випадку черги в СМО взагалі не буде, канал буде безперервно зайнятий і регулярно випускатиме обслужені заявки. Але варто лише потоку заявок або потоку обслуговувань стати хоча б трохи випадковими - і черга вже зростатиме до нескінченності. На практиці цього не відбувається лише тому, що «нескінченна кількість заявок у черзі» – абстракція. Ось яких грубих помилок може призвести заміна випадкових величин їх математичними очікуваннями!
Але повернемося до нашої одноканальної СМО із необмеженою чергою. Строго кажучи, формули для фінальних ймовірностей у схемі загибелі та розмноження виводилися нами лише для випадку кінцевого числа станів, але дозволимо собі вільність – скористаємося ними і для нескінченного числа станів. Підрахуємо фінальні ймовірності станів за формулами (19.8), (19.7). У разі число доданків у формулі (19.8) буде нескінченним. Отримаємо вираз для
Ряд у формулі (20.11) є геометричною прогресією. Ми знаємо, що при ряд сходиться - це нескінченно спадна геометрична прогресія зі знаменником. При ряд розходиться (що непрямим, хоча й суворим доказом те, що фінальні ймовірності станів існують лише за ). Тепер припустимо, що ця умова виконана, і підсумовуючи прогресію в (20.11), маємо
(20.12)
Імовірності знайдуться за формулами:
звідки, з урахуванням (20.12), знайдемо остаточно:
Як видно, ймовірності утворюють геометричну прогресію із знаменником. Як це не дивно, максимальна з них - ймовірність того, що канал взагалі буде вільний. Як би не була навантажена система з чергою, якщо вона взагалі справляється з потоком заявок найімовірніше число заявок у системі буде 0.
Знайдемо середню кількість заявок у СМО. Тут доведеться трохи повозитися. Випадкова величина Z – число заявок у системі – має можливі значення з ймовірностями
Її математичне очікування одно
(20.14)
(Сума береться не від 0 до а від 1 до так як нульовий член дорівнює нулю).
Підставимо у формулу (20.14) вираз для
Тепер винесемо за знак суми:
Тут ми знову застосуємо «маленьку хитрість»: є не що інше, як похідна пір від висловлювання означає,
Змінюючи місцями операції диференціювання та підсумовування, отримаємо:
Але сума у формулі (20.15) є не що інше, як сума нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом і знаменником; ця сума дорівнює а її похідна. Підставляючи цей вираз (20.15), отримаємо:
(20.16)
Ну, а тепер застосуємо формулу Літтла (19.12) та наймемо середній час перебування заявки в системі:
Знайдемо середню кількість заявок у черзі Будемо міркувати так: кількість заявок у черзі дорівнює кількості заявок у системі мінус кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням. Значить (за правилом складання математичних очікувань), середня кількість заявок у черзі дорівнює середньому числу заявок у системі мінус середня кількість заявок під обслуговуванням. Число заявок під обслуговуванням може бути або банкрутом (якщо канал вільний), або одиницею (якщо він зайнятий). Математичне очікування такої випадкової величини дорівнює ймовірності того, що канал зайнятий (ми її позначили). Очевидно, одно одиниці мінус ймовірність того, що канал вільний;
Отже, середня кількість заявок під обслуговуванням дорівнює
