Порівняльний аналіз ефективності найпростіших систем масового обслуговування. Теорія масового обслуговування До показників ефективності використання смо ставляться

30.05.2020 Безготівкові

Система масового обслуговуванняскладається з таких елементів (рисунок 5.6).

1 - вхідний потіквимог ω( t) - сукупність вимог до СМО на проведення певних робіт (заправка, миття, ТО та ін.) або надання послуг (купівля виробів, деталей, матеріалів та ін.). Вхідний потік вимог може бути постійним та змінним.

Вимоги бувають однорідні (однакові види робіт чи послуг) та неоднорідні ( різні видиробіт чи послуг).

2 - черга –вимоги, що очікують на обслуговування. Черга оцінюється середньою довжиною r– числом об'єктів чи клієнтів, які очікують обслуговування.

Рисунок 5.6 – Загальна схема системи масового обслуговування

3 - обслуговуючі апарати(Канали обслуговування) - сукупність робочих місць, виконавців, обладнання, що здійснюють обслуговування вимог за певною технологією.

4 -вихідний потік вимогω’( t) – потік вимог, що пройшли СМО. У загальному випадку вихідний потік може складатися із вимог обслужених та необслужених. Приклад необслужених вимог: відсутність потрібної деталі автомобіля, що у ремонті.

5- замикання(можливе) СМО – стан системи, у якому вхідний потік вимог залежить від вихідного.

на автомобільному транспортіпісля обслуговування вимог (ТО, ремонт) автомобіль має бути технічно справним.

Системи масового обслуговування класифікуються в такий спосіб.

1 За обмеженнями на довжину черги:

СМО з втратами – вимога залишає СМО необслуженим, якщо на момент його надходження всі канали зайняті;

СМО без втрат - вимога займає чергу, навіть якщо всі канали
зайняті;

СМО з обмеженнями за довжиною черги mабо часу очікування: якщо існує обмеження на чергу, то знову надійшло ( m+1)-е вимога вибуває із системи необслуженим (наприклад, обмежена ємність накопичувального майданчика перед АЗС).

2 За кількістю каналів обслуговування п:

Одноканальні: n=1;

Багатоканальні n≥2.

3 За типом обслуговуючих каналів:

Однотипні (універсальні);

Різнотипні (спеціалізовані).

4 По порядку обслуговування:

Однофазові - обслуговування проводиться на одному апараті (посту);

Багатофазові – вимоги послідовно проходять кілька апаратів обслуговування (наприклад, потокові лінії ТО; конвеєрне складання автомобіля; лінія зовнішнього догляду: прибирання → миття → обсушування → полірування).

5 За пріоритетністю обслуговування:

Без пріоритету – вимоги обслуговуються у порядку їх надходження на СМО;

З пріоритетом – вимоги обслуговуються залежно від присвоєного їм під час надходження рангу пріоритетності (наприклад, заправка автомобілів швидкої допомоги на АЗС; першочерговий ремонт на АТП автомобілів, які приносять найбільший прибуток на перевезеннях).

6 За величиною вхідного потоку вимог:

З необмеженим вхідним потоком;

З обмеженим вхідним потоком (наприклад, у разі попереднього запису на певні види робіт та послуг).

7 За структурою СМО:

Замкнуті – вхідний потік вимог за інших рівних умов залежить від кількості раніше обслужених вимог (комплексне АТП, що обслуговує лише свої автомобілі ( 5 на малюнку 5.6));

Відкриті – вхідний потік вимог не залежить від кількості раніше обслуговуваних: АЗС загального користування, магазин з продажу запасних частин.

8 По взаємозв'язку обслуговуючих апаратів:

З взаємодопомогою – пропускна здатність апаратів непостійна і залежить від зайнятості інших апаратів: бригадне обслуговування кількох постів СТО; використання «ковзаючих» робітників;

Без взаємодопомоги – пропускна здатність апарату залежить від роботи інших апаратів СМО.

Щодо технічної експлуатації автомобілів знаходять поширення замкнуті та відкриті, одно- та багатоканальні СМО, з однотипними або спеціалізованими обслуговуючими апаратами, з одно- або багатофазовим обслуговуванням, без втрат або з обмеженням на довжину черги або на час перебування в ній.

Як показники ефективності роботи СМО використовують наведені нижче параметри.

Інтенсивність обслуговування

де - параметр потоку вимог.

показує кількість вимог, які у одиницю часу, тобто.

A=ω g,

(5.13)

де g- .

Відносна пропускна здатністьвизначає частку обслужених вимог від їх загальної кількості.

Імовірність того,що всі пости вільні Р 0 , характеризує такий стан системи, у якому всі об'єкти справні не вимагають проведення технічних впливів, тобто. вимоги відсутні.

Ймовірність відмови в обслуговуванні Рвідк має сенс для СМО з втратами та з обмеженням по довжині черги або часу перебування в ній. Вона вказує на частку «втрачених» для системи вимог.

Роч визначає такий стан системи, при якому всі обслуговуючі апарати зайняті, і наступна вимога «встає» в чергу з кількістю очікуваних вимог r.

Залежності визначення названих параметрів функціонування СМО визначаються її структурою.

де nзан - .

Час зв'язку вимоги із системою:

СМО із втратами

tсист = gtд;

(5.16)

СМО без втрат

tсист = tд + tож.

(5.17)

І=З 1 r+З 2 nсн + ( З 1 +C 2)ρ,

(5.18)

де З 1 - вартість простою автомобіля у черзі;

r- Середня довжина черги;

З 2 - вартість простою обслуговуючого каналу;

nсн - кількість простоюючих (вільних) каналів;

tож - середній час перебування у черзі.

Через випадковість вхідного потоку вимог і тривалості їх виконання завжди є якась середня кількість автомобілів, що простоюють. Тому потрібно так розподілити кількість обслуговуючих апаратів (постів, робочих місць, виконавців) за різними підсистемами, щоб І = min. Цей клас завдань має справу з дискретним зміною параметрів, оскільки кількість апаратів може змінюватися лише дискретним чином. Тому при аналізі системи забезпечення працездатності автомобілів використовуються методи дослідження операцій, теорії масового обслуговування, лінійного, нелінійного та динамічного програмування та імітаційного моделювання.

приклад.Станція технічне обслуговуваннямає один пост діагностування ( п= 1). Довжина черги обмежена двома автомобілями ( т= 2). Визначити параметри ефективності роботи діагностичного посту, якщо інтенсивність потоку вимог на діагностування в середньому А=2 треб./ч, тривалість діагностування tд = 0,4 год.

Інтенсивність діагностування μ=1/0,4=2,5.

Наведена густина потоку ρ=2/2,5=0,8.

Імовірність того, що піст вільний,

P 0 =(1-ρ)/(1-ρ m +2)=(1-0,8)/(1-0,8 4)=0,339.

Ймовірність утворення черги

Pоч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,339=0,217.

Ймовірність відмови в обслуговуванні

Pвідк = ρ m+1 (1-ρ)/(1-ρ m +2)=0,8 3 (1-0,8)/(1-0,84)=0,173.

Відносна пропускна спроможність

g=1-Pвідк = 1-0,173 = 0,827.

Абсолютна пропускна спроможність

А=2 0,827=1,654 треб./ч.

Середня кількість зайнятих постів або ймовірність завантаження посту

nзан =(ρ-ρ m+2)/(1-ρ m +2)=(0,8-0,8 4)/(1-0,8 4)=0,661=1-P 0 .

Середня кількість вимог, що знаходяться у черзі,

Середній час знаходження вимоги у черзі

tож = r/ω=0,564/2=0,282 год.

приклад.на автотранспортне підприємствоє один пост діагностування ( п= 1). У даному випадкудовжина черги практично необмежена. Визначити параметри ефективності роботи діагностичного поста, якщо вартість простою автомобілів у черзі становить З 1 = 20 ре (розрахункових одиниць) за зміну, а вартість простою постів З 2 = 15 ре Інші вихідні дані ті ж, що й для попереднього прикладу.

Імовірність того, що піст вільний

P 0 = 1-ρ = 1-0,8 = 0,2.

Ймовірність утворення черги

Pоч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,2=0,128.

Відносна пропускна спроможність g=1, оскільки всі намічені автомобілі пройдуть через діагностичну посаду.

Абсолютна пропускна спроможність А=ω=2 треб./ч.

Середня кількість зайнятих постів nзан = ρ = 0,8.

r= ρ 2 / (1-ρ) = 0,8 2 / (1-0,8) = 3,2.

Середній час очікування у черзі

tож = ρ 2 / (1-ρ) / μ = 0,8 2 / (1-0,8) / 2,5 = 1,6.

Недоліки від функціонування системи

І=З 1 r+З 2 nсн + ( З 1 +C 2)ρ=20 3,2+15 0,2+(20+15) 0,8=95,0 ре/зміну.

приклад.На тому автотранспортному підприємстві кількість постів діагностування збільшено до двох ( n=2), тобто. створено багатоканальну систему. Так як для створення другого посту необхідні капіталовкладення (площі, обладнання тощо), то ціна простою засобів обслуговування збільшується до С’ 1 = 22 ре. Визначити параметри ефективності роботи системи діагностування. Інші вихідні дані ті ж, що для попереднього прикладу.

Інтенсивність діагностування та наведена щільність потоку залишаються тими самими: μ=2,5, ρ=0,8.

Імовірність того, що обидва пости вільні,

Р 0 =1:
=0,294.

Ймовірність утворення черги

Pоч =ρ n Р 0 /n!=0,8 2 0,294/2=0,094,

тобто. на 37% нижче, ніж у попередньому прикладі.

Відносна пропускна спроможність g=1, оскільки всі автомобілі пройдуть через діагностичні пости.

Абсолютна пропускна спроможність А=2 треб./ч.

Середня кількість зайнятих постів nзан = ρ = 0,8.

Середня кількість вимог, що перебувають у черзі,

r=ρ Pоч /( n-ρ) = 0,8 2 0,094 / (2-0,8) = 0,063.

Середній час перебування у черзі

tож = Pоч /( n-ρ)/μ=0,094/(2-0,8)/2,5=0,031.

Недоліки від функціонування системи

І=З 1 r+З 2 nсн + ( З 1 +C 2)ρ=20 0,063+22 1,2+(20+22) 0,8=61,26 ре/зміну,

тобто. в 1,55 рази нижче, ніж за тих же умов для одного діагностичного посту, головним чином за рахунок скорочення черги автомобілів на діагностику та часу очікування автомобілів більш ніж у 50 разів. Отже, будівництво другого діагностичного посту в умовах доцільно. Використовуючи формулу (5.18) із умови І 1 =І 2 , можна оцінити граничні значення ціни простою засобів обслуговування при будівництві та оснащенні другого діагностичного посту, що у розглянутому прикладі становить C 2 ін =39 ре.

Теорія СМО присвячена розробці методів аналізу, проектування та раціональної організації систем, що належать до різних галузей діяльності, таких як зв'язок, обчислювальна техніка, торгівля, транспорт, військова справа. Незважаючи на всю свою різноманітність, наведені системи мають ряд типових властивостей, а саме.

СМО (системи масового обслуговування) – це моделі систем, в які у випадкові моменти часу ззовні чи зсередини надходять заявки (вимоги). Вони повинні тим чи іншим чином обслуговуватися системою. Тривалість обслуговування найчастіше випадкова.
СМО є сукупністьобслуговуючого обладнанняі персоналуза відповідної організації процесу обслуговування.
Задати СМО - це означає задати її структуру та статистичніхарактеристики послідовності надходження заявок та послідовності їх обслуговування.

Завдання аналізу СМОполягає у визначенні низки показників її ефективності, які можна поділити на такі групи:

показники, що характеризують систему загалом:число nзайнятих каналів обслуговування, кількість обслужених (λ b), які чекають на обслуговування або отримали відмову заявок (λ c) в одиницю часу тощо;
імовірнісні характеристики: ймовірність того, що заявку буде обслуговано ( Pобс) або отримає відмову в обслуговуванні ( Pвідк), що всі прилади вільні ( p 0) або певна кількість їх зайнята ( p k), ймовірність наявності черги тощо;
економічні показники: вартість втрат, пов'язаних з відходом не обслуженої з тих чи інших причин заявки із системи, економічний ефектотриманий в результаті обслуговування заявки і т.д.

Частина технічних показників (перші дві групи) характеризують систему з погляду споживачів, інша частина – характеризує систему з погляду її експлуатаційних властивостей. Часто вибір перерахованих показників може покращувати експлуатаційні властивості системи, але погіршувати систему з погляду споживачів і навпаки. Використання економічних показниківдозволяє вирішити зазначену суперечність та оптимізувати систему з урахуванням обох точок зору.
У ході виконання домашньої контрольної роботививчаються найпростіші СМО. Це системи розімкнутого типу, нескінченне джерело заявок до системи не входить. Вхідний потік заявок, потоки обслуговування та очікування цих систем є найпростішими. Пріоритети відсутні. Системи однофазні.

Багатоканальна система з відмовами

Система складається з одного вузла обслуговування, що містить n каналів обслуговування, кожен з яких може обслуговувати лише одну заявку.
Усі канали обслуговування однакової продуктивності і моделі системи нерозрізняються. Якщо заявка надійшла до системи та застала хоча б один канал вільним, вона миттєво починає обслуговуватися. Якщо на момент надходження заявки у систему всі канали зайняті, то заявка залишає систему не обслуженной.

Змішані системи

Система з обмеженням на довжину черги .
Складається з накопичувача (черги) та вузла обслуговування. Заявка залишає чергу і йде з системи, якщо в накопичувачі на момент її появи вже знаходяться m заявок (m – максимально можливе число місць у черзі). Якщо заявка надійшла в систему і застала хоча б один канал вільним, вона миттєво починає обслуговуватися. Якщо в момент надходження заявки до системи всі канали зайняті, то заявка не залишає систему, а посідає місце у черзі. Заявка залишає систему не обслуженою, якщо на момент її надходження до системи зайняті всі канали обслуговування та всі місця у черзі.
Для кожної системи визначається дисципліна черги. Це система правил, визначальних порядок надходження заявок із черги у вузол обслуговування. Якщо всі заявки та канали обслуговування рівнозначні, то найчастіше діє правило «хто раніше прийшов, той раніше обслуговується».
Система з обмеженням на тривалість перебування заявки у черзі.
Складається з накопичувача (черги) та вузла обслуговування. Від попередньої системи вона відрізняється тим, що заявка, що надійшла в накопичувач (чергу), може очікувати початку обслуговування лише обмежений час Теж(найчастіше це випадкова величина). Якщо її час Тежзакінчилося, то заявка залишає чергу і йде з системи не обслуженої.

Математичний опис СМО

СМО розглядаються як деякі фізичні системи з дискретними станами х 0, х 1, …, х n,функціонуючі при безперервному часі t. Кількість станів n може бути кінцевою або лічильною (n → ∞). Система може переходити з одного стану х i (i = 1, 2, …, n) в інший х j (j= 0, 1,… ,n)у довільний момент часу t. Щоб показати правила таких переходів, використовують схему, яка називається графом станів. Для типів перерахованих вище систем графи станів утворюють ланцюг, в якому кожен стан (крім крайніх) пов'язаний прямим і зворотним зв'язком з двома сусідніми станами. Це схема загибелі та розмноження .
Переходи зі стану до стану відбуваються у випадкові моменти часу. Зручно вважати, що ці переходи відбуваються внаслідок дії якихось потоків(Потоків вхідних заявок, відмов в обслуговуванні заявок, потоку відновлення приладів тощо). Якщо всі потоки найпростіші,те, що протікає в системі випадковий процес з дискретним станом та безперервним часом буде марківським .
Потік подій- це послідовність однотипних подій, які у випадкові моменти часу. Його можна розглядати як послідовність випадкових моментів часу t 1 , t 2 , … Поява подій.
Найпростішимназивають потік, що має наступні властивості:

Ординарність. Події йдуть поодинці (протилежність потоку, де події йдуть групами).
Стаціонарність. Імовірність влучення заданої кількості подій на інтервал часу Тзалежить тільки від довжини інтервалу та не залежить від того, де на осі часу знаходиться цей інтервал.
Відсутність післядії. Для двох неперетинних інтервалів часу 1 і 2 число подій, що потрапляють на один з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на інший інтервал.

У найпростішому потоці інтервали часу Т 1 , Т 2 ,… між моментами t 1 , t 2 , ... Події подій випадкові, незалежні між собою і мають показовий розподіл ймовірностей f(t)=λe -λt , t≥0, λ=const, де λ - параметр показового розподілу, що є одночасно інтенсивністюпотоку і середнє число подій, що відбуваються в одиницю часу. Отже, t =M[T]=1/λ.
Марківські випадкові події описуються звичайними диференціальними рівняннями. Змінними в них є ймовірності станів р 0 (t), p 1 (t), ..., p n (t).
Для дуже великих моментів часу функціонування систем (теоретично при t → ∞) у найпростіших системах (системи, усі потоки в яких – найпростіші, а граф – схема загибелі та розмноження) спостерігається що встановився,або стаціонарнийрежим роботи. У цьому режимі система змінюватиме свій стан, але ймовірність цих станів ( фінальні ймовірності) р до, к = 1, 2, ..., n,не залежать від часу і можуть розглядатись як середній відносний часперебування системи у відповідному стані.

1. Інтенсивність потоку обслуговування заявок

2. Коефіцієнт завантаження СМО

3. Імовірність утворення черги

4. Імовірність відмови системи

5. Пропускна спроможність

6. Середня кількість заявок, що перебувають у черзі

7. Середня кількість заявок, що обслуговуються СМО

8. Середня кількість заявок, які перебувають у СМО

9. Середній час заявки до СМО

10. Середній час перебування заявки у черзі

11. Середня кількість зайнятих каналів.

Судити про якість отриманої системи треба за сов-ти значень показників. При аналізі результатів моделювання важливо звертати увагу інтереси клієнта і власника системи. Зокрема, слід min-ть чи max-ть той чи інший показник.

26. Одноканальна СМО

27. Одноканальна СМО з відмовами

28. Багатоканальна СМО з обмеженою чергою

Параметри СМО:

o Інтенсивність потоку заявок.

o Інтенсивність потоку обслуговування.

o Середнє t обслуговування заявки.

o Кількість каналів обслуговування.

o Дисципліна обслуговування.

< СМО на примере работы АЗС. Несколько одинак. колонок, произв-ть кот.известна. Если колонки заняты, то обслуживание в очереди м. ждать не >3х машин одночасно. Чергу вважаємо загальною. Якщо всі місця в черзі зайняті, машина отримує відмову в обслуговуванні.

29. Транспортне завдання

- широке коло завдань як транспортного хар-ра, розподіл ресурсів, перебуває-ся в дек. постачальників, д/іншого довільного числа споживачів. Д/перевізників найчастіше отн-ся до транспорту:

1. Прив'язка споживачів до ресурсів виробників.

2. Прив'язка до пунктів призначення пунктів відправлення.

3. Взаємоприв'язка вантажопотоку прямого та зворотного напряму.

4. Оптимальний розподіл V випуску промислов. продукції м/в виготов-ми.

< модель привязки к пункту назначения. Известны: пункты отправления и назначения, объемы отправления по к-му пункту, потребность в грузе, стоимость доставки по каждому варианту. Н. оптимальный план перевозок с min транспортными издержками.

30. Тр. завдання закрите- ∑V відправ. грузов= ∑V потреб-ти у цьому вантажі, тобто. ∑ai=∑bj (m – кількість постачальників, n – кількість споживачів).

31 . Якщо ця умова неможлива – відкрита тр. завдання. Тоді її треба привести до закритої:

1. Якщо потреба пунктів призначення перевищує запаси пунктів відправлення, то вводиться фіктивний постачальник з відсутнім V відправлення.

2. Весь запас постачальників > потреби, то введення-сяфікт. споживач.

32. Алгоритм розв'язання задачі методом потенціалів (етапи):

1. Розробка початкового плану(Опорного рішення).

2. Розрахунок потенціалів.

3. Перевірка плану оптимальність.

4. Пошук max ланки не оптимальності (якщо п.3 не виконано)

5. Складання контуру перерозподілу ресурсів.

6. Визначення min ел-та в контурі перераспр-ня і перераспр. ресурсів за контуром.

7. Отримання нового плану.

Ця процедура повторюється кілька разів, доки не буде знайдено оптимальне рішення. Алгоритм залишається незмінним. Методи відшукання початкового плану:

1. Метод С-Зкута

2. Метод min вартості

3. Метод подвійної переваги

Метод потенціалів дозволяє за кінцеве число планів знайти оптимальний. (Метод Фогеля) Метод потенціалів розроблений д/класич. транспорт.задач, але такі зустрічаються рідко, доводиться запроваджувати ряд обмежень.

33. У економіці організації встреч-ся норма завдань, кот.м.б. зведені до транспортного завдання:

1. Від. постачання від опред. постачальників некіт. споживачами д.б. виключені через відсутність необх. ум. зберігання, перевантаження комунікацій тощо.

2. Організація. необх. визна. min ∑витрати на пр-во та транспортування продукції. М. виявитися економічним. вигіднішим доставляти сировину з більш віддал.пунктів, але при<себест-ти. Критерий оптимальности принимает ∑ затрат на пр-во и тран-ку.

3. Ряд трансп. маршрутів мають обмеження щодо пропускної спос-ти.

4. Постачання за визнач. маршрутам обов'язкові та зобов'язати. д. увійти в оптим. план.

5. Економічне завдання не є транспортним. (Пр. – розподіл виробів виробів між підприємствами).

6. Необхідність max-ти цільову ф-ю завдання транспортного типу.

7. Необхідність в те саме t розподілити вантаж різного роду по споживачам – Багатопродуктове транспортне завдання.

8. Доставка вантажів у стислі терміни. (Метод потенціалів не придатний, вирішується за прим. спец. алгоритму).

34. Транспортне завдання у мережному підстановці

Якщо умова транспортної задачі задано у вигляді схеми, на кот. зображені постачальники, споживачі та зв'язки. їх дороги, зазначені величини запасів вантажу та потреб у ньому та показники критерію оптимальності (тарифи, відстані). У вершинах (вузлах) мережі зображують постачальників та споживачів. Запаси вантажу вважають позитивними, а потреби – негативними числами. Ребра (дуги) мережі - дороги. Рішення трансп. Завдання в мережевій постановці засноване на методі потенціалів і поч-ся з побудови початкового опорного плану, який повинен задовольняти вимогам:

1. Усі запаси мають бути розподілені, а споживачі задоволені.

2. Для кожної вершини має бути вказано постачання вантажу (+ або -)

3. Загальна кількість поставок має бути на 1 менша від числа вершин.

4. Стрілки, якими позначають поставки, не д. утворювати замкнут. контур.

Потім план перевіряють на оптимальність, навіщо обчислюють потенціали. Отримують новий план і знову досліджують оптимальність. Визначають значення цільової функції.

У разі відкритої моделі вводять фіктивного споживача чи постачальника.

35. Д/рішення наукових та практичних завдань у галузі логістики прим. основні методи:

1. Методи системного аналізу

2. Методи теорії дослідження операції

3. Кібернетичні методи

4. Метод прогнозування

5. Методи експертних оцінок

6. Методи моделювання

36. Найбільш частина в логістиці застосовується імітація. моделювання, в кіт.закономірності, що визначають кількісне відношення залишаються невідомими, а сам логістичний процес залишається «чорною скринькою» або «сірою скринькою».

До основних процесів імітації. моделювання відн-ся:

1. Конструювання моделі реальної системи.

2. Постановка експериментів цієї моделі.

Цілі моделювання:

o Визначення поведінки логістичної системи.

o Вибір стратегії д/забезпечення. наиб.эфф-го функціонування логістич. системи.

Імітац. моделювання доцільно виконувати, коли вип-ся умови:

1. Не сущ. закінченої постановки завдань чи не розроблено аналітичних методів вирішення сформулірів. матем. моделі.

2. Аналітич. модель є, але процедури складні та трудомісткі, сл. імітація. моделювання дає більш простий спосіб розв'язання задачі.

3. Аналітич. рішення сущ., та їх реалізація неможлива через недостатню математичну підготовку персоналу.

37. Широке застосування у логістиці знайшли експертні системи- Спец. комп.програми, кіт. допомагають фахівцям приймати рішення, зв'язок. з керуванням матеріальним потоком.

Експертна система дозволяє:

1. Приймати швидкі та якісні рішення у сфері управління матеріальними потоками.

2. підготувати досвідчених фахівців за отн-но короткий термін.

4. Використовувати досвід та знання висококваліфікованих спеціалістів на різних робочих місцях.

Недоліки експертної системи:

1. Обмежені воз-ти використання здорового глузду.

2. Неможливо врахувати всі особливості у програмі експертної системи.

1.1. Структура та параметри ефективності та якості функціонування СМО

Багато економічні завдання пов'язані із системами масового обслуговування, тобто. такими системами, у яких, з одного боку, виникають масові запити (вимоги) виконання будь-яких послуг, з іншого – відбувається задоволення цих запитів. СМО включає такі елементи: джерело вимог, вхідний потік вимог, чергу, обслуговуючі пристрої (канали обслуговування), потік вимог, що виходить. Дослідженням таких систем займається теорія масового обслуговування.

Засоби, що обслуговують вимоги, називаються пристроями, що обслуговують, або каналами обслуговування. Наприклад, до них відносяться заправні пристрої на АЗС, канали телефонного зв'язку, посадкові смуги, майстри-ремонтники, квиткові касири, вантажно-розвантажувальні точки на базах та складах.

Методами теорії масового обслуговування можна вирішити багато завдань дослідження процесів, які у економіці. Так, в організації торгівлі ці методи дозволяють визначити оптимальну кількість торгових точок цього профілю, чисельність продавців, частоту завезення товарів та інші параметри. Іншим характерним прикладом систем масового обслуговування можуть служити заправні станції, і завдання теорії масового обслуговування в даному випадку зводяться до того, щоб встановити оптимальне співвідношення між кількістю вимог, що надходять на заправну станцію, на обслуговування і числом обслуговуючих пристроїв, при якому сумарні витрати на обслуговування та збитки від простою були б мінімальними. Теорія масового обслуговування може знайти застосування при розрахунку площі складських приміщень, при цьому складська площа розглядається як обслуговуючий пристрій, а прибуття транспортних засобівпід розвантаження – як вимога. Моделі теорії масового обслуговування застосовуються також під час вирішення низки завдань організації та нормування праці, інших соціально-економічних проблем.

Кожна СМО включає в свою структуру кілька обслуговуючих пристроїв, званих каналами обслуговування (до них можна віднести осіб, які виконують ті чи інші операції, - касирів, операторів, менеджерів, тощо), які обслуговують певний потік заявок (вимог), вступників на її вхід у випадкові моменти часу. Обслуговування заявок відбувається за невідомий, зазвичай випадковий час і залежить від багатьох різноманітних факторів. Після обслуговування заявки канал звільняється та готовий до прийому наступної заявки. Випадковий характер потоку заявок та часу їх обслуговування призводить до нерівномірності завантаження СМО – перевантаження з утворенням черг заявок або недовантаження – з простоюванням її каналів. Випадковість характеру потоку заявок та тривалості їх обслуговування породжує у СМО випадковий процес, вивчення якого необхідні побудова і аналіз його математичної моделі. Вивчення функціонування СМО спрощується, якщо випадковий процес є марківським (процесом без післядії, або без пам'яті), коли робота СМО легко описується за допомогою кінцевих систем звичайних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку, а в граничному режимі (при тривалому функціонуванні СМО) за допомогою кінцевих систем лінійних рівнянь алгебри. У результаті показники ефективності функціонування СМО виражаються через параметри СМО, потоку заявок та дисципліни.

З теорії відомо, щоб випадковий процес був Марківським, необхідно й достатньо, щоб усі потоки подій (потоки заявок, потоки обслуговувань заявок та ін), під впливом яких відбуваються переходи системи зі стану, були пуассонівським, тобто. володіли властивостями наслідки (для будь-яких двох неперетинних проміжків часу кількість подій, що наступають за один з них, не залежить від числа подій, що наступають за іншою) і ординарності (імовірність настання за елементарним, або малий, проміжок часу більше однієї події зневажливо мала в порівнянні з ймовірністю наступу за цей проміжок часу однієї події). Для найпростішого пуасонівського потокувипадкова величина Т (проміжок часу між двома сусідніми подіями) розподілена за показовим законом, являючи собою густину її розподілу або диференціальну функцію розподілу.

Якщо ж у СМО характер потоків відмінний від пуассонівського, то її характеристики ефективності можна визначити приблизно за допомогою Марківської теорії масового обслуговування, причому тим точніше, чим складніше СМО, чим більше в ній каналів обслуговування. Найчастіше для обгрунтованих рекомендацій з практичному управлінню СМО не вимагає знань точних її характеристик, цілком достатньо їх наближені значення.

Кожна СМО в залежності від своїх параметрів має певну ефективність функціонування.

Ефективність функціонування СМО характеризують три основні групи показників:

1. Ефективність використання СМО - абсолютна або відносна пропускні здібності, середня тривалість періоду зайнятості СМО, коефіцієнт використання СМО, коефіцієнт не використання СМО;

2. Якість обслуговування заявок-середній час (середня кількість заявок, закон розподілу) очікування заявки в черзі або перебування заявки до СМО; ймовірність того, що заявка, що надійшла, негайно прийметься до виконання;

3. Ефективність функціонування пари CМО споживач, причому під споживачем розуміється як сукупність заявок або їх деяке джерело (наприклад, середній дохід, який приносить СМО за одиницю часу експлуатації та ін).

1.2 Класифікація СМО та їх основні елементи

СМО класифікуються на різні групи залежно від складу та від часу перебування у черзі до початку обслуговування, та від дисципліни обслуговування вимог.

За складом СМО бувають одноканальні (з одним пристроєм, що обслуговує) і багатоканальні (з великим числом обслуговуючих пристроїв). Багатоканальні системи можуть складатися з обслуговуючих пристроїв як однакової, і різної продуктивності.

За часом перебування вимог у черзі на початок обслуговування системи діляться втричі группы:

1) з необмеженим часом очікування (з очікуванням),

2) із відмовими;

3) змішаного типу.

У СМО з необмеженим часом очікування чергова вимога, заставши всі пристрої зайнятими, стає в чергу і чекає на обслуговування до тих пір, поки один з пристроїв не звільниться.

У системах з відмовими вимога, що надійшла, застав все пристрої зайнятими, залишає систему. Класичним прикладом системи з відмовами може бути робота автоматичної телефонної станції.

У системах змішаного типу вимога, що надійшла, застав все (пристрою зайнятими, стають у чергу і чекають обслуговування протягом обмеженого часу. Не дочекавшись обслуговування у встановлений час, вимога залишає систему.

Коротко розглянемо особливості функціонування деяких із цих систем.

1. СМО з очікуванням характеризується тим, що в системі з n (n>=1) будь-яка заявка, що надійшла до СМО в момент, коли всі канали зайняті, стає в чергу і чекає свого обслуговування, причому будь-яка заявка, що прийшла, обслужена. Така система може перебувати в одному з нескінченної множини станів: s n +k (r = 1.2 ...) - Всі канали зайняті і в черзі знаходиться r заявок.

2. СМО з очікуванням та обмеженням на довжину черги відрізняється від вищенаведеної тим, що ця система може перебувати в одному з n+m+1 станів. У станах s 0 ,s 1 ,…, s n черги немає, оскільки заявок у системі чи ні чи ні взагалі і канали вільні (s 0), чи системі кілька I (I=1,n) заявок, якого обслуговує відповідне (n+1, n+2,…n+r,…,n+m) кількість заявок та (1,2,…r,…,m) заявок, що стоять у черзі. Заявка, яка прийшла на вхід СМО в момент часу, коли в черзі вже стоять m заявок, отримує відмову і залишає систему необслуженою.

Т.ч, багатоканальна СМО працює по суті як одноканальна, коли всі n каналів працюють як один із дисципліною взаємодопомоги, званої все як один, але з більш високою інтенсивністю обслуговування. Граф станів подібної системи містить всього два стани: s 0 (s 1)- всі n каналів вільні (зайняті).

Аналіз різних видівСМО із взаємодопомогою типу все як один показує, що така взаємодопомога скорочує середній час перебування заявки в системі, але погіршує ряд інших таких характеристик, як ймовірність відмови, пропускна спроможність, середня кількість заявок у черзі та час очікування їх виконання. Тому для покращення цих показників використовується зміна дисципліни обслуговування заявок з рівномірною взаємодопомогою між каналами таким чином:

· Якщо заявка надходить у СМО в момент часу, коли всі канали вільні, то всі n каналів приступає до її обслуговування;

· Якщо в цей час надходить наступна заявка, то частина каналів перемикається на її обслуговування

· Якщо під час обслуговування цих двох заявок надходить третя заявка, то частина каналів переключається на обслуговування цієї третьої заявки, допоки кожна заявка, яка перебуває в СМО, не опиниться під обслуговуванням лише одного каналу. При цьому заявка, яка надійшла в момент зайнятості всіх каналів, у СМО з відмовами та рівномірною взаємодопомогою між каналами може отримати відмову і змушена буде залишити систему необслуженою.

Методи та моделі, що застосовуються в теорії масового обслуговування, можна умовно поділити на аналітичні та імітаційні.

Аналітичні методи теорії масового обслуговування дозволяють отримати характеристики системи як функції параметрів її функціонування. Завдяки цьому з'являється можливість проводити якісний аналіз впливу окремих факторівна ефективність роботи СМО. Імітаційні методи засновані на моделюванні процесів масового обслуговування на ЕОМ і застосовуються, якщо неможливе застосування аналітичних моделей.

В даний час теоретично найбільш розроблені та зручні у практичних додатках методи вирішення таких завдань масового обслуговування, в яких вхідний потік вимог є найпростішим (пуассонівським).

Для найпростішого потоку частота надходження вимог у систему підпорядковується закону Пуассона, тобто. ймовірність надходження за час t рівно k вимог задається формулою:

Важлива характеристика СМО – час обслуговування вимог у системі. Час обслуговування однієї вимоги, як правило, є випадковою величиною і, отже, може бути описаний законом розподілу. Найбільшого поширення теоретично і особливо у практичних додатках отримав експоненційний закон розподілу часу обслуговування. Функція розподілу для цього закону має вигляд:

Тобто. ймовірність те, що час обслуговування вбирається у деякої величини t, визначається цієї формулою, де µ- параметр експоненційного обслуговування вимог у системі, тобто. величина, обернена часу обслуговування t про:

Розглянемо аналітичні моделі найпоширеніших СМО з очікуванням, тобто. таких СМО, в яких вимоги, що надійшли в момент, коли всі канали, що обслуговують, зайняті, ставляться в чергу і обслуговуються в міру звільнення каналів.

Загальна постановка завдання ось у чому. Система має n обслуговуючих каналів, кожен з яких може одночасно обслуговувати лише одну вимогу.

У систему надходить найпростіший (паусонівський) потік вимог з параметром . Якщо в момент надходження чергової вимоги в системі на обслуговуванні вже знаходиться не менше n вимог (тобто всі канали зайняті), то ця вимога стає в чергу і чекає на початок обслуговування.

У системах з певною дисципліною обслуговування вимога, що надійшла, застав все пристрої зайнятими, залежно від свого пріоритету, або обслуговується позачергово, або стає в чергу.

Основними елементами СМО є: потік вимог, що входить, черга вимог, обслуговуючі пристрої, (канали) і вихідний потік вимог.

Вивчення СМО починається з аналізу вхідного потоку вимог. Вхідний потік вимог являє собою сукупність вимог, які надходять до системи та потребують обслуговування. Вхідний потік вимог вивчається з метою встановлення закономірностей цього потоку та подальшого покращення якості обслуговування.

Найчастіше вхідний потік некерований і від низки випадкових чинників. Число вимог, що надходять в одиницю часу, є випадковою величиною. Випадковою величиною є також інтервал часу між сусідніми вимогами. Проте середня кількість вимог, що надійшли в одиницю часу, та середній інтервалчасу між сусідніми вимогами передбачаються заданими.

Середня кількість вимог, що надходять до системи обслуговування за одиницю часу, називається інтенсивністю надходження вимог та визначається наступним співвідношенням:

де Т – середнє значення інтервалу між надходженням чергових вимог.

Багато реальних процесів потік вимог досить добре описується законом розподілу Пуассона. Такий потік називається найпростішим.

Найпростіший потік має такі важливими властивостями:

1) Властивістю стаціонарності, що виражає незмінність імовірнісного режиму потоку за часом. Це означає, що кількість вимог, які у систему у рівні проміжки часу, загалом має бути постійним. Наприклад, число вагонів, що надходять під навантаження в середньому на добу, має бути однаковим для різних періодівчасу, наприклад, на початку та наприкінці декади.

2) Відсутності післядії, яка обумовлює взаємну незалежність надходження тієї чи іншої кількості вимог на обслуговування в проміжки часу, що не перетинаються. Це означає, що кількість вимог, які у даний час, залежить від кількості вимог, обслужених у попередньому проміжку часу. Наприклад, кількість автомобілів, що прибули за матеріалами в десятий день місяця, не залежить від кількості автомобілів, обслужених у четвертий або будь-який інший попередній день цього місяця.

3) Властивістю ординарності, що виражає практичну неможливість одночасного надходження двох або більше вимог (імовірність такої події незмірно мала щодо розгляданого проміжку часу, коли останній спрямовують до нуля).

При найпростішому потоці вимог розподіл вимог, що у систему підпорядковуються закону розподілу Пуассона:

ймовірність того, що в обслуговувальну систему за час t надійде саме k вимог:

де. - Середня кількість вимог, що надійшли на обслуговування в одиницю часу.

Насправді умови найпростішого потоку який завжди суворо виконуються. Часто має місце нестаціонарність процесу (у різні години дня і різні дні місяця потік вимог може змінюватися, він може бути інтенсивнішим вранці або в останні днімісяця). Існує також наявність післядії, коли кількість вимог на відпустку товарів наприкінці місяця залежить від їхнього задоволення на початку місяця. Спостерігається і неоднорідності, коли кілька клієнтів одночасно перебувають склад за матеріалами. Проте загалом пуасонівський закон розподілу із досить високим наближенням відбиває багато процесів масового обслуговування.

Крім того, наявність пуассонівського потоку вимог можна визначити статистичною обробкою даних щодо надходження вимог на обслуговування. Однією з ознак закону розподілу Пуассона є рівність математичного очікування випадкової величини та дисперсії цієї величини, тобто.

Однією з найважливіших характеристик обслуговуючих пристроїв, що визначає пропускну спроможність усієї системи є час обслуговування.

Час обслуговування однієї вимоги ()-випадкова величина, яка може зміняться у великому діапазоні. Вона залежить від стабільності роботи самих обслуговуючих пристроїв, і від різних параметрів, які у систему, вимог (наприклад, різної вантажопідйомності транспортних засобів, які надходять під навантаження чи розвантаження.

Випадкова величина повністю характеризується законом розподілу, що визначається з урахуванням статистичних випробувань.

Насправді найчастіше приймають гіпотезу про показовий закон розподілу часу обслуговування.

Показовий закон розподілу часу обслуговування має місце тоді, коли щільність розподілу різко зменшується зі зростанням часу t. Наприклад, коли більшість вимог обслуговується швидко, а тривале обслуговування зустрічається рідко. Наявність показового закону розподілу часу обслуговування встановлюється з урахуванням статистичних спостережень.

При показовому законі розподілу часу обслуговування ймовірність події, що час обслуговування триватиме лише t, дорівнює:

де v - інтенсивність обслуговування однієї вимоги одним обслуговуючим пристроєм, що визначається із співвідношення:

де - середній час обслуговування однієї вимоги одним пристроєм, що обслуговує.

Слід зазначити, що якщо закон розподілу часу обслуговування показовий, то за наявності кількох обслуговуючих пристроїв однакової потужності закон розподілу часу обслуговування декількома пристроями також буде показовим:

де n – кількість обслуговуючих пристроїв.

Важливим параметром СМО є коефіцієнт завантаження, що визначається як відношення інтенсивності надходження вимог до інтенсивності обслуговування v.

де a – коефіцієнт завантаження; - Інтенсивність надходження вимог до системи; v - інтенсивність обслуговування однієї вимоги одним пристроєм, що обслуговує.

З (1) та (2) отримуємо, що

Враховуючи, що - інтенсивність надходження вимог до системи за одиницю часу, твір показує кількість вимог, які у систему обслуговування за середній час обслуговування однієї вимоги одним пристроєм.

Для СМО з очікуванням кількість пристроїв, що обслуговуються, повинна бути строго більшою за коефіцієнт завантаження (вимоги встановленого або стаціонарного режиму роботи СМО) :

В іншому випадку кількість вимог, що надходять, буде більше сумарної продуктивності всіх обслуговуючих пристроїв, і черга буде необмежено зростати.

Для СМО з відмовами і змішаного типу ця умова може бути ослаблена, ефективної роботицих типів СМО достатньо зажадати, щоб мінімальна кількість пристроїв, що обслуговуються, n було не менше коефіцієнта завантаження :

1.3 Процес імітаційного моделювання

Як уже було зазначено раніше, процес послідовної розробки імітаційної моделі починається зі створення простої моделі, яка потім поступово ускладнюється відповідно до вимог, що пред'являються вирішуваною проблемою. У процесі імітаційного моделювання можна виділити такі основні етапи:

1. Формування проблеми: опис досліджуваної проблеми та визначення цілей дослідження.

2. Розробка моделі: логіко-математичний опис моделюваної системи відповідно до формулювання проблеми.

3. Підготовка даних: ідентифікація, специфікація та збір даних.

4. Трансляція моделі: переклад моделі на мову, прийнятний для використовуваної ЕОМ.

5. Верифікація: встановлення правильності машинних програм.

6. Валідація: оцінка необхідної точності та відповідність імітаційної моделі реальній системі.

7. Стратегічне та тактичне планування: визначення умов проведення машинного експерименту з імітаційною моделлю.

8. Експериментування: прогін імітаційної моделі на ЕОМ щоб одержати необхідної інформації.

9. Аналіз результатів: вивчення результатів імітаційного експерименту для підготовки висновків та рекомендацій щодо вирішення проблеми.

10. Реалізація та документування: реалізація рекомендацій, отриманих на основі імітації, складання документації за моделлю та її використання.

Розглянемо основні етапи імітаційного моделювання. Першим завданням імітаційного дослідження є точне визначення проблеми та детальне формулювання цілей дослідження. Як правило, визначення проблеми є безперервним процесом, який зазвичай здійснюється на протязі всього дослідження. Воно переглядається у міру глибшого розуміння досліджуваної проблеми та виникнення нових її аспектів.

Як сформульовано початкове визначення проблеми, починається етап побудови моделі досліджуваної системи. Модель включає статистичний та динамічний опис системи. У статистичному описі визначаються елементи системи та його характеристики, а динамічному- взаємодія елементів системи, у яких відбувається зміна її стану у часі.

Процес формування моделі багато в чому мистецтвом. Розробник моделі повинен зрозуміти структуру системи, виявити правила її функціонування та зуміти виділити в них найважливіше, виключивши непотрібні деталі. Модель має бути простою для розуміння і водночас досить складною, щоб реалістично відображати характерні рисиреальної системи. Найбільш важливими є прийняті розробником рішення щодо того, чи вірні прийняті спрощення та припущення, які елементи та взаємодії між ними мають бути включені до моделі. Рівень деталізації моделі залежить від цілей її створення. Необхідно розглядати лише ті елементи, які мають важливе значення для вирішення досліджуваної проблеми. Як на етапі формування проблеми, так і на етапі моделювання необхідна тісна взаємодія між розробником моделі та її користувачами. Крім того, тісна взаємодія на етапах формулювання проблеми та розробки моделі створює у користувача впевненість у правильності моделі, тому допомагає забезпечити успішну реалізаціюрезультатів імітаційного дослідження.

На етапі розробки моделі визначаються вимоги до вхідних даних. Деякі з цих даних можуть бути в розпорядженні розробника моделі, тоді як для збору інших знадобиться час і зусилля. Зазвичай, значення таких вхідних даних задаються на основі деяких гіпотез або попереднього аналізу. У деяких випадках точні значення одного (і більше) вхідних параметрів мають невеликий вплив на результати прогонів моделі. Чутливість одержуваних результатів зміни вхідних даних може бути оцінена шляхом проведення серії імітаційних прогонів для різних значень вхідних параметрів. Отже, імітаційна модель може використовуватися для зменшення витрат часу та коштів на уточнення вхідних даних. Після того, як розроблено модель і зібрано початкові вхідні дані, наступним завданням є переведення моделі у форму, доступну для комп'ютера.

На етапах верифікації та валідації здійснюється оцінка функціонування імітаційної моделі. На етапі верифікації визначається, чи запрограмована для ЕОМ модель задуму розробника. Це зазвичай здійснюється шляхом ручної перевірки обчислення, а також може бути використаний ряд статистичних методів.

Встановлення адекватності імітаційної моделі досліджуваної системи складає етапі валідації. Валідація моделі зазвичай виконується різних рівнях. Спеціальні методи валідації включають встановлення адекватності шляхом використання постійних значень всіх параметрів імітаційної моделі або оцінювання чутливості виходів до зміни значень вхідних даних. У процесі валідації порівняння має здійснюватися з урахуванням аналізу як реальних, і експериментальних даних про функціонування системи.

Умови проведення машинних прогонів моделі визначається на етапах стратегічного та тактичного планування. Завдання стратегічного плануванняполягає у розробці ефективного плануексперименту, у результаті якого з'ясовується взаємозв'язок між керованими змінними, або перебуває комбінація значень керованих змінних, мінімізація чи максимізація імітаційної моделі. У тактичному плануванніна відміну від стратегічного, вирішується питання про те, як у рамках плану експерименту провести кожен імітаційний прогін, щоб отримати найбільшу кількість інформації з вихідних даних. Важливе місце у тактичному плануванні займають визначення умов імітаційних прогонів та методи зниження дисперсії середнього значення відгуку моделі.

Наступні етапиу процесі імітаційного дослідження-проведеннямашинного експерименту та аналіз результатів- включають прогін імітаційної моделі на ЕОМ та інтерпретацію отриманих вихідних даних. Останнім етапом імітаційного дослідження є реалізація одержаних рішень та документування імітаційної моделі та її використання. Жодні з імітаційних проектів не повинні вважатися закінченими доти, доки їхні результати не були використані в процесі прийняття рішень. Успіх реалізації великою мірою залежить від цього, наскільки правильно розробник моделі виконав усі попередні етапи процесів імітаційного дослідження. Якщо розробник і користувач працювали в тісному контакті і досягли взаєморозуміння при розробці моделі та її дослідженні, то результат проекту, швидше за все, буде успішно впроваджуватися. Якщо ж між ними не було тісного взаємозв'язку, то, незважаючи на елегантність та адекватність імітаційного моделювання, складно буде розробити ефективні рекомендації.

Перераховані вище етапи рідко виконуються в строго заданій послідовності, починаючи з визначення проблеми і закінчуючи документуванням. У ході імітаційного моделювання можуть бути збої в прогонах моделі, помилкові припущення, від яких надалі доводиться відмовлятися, переорієнтування цілей дослідження, повторні оцінки та перебудови моделі. Такий процес дозволяє розробити імітаційну модель, яка дає правильну оцінку альтернатив та полегшує процес прийняття рішень.

Глава 2. Розподіли та генератори псевдовипадкових чисел

Нижче будуть використані такі позначення:

X – випадкова величина; f(х) - функція густини ймовірності X; F(х) – функція ймовірності X;

а – мінімальне значення;

b – максимальне значення;

μ -математичне очікування М [Х]; σ2 -дисперсія М [(Х-μ) 2];

σ -середньоквадратичне відхилення; α-параметр функції густини ймовірності;

Черга довжини k залишається в ній з ймовірністю Pk і не приєднується до черги з ймовірністю gk=1 - Pk,". саме так зазвичай поводяться люди в чергах. У системах масового обслуговування, що є математичними моделями виробничих процесів, Можлива довжина черги обмежена постійною величиною (ємність бункера, наприклад). Очевидно, це окремий випадок загальної постановки. Деякі...

4. ТЕОРІЯ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

4.1. Класифікація систем масового обслуговування та їх показники ефективності

Системи, в яких у випадкові моменти часу виникають заявки на обслуговування та є пристрої для обслуговування цих заявок, називаються системами масового обслуговування(СМО).

СМО можуть бути класифіковані за ознакою організації обслуговування таким чином:

Системи з відмовами не мають черг.

Системи з очікуванням мають черги.

Заявка, що надійшла в момент, коли всі канали обслуговування зайняті:

Залишає систему з відмовами;

Стає у чергу на обслуговування в системах з очікуванням при необмеженій черзі або на вільне місце при обмеженій черзі;

Залишає систему з очікуванням при обмеженій черзі, якщо у цій черзі немає вільного місця.

Як захід ефективності економічної СМО розглядають суму втрат часу:

На очікування у черзі;

На простої каналів обслуговування.

Для всіх видів СМО використовуються наступні показники ефективності :

- відносна пропускна спроможність - це середня частка заявок, що обслуговуються системою;

- абсолютна пропускна спроможність - це середня кількість заявок, що обслуговуються системою в одиницю часу;

- ймовірність відмови - це ймовірність того, що заявка залишить систему без обслуговування;

- середня кількість зайнятих каналів - для багатоканальних СМО.

Показники ефективності СМО розраховуються за формулами спеціальних довідників (таблиць). Вихідними для таких розрахунків є результати моделювання СМО.

4.2. Моделювання системи масового обслуговування:

основні параметри, граф станів

При всьому різноманітті СМО вони мають загальні риси , які дозволяють уніфікувати їхнє моделювання для знаходження найефективніших варіантів організації таких систем .

Для моделювання СМО необхідно мати такі вихідні дані:

Основні параметри;

Граф стану.

Результатами моделювання СМО є ймовірності її станів, якими виражаються всі показники її ефективності.

Основні параметри для моделювання СМО включають:

Характеристики вхідного потоку заявок обслуговування;

Характеристика механізму обслуговування.

Розглянемо х арактеристики потоку заявок .

Потік заявок - послідовність заявок, що надходять обслуговування.

Інтенсивність потоку заявок - Середня кількість заявок, що надходять до СМО в одиницю часу.

Потоки заявок бувають найпростішими та відміннішими від найпростіших.

Для найпростіших потоків заявок використовуються моделі СМО.

Найпростішим , або пуассонівським називається потік, що є стаціонарним, одинарнимі в ньому відсутні післядії.

Стаціонарність означає незмінність інтенсивності надходження заявок з часом.

Одинарним потік заявок в тому випадку, коли за малий проміжок часу ймовірність надходження більш ніж однієї заявки близька до нуля.

Відсутність післядії полягає в тому, що кількість заявок, що надійшли до СМО за один інтервал часу, не впливає на кількість заявок, отриманих за інший інтервал часу.

Для відмінних від найпростіших потоків заявок використовуються імітаційні моделі.

Розглянемо характеристики механізму обслуговування .

Механізм обслуговування характеризується:

- числом каналів обслуговування ;

Продуктивністю каналу, або інтенсивністю обслуговування - Середнім числом заявок, що обслуговуються одним каналом в одиницю часу;

Дисципліною черги (наприклад, обсягом черги , порядком відбору з черги до механізму обслуговування тощо).

Граф станів визначає функціонування системи обслуговування як переходи з одного стану до іншого під впливом потоку заявок та його обслуговування.

Для побудови графа станів СМО необхідно:

Скласти перелік усіх можливих станів СМО;

Уявити перелічені стани графічно та відобразити можливі переходи між ними стрілками;

Зважити відображені стрілки, тобто приписати їм числові значення інтенсивностей переходів, що визначаються інтенсивністю потоку заявок та інтенсивністю їх обслуговування.

4.3. Обчислення ймовірностей станів

системи масового обслуговування

Граф станів СМО зі схемою "загибелі та народження" являє собою лінійний ланцюжок, де кожен із середніх станів має прямий і Зворотній зв'язокз кожним із сусідніх станів, а крайні стани лише з одним сусіднім:

Число станів у графі на одиницю більше, ніж сумарна кількість каналів обслуговування та місць у черзі.

СМО може бути в будь-якому зі своїх можливих станів, тому очікувана інтенсивність виходу з будь-якого стану дорівнює очікуваній інтенсивності входу системи в цей стан. Звідси система рівнянь визначення ймовірностей станів при найпростіших потоках матиме вид:

де - ймовірність того, що система перебуває в стані

- Інтенсивність переходу, або середня кількість переходів системи в одиницю часу зі стану в стан.

Використовуючи цю систему рівнянь, а також рівняння

ймовірність будь-якого стану можна обчислити за наступним загальному правилу :

ймовірність нульового стану розраховується як

а потім береться дріб, в чисельнику якої стоїть добуток всіх інтенсивностей потоків за стрілками, що ведуть зліва направо від стану до стану а в знаменнику - добуток всіх інтенсивностей за стрілками, що йдуть справа наліво від стану до стану, і цей дріб множиться на розраховану ймовірність

Висновки з четвертого розділу

Системи масового обслуговування мають один або кілька каналів обслуговування і можуть мати обмежену чи необмежену чергу (системи з очікуванням) заявок на обслуговування, не мати черги (системи з відмовами). Заявки обслуговування виникають у випадкові моменти часу. Системи масового обслуговування характеризуються такими показниками ефективності: відносна пропускна спроможність, абсолютна пропускна спроможність, можливість відмови, середня кількість зайнятих каналів.

Моделювання систем масового обслуговування здійснюється для знаходження найефективніших варіантів їх організації та передбачає такі вихідні дані для цього: основні параметри, графік станів. До таких даних належать такі: інтенсивність потоку заявок, кількість каналів обслуговування, інтенсивність обслуговування та обсяг черги. Число станів у графі на одиницю більше, ніж сума числа каналів обслуговування та місць у черзі.

Обчислення ймовірностей станів системи масового обслуговування із схемою «загибелі та народження» здійснюється за загальним правилом.

Запитання для самоперевірки

Які системи називають системами масового обслуговування?

Як класифікуються системи масового обслуговування за ознакою організації?

Які системи масового обслуговування називаються системами з відмовами, а які – з очікуванням?

Що відбувається із заявкою, що надійшла у момент часу, коли всі канали обслуговування зайняті?

Що розглядають як захід ефективності економічної системимасового обслуговування?

Які показники ефективності системи масового обслуговування використовуються?

Що є вихідними даними для розрахунків показників ефективності систем масового обслуговування?

Які вихідні дані потрібні для моделювання систем масового обслуговування?

Через які результати моделювання системи масового обслуговування виражають усі показники її ефективності?

Що включають основні параметри моделювання систем масового обслуговування?

Чим характеризуються потоки заявок на обслуговування?

Чим характеризуються механізми обслуговування?

Що описує граф станів системи масового обслуговування

Що потрібно для побудови графа станів системи масового обслуговування?

Що є граф станів системи масового обслуговування зі схемою «загибелі та народження»?

Чому дорівнює кількість станів у графі станів системи масового обслуговування?

Який вид має система рівнянь визначення ймовірностей станів системи масового обслуговування?

За яким загальним правилом обчислюється можливість будь-якого стану системи масового обслуговування?

Приклади розв'язання задач

1. Побудувати граф станів системи масового обслуговування та навести основні залежності її показників ефективності.

а) n-канальна СМО з відмовами (завдання Ерланга)

Основні параметри:

каналів ,

Інтенсивність потоку

Інтенсивність обслуговування.

Можливі стани системи:

Всі канали зайняті (заявки в системі).

Граф станів:

Відносна пропускна здатність ,

Ймовірність відмови ,

Середня кількість зайнятих каналів.

б) n-канальна СМО з m-обмеженою чергою

Можливі стани системи:

Усі канали вільні (нуль заявок у системі);

Один канал зайнятий, інші вільні (одна заявка у системі);

Два канали зайняті, інші вільні (дві заявки у системі);

...................................................................................

Усі канали зайняті, дві заявки у черзі;

Всі канали зайняті, заявок у черзі.

Граф станів:

в) Одноканальна СМО з необмеженою чергою

Можливі стани системи:

Усі канали вільні (нуль заявок у системі);

Канал зайнятий, нуль заявок у черзі;

Канал зайнятий, одна заявка у черзі;

...................................................................................

Канал зайнятий, заявка у черзі;

....................................................................................

Граф станів:

Показники ефективності системи:

Середній час перебування заявки у системі ,

Абсолютна пропускна спроможність

Відносна пропускна здатність.

г) n-канальна СМО з необмеженою чергою

Можливі стани системи:

Усі канали вільні (нуль заявок у системі);

Один канал зайнятий, інші вільні (одна заявка у системі);

Два канали зайняті, інші вільні (дві заявки у системі);

...................................................................................

Усі канали зайняті (заявок у системі), нуль заявок у черзі;

Усі канали зайняті, одна заявка у черзі;

....................................................................................

Всі канали зайняті, заявок у черзі;

....................................................................................

Граф станів:

Показники ефективності системи:

Середня кількість зайнятих каналів

Середня кількість заявок у системі ,

Середня кількість заявок у черзі ,

Середній час перебування заявки у черзі .

2. Обчислювальний центр має три ЕОМ. У центр надходить на рішення в середньому чотири завдання на годину. Середній час вирішення одного завдання – півгодини. Обчислювальний центр приймає та ставить у чергу на вирішення не більше трьох завдань. Необхідно оцінити ефективність центру.

РІШЕННЯ. З умови ясно, що маємо багатоканальну СМО з обмеженою чергою:

Число каналів;

Інтенсивність потоку заявок (завдання/година);

Час обслуговування однієї заявки (година/завдання), інтенсивність обслуговування (завдання/година);

Довжина черги.

Перелік можливих станів:

Заявок немає, всі канали є вільними;

Один канал зайнятий, два вільні;

Два канали зайняті, один вільний;

Три канали зайняті;

Три канали зайняті, одна заявка у черзі;

Три канали зайняті, дві заявки у черзі;

Три канали зайняті, три заявки у черзі.

Граф станів:

Розрахуємо ймовірність стану:

Показники ефективності:

Імовірність відмови (всі три ЕОМ зайняті та три заявки стоять у черзі)

Відносна пропускна спроможність

Абсолютна пропускна спроможність

Середня кількість зайнятих ЕОМ

3. (Завдання з використанням СМО з відмовами.) У ВТК цеху працюють три контролери. Якщо деталь надходить у ВТК, коли всі контролери зайняті обслуговуванням деталей, що раніше надійшли, то вона проходить неперевіреною. Середня кількість деталей, що надходять у ВТК протягом години, дорівнює 24, середній час, який витрачає один контролер обслуговування однієї деталі, дорівнює 5 хв. Визначити ймовірність того, деталь пройде ВТК необслуженою, наскільки завантажені контролери і скільки їх необхідно поставити (* - задане значення ).

РІШЕННЯ. За умовою завдання, тоді.

1) Можливість простою каналів обслуговування:

3) Можливість обслуговування:

4) Середня кількість зайнятих обслуговуваннямканалів:

5) Частка каналів, зайнятих обслуговуванням:

6) Абсолютна пропускна спроможність:

При . Зробивши аналогічні розрахунки для , отримаємо

Оскільки , то зробивши розрахунки для , отримаємо

ВІДПОВІДЬ. Імовірність того, що при деталі пройде ВТК необслуженою, становить 21%, і контролери будуть зайняті обслуговуванням на 53%.

Щоб забезпечити ймовірність обслуговування понад 95%, необхідно щонайменше п'ять контролерів.

4. (Завдання з використанням СМО з необмеженим очікуванням.) Ощадкас має трьох контролерів-касирів () для обслуговування вкладників . Потік вкладників надходить у ощадкасу з інтенсивністю чол./год. Середня тривалість обслуговування контролером-касиром одного вкладника мін.

Визначити характеристики ощадкаси як об'єкта СМО.

РІШЕННЯ. Інтенсивність потоку обслуговування, інтенсивність навантаження.

1) Імовірність простою контролерів-касирів протягом робочого дня (див. попереднє завдання №3):

2) Імовірність застати всіх контролерів-касирів зайнятими:

3) Імовірність черги:

4) Середня кількість заявок у черзі:

5) Середній час очікування заявки у черзі:

хв.

6) Середній час перебування заявки до СМО:

7) Середня кількість вільних каналів:

8) Коефіцієнт зайнятості каналів обслуговування:

9) Середня кількість відвідувачів в ощадкасі:

ВІДПОВІДЬ. Імовірність простою контролерів-касирів дорівнює 21% робочого часу, ймовірність відвідувача опинитися в черзі становить 11,8%, середня кількість відвідувачів у черзі 0,236 чол., Середній час очікування відвідувачами обслуговування 0,472 хв.

5. (Завдання із застосуванням СМО з очікуванням та з обмеженою довжиною черги.) Магазин отримує ранні овочі з приміських теплиць. Автомобілі з вантажем прибувають у різний часз інтенсивністю машин щодня. Підсобні приміщення та обладнання для підготовки овочів до продажу дозволяють обробляти та зберігати товар, привезений двома автомашинами (). У магазині працюють три фасувальники (), кожен з яких у середньому може обробляти товар з однієї машини протягом години. Тривалість робочого дня при змінній роботі становить 12 год.

Визначити, якою має бути ємність підсобних приміщень, щоб ймовірність повної обробки товарів була .

РІШЕННЯ. Визначимо інтенсивність завантаження фасувальників:

Авт./Дн.

1) Знайдемо можливість простою фасувальників за відсутності машин (заявок):

причому 0! = 1,0.

2) Ймовірність відмови в обслуговуванні:

3) Можливість обслуговування:

Так як , Зробимо аналогічні обчислення для , отримаємо), при цьому ймовірність повної обробки товару буде .

Завдання для самостійної роботи

Для кожної з наступних ситуацій визначити:

a) якого класу належить об'єкт СМО;

b) число каналів;

c) довжину черги;

d) інтенсивність потоку заявок;

e) інтенсивність обслуговування одним каналом;

f) кількість всіх станів об'єкта СМО.

У відповідях вказати значення по кожному пункту, використовуючи такі скорочення та розмірності:

a) ГО – одноканальна з відмовами; МО – багатоканальна з відмовами; ОЖО – одноканальна з очікуванням з обмеженою чергою; ОЖН - одноканальна з очікуванням з необмеженою чергою; МЖО – багатоканальна з очікуванням з обмеженою чергою; МЖН - багатоканальна з очікуванням з необмеженою чергою;

b) =… (одиниць);

c) =… (одиниць);

d) =ххх/ххх(одиниць /хв);

e) =ххх/ххх(одиниць /хв);

f) (одиниць).

1. Черговий з адміністрації міста має п'ять телефонів. Телефонні дзвінкинадходять із інтенсивністю 90 заявок на годину, середня тривалість розмови становить 2 хв.

2. На стоянці автомобілів біля магазину є 3 місця, кожне з яких відводиться під один автомобіль. Автомобілі прибувають на стоянку з інтенсивністю 20 автомобілів за годину. Тривалість перебування автомобілів на стоянці становить у середньому 15 хв. Стоянка на проїжджій частині не дозволяється.

3. АТС підприємства забезпечує трохи більше 5 переговорів одночасно. Середня тривалість розмов становить 1 хв. На станцію надходить у середньому 10 викликів у с.

4. У вантажний річковий порт надходить у середньому 6 суховантажів на добу. У порту є 3 крани, кожен з яких обслуговує 1 суховантажне в середньому за 8 год. Крани працюють цілодобово. Очікуючі на обслуговування суховантажівки стоять на рейді.

5. У службі «Швидкої допомоги» селища цілодобово чергують 3 диспетчери, які обслуговують 3 телефонні апарати. Якщо заявка на виклик лікаря до хворого надходить, коли диспетчери зайняті, абонент отримує відмову. Потік заявок складає 4 виклики на хвилину. Оформлення заявки триває у середньому 1,5 хв.

6. Салон-перукарня має 4 майстри. Потік відвідувачів, що входить, має інтенсивність 5 осіб на годину. Середній час обслуговування одного клієнта становить 40 хв. Довжина черги обслуговування вважається необмеженою.

7. На автозаправній станції встановлені 2 колонки для видачі бензину. Біля станції знаходиться майданчик на 2 автомобілі для очікування заправки. На станцію прибуває в середньому одна машина за 3 хв. Середній час обслуговування однієї машини становить 2 хв.

8. На вокзалі у майстерні побутового обслуговування працюють три майстри. Якщо клієнт заходить у майстерню, коли всі майстри зайняті, він йде з майстерні, не чекаючи обслуговування. Середня кількість клієнтів, які звертаються до майстерні за 1 год, дорівнює 20. Середній час, який витрачає майстер обслуговування одного клієнта, дорівнює 6 хв.

9. АТС селища забезпечує трохи більше 5 переговорів одночасно. Час переговорів у середньому становить близько 3 хв. Виклики на станцію надходять у середньому через 2 хв.

10. На автозаправній станції (АЗС) є 3 колонки. Майданчик при станції, на якій машини чекають на заправку, може вмістити не більше однієї машини, і якщо вона зайнята, то чергова машина, яка прибула до станції, в чергу не стає, а проїжджає на сусідню станцію. У середньому машини прибувають на станцію кожні 2 хв. Процес заправки однієї машини продовжується в середньому 2,5 хв.

11. У невеликому магазиніпокупців обслуговують два продавці. Середній час обслуговування одного покупця – 4 хв. Інтенсивність потоку покупців – 3 особи на хвилину. Місткість магазину така, що одночасно в ньому в черзі можуть бути не більше 5 осіб. Покупець, який прийшов у переповнений магазин, коли в черзі вже стоять 5 людей, не чекає назовні і йде.

12. Залізнична станціядачного селища обслуговує каса із двома вікнами. У вихідні дні, коли населення активно користується залізницею, інтенсивність потоку пасажирів становить 0,9 чол./хв. Касир витрачає обслуговування пасажира загалом 2 хв.

Для кожної із зазначених у варіантах СМО інтенсивність потоку заявок дорівнює і інтенсивність обслуговування одним каналом. Потрібно:

Скласти перелік можливих станів;

Побудувати граф станів за схемою "загибелі та розмноження".

У відповіді вказати для кожного завдання:

Кількість станів системи;

Інтенсивність переходу з останнього стану до передостаннього.

Варіант №1

1. одноканальна СМО із чергою довжиною в 1 заявку

2. 2-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 31-канальна СМО з 1-обмеженою чергою

5. 31-канальна СМО з необмеженою чергою

Варіант №2

1. одноканальна СМО з чергою довжиною у 2 заявки

2. 3-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 30-канальна СМО з 2-обмеженою чергою