Mõelge iga taseme ehituse iseärasustele. Praktikas eeldatakse, et kõige levinumad sissetulevad nõudluse vood on Poisson /47, 70, 74, 80/. Poissoni voogusid iseloomustab statsionaarsus, tavalisus ja järelmõju puudumine. Vaatleme neid omadusi.
Vaadeldavas makromudelis on sissetulevatel nõuete voogudel üldiselt statsionaarsuse, tavalisuse ja järelmõju puudumise omadused. Poissoni voolu kirjeldab täielikult üks parameeter - voolu intensiivsus R. R ligikaudne valem on kujul
Lihtsamal juhul (Poissoni voog) on kliendi ilmumise tõenäosus mistahes väikese aja jooksul võrdeline selle perioodi pikkusega ega sõltu sellest, kas eelnevatel perioodidel oli kliente või mitte.
Kuna vaatleme homogeenset Poissoni vooluhulka intensiivsusega q, siis võrduste ühine täitmine
Y(t) = k ja Y(T-t) = q-k (see tuleneb järelmõju puudumisest Poissoni voolus). Sellepärast
Poissoni voogude juhuslikust lahjendamisest või ühendamisest tulenev voog on samuti Poisson.
Näiteks andmevoo analüütilise kirjelduse puhul võib selleks olla Poissoni nõuete voog, millel on tavaline, statsionaarne ja ilma järelmõjuta. See võib olla ühtlase nõuete jaotusega voog. Kui jaotus on antud empiiriliste andmetega, on väärtused 7i1 7i2,. .., võite olla histogrammide elemendid jne.
Sageli on teisendusi, mis nõuavad erinevatest sisenditest tulevate voogude ühendamist. Sel juhul võib väljundsignaal kujutada nende voogude kombinatsiooni muude omadustega üheks. Näiteks kui ploki C kaks sisendit saavad Poissoni päringuid, siis võib väljundsignaaliks olla ka Poissoni voog, mille parameeter on võrdne algsete voogude parameetrite summaga.
Laske üksikmaksetel järgneda üksteisele juhuslike ajavahemike järel, jaotunud vastavalt eksponentsiaalseadusele parameetriga R > 0 (Poissoni maksevoog), mille diferentsiaaljaotusfunktsioon on kujul
Mittestatsionaarse Poissoni voolu korral ei ole intervalli / jaotuse seadus enam indikatiivne, kuna see sõltub asukohast Ot-teljel ja R(7) sõltuvuse vormist. Kuid mõne probleemi puhul võib R(0) suhteliselt väikeste muutustega seda pidada ligikaudu eksponentsiaalseks intensiivsusega R, mis on võrdne keskmise väärtusega R(0-
Seega, diskreetsete olekute ja pideva ajaga uuritava süsteemi S puhul toimuvad üleminekud olekust olekusse teatud intensiivsusega H Poissoni sündmuste voogude toimel.
Vaadeldavas mudelis tuleks võimsust pidada piiratuks. Sissetulev nõuetevoog tuleneb piiratud arvust töötavatest masinatest (N - k), mis juhuslikel aegadel ebaõnnestuvad ja vajavad hooldust. Veelgi enam, kõik (N - k) masin töötavad. Loob intensiivsusega Poissoni nõuete voo
Esitagem autot mingi süsteemina S diskreetsete olekutega iSj,. 2. .... Sn, mis Poissoni sündmuse mõjul läheb olekust S/ olekusse Sj(i - 1, 2, ..., n, j = I, 2, ..., and) voolud (rikked) intensiivsustega xd. Vaatleme järgmisi auto olekuid, milles see võib olla töös ja mida iseloomustab kogu päeva kestev seisak
Sündmuste vool 53
Pange tähele, et kuigi hoiustaja poolt konto likvideerimiseni viivate asjaolude Poissoni voog k (t) ei ole meie mudelis jälgitav, siis konto haldamise tõenäosus q (tu,t) ja eeldatav kestus XI1 = Mt - 10 Konto olemasolu saab põhimõtteliselt hinnata vaadeldava statistika põhjal. Omades statistilisi hinnanguid m - 10 ja 4-(tu, t) suurustele Mm - 0 ja q (t0, t), on lihtne saada hinnanguid (0 0 mittejälgitava Poissoni protsessi parameetri A jaoks). sel viisil hinnatud parameeter X tähendab konto sulgemiseni viivate asjaolude eeldatavat juhtumite arvu ajaühikus.
Ettevõtjate populatsiooni või uute ettevõtjate sünniprotsessi võib seega vaadelda kui kõige lihtsamat Poissoni voolu.
Lihtsaima Poissoni voolu korral on tõenäosus, et ajas r toimub täpselt m sündmust
Definitsioon 5.8. Statsionaarset Poissoni voolu nimetatakse lihtsaimaks.
Vaatleme mittestatsionaarset Poissoni voolu intensiivsusega Mf), mingit ajavahemikku pikkusega r>0, mis algab hetkest t0 (ja lõpeb seega hetkel + r) ja diskreetset juhuslikku suurust X p r) - voolus toimuvate sündmuste arv ajavahemikul ta kuni t0+r.
Järeldus 6.1. Mittestatsionaarses Poissoni voolus intensiivsusega A(t) tõenäosus, et ajavahemikul t0 kuni t0 + r
Definitsioon 6.2. Sündmuse toimumise tõenäosuselemendiks mittestatsionaarses Poissoni voolus on sündmuse toimumise tõenäosus >,(AO elementaarsel (piisavalt väikesel) ajavahemikul t0 kuni t0+bt.
Teoreem 6.2. Sündmuse toimumise tõenäosuselemendi puhul elementaarsel ajavahemikul t0 kuni t0 + Af mittestatsionaarses Poissoni voolus intensiivsusega A(t) kehtib ligikaudne valem
Ebastabiilse Poissoni voolu intensiivsus A(t)
Siiski sisse Viimastel aastatel on tõestatud, et "kui /7 seadmetest koosneva teenindussüsteemi saabub intensiivsusega /I Poissoni voog ja teenuse kestvus allub täiesti meelevaldsele jaotusseadusele C (ES), mille matemaatiline definitsioon on I / c , siis piiravate tõenäosuste P puhul jääb kehtima valem (36), Seetõttu ei sõltu statsionaarses režiimis tõenäosused / mitte teenindamise kestuse tõenäosusjaotuse tunnustest, vaid ainult keskmisest teenindamise kestusest. . nagu
Vaatleme sellise probleemi lahendust Neftekumski UBR-i tingimustes. Testimisteenuse toimimise analüüs võimaldas koostada kaevude testimise intensiivsuse ja testimise kestuse statistilised seeriad. Seeria uurimine võimaldas järeldada, et katsesse sisenevate kaevude vool on üks statsionaarne vool ilma tagajärgedeta, st sellel on Poissoni voolu omadused. Piisava täpsusega võime eeldada, et teenindusaeg jaotub eksponentsiaalseaduse järgi. Statistiliste seeriate põhjal koostati tabelid puurkaevude katsetamiseks kasutuselevõtu intensiivsuse jaotuse kohta (tabel 36)
See ülesanne on sõnastatud järgmiselt: nõudlusvoog on Poissoni intensiivsusega R, teenuse kestus jaotub eksponentsiaalseaduse järgi ja keskmine teenuse kestus iAy. Kui teenindusseadmete arv on võrdne n-ga, siis statsionaarse Poissoni nõuete voo korral on tõenäosused Pt (t) (tõenäosused, et hetkel t on teenuse hõivatud I seadmetega) nende piirväärtuste lähedal. (Erlashi valem)
Kui kombineerida mitu sõltumatut võrreldava intensiivsusega tavalist voolu, siis voogude liikmete arvu suurenemisega läheneb kombineeritud voog võimaliku mittestatsionaarsusega kõige lihtsamale. Kui vooluliikmed on statsionaarsed, siis piirväärtuses saadakse Poissoni vool. Kombineeritud voolu intensiivsus on võrdne nende igaühe intensiivsuse summaga.
Kõik plokki kuuluvad üksused on keerukas süsteem, mis koosneb suurest hulgast elementidest. Kõigi nende ebaõnnestumine võib kaasa tuua kogu üksuse ülesande täitmise võime kaotuse. Üksuse rikete voog ajas moodustub paljude sündmuste - selle koosseisu kuuluvate elementide rikete voogude - superpositsiooni tulemusena. Praktilise ülesande lahendamisel võib elementide rikkeid pidada sõltumatuteks (või nõrgalt sõltuvateks) ja tavalisteks sündmusteks, seetõttu on kogu üksuse kogu rikkevoolu jaoks õigustatud kasutada juhuslike protsesside teoorias piirvoolu teoreemi. . See teoreem defineerib tingimused, mille korral sõltumatute (või nõrgalt sõltuvate) tavaliste sündmuste voogude summa taandatakse Poissoni jaotusele, mis vastab ühiku rikete arvule antud ajavahemikul t. Tingimused on, et summeeritud vood peaksid olema ligikaudu samad mõju koguvoolule. Inseneripraktikas on soovitatav lugeda Poissoni vooluks rohkem kui 5-7 voolu summat, kui nende voolude intensiivsused on samas suurusjärgus. See väide põhineb mitmel statistilisel testimisel läbi viidud uuringul. Eelneva põhjal on CES-üksuse iga üksuse rikete arv t vahemikus (/, M-m) jaotus kujul
Seadme normaalse töö perioodil (keskosas) eeldatakse praktiliste ülesannete lahendamisel sageli R, (/) = R = onst, s.o. võtta kasutusele statsionaarne Poissoni rikkevoolu mudel. Sel juhul võtab valem (2.8.1) kuju
Vastavalt CES üksuse töökindlusnäitajale võetakse keskmine aeg TNB rikete vahel ja hooldatavusnäitaja on keskmine taastumisaeg pärast TVB riket.Nende näitajate arvutamise valemite saamiseks kasutame omadust
Eelmistes loengutes õppisime, kuidas simuleerida juhuslike sündmuste algust. See tähendab, et me saame mängida mis võimalikest sündmustest tulevad ja milles kogus. Selle kindlaksmääramiseks on vaja teada sündmuste toimumise statistilisi karakteristikuid, näiteks võib selliseks väärtuseks olla sündmuse toimumise tõenäosus või erinevate sündmuste tõenäosusjaotus, kui neid on lõpmata palju liike. sündmused.
Kuid sageli on oluline teada millal teatud sündmus toimub õigel ajal.
Kui sündmusi on palju ja need järgnevad üksteisele, siis need moodustuvad voolu. Pange tähele, et sündmused peavad sel juhul olema homogeensed, st mingil moel üksteisega sarnased. Näiteks juhtide ilmumine bensiinijaamadesse, kes soovivad oma autot tankida. See tähendab, et homogeensed sündmused moodustavad sarja. Sel juhul loetakse, et antud nähtuse statistiline tunnus (sündmuste voo intensiivsus) on antud. Sündmuste voo intensiivsus näitab, kui palju keskmine sellised sündmused toimuvad ajaühikus. Kuid millal iga konkreetne sündmus täpselt toimub, tuleb modelleerimismeetoditega kindlaks määrata. On oluline, et kui genereerime näiteks 1000 sündmust 200 tunni jooksul, oleks nende arv ligikaudu võrdne sündmuste esinemise keskmise intensiivsusega 1000/200 = 5 sündmust tunnis, mis on seda voolu iseloomustav statistiline väärtus. tervikuna.
Voo intensiivsus on teatud mõttes sündmuste arvu matemaatiline ootus ajaühikus. Kuid tegelikkuses võib selguda, et ühes tunnis ilmub 4 sündmust ja teises 6, kuigi keskmiselt saadakse 5 sündmust tunnis, seega ühest väärtusest voolu iseloomustamiseks ei piisa. Teine suurus, mis iseloomustab, kui suur on sündmuste levik matemaatilise ootuse suhtes, nagu varemgi, dispersioon. Tegelikult määrab see väärtus sündmuse toimumise juhuslikkuse, selle toimumise hetke nõrga prognoositavuse. Sellest väärtusest räägime järgmises loengus.
Sündmuste voog on juhuslike ajavahemike järel üksteise järel toimuvate homogeensete sündmuste jada. Ajateljel näevad need sündmused välja nagu näidatud joonisel fig. 28.1.
Sündmuste voo näiteks on hetkede jada, mil lennukid puudutavad lennujaama saabuvat rada.
Voolukiirus λ on sündmuste keskmine arv ajaühikus. Voolukiirust saab eksperimentaalselt arvutada järgmise valemi abil: λ = N/T n, kus N vaatluse käigus toimunud sündmuste arv T n .
Kui sündmuste vaheline intervall τ j on võrdne konstandiga või defineeritud mõne valemiga kujul: t j = f(t j 1), siis nimetatakse voolu deterministlik. Vastasel juhul nimetatakse voogu juhuslikuks.
Juhuslikud vood on:
- tavaline: kahe või enama sündmuse samaaegse toimumise tõenäosus on null;
- statsionaarne: sündmuste sagedus λ (t) = const( t) ;
- ei mingit järelmõju: juhusliku sündmuse toimumise tõenäosus ei sõltu eelnevate sündmuste hetkest.
Poissoni vool
Voolustandardi jaoks modelleerimisel on tavaks võtta Poissoni voog.
Poissoni vool on tavaline vool, millel pole järelmõju.
Nagu varem öeldud, on tõenäosus, et teatud aja jooksul (t 0 , t 0 + τ ) juhtuma m sündmused, määratakse kindlaks Poissoni seadusest:
kus a Poissoni parameeter.
Kui a λ (t) = const( t) , see on statsionaarne Poissoni vool(kõige lihtsam). Sel juhul a = λ · t . Kui a λ =var( t) , see on ebakindel Poissoni vool.
Lihtsaima voolu korral esinemise tõenäosus m sündmused aja jooksul τ on võrdne:
mitteilmumise tõenäosus (st mitte ilmumise tõenäosus, m= 0 ) sündmused aja jooksul τ on võrdne:
Riis. 28.2 illustreerib sõltuvust P 0 ajast. On ilmne, et mida pikem on vaatlusaeg, seda väiksem on tõenäosus, et sündmust ei toimu. Pealegi, mida suurem on väärtus λ , mida järsemaks graafik läheb, st seda kiiremini tõenäosus väheneb. See vastab asjaolule, et kui sündmuste toimumise intensiivsus on suur, siis sündmuse mittetoimumise tõenäosus väheneb kiiresti koos vaatlusajaga.
Tõenäosus, et toimub vähemalt üks sündmus ( P XB1S ) arvutatakse järgmiselt:
sest P HB1S + P 0 = 1 (kas ilmub vähemalt üks sündmus või ei ilmu ühtegi, teist ei anta).
Jooniselt fig. 28.3 on näha, et vähemalt ühe sündmuse toimumise tõenäosus kipub ajas ühtlustuma, st sündmuse asjakohasel pikaajalisel vaatlusel juhtub see kindlasti varem või hiljem. Mida kauem me sündmust jälgime (seda rohkem t), seda suurem on sündmuse toimumise tõenäosus, funktsiooni graafik monotoonselt kasvab.
Mida suurem on sündmuse toimumise intensiivsus (seda rohkem λ ), seda kiiremini see sündmus toimub ja seda kiiremini kipub funktsioon ühtlustuma. Graafikul parameeter λ mida esindab joone järsus (puutuja kalle).
Kui suurendate λ , siis sama aja sündmust jälgides τ , suureneb sündmuse toimumise tõenäosus (vt joonis 28.4). Ilmselgelt algab graafik nullist, sest kui vaatlusaeg on lõpmatult väike, siis tõenäosus, et sündmus selle aja jooksul aset leiab, on tühine. Ja vastupidi, kui vaatlusaeg on lõpmatult pikk, siis sündmus toimub kindlasti vähemalt korra, mis tähendab, et graafik kaldub tõenäosusväärtusele 1.
Õigust uurides saab kindlaks teha, et: m x = 1/λ , σ = 1/λ , see tähendab kõige lihtsama voolu jaoks m x = σ . Matemaatilise ootuse võrdsus standardhälbega tähendab, et antud voog on järelmõjuta voog. Sellise voolu hajuvus (täpsemalt standardhälve) on suur. Füüsiliselt tähendab see, et sündmuse toimumise aeg (sündmustevaheline kaugus) on halvasti ennustatav, juhuslik, jääb intervalli m x σ < τ j < m x + σ . Kuigi on selge, et keskmiselt on see ligikaudu võrdne: τ j = m x = T n/ N . Sündmus võib ilmneda igal ajahetkel, kuid selle hetke ulatuses τ j suhteliselt m x peal [ σ ; +σ ] (järelmõju väärtus). Joonisel fig. 28.5 näitab sündmuse 2 võimalikke asukohti antud ajatelje suhtes σ . AT sel juhul nad ütlevad, et esimene sündmus ei mõjuta teist, teine ei mõjuta kolmandat ja nii edasi, see tähendab, et järelmõju pole.
Selle tähenduses P võrdub r(vt loeng 23. Juhusliku sündmuse modelleerimine. Kokkusobimatute sündmuste täieliku rühma modelleerimine), seega väljendades τ valemist (*) Lõpuks, et määrata kahe juhusliku sündmuse vahelised intervallid, on meil:
τ = 1/ λ Ln( r) ,
kus rühtlaselt jaotatud 0 kuni 1 juhuslik arv, mis on võetud RNG-st, τ intervall juhuslike sündmuste vahel (juhuslik muutuja τ j ).
Näide 1. Mõelge tehnoloogilisele operatsioonile tulevate toodete voogudele. Üksusi saabub juhuslikult keskmiselt kaheksa tükki päevas (voolukiirus λ = 8/24 [ühik/tund]). Seda protsessi on vaja selle ajal simuleerida T h = 100 tundi. m = 1/λ = 24/8 = 3 , see tähendab keskmiselt üks detail kolme tunni kohta. Märka seda σ = 3. Joonisel fig. 28.6 näitab algoritmi, mis genereerib juhuslike sündmuste voo.
Joonisel fig. 28.7 näitab algoritmi töö tulemuseks ajahetke, millal osad tulid operatsioonile. Nagu näha, just sellel perioodil T n = 100 töödeldud tootmissõlme N= 33 toodet. Kui käivitame algoritmi uuesti, siis N võib olla võrdne näiteks 34, 35 või 32-ga. Keskmiselt aga K algoritm töötab N on võrdne 33,33-ga, kui arvutame sündmuste vahemaad t Koos i ja ajahetked, mis on määratletud kui 3 i, siis on keskmine väärtus võrdne σ = 3 .
Ebatavaliste sündmuste voogude modelleerimine
Kui on teada, et voog ei ole tavaline, siis tuleb modelleerida lisaks sündmuse toimumise hetkele ka sündmuste arv, mis sel hetkel võiksid ilmneda. Näiteks vagunid raudteejaam saabuda osana rongist juhuslikel kellaaegadel (tavaline rongivool). Kuid samal ajal võib rongis olla erinev (juhuslik) arv autosid. Sel juhul räägitakse vagunite voolust kui erakordsete sündmuste voolust.
Oletame, et M k = 10 , σ = 4 (see tähendab, et keskmiselt 68 juhul 100-st saabub rongi 6 kuni 14 autot) ja nende arv jaguneb vastavalt tavaseadusele. Eelmises algoritmis (vt joon. 28.6) tähistatud kohta (*) tuleb sisestada joonisel fig. 28.8.
Näide 2 . Tootmises väga kasulik on järgmise probleemi lahendus. Kui suur on tehnoloogilise sõlme seadmete keskmine päevane tühikäiguaeg, kui sõlm töötleb iga toodet juhusliku aja, mis on määratud juhuslike sündmuste voo intensiivsusega λ 2? Samas tehti katseliselt kindlaks, et tooteid tuuakse töötlemiseks ka voolu poolt määratud juhuslikel aegadel λ 1 partiidena 8 tükki ja partii suurus kõigub juhuslikult vastavalt tavaseadusele m = 8 , σ = 2 (vt loeng 25). Enne simulatsiooni T= 0 kaupa ei olnud laos. Seda protsessi on vaja selle ajal simuleerida T h = 100 tundi.
Joonisel fig. 28.9 näitab algoritmi, mis genereerib juhuslikult töötlemiseks tootepartiide saabumise voo ja töötlemisest pärinevate tootepartiide väljundi juhuslike sündmuste voo.
Joonisel fig. 28.10 näitab algoritmi töö tulemuseks ajahetke, millal osad jõudsid toimingule, ja ajapunkte, millal osad operatsioonist lahkusid. Kolmas rida näitab, mitu osa oli erinevatel ajahetkedel töötlemise järjekorras (ladus sõlme laos).
Märkides töötlemissõlme aegu, mil see oli jõude, oodates järgmist osa (vt punast varjundit joonisel 28.10), saame arvutada sõlme kogu jõudeoleku kogu vaatlusaja kohta ja seejärel arvutada keskmise jõudeoleku. aega päeva jooksul. Selle teostuse jaoks arvutatakse see aeg järgmiselt:
T pr vrd. = 24 ( t 1 pr. + t 2 pr. + t 3 ave. + t 4 pr. + + t N jne.)/ T n.
1. harjutus. Väärtuse muutmine σ , installige sõltuvus T pr vrd. ( σ ) . Määrates ühiku seisaku maksumuseks 100 eurot / tund, määrake ettevõtte iga-aastane kahjum tarnijate töö ebakorrapärasusest. Pakkuda välja ettevõtte ja tarnijate vahelise lepingu punkti "Trahvi suurus toodete kohaletoimetamise viivitamise eest" sõnastus.
Ülesanne 2 . Lao esmase täitumise väärtust muutes tehke kindlaks, kuidas muutuvad ettevõtte iga-aastased kahjumid tarnijate töö ebakorrapärasusest sõltuvalt ettevõttes kasutusele võetud varude väärtusest.
Mittestatsionaarsete sündmuste voogude modelleerimine
Mõnel juhul võib voolukiirus aja jooksul muutuda. λ (t) . Sellist voolu nimetatakse mittestatsionaarseks. Näiteks keskmine kiirabiautode arv tunnis, mis lahkuvad jaamast avalikkuse väljakutsete peale suur linn päeva jooksul võib olla erinev. Näiteks on teada, et kõige rohkem kõnesid langeb ajavahemikule 23.00–01.00 ja 05.00–07.00, teistel tundidel aga poole vähem (vt joon. 28.11).
Sel juhul jaotus λ (t) saab määrata kas graafiku, valemi või tabeli abil. Ja joonisel fig. 28.6, peate (**) tähistatud kohta sisestama joonisel fig. 28.12.
Sündmusvoogude hulgas on erilisel kohal nn Poissoni voog, millel on teistega võrreldes mitmeid omadusi, mis hõlbustavad oluliselt probleemide lahendamist.
Poissoni sündmuste voog nimetatakse vooluks, millel on kaks omadust – tavaline ja tagajärgede puudumine.
Voolu nimetatakse vool ilma järelmõjuta, kui kahe mittekattuva lõigu t 1 ja t 2 puhul ei sõltu ühele neist langevate sündmuste arv sellest, kui palju sündmusi teisele langes.
Tähistasime ajavahemikus t 1 kuni toimunud juhuslikku arvu sündmusi X 1 ja intervallil t 2, läbi X 12 . Järelmõjuta voo korral juhuslikud muutujad X 1 ja X 2 on iseseisvad, st. tõenäosus, et segmendis t 2 on toimunud teatud arv sündmusi m 2 ei sõltu sündmuste arvust m 1 toimus kohapeal t 1 .
P(x 2 =m 2½ x 1 =m 1) = P(x 2 =m).
(m 1 =0, 1, 2,…)
(m 2 =0, 1, 2,…). (2.47)
Tõenäosusteooriast on teada, et Poissoni voolu puhul sündmuste arv X 1, mis langeb mis tahes pikkusega t intervallile, mis külgneb punktiga t, jaotatud vastavalt Poissoni seadusele (joonis 2.5.):
kus ( a×(t× t)) m on sündmuste keskmine arv, mis toimuvad ajahetkega külgneval ajavahemikul t t. Seetõttu nimetatakse voolu "Poissoniks".
Tavalise voolu keskmine sündmuste arv on võrdne voolu intensiivsusega l( t). Seetõttu on ajaga külgnevas ajavahemikus t esinevate sündmuste keskmine arv t on võrdne:
Kui Poissoni sündmuste voog on statsionaarne, siis kogus a ei sõltu t:
Sel juhul on tõenäosus, et suvaliselt valitud ajavahemikul kestusega t m sündmused määratakse järgmise valemiga:
Statsionaarset voolu nimetatakse sageli lihtsaimaks vooluks, kuna erinevate süsteemide analüüsimisel kasutatakse lihtsaid voogusid järjekorras seismine viib kõige lihtsamate lahendusteni. Leiame kahe sündmuse vahelise ajaintervalli jaotuse seaduse kõige lihtsamas voos (joonis 2.6.):
Tõenäosus, et ala t, ühe sündmuse järel ei kuvata ühtki sündmust:
Kuid see tõenäosus on võrdne tõenäosusega, et juhuslikud muutujad T saab olema suurem kui t. Järelikult
F(t)=P(T<1)=1 - lk×( T>t)=1 - e-lt , t>0. (2.54)
kus F(t) on juhusliku suuruse jaotusfunktsioon T.
Seda avaldist eristades saame juhusliku suuruse jaotustiheduse T:
f( t)=l e-lt , (t>0). (2.55)
Seega jaotuvad kõige lihtsamas voolus kahe naabersündmuse vahelised intervallid tõestusseaduse järgi parameetriga l.
Järelmõju puudumise tõttu on kõik külgnevate sündmuste vahelised intervallid sõltumatud juhuslikud muutujad. Sellepärast lihtsaim vool on statsionaarne vool Palm.
Juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon T- ajavahemik kahe sündmuse vahel kõige lihtsamas voos on võrdne:
Sellel viisil,
Regulaarne sündmuste voog:
kus T* ala, kuhu juhuslik sündmus langeb.
Regulaarne vool on sündmuste jada, mis on eraldatud rangelt võrdsete intervallidega.
Sündmuste vahelise intervalli jaotustihedust saab esitada järgmiselt:
f(t)=d( t-mt), (2.59)
kus d( t) on tuntud deltafunktsioon.
Kuna külgnevate punktide vaheline intervall on rangelt konstantne ja võrdne m t, siis ilmselgelt oodatud väärtus see intervall on m t, a Dt= 0.
Leiame aja Q jaotusseaduse juhuslikust punktist järgmise sündmuseni:
Tavalises voos külgnevate sündmuste vahelise intervalli iseloomulik funktsioon on:
g(x)= e - imtx. (2.61)
Regulaarset sündmuste voogu kasutatakse rakendusprobleemide lahendamisel suhteliselt harva. Seda seletatakse asjaoluga, et sellisel sündmustevool on väga suur (piiramatu) järelmõju, kuna teades ainult ühte sündmuste toimumise hetke tavalises voos, on võimalik taastada kogu selle voo minevik ja ennustada tulevik.
Kirjeldab konstantse kiirusega toimuvate juhuslike sündmuste arvu.
Poissoni voolu tõenäosuslikke omadusi iseloomustab täielikult funktsioon Λ(A), võrdne intervalli juurdekasvuga AGA mõni vähenev funktsioon. Kõige sagedamini on Poissoni voolul hetkeline parameetri väärtus λ(t)- funktsioon, mille pidevuse punktides on voolusündmuse tõenäosus intervallis on võrdne λ(t)dt. Kui a AGA- joonelõik , siis
Λ (A) = ∫ a b λ (t) d t (\displaystyle \Lambda (A)=\int \limits _(a)^(b)\lambda (t)\,dt)Poissoni vool mille jaoks λ(t) võrdne konstandiga λ , nimetatakse parameetriga lihtsaimaks vooluks λ .
Poissoni vood on määratletud mitmemõõtmelise ja üldiselt mis tahes abstraktse ruumi jaoks, kuhu saab mõõta sisestada Λ(A). Statsionaarset Poissoni voolu mitmemõõtmelises ruumis iseloomustab ruumiline tihedus λ . Kus Λ(A) võrdne ala mahuga AGA korrutatud λ .
Klassifikatsioon
Poissoni protsesse on kahte tüüpi: lihtsad (või lihtsalt: Poissoni protsess) ja keerulised (üldistatud).
Lihtne Poissoni protsess
Lase λ > 0 (\displaystyle \lambda >0). Juhuslik protsess ( X t ) t ≥ 0 (\displaystyle \(X_(t)\)_(t\geq 0)) nimetatakse intensiivsusega homogeenseks Poissoni protsessiks λ (\displaystyle \lambda), kui
Keeruline (üldistatud) Poissoni protsess
Tähistage S k (\displaystyle S_(k)) sisestatud jada esimese k elemendi summa.
Seejärel määratleme keerulise Poissoni protsessi ( Y t ) (\displaystyle \(Y_(t)\)) kuidas S N (t) (\displaystyle S_(N(t))) .
Omadused
- Poissoni protsess aktsepteerib ainult mittenegatiivseid täisarvu väärtusi ja pealegi
- Poissoni protsessi trajektoorid on tükkhaaval konstantsed, mittekahanevad funktsioonid, mille hüpped on peaaegu kindlalt võrdsed. Täpsemalt
kus o (h) (\displaystyle o(h)) tähistab "o small".
Kriteerium
Selleks, et mingi juhuslik protsess ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\)) pideva ajaga oli Poisson (lihtne, homogeenne) või identne null, piisab järgmiste tingimuste täitmisest:
Teabe omadused
Kas see oleneb T (\displaystyle T) trajektoori eelmisest osast?
P (( T > t + s ∣ T > s )) (\displaystyle \mathbb (P) (\(T>t+s\mid T>s\))) - ?
Lase u (t) = P (T > t) (\displaystyle u(t)=\mathbb (P) (T>t)).
U (t ∣ s) = P (T > t + s ∩ T > s) P (T > s) = P (T > t + s) P (T > s) (\displaystyle u(t\mid s) =(\frac (\mathbb (P) (T>t+s\cap T>s))(\mathbb (P) (T>s)))=(\frac (\mathbb (P) (T>t) +s))(\mathbb (P) (T>s))))
u (t ∣ s) u (s) = u (t + s) (\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s))
u (t ∣ s) = s (t) ⇔ u (t) = e − α t (\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\vasakparemnool u(t)=e^(-\alpha t )).
Hüpetevaheliste ajavahemike pikkuste jaotusel on mälupuuduse omadus ⇔ see on eksponentsiaalne.
X (b) − X (a) = n (\kuvastiil X(b)-X(a)=n)- hüpete arv segmendil [a, b] (\displaystyle).
Hüppemomentide tinglik jaotus τ 1 , … , τ n ∣ X (b) − X (a) = n (\displaystyle \tau _(1),\dots ,\tau _(n)\mid X(b)-X(a)= n) langeb kokku pikkuse valimi põhjal koostatud variatsiooniseeria jaotusega n (\displaystyle n) alates R [ a , b ] (\displaystyle R).
Selle jaotuse tihedus f τ 1 , … , τ n (t) = n ! (b − a) n I (t j ∈ [ a , b ] ∀ j = 1 , n ¯) (\displaystyle f_(\tau _(1),\dots ,\tau _(n))(t)=( \frac (n{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (t_{j}\in \ \forall j={\overline {1,n}})} !}
CPT
- Teoreem.
P (X (t) − λ t λ t<
x)
⇉
x
λ
t
→
∞
Φ
(x)
∼
N
(0
,
1)
=
1
2
π
∫
−
∞
x
e
−
u
2
2
d
u
{\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}} Lähenemismäär: Poissoni voolu kasutatakse erinevate reaalsete voogude simuleerimiseks: õnnetused, laetud osakeste voog kosmosest, seadmete rikked ja muud. Seda on võimalik kasutada ka finantsmehhanismide, näiteks maksevoogude ja muude reaalsete voogude analüüsimiseks. Ehitada erinevate teenindussüsteemide mudeleid ja analüüsida nende sobivust. Poissoni voogude kasutamine lihtsustab oluliselt järjekorrasüsteemide probleemide lahendamist, mis on seotud nende efektiivsuse arvutamisega. Kuid tegeliku voolu põhjendamatu asendamine Poissoni vooluga, kus see on vastuvõetamatu, põhjustab suuri valearvestusi. Praktikas piirduvad nad enamasti kõige lihtsama (Poissoni) rakenduste vooga. Definitsioon. Sündmuste voog atribuutidega tavalisus, statsionaarsus ja järelmõju puudumine, kutsutakse kõige lihtsam ( või statsionaarne Poisson) vool. Lihtsaima sündmuste voo korral on tõenäosus, et täpselt k sündmust toimub ajavahemikus pikkusega t, Poissoni jaotusega ja määratakse järgmise valemiga: P(X(t,t) = k) = a k e -a /k! (k = 0, 1, 2,…), kus a = lt, l on voolu intensiivsus. Sündmuste voo intensiivsuse füüsiline tähendus on sündmuste keskmine arv ajaühikus (päringute arv ajaühikus), dimensioon on 1/aeg. Seda voogu nimetatakse kõige lihtsamaks, kuna kõige lihtsamate voogude mõju all olevate süsteemide uurimine toimub kõige lihtsamal viisil. Intervallide jaotus kõige lihtsama voo päringute vahel on eksponentsiaalne (eksponentsiaalne) jaotusfunktsiooniga ja tihedus , kus on päringute saabumise intensiivsus QS-is. Mõelge kõige lihtsama voolu põhiomadustele: statsionaarsus; tavaline; Ei mingit järelmõju. statsionaarsus.
Statsionaarsuse omadus avaldub selles, et teatud arvu sündmuste tabamise tõenäosus ajavahemikus sõltub ainult sektsiooni pikkus
ja ei sõltu selle asukohast teljel
.
Teisisõnu tähendab statsionaarsus sündmuste ajas kulgemise tõenäosusliku režiimi muutumatust. Voolu, millel on omadus olla paigal, nimetatakse paigal. Statsionaarse voolu korral jääb süsteemi mõjutavate sündmuste keskmine arv ajaühiku jooksul muutumatuks. Reaalsed sündmuste vood ettevõtte majanduses on tegelikult paigal ainult piiratud aja jooksul. Tavalisus. Tavalise voo omadus on olemas, kui tõenäosus, et kaks või enam sündmust tabavad elementaarset ajavahemikku, on selle intervalli pikkusega võrreldes tühiselt väike. Tavalisuse omadus tähendab, et lühikese aja jooksul on peaaegu võimatu juhtuda rohkem kui üks sündmus. Nimetatakse voogu, millel on ordinaalsuse omadus tavaline. Erinevate majandussüsteemide tegelikud sündmuste vood on kas tavalised või lihtsalt taandatavad tavaliseks. Ei mingit järelmõju.
Voo see omadus seisneb selles, et mittekattuvate ajalõikude puhul ei sõltu ühele neist langevate sündmuste arv sellest, kui palju sündmusi teistele ajalõikudele langeb. Nimetatakse voogu, millel pole järelmõju omadust vool ilma järelmõjuta. Sündmuste voogu, millel on samaaegselt statsionaarsuse, tavalisuse ja järelmõju puudumise omadused, nimetatakse lihtsaim sündmuste voog. 2.6. Komponendid ja klassifikatsioon järjekorrasüsteemide mudelid (QS) Järjekorrasüsteemide (TSMO) teooria esimeste probleemidega tegelesid Kopenhaageni telefonifirma töötajad, Taani teadlane A. K. Erlang (1878–1929) aastatel 1908–1922. Need ülesanded tõi ellu soov telefonivõrgu tööd sujuvamaks muuta ja eelnevalt välja töötada meetodid klienditeeninduse kvaliteedi parandamiseks, olenevalt kasutatavate seadmete arvust. Selgus, et telefonikeskjaamades tekkivad olukorrad pole tüüpilised ainult telefonisuhtlusele. TSMO raames saab kirjeldada lennuväljade tööd, mere- ja jõesadamate, kaupluste, terminaliklasside, radarikomplekside, radarijaamade jne jne tööd. Järjekorrasüsteemid- need on süsteemid, milles teenusepäringuid võetakse vastu juhuslikel aegadel, samal ajal kui vastuvõetud päringuid teenindatakse süsteemi käsutuses olevate teenusekanalite kaudu. Järjekorraprotsessi modelleerimise positsioonilt tekivad olukorrad, mil moodustatakse teenusetaotluste (nõuete) järjekorrad järgmiselt. Pärast teenindussüsteemi sisenemist liitub nõue teiste (varem laekunud) nõuete järjekorda. Teeninduskanal valib nõude järjekorras olevate hulgast, et seda teenindada. Pärast järgmise päringu teenindamise protseduuri lõpetamist alustab teeninduskanal järgmise päringu teenindamist, kui see on ooteplokis. Seda tüüpi järjekorrasüsteemi töötsükkel kordub mitu korda kogu teenindava süsteemi tööperioodi jooksul. Eeldatakse, et süsteemi üleminek järgmise nõude teenindamiseks pärast eelmise nõude teenindamise lõpetamist toimub hetkega, juhuslikel aegadel. Järjekorrasüsteemide näideteks on autode hoolduspostid; mis tahes ettevõte teenindussektoris; personaalarvutid, mis teenindavad sissetulevaid rakendusi või nõudeid teatud probleemide lahendamiseks; audiitorfirmad; ettevõtete jooksvate aruannete vastuvõtmise ja kontrollimisega tegelevad maksuinspektsiooni osakonnad; telefonikeskjaamad jne. Reaalsed süsteemid, millega tuleb praktikas tegeleda, on reeglina väga keerulised ja sisaldavad mitmeid hooldusetappe (etappe). Lisaks võib igas etapis esineda tõrgete täitmine või muude nõuetega võrreldes prioriteetse teenuse olukord. Sel juhul võivad üksikud teeninduslingid oma töö peatada (remondiks, reguleerimiseks jne) või võidakse ühendada lisavahendeid. Võib esineda olukordi, kus tagasilükatud päringud sisestatakse uuesti süsteemi (infosüsteemides võib see juhtuda). Mis tahes järjekorrasüsteemi peamised komponendid on: Sissetulevate nõuete või teenusepäringute sisendvoog; järjekorra distsipliin; teenindusmehhanism. Nõuded sisendvoog. Sisendvoo kirjeldamiseks on vaja kehtestada tõenäosusseadus, mis määrab teenusetaotluste saabumishetkede järjestuse ja näitab selliste päringute arvu igal järgmisel saabumisel. Sel juhul toimivad nad reeglina mõistega "nõuete laekumise hetkede tõenäosuslik jaotus". Siin võivad saabuda nii üksik- kui ka rühmanõuded (nõuded sisenevad süsteemi rühmade kaupa). Viimasel juhul räägime tavaliselt paralleelrühmateenusega järjekorrasüsteemist. Järjekorra distsipliin- see on järjekorrasüsteemi oluline komponent, mis määratleb põhimõtte, mille järgi serveerimissüsteemi sisendisse saabuvad nõuded ühendatakse järjekorrast teenindusprotseduuriga. Kõige sagedamini kasutatavad järjekorrad on määratletud järgmiste reeglitega. - esimene sisse, esimene välja (FIFO) – viimati saabunud – esimene kättetoimetamine (LIFO); – päringute juhuslik valik (RANDOM); – taotluste valik prioriteetsuse kriteeriumi (PR) järgi; – teenuse osutamise hetke ooteaja piiramine (teenindusele on piiratud ooteajaga järjekord või kohtade arv, mis on seotud mõistega "lubatav järjekorra pikkus"). Tuleb märkida, et rakenduse teenindamise aeg sõltub rakenduse enda olemusest või kliendi nõudmistest ning teenindussüsteemi olekust ja võimalustest. Paljudel juhtudel on vaja arvestada ka tõenäosusega, et teenindusseade pärast teatud piiratud ajaintervalli möödumist väljub. Teenindussüsteemi struktuuri määrab teeninduskanalite (mehhanismid, seadmed jne) arv ja vastastikune paigutus. Teenindussüsteemil võib olla rohkem kui üks teeninduskanal, kuid mitu – seda tüüpi süsteem suudab korraga teenindada mitut nõuet. Sel juhul, kui kõik teeninduskanalid pakuvad samu teenuseid, võib väita, et on olemas paralleelteenus - mitme kanaliga süsteem. Teenindussüsteem võib koosneda mitmest erinevat tüüpi teeninduskanalist, mille kaudu peab läbima iga teenindatav nõue, st teenindussüsteemis realiseeritakse nõuete teenindamise protseduurid järjestikku. Võttes arvesse järjekorrasüsteemide põhikomponente, võib väita, et mis tahes järjekorrasüsteemi funktsionaalsuse määravad järgmised peamised tegurid: Teenusetaotluste vastuvõtmise hetkede tõenäosuslik jaotus (üksik või rühm); Teenuse kestuse aja tõenäosusjaotus; Teenindussüsteemi konfiguratsioon (paralleel-, jada- või paralleeljadateenus); Teeninduskanalite arv ja jõudlus; järjekorra distsipliin; Nõuded toiteallikale. Piiratud ootega süsteemides saab piirata järjekorra pikkust, järjekorras viibimise aega. Piiramatu ootega süsteemides ootab järjekorras olnud rakendus teenust määramata aja, st kuni järjekorra lähenemiseni. Ülaltoodud QS klassifikatsioon on tingimuslik. Praktikas toimivad järjekorrasüsteemid enamasti segasüsteemidena. Näiteks ootavad päringud teenuse käivitumist teatud hetkeni, misjärel hakkab süsteem töötama tõrgetega süsteemina. Järjekorrateooria teema eesmärk on luua seos järjekorrasüsteemi funktsionaalsust määravate tegurite ja selle toimimise tõhususe vahel. Enamasti on kõik järjekorrasüsteeme kirjeldavad parameetrid juhuslikud muutujad või funktsioonid, mistõttu neid süsteeme nimetatakse stohhastilisteks süsteemideks. Nagu peamine järjekorrasüsteemide jõudluskriteeriumid Sõltuvalt lahendatava probleemi olemusest võib olla: laekunud taotluse viivitamatu kättetoimetamise tõenäosus; Vastuvõetud taotluse kättetoimetamisest keeldumise tõenäosus; süsteemi suhteline ja absoluutne läbilaskevõime; Keskmine protsent rakendustest, mille teenusest keelduti; Keskmine ooteaeg järjekorras; Keskmine järjekorra pikkus; Keskmine sissetulek süsteemi tööst ajaühiku kohta. Päringute voo juhuslik iseloom ja teenuse kestus toob kaasa asjaolu, et järjekorrasüsteemis toimub juhuslik protsess. Järjekorrasüsteemis (QS) toimuva juhusliku protsessi olemuse järgi eristatakse Markovi ja mitte-Markovi. Olenemata järjekorrasüsteemis toimuva protsessi olemusest, on QS-id kahte peamist tüüpi: riketega süsteemid, mille puhul nõue, mis siseneb süsteemi ajal, mil kõik kanalid on hõivatud, saab keeldumise ja väljub järjekorrast; ootamise (järjekorraga) süsteemid, milles päring, mis saabus hetkel, kui kõik teeninduskanalid on hõivatud, seisab järjekorras ja ootab, kuni üks kanal vabaneb. QS-i tüübi märkimiseks kasutatakse üldtunnustatud Kendall-Bashi nimetusi: X/Y/Z/m, kus X- päringute vastuvõtmise intervallide jaotamise seaduse tüüp; m- kohtade arv järjekorras. Jaotusseaduse liigi tähistuses täht M vastab eksponentsiaalsele jaotusele (sõnast Markovian), kiri E- Erlangi levitamine, R– ühtlane jaotus ja D- deterministlik suurus. Näiteks sissekanne M/M/1 tähendab ühe kanaliga süsteemi päringute vastuvõtmise ja teenindamise aja eksponentsiaalse jaotusega ( M– Markovian) ilma järjekorrata. 2.7. QS põhiomaduste arvutamine põhineb nende analüütiliste mudelite kasutamisel Vaatleme selliseid QS-i, kus süsteemi võimalikud olekud moodustavad ahela ja iga olek, välja arvatud algne ja viimane, on otse- ja tagasiside kaudu ühendatud kahe naaberolekuga. Sellist süsteemis toimuva protsessi skeemi nimetatakse "surm ja paljunemine" skeem. Mõiste pärineb bioloogilistest ülesannetest, protsess kirjeldab populatsiooni suuruse muutumist. Kui sellises süsteemis on kõik süsteemi olekust olekusse ülekandvad vood Poisson, siis nimetatakse protsessi Markovi juhuslik surma- ja paljunemisprotsess. Pange tähele, et sellistes süsteemides on kõik olekud olulised, mis tähendab, et Erlangi võrrandite lineaarsest süsteemist saab leida lõppoleku tõenäosused. Praktikas saab olulist osa süsteemidest (QS) kirjeldada "surma ja paljunemise" protsessi raames. Mõelge mõnda tüüpi sellistele süsteemidele: a) ühe kanaliga riketega (ilma järjekorrata); b) ühe kanaliga piiratud järjekorraga; c) riketega mitme kanaliga (ilma järjekorrata); d) piiratud järjekorraga mitme kanaliga.
sup x | P (X (t) − λ t λ t<
x)
−
Φ
(x)
|
⩽
C
0
λ
t
{\displaystyle \sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}
kus C 0 (\displaystyle C_(0)) on Berry-Esseeni konstant.Rakendus
Y- taotluste kättetoimetamise aja jaotamise seaduse liik;
Z- kanalite arv;
