Matematika je kao stroj za mljevenje mesa, može
obraditi bilo koje meso, ali kako bi
da biste dobili dobre kotlete, potrebno vam je dobro meso.
Jedan je ratnik izašao iz grada i hodao dnevno 12 versti, a drugi je u isto vrijeme izašao i hodao ovako: prvi dan je hodao 1 verstu, drugi dan 2 verste, treći dan 3 verste, na četvrti 4 verste, na peti 5 versti i tako je dodavao svaki dan po jednu verstu, dok nije prvoga pretekao. Za koliko će dana drugi ratnik prestići prvog?
Stari problem
Osnovni pojmovi teorije čekanja
Mnoga ekonomska pitanja povezana su s sustava Čekanje u redu , u kojem se zadovoljavaju zahtjevi za obavljanje bilo koje usluge.
Proučavanje sustava čekanja provodi se teorijom čekanja na čiji su početni razvoj osobito utjecali radovi danskog znanstvenika Erlanga A.K.(1878–1929) u projektiranju i radu telefonskih centrala.
Opća shema sustava čekanja prikazana je na sl. 11.1.
Zahtjev za uslugu(npr. neispravan automobil) ulazi u servisni sustav (autoservis). Ako ima slobodnih servisni kanali(master), tada je uvjet ispunjen. Ako su svi kanali zauzeti, tada se postavlja zahtjev red prema određenim pravilima ili ostavlja sustav neposluženim.
Glavni zadatak teorije čekanja je odrediti optimalan omjer između ulaznog toka zahtjeva i broja kanala za posluživanje, u kojem su ukupni ukupni troškovi minimalni.
Ukupni ukupni troškovi su zbroj troškova održavanja i troškova čekanja, a kako usluga raste, troškovi održavanja rastu, a troškovi čekanja opadaju.
Sustav čekanja može se opisati specificiranjem sljedećih komponenti: ulazni tok zahtjeva, disciplina čekanja i mehanizam usluge.
ulazni tok zahtjeva karakterizira vjerojatnosni zakon raspodjele trenutaka primitka zahtjeva u sustavu i broja zahtjeva u svakom primitku.
Trenutačno su teoretski najrazvijenije i najprikladnije u praktičnim primjenama metode za rješavanje takvih problema teorije čekanja u kojima je tok zahtjeva najjednostavniji (Poisson).
Najjednostavniji tijek događaji imaju tri svojstva:
- stacionarnost– konstantan broj događaja u jedinici vremena;
- nedostatak naknadnog učinka– neovisnost broja događaja nakon bilo kojeg trenutka vremena od broja događaja prije njega;
- obični- praktična nemogućnost istovremenog primanja nekoliko zahtjeva.
Za najjednostavniji tok, učestalost pojavljivanja događaja pokorava se Poissonovom zakonu, odnosno vjerojatnosti da tijekom vremena t dogoditi se k događaji će se odrediti
gdje je l broj događaja u jedinici vremena (intenzitet protoka).
Vjerojatnost kvara jedne jedinice ( k= 1) u slučaju kvara prosječno po jedinici vremena dvije instalacije (l = 2)
Vjerojatnost odsutnosti neuspjelih instalacija za bilo koji slučajni sat je 13%, vjerojatnost neuspjeha jedne instalacije je 27%, dvije - 27%, tri - 18%, četiri - 9% itd. (Slika 1.2).
Riža. 10.2. Poissonova distribucija za l = 2
Prema teoremu zbrajanja vjerojatnosti, vjerojatnost zbroja neovisnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja, stoga je vjerojatnost kvara po jedinici vremena ne više od četiri instalacije jednaka zbroju vjerojatnosti bez kvara i vjerojatnosti kvara jedne, dvije, tri, četiri instalacije:
Vjerojatnost kvara više od četiri instalacije
P(m>4) = 1– 0,945 = 0,055.
Disciplina čekanja opisuje redoslijed kojim se zahtjevi servisiraju u sustavu. Duljina čekanja može biti ograničena ili neograničena. Pravila čekanja: FIFO- "Prvi dodje prvi je posluzen" LIFO– “Zadnji dođe prvi poslužen”, prema drugim prioritetima ili nasumično.
Servisni mehanizam karakterizira trajanje servisnih postupaka i broj istovremeno servisiranih zahtjeva.
Vrijeme servisiranja zahtjeva u sustavu je slučajna varijabla i obično se opisuje pomoću zakon eksponencijalne distribucije, odnosno raspodjela trajanja preostalog dijela radova održavanja ne ovisi o tome koliko su oni već trajali.
Vjerojatnost da vrijeme usluge ne premaši neku vrijednost t, određuje se formulom:
gdje je m recipročna vrijednost prosječnog vremena usluge:
Uvedimo u razmatranje parametar a - faktor opterećenja sustava ili prosječan broj kanala koji trebate imati da biste opslužili sve dolazne zahtjeve u jedinici vremena:
gdje je l prosječan broj zahtjeva pristiglih po jedinici vremena; m je prosječan broj zahtjeva zadovoljenih po jedinici vremena; T obs je prosječno vrijeme usluge jednog zahtjeva po jednom kanalu.
Imajte na umu da ako je manji od broja uslužnih kanala, tada red ne može neograničeno rasti, to jest, broj uslužnih kanala mora biti veći od prosječnog broja kanala potrebnih za opsluživanje svih dolaznih zahtjeva po jedinici vremena.
Postoje sljedeće vrste sustava čekanja.
Ovisno o uvjetima čekanja, zahtjev za pokretanje usluge razlikuje sustave čekanja s kvarovima i s čekanjem.
U sustavi s kvarovima zahtjevi koji stignu u vrijeme kada su svi servisni kanali zauzeti odbijaju se i gube.
U sustavi čekanja zahtjev, nakon što se utvrdi da su svi kanali posluživanja zauzeti, stavlja se u red do oslobađanja bilo kojeg od kanala.
Pozivaju se sustavi koji dopuštaju red, ali s ograničenim brojem kupaca u njemu sustavi čekanja i ograničena duljina redovi čekanja.
Sustavi koji dopuštaju red, ali s ograničenim vremenom boravka za svakog kupca u njemu, nazivaju se sustavi latencije.
Sustavi čekanja koji dopuštaju red čekanja, ali s ograničenim brojem zahtjeva koji cirkuliraju u sustavu, nazivaju se sustavi s ograničenim protokom potražnje.
Prema broju servisnih kanala razlikuju se jednokanalni I višekanalni sustavi.
Po broju servisnih faza - jednofazni I višefazni(uzastopna obrada zahtjeva na više kanala).
Čekanje na ovu ili onu vrstu usluge je dio našeg Svakidašnjica. Čekamo na ručak u restoranu, stojimo u redovima na blagajnama u trgovinama i u poštanskim uredima. Redovi nastaju na gotovo svim javnim mjestima: porezne inspekcije, uredi za izdavanje putovnica, osiguravajuća društva, itd. Fenomen čekanja nije karakterističan samo za ljude: rad u redu za izvršenje; skupina putničkih zrakoplova koji čekaju dozvolu za slijetanje u zračnu luku; automobili čije je kretanje zaustavljeno semaforom na njihovoj ruti, teretni brodovi koji čekaju utovar/istovar u luci i sl.
Proučavanje redova čekanja u sustavima čekanja (QS) omogućuje određivanje kriterija za funkcioniranje sustava za posluživanje, među kojima su najznačajniji prosječno vrijeme čekanja u redu i prosječna duljina čekanja. Te se informacije zatim koriste za odabir odgovarajuće razine usluge, kao što je prikazano u sljedećem primjeru.
Primjer 2.6.1. Pojedinci povratnici poreza na dohodak žale se na sporu uslugu. U ovom odjelu trenutno rade tri porezna inspektora. Kao rezultat izračuna, pronašli smo formule za koje ćemo razmotriti u nastavku sljedeća ovisnost između broja inspektora i vremena čekanja usluge.
Broj inspektora 1 2 3 4 5 6 7
Prosječno vrijeme čekanja 80,2 50,3 34,9 24,8 14,912,9 9,4
______(minute) _______________________________________
Iz prikazanih podataka vidljivo je da uz trenutno dežurna tri inspektora prosječno vrijeme čekanja na uslugu iznosi oko 35 minuta. Prema posjetiteljima, čekanje od 15 minuta bilo bi prihvatljivo. Kako proizlazi iz istih podataka, prosječno vrijeme čekanja postaje manje od 15 minuta ako je broj inspektora veći ili jednak pet.
Rezultati studije sustava usluga također se mogu koristiti za optimizaciju modela s troškovnim karakteristikama koje minimiziraju zbroj troškova povezanih s pružanjem usluga i gubitaka zbog kašnjenja u njihovom pružanju. Na sl. 2.6.1 prikazuje tipičan troškovni model uslužnog sustava, gdje troškovi usluge rastu s povećanjem njezine razine. Istodobno, gubici zbog kašnjenja u pružanju usluga smanjuju se s povećanjem razine usluge.
Razina usluge
Glavni problem povezana s korištenjem troškovnih modela je poteškoća u procjeni gubitaka po jedinici vremena zbog kašnjenja u pružanju usluga.
Problemi čekanja u redu nastaju kada servisni zahtjevi (ili zahtjevi) ne može obavljati zbog radnog odnosa servisno osoblje (oprema) ili ona sama sustav usluga je neaktivan zbog nedostatka prijava. Pri modeliranju ovih problema koriste se temeljni koncepti teorije vjerojatnosti, jer slučajan je tok zahtjeva ili trajanje vremena usluge, ili oboje. Prilikom rješavanja ovih problema potrebno je odrediti ili optimalan broj kanala za posluživanje ili optimalni protok (ili pronaći trenutke pristizanja zahtjeva).
Naziva se i klasa modela prikladnih za rješavanje takvih problema teorija čekanja.
Ova teorija predstavlja poseban dio teorije slučajnih procesa i koristi se uglavnom aparatom teorije vjerojatnosti. Prve publikacije na ovom području datiraju iz dvadesetih godina prošlog stoljeća. 20. stoljeće i pripadaju Dancu A. Erlangu, koji je proučavao funkcioniranje telefonskih centrala - tipičnih QS-ova, gdje su trenuci poziva, činjenica da je pretplatnik ili svi kanali zauzeti, te trajanje razgovora nasumični. Naknadno je teoriju čekanja razvila u radovima K. Palma, F. Pollacheka, A. Ya. Khinchina, B. V. Gnedenka, A. Kofmana, R. Kruona, T. Saatya i drugih domaćih i stranih matematičara.
Pri rješavanju problema vezanih uz redove čekanja moguće su dvije situacije:
a) broj narudžbi je prevelik; javlja se dugo vrijeme čekanja (nedovoljna količina servisne opreme);
b) nema dovoljno narudžbi; Ima mjesto zastoja opreme (višak opreme).
Potrebno je pronaći optimalan omjer između gubitaka uzrokovanih zastojem opreme i gubitaka zbog čekanja.
Kao glavne elemente QS-a potrebno je izdvojiti ulazni tok prijava, red čekanja za uslugu, sustav (mehanizam) usluge i odlazni tok aplikacija. Kao aplikacije (zahtjevi, pozivi) mogu djelovati kupci u trgovini, telefonski pozivi, vlakovi koji se približavaju željezničkom čvorištu, vagoni koji se istovaruju, automobili na servisu, zrakoplov koji čeka dopuštenje za polijetanje, hrpa trupaca pri utovaru na vozila. Ulogu servisnih uređaja (kanala, vodova) imaju prodavači ili blagajnici u trgovini, carinici, vatrogasna vozila, piste, ispitivači i servisne ekipe.
Prema prirodi slučajnog procesa koji se odvija u QS sustavima, postoje Markovljevi i neMarkovljevi sustavi.
Slučajni proces se zove markovski, ako za bilo koji trenutak vremena t vjerojatnosne karakteristike procesa u budućnosti ovise samo o njegovom stanju u danom trenutku t i ne ovise o tome kada i kako je sustav došao u to stanje. Dolje razmatrani modeli povezani su s Markovljevim sustavima.
U slučaju ne-Markovljevih procesa, zadaci proučavanja QS-a postaju mnogo kompliciraniji i zahtijevaju korištenje statističkog modeliranja, numeričkih metoda pomoću računala.
Svatko od nas više je puta u životu stajao u redovima i zna koliko je to vremena potrebno.
Mnogi modeli dizajnirani za rješavanje ili optimiziranje ovog problema zahtijevaju složene matematičke formulacije.
Red je red čekanja. Teorija čekanja dio je šire teorije unutar koje se provode operacijska istraživanja i matematički modeli. Sve to radi se s jednim ciljem – riješiti probleme koje stvara stajanje u redovima. Ovdje je važno pronaći kompromis koji uzima u obzir sustav troškova i prosječno vrijeme čekanja u redu. analizirati telefonski sustav u Kopenhagenu kako bi se riješio problem zagušenja telefonskih linija.
Pionir u teoriji čekanja bio je danski matematičar Agner Krarup(1878-1929), koji je uzeo
analizirati telefonski sustav u Kopenhagenu kako bi se riješio problem zagušenja telefonskih linija.
U teoriji proučavanja redova čekanja postoje Harperovi zakoni slično poznatim Murphyjevim zakonima.
- Harperov prvi zakon: bez obzira u koji red stanete - uvijek se jedan kreće brže od ostalih.
- Harperov drugi zakon: ako prijeđete u drugi red čekanja, onaj koji ste napustili počinje se kretati brže.
Problem čekanja
Suvremeni čovjek manje-više značajan dio života provodi u iščekivanju. Postoji li netko među nama tko nikada nije stao u red? Svijet čekanja vrlo je raznolik: redovi automobila na ulazu u naplatnu cestu, redovi aviona na izlazu na pistu i, kao rezultat toga, redovi putnika do šaltera za prijavu na let; red za bankomate u velikim zgradama, red kod liječnika ili red telefonskih poziva za obradu u vatrogasnoj postaji... Ovo su samo neki od primjera. pokušava stvoriti modele koji se mogu dalje matematički obraditi.
Modeli čekanja
Neki modeli čekanja su vrlo jednostavni, drugi zahtijevaju složene modele matematičke teorije. Primarna klasifikacija ih dijeli u dvije velike skupine.
Deterministički red - najjednostavniji model koji se može unaprijed predvidjeti na temelju poznatih uvjeta, kao što su intervali dolaska i čekanja. Ovo je linija "bez iznenađenja".
Probabilistički red ne može se opisati bez upotrebe vjerojatnosti. Ovo je realističniji model od prethodnog. Za kišnog dana, primjerice, postoji velika vjerojatnost da će se redovi na taksi stajalištima povećati, a redovi na blagajni zoološkog vrta smanjiti.
Teorija čekanja, ili redovi čekanja(eng. queuing theory), - odjeljak teorije vjerojatnosti, čija je svrha racionalan izbor strukture uslužnog sustava i uslužnog procesa na temelju proučavanja tijeka uslužnih zahtjeva koji ulaze i izlaze iz sustava, vrijeme čekanja i duljina redova. Teorija čekanja koristi metode iz teorije vjerojatnosti i matematičke statistike.
Priča
Prvi problemi teorije čekanja ( TMO) pregledao je znanstvenik kopenhagenske telefonske kompanije Agner Erlang između 1908. i 1922. godine. Zadatak je bio racionalizirati rad telefonske centrale i unaprijed izračunati kvalitetu korisničke usluge ovisno o broju korištenih uređaja.
Teći
jednoličan protok
Tijek aplikacije homogena, ako:
- sve aplikacije su jednake
- razmatraju se samo momenti zaprimanja prijava, odnosno činjenice prijava bez navođenja pojedinosti svake pojedine prijave.
Protok bez naknadnog djelovanja
Teći nema naknadnog učinka, ako je broj događaja bilo kojeg vremenskog intervala ( t (\displaystyle t), ) ne ovisi o broju događaja na bilo kojem drugom koji se ne siječe s našim ( t (\displaystyle t), t + x (\displaystyle t+x)) vremenski interval.
Stacionarno strujanje
Tijek aplikacije stacionarni, ako je vjerojatnost pojavljivanja n događaja u vremenskom intervalu ( t (\displaystyle t), t + x (\displaystyle t+x)) ne ovisi o vremenu t (\displaystyle t), ali ovisi samo o duljini x (\displaystyle x) ovo područje.
Najjednostavniji tijek
Homogena stacionarno strujanje bez posljedica je najjednostavniji, teći Poisson .
Broj n (\displaystyle n) događaja takvog toka koji padaju na interval duljine x (\displaystyle x), raspoređeno preko Poissonov zakon :
P (n , x) = (λ x) ne − λ x n ! . (\displaystyle P(n,x)=(\frac ((\lambda x)^(n)e^(-\lambda x))(n}.} !}Poissonov tok zahtjeva pogodan je za rješavanje TMT problema. Strogo govoreći, najjednostavniji tokovi su rijetki u praksi, ali se mnogi simulirani tokovi mogu smatrati najjednostavnijima.
normalan protok
Stacionarno strujanje bez posljedica, kod kojeg su intervali između događaja raspoređeni prema normalnom zakonu, naziva se normalnim strujanjem: f (t) = 1 2 π σ t exp − 1 2 (t − m t σ t) 2 (\displaystyle f(t)=(\frac (1)((\sqrt (2\pi ))\sigma _ (t)))\exp (-(\frac (1)(2))\lijevo((\frac (t-m_(t))(\sigma _(t)))\desno)^(2)) ).
potok Erlang
Erlangov tok k (\displaystyle k)-tog reda naziva se stacionarni tok bez naknadnih učinaka, u kojem su intervali između događaja zbroj k + 1 (\displaystyle k+1) nezavisne slučajne varijable raspoređene identično prema eksponencijalnom zakonu s parametrom λ (\displaystyle \lambda ). Na k = 0 (\displaystyle k=0) Erlangov tok je najjednostavniji tok.
Gustoća distribucije T-intervala slučajne varijable između dva susjedna događaja u Erlangovom toku k (\displaystyle k)-ti red jednak je: f k (t) = λ (λ t) k Γ (α) exp − β t (\displaystyle f_(k)(t)=(\frac (\lambda (\lambda t)^(k))(\Gamma (\alpha)))\exp (-\beta t)), t > 0 , α ⩾ 1 (\displaystyle t>0,\alpha \geqslant 1).
gama tok
Gama tok je stacionarni tok bez naknadnih učinaka, u kojem su intervali između događaja slučajne varijable podložne gama distribuciji s parametrima α (\displaystyle \alpha ) I β (\displaystyle \beta ): f (t) = β α t α − 1 k ! exp − λ t (\displaystyle f(t)=(\frac (\beta ^(\alpha )t^(\alpha -1))(k}\exp {-\lambda t}} !}, t > 0 (\displaystyle t>0), Gdje Γ (α) = ∫ 0 ∞ x α − 1 exp − x d x (\displaystyle \Gamma (\alpha)=\int _(0)^(\infty )x^(\alpha -1)\exp (-x )dx) .
Na α = k + 1 (\displaystyle \alpha =k+1) gama tok je Erlangov tok k (\displaystyle k)-ti red.
Instant Gustoća
Instant Gustoća (intenzitet) protoka jednak je granici omjera prosječnog broja događaja po elementarnom vremenskom intervalu ( t (\displaystyle t), t + x (\displaystyle t+x)) na duljinu intervala ( x (\displaystyle x)) kada potonji teži nuli.
λ (t) = lim x → 0 (M (t + x) − M (t) x) (\displaystyle \lambda (t)=\lim _(x\to 0)\left((\frac (M( t+x)-M(t))(x))\desno))ili, za najjednostavniji tok,
λ = M (x) x , (\displaystyle \lambda =(\frac (M(x))(x)),)Gdje M (x) (\displaystyle M(x)) jednaki
Stohastička simulacija
Ključne riječi Ključne riječi: stohastičnost, teorija čekanja, sustavi čekanja, pohrana, red čekanja, transakcija
Stohastičko modeliranje je vrsta simulacije koja se temelji na Monte Carlo teoriji. Njegova se definicija može izraziti na sljedeći način:
& Stohastičko modeliranje je vrsta simulacijskog modeliranja u kojem je modelirani objekt predstavljen kao skup parametara koji opisuju vanjski rad sustavi (unutarnja značajka objekta je nepoznata) i imaju slučajnu prirodu.
Ako su gornji blok i model korak po korak sa slučajnim procesima u velikoj mjeri deterministički (njihova struktura je u potpunosti ili djelomično poznata), onda je za procese koji su manje određeni potreban drugačiji pristup.
Uvođenjem automatizacije u poduzećima značajno je smanjeno trajanje izrade proizvoda zbog ubrzanja robotskih operacija i uvođenja pokretne trake. Proizvodno-uslužni proces u osnovi se počeo svoditi na slijed jasno odvojenih tehnoloških ciklusa koji slijede jedan za drugim. Povećao se obujam proizvodnje, a samim tim i opterećenje servisnih elemenata sustava, što je dovelo do pojave problema učinkovite statističke procjene rada kako sustava u cjelini, tako i njegovih pojedinih dijelova. Tako se pojavio pristup nazvan teorija čekanja ili teorija čekanja.
Stohastičko modeliranje ili teorija čekanja je klasično područje primjene metoda simulacijskog modeliranja. Osnovni pojmovi u ovoj oblasti su red, servisni kanal I transakcija.
Ovisno o kombinaciji i postavkama osnovni elementi teorije čekanja mogu opisati složene tehnološki procesi bilježeći samo kvantitativne i vremenske karakteristike njihovog rada.
Stohastičko modeliranje može se okarakterizirati sljedećim značajkama:
– korištenje diskretnog vremena za modeliranje;
- nedostatak informacija o unutarnjoj logici podsustava (sve je postavljeno slučajnim procesima u vremenu);
- prisutnost jasnog slijeda tehnoloških operacija u simuliranom procesu;
– razmatranje objekata iste vrste u svakoj fazi procesa održavanja;
– prepoznavanje zakonitosti kretanja transakcije promatranjem simuliranog sustava i obradom dobivenih statistika;
- pogrešan izračun koji vam omogućuje vizualizaciju evolucije modela u svakom koraku simulacije;
– prikaz eksperimentalnih podataka u obliku tablice-izvješća i grafikona.
Konvencionalno se u teoriji redova čekanja razmatra slijed promjena u stanju opsluženog zahtjeva (transakcije) između faza "dolazak", "čekanje u redu", "servisiranje", "napuštanje sustava". Istodobno, proces unutarnjeg rada podsustava (servis) nije detaljan, kao u drugim modelima, već ga karakteriziraju samo generalizirane vremenske karakteristike (visoka stohastičnost). Zbog toga su takvi modeli dobili drugo ime - sustavi čekanja.
& Queue(ing) sustav , SMO) je sustav koji opisuje kretanje transakcija u proučavanom složenom objektu, karakteriziran trajektorijom servisiranja transakcija u obliku vremenskih intervala.
Svrha studije u modelu bit će faze održavanja - najteže formalizirajuće elemente u sustavu.
Svaka faza usluge u modelu ima individualnu karakteristiku trajanja i označava se pojmom "akumulator". Za svaki pogon u sustavu možete izračunati propusnost(broj servisiranih zahtjeva), faktor opterećenja, prosječna stopa usluge po zahtjevu.
Uz akumulatore, središnji pojmovi u teoriji čekanja su transakcija i red čekanja. Razmotrimo ih detaljnije.
& Transact je elementarni element usluge u modelu (aplikaciji) čija je trajektorija obrade opisana u cijeloj fazi njegove prisutnosti u sustavu u skladu sa značajkama tehnološkog procesa.
Transakcija može simulirati osobu u redu čekanja, proces u memoriji računala, proizvod na šalteru i slično. Svaka transakcija ima jedinstveni serijski broj i ima niz karakteristika koje su podijeljene u sljedeće skupine:
1) ljudski (na primjer, kupci prodajnog mjesta);
2) financijski (na primjer, zahtjev za prijenos novca u poslovnicu banke);
3) informativne (primjerice, poziv na međugradsku centralu);
4) drugi (npr. tehnički uređaj koji zahtijevaju popravak ili održavanje).
Prema vijeku trajanja:
1) s fiksnim vijekom trajanja (na primjer, kvarljivi prehrambeni proizvod nakon što uđe utičnica može biti samo tamo ograničena količina vrijeme);
2) sa beskrajno vrijemeživota (primjerice, prijava odjelu naručivanja knjižare za isporuku literature).
Način usluge:
1) s privilegijama ili prioritetima (na primjer, usluga na blagajni za veterane Velikog Domovinskog rata bez reda);
2) bez prioriteta (primjerice, red na blagajni kina).
Transakcije su one elementarne jedinice usluge u sustavu, uz pomoć kojih je moguće provoditi studije simuliranih procesa. Sekvencijalni skup transakcija koje stižu na mjesto usluge (akumulator) tvori tijek.
Neposredno prije ulaska u servisnu fazu, ispred pogona formira se red čekanja formiran tokom transakcija. To je važna karakteristika pri procjeni performansi sustava koji se proučava, stoga se razlikuju sljedeće vrste čekanja:
Po položaju:
1) vanjski (na primjer, pisač čeka na popravak u servisnom centru);
2) interni (na primjer, čekanje sljedeće faze obrade proizvoda u sredini tehnološkog ciklusa (red unutar sustava).
Po duljini:
1) s kvarovima (na primjer, ako nema slobodnih mjesta za parking, automobil odlazi bez čekanja da se mjesto oslobodi);
2) fiksna duljina (na primjer, red zahtjeva za povezivanje pretplatnika na PBX).
3) proizvoljne duljine (na primjer, red u supermarketu).
Po intenzitetu novih zahtjeva:
1) stacionarni (redoviti prijem transakcija) (na primjer, brzina transportne trake određuje intenzitet prijema robe u redu čekanja za prijevoz do skladišta);
2) nestacionarni (slučajni intenzitet primitka transakcija) (na primjer, dolazak kupaca na servisnu točku kantine).
U smjeru servisiranja transakcija:
1) FIFO pravilo: First Input - First Output, odnosno "prvi ušao - prvi izašao" (na primjer, red do frizera);
2) FILO pravilo: First Input - Last Output, odnosno "prvi ušao - zadnji izašao" (npr. redoslijed vađenja dijelova iz spremnika koji se stalno puni za daljnju obradu: na dnu su oni dijelovi koji su stigli u spremnik prvi, tako da će oni biti posljednji obrađeni).
3) slučajno (npr. redoslijed upisa knjiga primljenih u jednoj seriji za knjižaru).
Tako se za svaki red čekanja može izračunati njegova prosječna duljina; intenzitet dolaska i odlaska iz reda čekanja; postotak prijava koje su napustile sustav nakon isteka razdoblja čekanja; vjerojatnost da će sustav biti slobodan; vjerojatnost pronalaska određenog broja klijenata u sustavu.
Navedenim karakteristikama dodaje se parametar različitih prioriteta transakcija, što komplicira ponašanje zahtjeva u sustavu. Mnoge procese koji se mogu svesti na teoriju čekanja teško je analitički evaluirati. Stoga je simulacija rada takvih sustava racionalan pristup za određivanje karakteristika predmetnog područja koje se proučava.
