1 od 16

Prezentacija na temu: Matematički modeli(7. razred)

slajd broj 1

Opis slajda:

slajd broj 2

Opis slajda:

§ 2.4. Matematički modeli Glavni jezik informacijskog modeliranja u znanosti je jezik matematike. Modeli izgrađeni korištenjem matematičkih koncepata i formula nazivaju se matematički modeli. Matematički model je informacijski model u kojem su parametri i ovisnosti između njih izraženi u matematičkom obliku.

slajd broj 3

Opis slajda:

slajd broj 4

Opis slajda:

slajd broj 5

Opis slajda:

Matematičko modeliranje Metoda modeliranja omogućuje primjenu matematičkog aparata za rješavanje praktičnih problema. Pojmovi broj, geometrijski lik, jednadžba, primjeri su matematičkih modela. Metodi matematičkog modeliranja u obrazovni proces morati pribjeći rješavanju svakog problema s praktičnim sadržajem. Da bi se takav problem riješio matematičkim putem, potrebno ga je prvo prevesti na jezik matematike (izgraditi matematički model).

slajd broj 6

Opis slajda:

U matematičkom modeliranju, proučavanje objekta provodi se proučavanjem modela formuliranog jezikom matematike. Primjer: morate odrediti površinu stola. Izmjerite duljinu i širinu stola, a zatim pomnožite dobivene brojeve. To zapravo znači da je stvarni objekt - površina stola - zamijenjena apstraktnim matematičkim modelom pravokutnika. Područje ovog pravokutnika smatra se potrebnim. Od svih svojstava stola izdvojena su tri: oblik plohe (pravokutnik) i duljine dviju stranica. Nije važna ni boja stola, ni materijal od kojeg je napravljen, ni način na koji se koristi. Pod pretpostavkom da je površina stola pravokutnik, lako je odrediti ulazne podatke i rezultat. Oni su povezani sa S=ab.

slajd broj 7

Opis slajda:

Razmotrimo primjer dovođenja rješenja određenog problema u matematički model. Kroz okno potonulog broda morate izvući škrinju s blagom. Dane su neke pretpostavke o obliku sanduka i prozora okna te polazni podaci za rješavanje problema. Pretpostavke: Prozor ima oblik kruga. Škrinja ima oblik pravokutnog paralelopipeda. Početni podaci: D - promjer otvora; x - duljina prsa; y - širina prsa; z je visina grudi. Krajnji rezultat: Poruka: može, ali i ne mora biti povučena.

slajd broj 8

Opis slajda:

Sustavnom analizom stanja problema otkriven je odnos između veličine otvora i veličine škrinje, uzimajući u obzir njihove oblike. Podaci dobiveni kao rezultat analize prikazani su u formulama i odnosima između njih, pa je nastao matematički model.Matematički model za rješavanje ovog problema je sljedeće ovisnosti između ulaza i rezultata:

slajd broj 9

Opis slajda:

Primjer 1: Izračunajte količinu boje za pod u teretani. Da biste riješili problem, morate znati površinu poda. Da biste izvršili ovaj zadatak, izmjerite duljinu, širinu poda i izračunajte njegovu površinu. Pravi objekt - pod dvorane - zauzima pravokutnik, čija je površina umnožak duljine i širine. Pri kupnji boje saznaju koju površinu može pokriti sadržaj jedne limenke i izračunaju potreban broj limenki Neka je A duljina poda, B - širina poda, S1 - površina koja može biti pokriven sadržajem jedne limenke, N je broj limenki. Površina se izračunava po formuli S=A×B, a broj limenki potrebnih za farbanje hale je N= A×B/S1.

slajd broj 10

Opis slajda:

Primjer 2: Kroz prvu cijev bazen se napuni za 30 sati, kroz drugu cijev za 20 sati. Za koliko sati će biti potrebno punjenje bazena kroz dvije cijevi Rješenje: Označimo vrijeme punjenja bazena kroz prvu i drugu cijev A odnosno B. Uzmimo cijeli volumen bazena kao 1, željeno vrijeme označimo s t. Budući da se bazen napuni prvom cijevi za A sati, tada je 1/A dio bazena ispunjen prvom cijevi za 1 sat; 1/B - dio bazena koji se napuni drugom cijevi za 1 sat. Dakle, brzina punjenja bazena prvom i drugom cijevi zajedno bit će: 1/A + 1 / B. Možete napisati: (1 / A + 1 / B) t \u003d 1. dobili matematički model koji opisuje proces punjenja bazena dviju cijevi. Željeno vrijeme može se izračunati po formuli:

slajd broj 11

Opis slajda:

Primjer 3: Točke A i B nalaze se na autocesti, međusobno udaljene 20 km. Motociklist je napustio točku B u smjeru suprotnom od A brzinom od 50 km/h. Napravimo matematički model koji opisuje položaj motociklista u odnosu na točku A za t sati. Za t sati motociklist će prijeći 50t km i bit će na udaljenosti 50t km + 20 km od A . Ako slovom s označimo udaljenost (u kilometrima) motociklista do točke A, tada se ovisnost te udaljenosti o vremenu kretanja može izraziti formulom: S = 50t + 20, gdje je t> 0. matematički model za rješavanje ovog problema su sljedeći odnosi između početnih podataka i rezultata: Miša je imao x bodova; Andrej ima 1,5x. Miša je dobio x-8, Andrej je dobio 1,5x+8. Prema uvjetu zadatka, 1,5x + 8 = 2 (x-8).

slajd broj 12

Opis slajda:

Matematički model za rješavanje ovog problema je sljedeći odnos između početnih podataka i rezultata: Miša je imao x žigova; Andrej ima 1,5x. Miša je dobio x-8, Andrej je dobio 1,5x+8. Prema uvjetu zadatka, 1,5x + 8 = 2 (x-8). Matematički model za rješavanje ovog problema je sljedeća ovisnost između početnih podataka i rezultata: u drugoj radionici radi x ljudi, u prvoj 4x, a u trećoj x + 50. x+4x+x+50=470. Matematički model za rješavanje ovog problema su sljedeće ovisnosti između početnih podataka i rezultata: prvi broj x; drugi x + 2,5. Prema uvjetu problema, x / 5 = (x + 2,5) / 4.

slajd broj 13

Opis slajda:

Opis slajda:

Izvori Informatika i ICT: udžbenik za 7. razred Autor: Bosova LL Izdavač: BINOM. Laboratorij znanja, 2009. Format: 60x90/16 (u traku), 229 str., ISBN: 978-5-9963-0092-1http://www.lit.msu.ru/ru/new/study )http:// images.yandex.ru (slike)

Opis prezentacije na pojedinačnim slajdovima:

1 slajd

Opis slajda:

2 slajd

Opis slajda:

Matematički model je matematički prikaz stvarnosti, jedna od varijanti modela, kao sustava, čije proučavanje omogućuje dobivanje informacija o nekom drugom sustavu. Proces izgradnje i proučavanja matematičkih modela naziva se matematičko modeliranje. Sve prirodne i društvene znanosti koje se služe matematičkim aparatom zapravo se bave matematičkim modeliranjem: zamjenjuju predmet proučavanja njegovim matematičkim modelom, a zatim proučavaju potonji. Povezivanje matematičkog modela sa stvarnošću provodi se uz pomoć niza hipoteza, idealizacija i pojednostavljenja. Pomoću matematičke metode opisuje, u pravilu, idealni objekt izgrađen u fazi smislenog modeliranja. Opće informacije

3 slajd

Opis slajda:

Niti jedna definicija ne može u potpunosti pokriti stvarnu aktivnost matematičkog modeliranja. Unatoč tome, definicije su korisne jer pokušavaju istaknuti najznačajnije značajke. Prema Ljapunovu, matematičko modeliranje je neizravna praktična ili teorijska studija objekt, u kojem se neposredno ne proučava predmet koji nas zanima, već neki pomoćni umjetni ili prirodni sustav (model) koji je u nekoj objektivnoj korespondenciji sa spoznatim objektom, sposoban ga u određenim aspektima zamijeniti i, u njegovom proučavanju, u konačnici pružanje informacija o samom modeliranom objektu. U drugim verzijama, matematički model definiran je kao objekt-zamjena izvornog objekta, pružajući proučavanje nekih svojstava originala, kao "ekvivalent" objekta, odražavajući u matematičkom obliku njegova najvažnija svojstva - zakone kojima se pokorava, veze svojstvene njegovim sastavnim dijelovima", kao sustav jednadžbi, ili aritmetičkih odnosa, ili geometrijskih figura, ili kombinacije obojega, čije bi proučavanje pomoću matematike trebalo odgovoriti na postavljena pitanja o svojstvima određenog skupa svojstava objekta stvarnog svijeta, kao skupa matematičkih odnosa, jednadžbi, nejednakosti koje opisuju osnovne obrasce svojstvene procesu, objektu ili sustavu koji se proučava. Definicije

4 slajd

Opis slajda:

Formalna klasifikacija modela temelji se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se gradi u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija je: Linearni nasuprot nelinearnim modelima; Koncentrirani ili distribuirani sustavi; Deterministički ili stohastički; Statički ili dinamički; Diskretno ili kontinuirano i tako dalje. Svaki konstruirani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički, ... Naravno, mogući su i mješoviti tipovi: koncentrirani u jednom pogledu (u smislu parametara), distribuirani modeli u drugom, itd. Formalna klasifikacija modela

5 slajd

Opis slajda:

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju i po načinu na koji predstavljaju objekt: strukturni ili funkcionalni modeli. Strukturni modeli predstavljaju objekt kao sustav s vlastitim uređajem i mehanizmom funkcioniranja. funkcionalni modeli ne koristiti takve prikaze i odražavati samo izvana percipirano ponašanje (funkcioniranje) objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju se i modelima "crne kutije". Mogući su i kombinirani tipovi modela, koji se ponekad nazivaju modeli sivih kutija. Matematički modeli složenih sustava mogu se podijeliti u tri tipa: modeli crne kutije (fenomenološki), modeli sive kutije (mješavina fenomenoloških i mehaničkih modela), modeli bijele kutije (mehanistički, aksiomatski). Shematski prikaz modela crne kutije, sive kutije i bijele kutije

6 slajd

Opis slajda:

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja navode da se prvo gradi posebna idealna konstrukcija, smisleni model. Ovdje nema ustaljene terminologije, a drugi autori ovaj idealni objekt nazivaju konceptualnim modelom, spekulativnim modelom ili predmodelom. U tom se slučaju konačna matematička konstrukcija naziva formalnim modelom ili jednostavno matematičkim modelom dobivenim kao rezultat formalizacije ovog sadržaja modela (predmodel). Smisleni model može se izgraditi korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna njihala, elastični mediji itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u područjima znanja u kojima ne postoje potpuno dovršene formalizirane teorije (suvremeni fizika, biologija, ekonomija, sociologija, psihologija i većina drugih područja), stvaranje smislenih modela postaje mnogo kompliciranije. Sadržajni i formalni modeli

7 slajd

Opis slajda:

Peierlsov rad daje klasifikaciju matematičkih modela koji se koriste u fizici i, šire, u prirodnim znanostima. U knjizi A. N. Gorbana i R. G. Khleboprosa ova se klasifikacija analizira i proširuje. Ova je klasifikacija prvenstveno usmjerena na fazu konstruiranja smislenog modela. Hipoteza Modeli prvog tipa - hipoteze ("ovo bi moglo biti"), "predstavljaju probni opis pojave, a autor ili vjeruje u njezinu mogućnost, ili je čak smatra istinitom." Prema Peierlsu, to je npr. model Sunčev sustav prema Ptolomeju i Kopernikanov model (poboljšao Kepler), Rutherfordov model atoma i model Velikog praska. Model-hipoteze u znanosti ne mogu se dokazati jednom zauvijek, može se govoriti samo o njihovom pobijanju ili nepobijanju kao rezultatu eksperimenta. Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je privremeno prepoznat kao istinit i da se može koncentrirati na druge probleme. No, to ne može biti točka u istraživanju, već samo privremena stanka: status modela prvog tipa može biti samo privremen. Fenomenološki model Druga vrsta, fenomenološki model (“ponašaj se kao da...”), sadrži mehanizam za opisivanje fenomena, iako taj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili je slabo konzistentan s dostupnim teorije i akumulirano znanje o predmetu. . Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još nepoznat, a potraga za "pravim mehanizmima" mora se nastaviti. Peierls u drugu vrstu ubraja, primjerice, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica. Uloga modela u istraživanju može se mijenjati tijekom vremena, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i oni budu promovirani u status hipoteze. Slično tome, nova znanja mogu postupno doći u sukob s modelima-hipotezama prve vrste, a mogu se prenijeti na drugu. Smislena klasifikacija modela

8 slajd

Opis slajda:

Dakle, model kvarka postupno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici nastao je kao privremeno rješenje, ali je tijekom povijesti prešao u prvi tip. Ali modeli etera su prešli iz tipa 1 u tip 2 i sada su izvan znanosti. Ideja pojednostavljenja vrlo je popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje je drugačije. Peierls razlikuje tri vrste pojednostavljenja u modeliranju. Aproksimacija Treća vrsta modela su aproksimacije ("smatramo nešto vrlo velikim ili vrlo malim"). Ako je moguće konstruirati jednadžbe koje opisuju sustav koji se proučava, to ne znači da ih je moguće riješiti čak i uz pomoć računala. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je uporaba aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima su modeli linearnog odziva. Jednadžbe su zamijenjene linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon. Ako koristimo model idealnog plina za opisivanje dovoljno razrijeđenih plinova, onda je to model tipa 3 (aproksimacija). Kod viših gustoća plina, također je korisno zamisliti jednostavniju situaciju s idealnim plinom za kvalitativno razumijevanje i procjenu, ali to je već tip 4. Pojednostavljenje uočljiv i ne uvijek kontroliran učinak na rezultat. Iste jednadžbe mogu poslužiti kao model tipa 3 (aproksimacija) ili 4 (izostavljamo neke detalje radi jasnoće) - to ovisi o pojavi za koju se model proučava. Dakle, ako se koriste linearni modeli odziva u nedostatku složenijih modela (to jest, nelinearne jednadžbe se ne lineariziraju, već se jednostavno pretražuju linearne jednadžbe koje opisuju objekt), onda su to već fenomenološki linearni modeli, i pripadaju sljedeći tip 4 (svi nelinearni detalji " izostavljeni radi jasnoće). Primjeri: primjena modela idealnog plina na neidealan plin, van der Waalsova jednadžba stanja, većina modela fizike krutina, tekućina i nuklearna fizika. Put od mikroopisa do svojstava tijela (ili medija) koji se sastoje od velikog broja čestica, Smislena klasifikacija modela (nastavak)

9 slajd

Opis slajda:

Jako dugo. Mnogi detalji moraju biti izostavljeni. To dovodi do modela četvrtog tipa. Heuristički model Peti tip je heuristički model („nema kvantitativne potvrde, ali model doprinosi dubljem uvidu u bit stvari“), takav model zadržava samo kvalitativnu sličnost sa stvarnošću i daje predviđanja samo „u red veličine". Tipičan primjer je aproksimacija srednjeg slobodnog puta u kinetičkoj teoriji. Daje jednostavne formule za koeficijente viskoznosti, difuzije, toplinske vodljivosti, u skladu sa stvarnošću prema redoslijedu veličine. Ali kada se gradi nova fizika, daleko je od toga da se odmah dobije model koji daje barem kvalitativni opis objekta - model pete vrste. U ovom slučaju, model se često koristi po analogiji, odražavajući stvarnost barem na neki način. Analogija Šesti tip je model analogije ("uzmimo u obzir samo neke značajke"). Peierls daje povijest korištenja analogija u Heisenbergovom prvom radu o prirodi nuklearnih sila. Misaoni eksperiment Sedma vrsta modela je misaoni eksperiment („glavno je pobiti mogućnost“). Ovu vrstu simulacije često je koristio Einstein, posebice jedan od tih eksperimenata doveo je do izgradnje posebne teorije relativnosti. Pretpostavimo da u klasičnoj fizici pratimo svjetlosni val brzinom svjetlosti. Promatrat ćemo elektromagnetsko polje koje se periodički mijenja u prostoru i konstantno u vremenu. Prema Maxwellovim jednadžbama, to ne može biti. Odavde je Einstein zaključio: ili se zakoni prirode mijenjaju kad se promijeni referentni okvir, ili brzina svjetlosti ne ovisi o referentnom okviru, i odabrao drugu opciju. Demonstracija mogućnosti Osma vrsta je demonstracija mogućnosti ("glavna stvar je pokazati unutarnju dosljednost mogućnosti"), takvi modeli su također misaoni eksperimenti s imaginarnim entitetima, pokazujući da je navodni fenomen u skladu s osnovnim načelima i Smislenom klasifikacijom modela (nastavak)

10 slajd

Opis slajda:

interno dosljedan. Ovo je glavna razlika od modela tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije. Jedan od najpoznatijih takvih eksperimenata je geometrija Lobačevskog. (Lobačevski je to nazvao "imaginarnom geometrijom".) Drugi primjer je masovna proizvodnja formalnih kinetičkih modela kemijskih i bioloških vibracija, autovalova. Paradoks Einstein - Podolsky - Rosen zamišljen je kao misaoni eksperiment za demonstraciju nekonzistentnosti kvantne mehanike, ali se na neplaniran način s vremenom pretvorio u model tipa 8 - demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija. Sadržajna klasifikacija temelji se na fazama koje prethode matematičkoj analizi i izračunima. Osam tipova modela prema Peierlsu je osam tipova istraživačkih pozicija u modeliranju. Smislena klasifikacija modela (nastavak)

11 slajd

Opis slajda:

12 slajd

Opis slajda:

zapravo beskoristan. Često vam jednostavniji model omogućuje bolje i dublje istraživanje stvarnog sustava od složenijeg (i, formalno, "ispravnijeg") modela. Ako model harmonijskog oscilatora primijenimo na objekte koji su daleko od fizike, njegov smisleni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerojatnije bi ga trebalo pripisati analogiji tipa 6 (“uzmimo u obzir samo neke značajke”). Primjer (nastavak)

13 slajd

Opis slajda:

14 slajd

Opis slajda:

Najvažniji matematički modeli obično imaju važna imovina univerzalnost: temeljno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje tereta na opruzi, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije njihala, fluktuacije razine tekućine u posudi u obliku slova U ili promjena jakosti struje u oscilatorni krug. Tako, proučavajući jedan matematički model, proučavamo odjednom cijelu klasu fenomena koje on opisuje. Upravo taj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima znanstvenog znanja naveo je Ludwiga von Bertalanffyja da stvori “opću teoriju sustava”. Univerzalnost modela

15 slajd

Opis slajda:

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo, potrebno je osmisliti osnovnu shemu objekta koji se modelira, reproducirati ga u okviru idealizacija ove znanosti. Dakle, vagon se pretvara u sustav ploča i složenijih karoserija različitih materijala, svaki materijal je dan kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustoća, moduli elastičnosti, standard karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednadžbe, usput se neki detalji odbacuju kao beznačajni, rade se izračuni, uspoređuju s mjerenjima, dorađuje model i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je ovaj proces rastaviti na njegove glavne sastavne elemente. Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: izravni i inverzni. Izravni problem: struktura modela i svi njegovi parametri smatraju se poznatima, glavni zadatak- provesti studiju modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje statičko opterećenje može podnijeti most? Kako će reagirati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika ili na prolazak vlaka različitim brzinama), kako će avion prevladati zvučni zid, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri izravnog zadatka. Postavljanje ispravnog izravnog problema (postavljanje ispravnog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Dakle, 1879. metal željeznički most preko rijeke Tei, čiji su projektanti izgradili model mosta, izračunali ga za 20-struku marginu sigurnosti za djelovanje korisnog tereta, ali su zaboravili na vjetrove koji stalno pušu na tim mjestima. I nakon godinu i pol se srušio. U najjednostavnijem slučaju (jednadžba jednog oscilatora, na primjer), izravni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje te jednadžbe. Inverzni problem: poznati su mnogi mogući modeli, potrebno je odabrati određeni model na temelju dodatnih podataka Izravni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Algoritam izrada matematičkog modela:

• Napravite kratku izjavu o problemu:

A) saznajte koliko je količina uključeno u zadatak;

B) utvrdite odnos između tih veličina.

2. Izraditi crtež za zadatak (u zadacima kretanja ili zadacima geometrijskog sadržaja) ili tablicu.

3. Označite jednu od vrijednosti za X (bolje, manju vrijednost).

4. Uzimajući u obzir veze izraditi matematički model.

Problem 1. (br. 86 (1)).

Stan se sastoji od 3 sobe ukupne površine 42 m2. Prva soba je 2 puta manja od druge, a druga ima 3 kvadratna metra. m više od trećine. Kolika je površina svake sobe u ovom stanu?

Zadatak 2. (br. 86 (2)).

Sasha je platio 11200 rubalja za knjigu, olovku i bilježnicu. Olovka je 3 puta skuplja od bilježnice i 700 r. jeftiniji od knjige. Koliko košta bilježnica?

Problem 3. (br. 86 (3)).

Motociklist je prešao udaljenost između dva grada jednaka

980 km, u 4 dana. Prvi dan je prešao 80 km manje nego drugi dan, treći dan je prešao polovicu udaljenosti prijeđene u prva dva dana, a četvrti dan je prešao preostalih 140 km. Koliki je put motociklist prešao trećeg dana?

Zadatak 4. (br. 86 (4))

Opseg četverokuta je 46 inča. Njegova prva stranica je 2 puta manja od druge i 3 puta manja od treće stranice, a četvrta stranica je 4 cm veća od prve stranice. Kolike su duljine stranica tog četverokuta?

Zadatak 5. (br. 87)

Jedan od brojeva je 17 manji od drugog, a njihov je zbroj 75. Odredi najveći od tih brojeva.

Problem 6. (br. 99)

U tri dijela koncerta nastupilo je 20 sudionika. U drugoj dionici bilo je 3 puta manje sudionika nego u prvoj, au trećoj dionici - 5 sudionika više nego u drugoj. Koliko je sudionika koncerta nastupilo u svakoj dionici?

Mogu (ili ne mogu):

Vještine

Bodovi

0 ili 1

Otkrijte broj količina uključenih u zadatak

Otkriti odnose među količinama

Razumijem što to znači

B) "sve"

Mogu napraviti matematički model

Mogu stvoriti novi problem za dati matematički model

Domaća zadaća:

1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);

2) Sastavite zadatak za matematički model problema

Osnove matematičkog modeliranja

S.V. Zvonarev
Osnove matematike
modeliranje
Predavanje br. 2. Matematički modeli i njihove klasifikacije
Ekaterinburg
2012

Svrha predavanja

Definirajte pojam matematičkog modela.
Proučiti generalizirani matematički model.
Razmotrimo klasifikaciju matematičkih modela.
2 Matematički model.
Generalizirani matematički model.
.
Stupanj korespondencije matematičkog modela s objektom.
Klasifikacija matematičkih modela.
3

Matematički model

MATEMATIČKI MODEL
4

Matematički model

Matematički model je skup jednadžbi
ili druge matematičke odnose koji odražavaju glavni
svojstva predmeta ili pojave koja se proučava u okvirima prihvaćenog
špekulativno
fizički
modeli
i
osobitosti
njegov
interakcija s okolinom.
Glavna svojstva matematičkih modela su:
adekvatnost;
jednostavnost.
Proces formuliranja matematičkog modela naziva se
postavljanje zadatka.
Matematički model je matematički analog
projektirani objekt. Stupanj primjerenosti njegovog objekta
određuje se formulacijom i ispravnošću rješenja problema
oblikovati.
5

Matematičko modeliranje

Matematički model tehničkog objekta -
skup matematičkih jednadžbi i relacija
između njih, što adekvatno odražava svojstva
predmeta koji se proučava, od interesa za istraživača
(inženjer).
Matematičko modeliranje je idealno
znanstveno simboličko formalno modeliranje, u kojem
opis predmeta provodi se jezikom matematike, i
proučavanje modela provodi se pomoću onih ili
druge matematičke metode.
Metode za pronalaženje ekstrema funkcije mnogih
varijable s različitim ograničenjima često
nazvao
metode
matematički
programiranje.
6

Generalizirani matematički model

Elementi generaliziranog matematičkog modela:
skup ulaznih podataka (varijabli) X,Y;
matematički operator L;
skup izlaznih podataka (varijabli) G(X,Y).
7

Ulazni podaci

X je skup varijabli varijabli, koje
tvori prostor promjenjivih parametara Rx
(prostor za pretraživanje), koji je metrički sa
dimenzija
n,
jednak
broj
varijabla
parametri.
Y je skup nezavisnih varijabli (konstanti),
koji čini metrički prostor ulaza
Ry podaci. Kada svaka komponenta
prostor Ry zadan je rasponom mogućih
vrijednosti,
Mnogo
nezavisna
varijable
prikazano
neki
ograničeno
potprostor prostora Ry.
8

Nezavisne varijable Y

Oni definiraju okruženje za funkcioniranje objekta, tj.
vanjski
Pojmovi,
u
koji
bit će
raditi
projektirani objekt. To može uključivati:
Tehničke specifikacije objekt ne podliježe
promjena u procesu projektiranja;
fizički
poremećaji okoliša,
objekt dizajna je u interakciji;
S
koji
taktičke parametre koji se moraju postići
objekt dizajna.
9

Matematički operator i izlaz

Matematički operator L je potpuni sustav
matematičke operacije koje opisuju brojčane ili
logičke odnose između skupova ulaznih i
izlazni podaci (varijable). On definira
operacije nad ulaznim podacima.
Skup izlaznih podataka (varijabli) G(X,Y)
je skup kriterijskih funkcija,
uključujući (ako je potrebno) funkciju cilja.
Izlazni podaci razmatranog generaliziranog modela
tvore metrički prostor kriterijskih
RG indikatori.
10

Nelinearnost matematičkih modela

Nelinearnost matematičkih modela
‒ povreda načela
superpozicije, tj. kada bilo koja linearna kombinacija rješenja nije
je rješenje problema. Stoga znanje o ponašanju dijela
objekt još ne jamči poznavanje ponašanja cijelog objekta.
Većina
stvaran
procesima
i
relevantan
ih
matematički modeli nisu linearni. Odgovorni su linearni modeli
vrlo posebni slučajevi i, u pravilu, služe samo prvima
približavanje stvarnosti.
Primjer - populacijski modeli odmah postaju nelinearni,
ako uzmemo u obzir ograničenu raspoloživu populaciju
resursi.
11

Stupanj korespondencije matematičkih modela s objektom

Poteškoće:
Matematički model nikada nije identičan
dotični predmet i ne prenosi sva njegova svojstva i
značajke.
Matematički model je približan opis
objekt i uvijek je približan.
Točnost podudaranja određena je stupnjem podudaranja,
primjerenost modela i objekta. Načini:
Korištenje eksperimenta (vježbe) za usporedbu modela i
odabir najprikladnijeg.
Unifikacija matematičkih modela zbog gomilanja skupova
gotovi modeli.
Prijenos gotovih modela iz jednog procesa u drugi,
identičan, sličan.
Korištenje minimalnog broja aproksimacija i računovodstva
uznemirujući utjecaji.
12

Klasifikacija matematičkih modela

KLASIFIKACIJA
MATEMATIČKI MODELI
13

Klase matematičkih modela

Matematički modeli podijeljeni su u klase
ovisno o:
složenost objekta modeliranja;
operater modela;
ulazni i izlazni parametri;
ciljevi modeliranja;
metoda proučavanja modela;
objekti proučavanja;
pripadnost modela hijerarhijskoj razini
opisi objekata;
priroda prikazanih svojstava;
postupak izračuna;
korištenje kontrole procesa.
14

Klasifikacija prema složenosti objekta

NA
jednostavan
modeli
na
modeliranje
ne
razmatra se unutarnja struktura objekta, a ne
isticati se
sastavnice
njegov
elementi
ili
podprocesi.
Objektni sustav je odgovarajuće složeniji sustav,
koji je skup međusobno povezanih
elementi, odvojeni od okoliš i
u interakciji s njim kao cjelinom.
15

Klasifikacija prema modelu operatora

matematički
model
nazvao
linearno ako operater pruža
linearni
ovisnost
vikend
parametri
iz
vrijednosti
ulazni
parametri.
matematički
model
nazvao
nelinearno ako operator pruža
nelinearni
ovisnost
vikend
parametri
iz
vrijednosti
ulazni
parametri.
Matematički model je jednostavan ako je operator modela
algebarski
izraz,
reflektirajući
funkcionalni
ovisnost izlaznih parametara o ulaznim.
Model koji uključuje sustave diferencijala i integrala
odnosi se nazivaju složenim.
Model se naziva algoritamskim kada ga je moguće konstruirati
neki imitator ponašanja i svojstava objekta pomoću algoritma.
16

Klasifikacija prema ulaznim i izlaznim parametrima

17

Klasifikacija prema prirodi procesa koji se modelira

deterministički,
koji
dopisivati ​​se
deterministički procesi koji imaju strogo
jednoznačan odnos između fizikalnih veličina,
karakteriziranje stanja sustava u bilo kojem
trenutak
vrijeme.
deterministički
model
omogućuje jednoznačno izračunavanje i predviđanje
vrijednosti izlaznih vrijednosti prema vrijednostima ulaza
parametara i upravljačkih radnji.
Neodređene, koje dolaze otud što
dolazi do promjene definirajućih veličina
slučajno, te vrijednosti izlaznih veličina
su u vjerojatnosnoj korespondenciji s ulazom
količine i nisu jednoznačno određene.
18

Nedefinirani modeli

Stohastički - vrijednosti svih ili pojedinačnih parametara
modeli su određeni zadanim slučajnim varijablama
gustoće vjerojatnosti.
Slučajne - vrijednosti svih ili pojedinačnih parametara modela
postavljeni su slučajnim varijablama danim procjenama
gustoće vjerojatnosti dobivene kao rezultat obrade
ograničeni eksperimentalni uzorak ovih parametara.
Interval - vrijednosti svih ili pojedinačnih parametara
modeli su opisani intervalnim vrijednostima koje daje
interval koji čine minimum i maksimum
moguće vrijednosti parametra.
Fuzzy - vrijednosti svih ili pojedinačnih parametara modela
opisani su funkcijama pripadnosti odgovarajućih
neizraziti skup.
19

Klasifikacija u odnosu na dimenziju prostora

Jednodimenzionalni.
Dvodimenzionalan.
Trodimenzionalni.
Ova se podjela odnosi na modele, uključujući
parametri
koji
su uključeni
koordinate
prostor.
20

Klasifikacija u odnosu na vrijeme

Statički. Ako stanje sustava nije

statički. Statička simulacija
služi za opisivanje stanja objekta u
fiksna točka u vremenu.
Dinamičan. Ako stanje sustava
mijenja tijekom vremena, tada se modeli nazivaju
dinamičan. Dinamička simulacija
služi za proučavanje objekta u vremenu.
21

Klasifikacija prema vrsti korištenih skupova parametara

Kvaliteta.
Kvantitativno.
Diskretna.
Stalan.
Mješoviti.
22

Klasifikacija prema ciljevima modeliranja

Opisni. Svrha takvih modela je uspostavljanje zakona
mijenjanje parametara modela. Primjer je model kretanja rakete nakon
lansirati s površine zemlje.
Optimizacija. Takvi su modeli dizajnirani za određivanje
parametri optimalni sa stajališta nekog kriterija
simuliranog objekta ili pronaći optimalni način
kontrola nekog procesa. Primjer takvog modela je
služe kao simulacija procesa lansiranja rakete s površine Zemlje sa
u svrhu podizanja na zadanu visinu u minimalnom vremenu.
Menadžerski. Takvi se modeli koriste za izradu učinkovitih
upravljačke odluke u raznim područjima svrhovitog
23
ljudske aktivnosti.

Razvrstavanje prema načinu provedbe

Analitički. Analitičke metode su prikladnije za
naknadnu analizu rezultata, ali su primjenjivi samo za
relativno jednostavni modeli. Ako matematički
problem dopušta analitičko rješenje, tada se smatra
poželjan je numerički.
Algoritamski. Algoritamske metode svode se na
neki
algoritam
provedbu
računalstvo
24
eksperimentirajte pomoću računala.

Klasifikacija prema objektima proučavanja

Objekti s visokim stupnjem informiranosti. ako je u procesu
modeliranje, poznati su kompletni sustavi jednadžbi,
opisujući sve aspekte procesa koji se modelira i sve
numeričke vrijednosti parametara ovih jednadžbi.
Objekti s nultom razinom informacija. Matematički
model takvog objekta gradi se na temelju statističkih
eksperimentalni podaci.
Objekti s poznatim osnovnim pravilnostima.
Vrijednosti konstanti u matematičkim jednadžbama opisa
modeli su uspostavljeni iz iskustva.
Objekti čije je ponašanje poznato
empirijske prirode. Koriste metode
fizičko modeliranje pomoću matematičkog
planiranje pokusa.
25

Klasifikacija prema modelu koji pripada hijerarhijskoj razini opisa objekta

Mikro razina
(tipično
procesima
su
prijenos mase,
termofizički,
hidrodinamički).
Modeliranje
provedeno
u
svrhe
sinteza
tehnološki proces za jedan ili više
agregati.
Makro razina. Modeliranje procesa s više
visoka razina agregacije; modeli se koriste za sintezu
trenutni menadžment tehnološki proces za jednog
jedinica ili tehnološki kompleks u cjelini.
Metalna razina. Simulacija procesa u agregatu
agregate i njihovo povezivanje materijala i energije
potoci. Takvi modeli služe za sintezu tehnoloških
kompleksa u cjelini, odnosno za sintezu kontrole
razvoj.
26

Klasifikacija prema prirodi prikazanih svojstava modela

Funkcionalan
modeli.
Su korišteni,
za
opisi
fizički i informacijski procesi, teče na
funkcioniranje objekta.
Strukturalni
modeli.
Opisati
spoj
i
međusobne veze
elementi sustava (proces, objekt).
27

Razvrstavanje po redu izračuna

Direktno. Koristi se za određivanje kinetike,
statičke i dinamičke obrasce procesa.
Obrnuto
(inverzija).
Su korišteni
za
određivanje vrijednosti ulaznih parametara ili drugo
specificirana svojstva prerađenih tvari ili
proizvoda, kao i za određivanje prihvatljivih
odstupanja načina obrade (problemi optimizacije
procesi i parametri uređaja).
Induktivni.
primijeniti
za
pojašnjenja
matematičke jednadžbe kinetike, statike odn
dinamiku procesa pomoću novih hipoteza ili
teorije.
28

Klasifikacija korištenjem kontrole procesa

Modeli predviđanja ili računalni modeli bez kontrole.
Glavna svrha ovih modela je predviđanje ponašanja
sustava u vremenu i prostoru, poznavajući početno stanje
i podatke o ponašanju na granici. Primjeri - modeli
distribucija topline, električno polje, kemijski
kinetika, hidrodinamika.
optimizacijski modeli.
– Stacionarni modeli. Koristi se na razini dizajna
razne
tehnološkog
sustava.
Primjeri
‒
deterministički zadaci, sve ulazne informacije u kojima
je potpuno odrediv.
– Nestacionarno
modeli.
Su korišteni
na
razini
dizajn, i, uglavnom, za optimalno
upravljanje različitim procesima - tehnološkim,
ekonomski itd. U tim problemima neki parametri su
slučajni ili sadrže element neizvjesnosti.
29 Hipoteza.
Fenomenološki model.
Približavanje.
Pojednostavljenje.
heuristički model.
Analogija.
Misaoni eksperiment.
Demonstracija mogućnosti.
30

Hipoteza

Ovi modeli su probni
opis pojave. Ako je takav model izgrađen, onda
to znači da je ona privremeno prepoznata kao istina
a možete se usredotočiti na druga pitanja.
Međutim, to ne može biti poanta istraživanja, i
samo privremena stanka: status modela može biti
samo privremeno.
Primjeri:
Ptolomejev model Sunčevog sustava.
Kopernikanski model (poboljšao Kepler).
Rutherfordov model atoma.
Model velikog praska.
i tako dalje.
31

Fenomenološki model

Ovaj model sadrži mehanizam za opisivanje fenomena.
Međutim, ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv i ne može biti
potvrđeni dostupnim podacima ili slabo usklađeni s
dostupne teorije i akumulirano znanje o objektu.
Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih
rješenja. Uloga modela u studiji može se promijeniti s
s vremenom se može dogoditi da novi podaci i teorije
potvrditi fenomenološke modele i oni će se nadograditi na
stanje hipoteze. Isto tako, nova znanja mogu postupno
dolaze u sukob s modelima-hipotezama prvog tipa i onih
može se prevesti u drugu.
Primjeri:
Kalorični model.
Kvarkov model elementarnih čestica.
i tako dalje.
32

Približavanje

Uobičajena praksa kada ne možete
rješavati jednadžbe čak i uz pomoć računala,
opisivanje sustava koji se proučava – uporaba
aproksimacije. Jednadžbe su zamijenjene linearnim.
Standardni primjer je Ohmov zakon.
33

Pojednostavljenje

Ovaj model odbacuje dijelove koji
može zamjetno i ne uvijek kontrolirano utjecati
proizlaziti.
Primjeri:
Primjena modela idealnog plina na neidealni.
Van der Waalsova jednadžba stanja.
Većina modela fizike čvrstog stanja,
tekućine i nuklearna fizika. Put od mikroopisa do
svojstva tijela (ili medija) koja se sastoje od velikog broja
čestice, vrlo duge. Mnogi se moraju odbaciti
pojedinosti.
34

heuristički model

Heuristički model čuva samo kvalitativno
privid stvarnosti i daje predviđanja samo "prema
red veličine."
Daje jednostavne formule za koeficijente
viskoznost, difuzija, toplinska vodljivost, konzistentan
sa stvarnošću u redu veličine. Ali kod
konstrukcija nove fizike daleko je od toga da se odmah dobije
model koji daje barem kvalitativni opis objekta.
Tipičan primjer je aproksimacija prosječne duljine
slobodni put u kinetičkoj teoriji.
35

Analogija

Ovaj
model
prvi
ustao,
kada
interakcija u sustavu neutron-proton pokušala
objasniti kroz interakciju atoma
vodik s protonom. Ova analogija dovela je do
zaključak da mora postojati razmjena
sile interakcije između neutrona i protona,
zbog prijelaza elektrona između dva
protoni.
36

Misaoni eksperiment i demonstracija mogućnosti

Misaoni eksperiment je rasuđivanje
koji na kraju dovode do kontradikcije.
Dokazivanje mogućnosti također je mentalno
eksperimenti
S
zamišljeno
entiteta
demonstrirajući,
što
trebala
fenomen
u skladu s osnovnim načelima i interno
dosljedan. Jedan od najpoznatijih od njih
eksperimenti - geometrija Lobačevskog.
37

Zaključak i zaključci

Razmatra se pojam matematičkog modela.
Proučavan je generalizirani matematički model.
Definiraju se pojmovi: nelinearnost matematičkih modela i stupanj
podudarnost matematičkog modela s objektom.
Prikazana je klasifikacija matematičkih modela.
38 Samarsky, A.A. Matematičko modeliranje / A.A. Krilati plod,
A.P. Mihajlov. – M.: Znanost. Fizmatlit, 1997.
Tarasevich, N.N. Matematičko i računalno modeliranje.
Uvodni tečaj / N.N. Tarasevich. – M.: Editorial URSS, 2001.
Uvod u matematičko modeliranje: Uč. dodatak / pod
uredio P.V. Trusova. – M.: Sveučilišna knjiga, Logos, 2007. –
440 s.

Za korištenje pregleda prezentacija kreirajte Google račun (račun) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Matematički modeli

05.05.17 Matematički modeli Glavni jezik informacijskog modeliranja u znanosti je jezik matematike. Modeli izgrađeni pomoću matematičkih koncepata i formula nazivaju se matematički modeli. Matematički model je informacijski model u kojem su parametri i ovisnosti između njih izraženi u matematičkom obliku.

05.05.17 Na primjer, dobro poznata jednadžba S=vt, gdje je S udaljenost, v brzina, t vrijeme, je model jednolikog gibanja izražen u matematičkom obliku.

05.05.17 Promatrajući fizički sustav: tijelo mase m koje se kotrlja niz nagnutu ravninu akceleracijom a pod utjecajem sile F, Newton je dobio relaciju F = ma. To je matematički model fizičkog sustava.

05.05.17 Metoda modeliranja omogućuje primjenu matematičkog aparata za rješavanje praktičnih problema. Pojmovi broj, geometrijski lik, jednadžba, primjeri su matematičkih modela. Metoda matematičkog modeliranja u obrazovnom procesu mora se pribjeći pri rješavanju svakog problema praktičnog sadržaja. Da bi se takav problem riješio matematičkim putem, potrebno ga je prvo prevesti na jezik matematike (izgraditi matematički model). Matematičko modeliranje

05.05.17 U matematičkom modeliranju, proučavanje objekta provodi se proučavanjem modela formuliranog jezikom matematike. Primjer: trebate odrediti površinu stola. Izmjerite duljinu i širinu stola, a zatim pomnožite dobivene brojeve. To zapravo znači da je stvarni objekt - površina stola - zamijenjena apstraktnim matematičkim modelom pravokutnika. Područje ovog pravokutnika smatra se potrebnim. Od svih svojstava stola izdvojena su tri: oblik plohe (pravokutnik) i duljine dviju stranica. Nije važna ni boja stola, ni materijal od kojeg je napravljen, ni način na koji se koristi. Pod pretpostavkom da je površina stola pravokutnik, lako je odrediti ulazne podatke i rezultat. Oni su povezani sa S = ab.

05.05.17 Razmotrimo primjer dovođenja rješenja određenog problema u matematički model. Kroz okno potonulog broda morate izvući škrinju s blagom. Dane su neke pretpostavke o obliku sanduka i prozora okna te polazni podaci za rješavanje problema. Pretpostavke: Prozor ima oblik kruga. Škrinja ima oblik pravokutnog paralelopipeda. Početni podaci: D - promjer otvora; x - duljina prsa; y - širina prsa; z je visina grudi. Krajnji rezultat: Poruka: može, ali i ne mora biti povučena.

05/05/17 Ako, onda se škrinja može izvući, a ako, onda je nemoguće. Sustavnom analizom stanja problema otkriven je odnos između veličine otvora i veličine škrinje, uzimajući u obzir njihove oblike. Podaci dobiveni kao rezultat analize prikazani su u formulama i odnosima među njima, pa je nastao matematički model. Matematički model za rješavanje ovog problema su sljedeće ovisnosti između početnih podataka i rezultata:

05.05.17 Primjer 1: Izračunajte količinu boje za pokrivanje poda u teretani. Da biste riješili problem, morate znati površinu poda. Da biste izvršili ovaj zadatak, izmjerite duljinu, širinu poda i izračunajte njegovu površinu. Pravi objekt - pod dvorane - zauzima pravokutnik, čija je površina umnožak duljine i širine. Pri kupnji boje saznaju koliku površinu može pokriti sadržaj jedne limenke te izračunaju potreban broj limenki. Neka je A duljina poda, B širina poda, S 1 površina koju može pokriti sadržaj jedne limenke, N broj limenki. Površina poda izračunava se formulom S \u003d A × B, a broj limenki potrebnih za bojanje dvorane, N = A × B / S 1.

05.05.17 Primjer 2: Za punjenje bazena kroz prvu cijev potrebno je 30 sati, a kroz drugu 20 sati. Koliko će sati trebati da se bazen napuni kroz dvije cijevi? Rješenje: Označimo vrijeme punjenja bazena kroz prvu i drugu cijev A odnosno B. Uzmimo cijeli volumen bazena kao 1, željeno vrijeme označimo s t. Budući da se bazen napuni prvom cijevi za A sati, tada je 1/A dio bazena ispunjen prvom cijevi za 1 sat; 1/B - dio bazena ispunjen drugom cijevi za 1 sat. Shodno tome, stopa punjenja bazena prvom i drugom cijevi zajedno bit će: 1/A+1/B. Možete napisati: (1 / A + 1 / B) t \u003d 1. dobili matematički model koji opisuje proces punjenja bazena dviju cijevi. Željeno vrijeme može se izračunati po formuli:

05.05.17 Primjer 3: Točke A i B nalaze se na autocesti, međusobno udaljene 20 km. Motociklist je krenuo iz točke B u smjeru suprotnom od A brzinom 50 km/h. Napravimo matematički model koji opisuje položaj motociklista u odnosu na točku A nakon t sati. Za t sati motociklist će prijeći 50 t km i bit će na udaljenosti od A 50 t km + 20 km. Ako slovom s označimo udaljenost (u kilometrima) motociklista do točke A, tada se ovisnost te udaljenosti o vremenu kretanja može izraziti formulom: S=50t + 20, gdje je t>0.

05/05/17 Prvi broj je jednak x , a drugi je 2,5 veći od prvog. Poznato je da je 1/5 prvog broja jednaka 1/4 drugog. Napravite matematičke modele ovih situacija: Miša ima x žigova, a Andrej ima jedan i pol puta više. Ako Miša da Andreju 8 maraka, tada će Andrej imati dvostruko više maraka nego što je Miši ostalo. U drugoj trgovini radi x ljudi, u prvoj radi 4 puta više ljudi nego u drugoj, a u trećoj 50 ljudi više nego u drugoj. Ukupno u tri radionice tvornice radi 470 ljudi. Provjerimo: Matematički model za rješavanje ovog problema su sljedeće ovisnosti između početnih podataka i rezultata: Miša je imao x žigova; Andrej ima 1,5x. Miša je dobio x-8, Andrej je dobio 1,5x+8. Prema uvjetu zadatka, 1,5x + 8 = 2 (x-8). Matematički model za rješavanje ovog problema je sljedeća ovisnost između početnih podataka i rezultata: u drugoj radionici radi x ljudi, u prvoj 4x, a u trećoj x + 50. x+4x+x+50=470. Matematički model za rješavanje ovog problema su sljedeće ovisnosti između početnih podataka i rezultata: prvi broj x; drugi x + 2,5. Prema uvjetu problema, x / 5 = (x + 2,5) / 4.

05.05.17 Ovako se obično primjenjuje matematika stvaran život. Matematički modeli nisu samo algebarski (u obliku jednakosti s varijablama, kao u gore navedenim primjerima), već iu drugom obliku: tablični, grafički i drugi. S ostalim vrstama modela upoznat ćemo se u sljedećoj lekciji.

05.05.17. Domaća zadaća: § 9 (str. 54-58) br., 2, 4 (str. 60) u bilježnici

05.05.17. Hvala na lekciji!

05.05.17 Izvori Informatika i ICT: udžbenik za 8. razred http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (grafike, dijagrami) http://images.yandex.ru (slike)