- абсолютна та відносна пропускна спроможністьсистеми;
- коефіцієнти завантаження та простою;
- середній час повного завантаження системи;
- середній час перебування заявки у системі.
- P обс - ймовірність обслуговування заявки,
- t сист – час перебування заявки у системі.
- λ b- Абсолютна пропускна здатність системи (середня кількість обслужених заявок в одиницю часу),
- P обс - відносна пропускна здатність системи,
- k з - Коефіцієнт завантаження системи.
Завдання. До обчислювального центру колективного користування з трьома ЕОМ надходять замовлення від підприємств на обчислювальні роботи. Якщо працюють всі три ЕОМ, то знову надходить замовлення не приймається, і підприємство змушене звернутися до іншого обчислювального центру. Середній час роботи з одним замовленням становить 3 години. Інтенсивність потоку заявок 0,25 (1/год). Знайти граничні ймовірності станів та показники ефективності роботи обчислювального центру.
Рішення.
За умовою n=3, λ=0,25(1/год), t про. =3 (год). Інтенсивність потоку обслуговувань μ=1/t про. = 1/3 = 0,33. Інтенсивність навантаження ЕОМ за формулою (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Знайдемо граничні ймовірності станів:
за формулою (25) p 0 = (1 +0,75 +0,75 2 / 2! +0,75 3 / 3!) -1 = 0,476;
за формулою (26) p 1 =0,75∙0,476=0,357; p 2 =(0,75 2 /2!)∙0,476=0,134; p 3 = (0,75 3 /3!) ∙ 0,476 = 0,033 тобто. у стаціонарному режимі роботи обчислювального центру в середньому 47,6% часу немає жодної заявки, 35,7% - є одна заявка (зайнята одна ЕОМ), 13,4% - дві заявки (дві ЕОМ), 3,3% часу -
три заявки (зайняті три ЕОМ).
Імовірність відмови (коли зайняті всі три ЕОМ), таким чином, P отк. = p 3 = 0,033.
За формулою (28) відносна пропускну здатність центру Q = 1-0,033 = 0,967, тобто. у середньому із кожних 100 заявок обчислювальний центр обслуговує 96,7 заявок.
За формулою (29) абсолютна пропускна спроможність центру A=0,25∙0,967=0,242, тобто. за одну годину в середньому обслуговується 0,242 заявки.
За формулою (30) середня кількість зайнятих ЕОМ k =0,242/0,33 = 0,725, тобто. кожна з трьох ЕОМ буде зайнята обслуговуванням заявок у середньому лише 72,5/3 =24,2%.
При оцінці ефективності роботи обчислювального центру необхідно зіставити доходи від виконання заявок із втратами від простою дорогих ЕОМ (з одного боку, ми маємо високу пропускну здатність СМО, з другого боку - значний простий каналів обслуговування) і вибрати компромісне рішення.
Завдання. У порту є один причал для розвантаження суден. Інтенсивність потоку суден дорівнює 0,4 (судів на добу). Середній час розвантаження одного судна складає 2 доби. Передбачається, що черга може бути необмеженою довжиною. Знайти показники ефективності роботи причалу, а також ймовірність того, що очікують розвантаження не більше ніж 2 судна.
Рішення.
Маємо ρ = λ/μ = μt про. =0,4∙2=0,8. Оскільки ρ = 0,8 <
1, то черга на розвантаження не може нескінченно зростати та граничні ймовірності існують. Знайдемо їх.
Імовірність того, що причал вільний, (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, а ймовірність того, що він зайнятий, P зан. = 1-0,2 = 0,8. За формулою (34) ймовірності того, що біля причалу знаходяться 1, 2, 3 судна (тобто очікують на розвантаження 0, 1, 2 судна), дорівнюють p 1 = 0,8(1-0,8) = 0, 16; p 2 = 0,8 2 ∙ (1-0,8) = 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙ (1-0,8) = 0,1024.
Імовірність того, що очікують розвантаження не більше ніж 2 судна, дорівнює
P = p 1 + p 2 + p 3 = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904
За формулою (40) середня кількість суден, що очікують на розвантаження
L jч =0,8 2 /(1-0,8) = 3,2
а середній час очікування розвантаження за формулою (15.42)
T оч =3,2/0,8 = 4 добу.
За формулою (36) середня кількість суден, що знаходяться у причалу, L сист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (доба) (або простіше за (37) L сист. = 3,2+0,8 = 4 (доба), а середній час перебування судна у причалу за формулою (41) T сист = 4/0,8 = 5 (добу).
Очевидно, що ефективність розвантаження суден невисока. Для її підвищення необхідно зменшення середнього часу розвантаження судна t або збільшення числа причалів n .
Завдання. В універсамі до вузла розрахунку надходить потік покупців з інтенсивністю λ = 81 чол. в годину. Середня тривалість обслуговування контролером-касиром одного покупця t про = 2 хв. Визначити:
а. Мінімальна кількість контролерів-касирів п min ,при якому черга не зростатиме до нескінченності, і відповідні характеристики обслуговування при n = n min.
б. Оптимальна кількість опт. контролерів-касирів, при якому відносна величина витрат С отн., пов'язана з витратами на утримання каналів обслуговування і з перебуванням у черзі покупців, що задається, наприклад, як мінімальна, і порівняти характеристики обслуговування при n=n min і n=n опт .
в. Імовірність того, що у черзі буде не більше трьох покупців.
Рішення.
а. За умовою l = 81(1/год) = 81/60 = 1,35 (1/хв.). За формулою (24) r = l/m = lt = 1,35×2 = 2,7. Черга не зростатиме до нескінченності за умови r/n< 1, т.е. при n >r = 2,7. Отже, мінімальна кількість контролерів-касирів n min = 3.
Знайдемо характеристики обслуговування СМО при п= 3.
Імовірність того, що у вузлі розрахунку відсутні покупці, за формулою (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3 -2,7)) -1 = 0,025, тобто. у середньому 2,5%
часу контролери-касири простоюватимуть.
Імовірність те, що у вузлі розрахунку буде черга, по (48) P оч. = (2,7 4 / 3! (3-2,7)) 0,025 = 0,735
Середня кількість покупців, що у черзі, по (50) L оч. = (2,7 4 /3∙3!(1-2,7/3) 2)0,025 = 7,35.
Середній час очікування в черзі (42) T оч. = 7,35 / 1,35 = 5,44 (хв).
Середня кількість покупців у вузлі розрахунку (51) L сист. = 7,35 +2,7 = 10,05.
Середній час перебування покупців у вузлі розрахунку (41) T сист. = 10,05/1,35 = 7,44 (хв).
Таблиця 1
| Характеристика обслуговування | Число контролерів-касирів | ||||
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| Імовірність простою контролерів-касирів p 0 | 0,025 | 0,057 | 0,065 | 0,067 | 0,067 |
| Середня кількість покупців у черзі T оч. | 5,44 | 0,60 | 0,15 | 0,03 | 0,01 |
| Відносна величина витрат З отн. | 18,54 | 4,77 | 4,14 | 4,53 | 5,22 |
Коефіцієнт (частка) зайнятих обслуговуванням контролерів-касирів
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Абсолютна пропускна спроможність вузла розрахунку А = 1,35 (1/хв) або 81 (1/год), тобто. 81 покупець за годину.
Аналіз характеристик обслуговування свідчить про значне навантаження вузла розрахунку за наявності трьох контролерів-касирів.
б. Відносна величина витрат за n = 3
З отн. = = 3 / 1,35 +3 ∙ 5,44 = 18,54.
Розрахуємо відносну величину витрат за інших значень п(Табл. 1).
Як очевидно з табл. 2, мінімальні витратиотримані за n = n опт. = 5 контролерах-касирах.
Визначимо характеристики обслуговування вузла розрахунку за n = n опт. =5. Отримаємо P оч. = 0,091; L оч. = 0,198; Т оч. = 0,146 (хв); L сист. = 2,90; T снст. = 2,15 (хв); k = 2,7; k 3 = 0,54.
Як бачимо, при n = 5 в порівнянні з n = 3 суттєво зменшилися ймовірність виникнення черги P оч. , довжина черги L оч. та середній час перебування у черзі T оч. і відповідно середня кількість покупців L сист. і середній час знаходження у вузлі розрахунку T сист., а також частка зайнятих обслуговуванням контролерів k 3. Але середня кількість зайнятих обслуговуванням контролерів-касирів k та абсолютна пропускна спроможність вузла розрахунку А звичайно не змінилися.
в. Імовірність того, що в черзі буде не більше 3 покупців, визначиться як
= 1-P оч. + p 5+1 + p 5+2 + p 5+3 , де кожен доданок знайдемо за формулами (45) – (48). Отримаємо при n=5:
Зауважимо, що у разі n=3 контролерів-касирів та сама ймовірність істотно менша: P(r ≤ 3) =0,464.
В усіх розглянутих вище СМО передбачалося, що це запити, які у систему - однорідні, тобто, вони мають і той ж закон розподілу часу обслуговування та обслуговуються у системі відповідно до загальної дисципліни вибору з черги. Проте, у багатьох реальних системах запити, які у систему, неоднорідні як у розподілу часу обслуговування, і їх цінності для системи і, отже, праву претендувати на першочергове обслуговування на момент звільнення приладу. Такі моделі досліджуються у межах теорії пріоритетних СМО. Ця теорія досить добре розвинена та її викладу присвячено чимало монографій (див., наприклад, , , , і т.д.). Тут ми обмежимося коротким описомпріоритетних систем та розглянемо одну систему.
Розглянемо однолінійну СМО з очікуванням. На вхід системи надходять незалежні найпростіші потоки, потік має інтенсивність . Будемо позначати
Часи обслуговування запитів з потоку характеризуються функцією розподілу з перетворенням Лапласа - Стілтьєса та кінцевими початковими моментами
Запити з потоку назвемо запитами пріоритету.
Вважаємо, що запити з потоку пріоритетніші, ніж запити з потоку, якщо Пріоритетність виявляється в тому, що в момент закінчення обслуговування наступним на обслуговування вибирається із черги запит, що має максимальний пріоритет. Запити, які мають один і той же пріоритет, вибираються згідно з встановленою дисципліною обслуговування, наприклад, згідно з дисципліною FIFO.
Розглядаються різні варіантиповедінки системи у ситуації, коли під час обслуговування запиту деякого пріоритету до системи надходить запит вищого пріоритету.
Система називається СМО з відносним пріоритетом, якщо надходження такого запиту не перериває обслуговування запиту. Якщо ж таке переривання відбувається, система називається СМО з абсолютним пріоритетом. У цьому випадку, однак, потрібно уточнити подальшу поведінку запиту, обслуговування якого виявилося перерваним. Розрізняють такі варіанти: перерваний запит йде з системи і втрачається; перерваний запит повертається в чергу і продовжує обслуговування з місця переривання після виходу із системи всіх запитів, які мають більший пріоритет; перерваний запит повертається в чергу і починає обслуговування знову після виходу з системи всіх запитів, які мають більш високий пріоритет. Перерваний запит обслуговується приладом після виходу із системи всіх запитів, які мають більш високий пріоритет, протягом часу, що має колишній або деякий інший розподіл. Можливий варіант, коли необхідний час обслуговування в наступних спробах ідентичний часу, який був потрібний для повного обслуговування цього запиту в першій спробі.
Таким чином, є досить велика кількість варіантів поведінки системи з пріоритетом, з якими можна ознайомитись у вищезгаданих книгах. Спільним в аналізі всіх систем із пріоритетами є використання поняття періоду зайнятості системи запитами пріоритету до і вище. При цьому основним методом дослідження цих систем є метод запровадження додаткової події, коротко описаний у розділі 6.
Проілюструємо особливості знаходження характеристик систем із пріоритетами на прикладі системи, описаної на початку розділу. Вважатимемо, що це система з відносним пріоритетом і знайдемо стаціонарний розподіл часу очікування запиту пріоритету якби він надійшов до системи в момент часу t (так званого віртуального часу очікування), для системи з відносними пріоритетами.
Позначимо
Умовою існування цих меж є виконання нерівності
де величина обчислюється за такою формулою:
Позначимо також.
Твердження 21. Перетворення Лапласа - Стілтьєса стаціонарного розподілу віртуального часу очікування запиту пріоритету визначається таким чином:
де функції задаються формулою:
а функції знаходяться як розв'язання функціональних рівнянь:
Доведення. Зауважимо, що функція являє собою перетворення Лапласа - Стілтьєса розподілу довжини періоду зайнятості системи запитами пріоритету I і вище (тобто, інтервалу часу з моменту надходження в порожню систему запиту пріоритету I і вище і до першого після моменту, коли система виявиться вільною від присутності запитів пріоритету I та вище). Доказ того, що функція задовольняє рівнянню (1.118), майже дослівно повторює доказ Твердження 13. Зазначимо лише, що величина є ймовірність того, що період зайнятості системи запитами пріоритету I і вище починається з приходу запиту пріоритету а величина трактується як ймовірність пріоритету I і вище, за періоди зайнятості, породжені якими настає катастрофа, за час обслуговування запиту пріоритету, що розпочав цей період зайнятості.
Спочатку замість процесу розглянемо суттєво більш простий допоміжний процес - час, протягом якого очікував початку обслуговування запит пріоритету до, якби він надійшов до системи в момент часу t і після цього в систему не надходило запитів вищого пріоритету.
Нехай - перетворення Лапласа-Стілтьєса розподілу випадкової величини. Покажемо, що функція визначається так:
(1.119)
Імовірність того, що система порожня в момент часу – ймовірність того, що в інтервалі почалося обслуговування запиту пріоритету
Для доказу (1.119) застосуємо метод запровадження додаткової події. Нехай незалежно від роботи системи надходить найпростіший потік катастроф інтенсивності s. Кожен запит назвемо «поганим», якщо під час його обслуговування надходить катастрофа, і «хорошим» - інакше. Як випливає із тверджень 5 і 6, потік поганих запитів пріоритету до і вище є найпростішим з інтенсивністю
Введемо подію A(s,t) - за час t в систему не надходили погані запити пріоритету до і вище. В силу затвердження 1 ймовірність цієї події підраховується як:
Підрахуємо цю можливість інакше. Подія A(s,t) є об'єднанням трьох несумісних подій
Подія полягає в тому, що катастрофи не надійшли ні за час t, ні за час. При цьому, природно, за час t в систему надходили лише хороші запити пріоритету до і вище. Імовірність події очевидна, рівна
Подія полягає в тому, що катастрофа надійшла в інтервалі, але в момент надходження система була порожня, а за час не надійшло поганих запитів пріоритету до і вище.
Імовірність події обчислюється як:
Подія полягає в тому, що катастрофа надійшла в інтервалі, але в момент її надходження в системі обслуговувався запит пріоритету нижче k, який почав обслуговуватися в інтервалі, а за час t - і не надійшло поганих запитів пріоритету k і вище. Імовірність події визначається так:
Оскільки подія є сума трьох несумісних подій, його ймовірність є сума ймовірностей цих подій. Тому
Прирівнюючи два отримані вирази для ймовірності і помножуючи обидві частини рівності після нескладних перетворень отримуємо (1.119)
Очевидно, що для того, щоб за час очікування запиту, що надійшов у момент t не надійшло катастрофи, необхідно і достатньо, щоб за час не надійшло катастроф і запитів пріоритету та вище, таких, що за періоди зайнятості (запитами пріоритету та вище), породжені ними, настає катастрофа. З цих міркувань та ймовірнісного трактування перетворення Лапласа - Стілтьєса отримуємо формулу, що дає зв'язок перетворень у очевидній формі.
Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче
Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.
Розміщено на http://www.allbest.ru/
Курсовий проект
Порівняльний аналіз ефективностінайпростішіх систем масового обслуговування
Вступ
масове обслуговування продуктивність
У виробничій діяльності та повсякденному життічасто виникають ситуації, коли з'являється вкрай важливість обслуговування вимог чи заявок вступників у систему. Часто зустрічаються ситуації, у яких дуже важливо перебувати у ситуації очікування. Прикладами тому може бути черга покупців біля кас великого магазину, група пасажирських літаків, які чекають дозволу на зліт в аеропорту, ряд верстатів і механізмів, що вийшли з ладу, поставлених у чергу для ремонту в ремонтному цеху підприємства і т.д. Іноді системи обслуговування мають обмежені можливості для задоволення попиту, і це призводить до утворення черг. Як правило, ні час виникнення потреб в обслуговуванні, ні тривалість обслуговування наперед не відомі. Уникнути ситуації очікування найчастіше не вдається, але можна скоротити час очікування до якоїсь терпимої межі.
Предметом теорії масового обслуговування є системи масового обслуговування (СМО). Завданнями теорії масового обслуговування є аналіз та дослідження явищ, що виникають у системах обслуговування. Одне з базових завдань теорії полягає у визначенні таких параметрів системи, які забезпечують задану якість функціонування, наприклад, мінімум часу очікування, мінімум середньої довжини черги. Мета вивчення режиму функціонування обслуговуючої системи за умов, коли фактор випадковості є суттєвим, контролювати деякі кількісні показники функціонування системи масового обслуговування. Такими показниками, зокрема, є середній час перебування клієнта в черзі або частка часу, протягом якої обслуговуюча система простоює. При цьому в першому випадку ми оцінюємо систему з позиції клієнта, тоді як у другому випадку ми оцінюємо ступінь завантаженості обслуговуючої системи. Шляхом варіювання операційними характеристиками обслуговуючої системи може бути досягнутий розумний компроміс між вимогами клієнтів і потужністю обслуговуючої системи.
1. Теоретична частина
1.1 Класифікація СМО
Системи масового обслуговування (СМО) класифікуються за різними ознаками, що детально зображено малюнку 1.1.
Малюнок 1.1. Класифікація СМО
За кількістю каналів обслуговування (n) СМО поділяються на одноканальні (n = 1) та багатоканальні (n > 2). До одноканальних СМО в торгівлі можна віднести практично будь-який варіант локального обслуговування, наприклад, виконуваний одним продавцем, товарознавцем, економістом, торговим апаратом.
Залежно від взаємного розташування каналів системи поділяються на СМО з паралельними та з послідовними каналами. У СМО з паралельними каналами вхідний потік заявок обслуговування є загальним, і тому заявки у черзі можуть обслуговуватися будь-яким вільним каналом. У таких СМО чергаобслуговування можна розглядати як загальну.
У багатоканальній СМО з послідовним розташуванням каналів кожен канал може розглядатися як окрема одноканальна СМО або фаза обслуговування. Очевидно, вихідний потік обслужених заявок однієї СМО є вхідним потоком наступної СМО.
Залежно від характеристик каналів обслуговування багатоканальні СМО поділяються на СМО з однорідними та неоднорідними каналами. Відмінність полягає в тому, що в СМО з однорідними каналами заявка може обслуговуватися будь-яким вільним каналом, а в СМО з неоднорідними каналами окремі заявки обслуговуються тільки спеціально для цього призначеними каналами, наприклад каси для оплати одного-двох предметів в універсамі.
Залежно від можливості освіти черги СМО поділяються на два основні типи: СМО з відмовими обслуговування та СМО з очікуванням (чергою) обслуговування.
У СМО з відмовами можлива відмова в обслуговуванні, якщо всі канали вже зайняті обслуговуванням, а утворювати чергу і очікувати на обслуговування не можна. Прикладом такої СМО є стіл замовлень у магазині, де прийом замовлень здійснюється за телефоном.
У СМО з очікуванням, якщо заявка знаходить усі канали обслуговування зайнятим, то вона очікує, доки не звільниться хоча б один із каналів.
СМО з очікуванням поділяються на СМО з не обмеженим очікуваннямабо з необмеженою чергою lоч і часом очікування Точ і СМО з обмеженим очікуванням, в яких накладаються обмеження або на максимально можливу довжину черги (max lоч = m), або на максимально можливий час перебування заявки в черзі (max Точ = Тогр), або на час роботи системи.
Залежно від організації потоку заявок СМО поділяються на розімкнені та замкнуті.
У розімкнених СМО вихідний потік обслужених заявок не пов'язаний із вхідним потоком заявок на обслуговування. У замкнених СМО обслужені заявки після деякої тимчасової затримки Тз знову надходять на вхід СМО і джерело заявок входить до складу СМО. У замкнутій СМО циркулює те саме кінцеве число потенційних заявок, наприклад, посуд у їдальні - через торговий зал, миття та роздачу. Поки потенційна заявка циркулює і не перетворилася на вході СМО на заявку на обслуговування, вважається, що вона знаходиться у лінії затримки.
Типові варіанти СМО визначаються і встановленої дисципліною черги, що залежить від переваги в обслуговуванні, тобто. пріоритету. Пріоритет відбору заявок на обслуговування може бути наступним: перший прийшов – перший обслужений; останній прийшов – перший обслужений; довільний відбір. Для СМО з очікуванням та обслуговуванням за пріоритетом можливі такі види: абсолютний пріоритет, наприклад, для співробітників контрольно-ревізійного управління, міністра; відносний пріоритет, наприклад, для директора торгу на підвідомчих йому підприємствах; спеціальні правила пріоритету, коли обслуговування заявок застережено у відповідних документах. Існують інші типи СМО: з надходженням групових заявок, з каналами різної продуктивності, зі змішаним потоком заявок.
Сукупності СМО різних типів, об'єднані послідовно і паралельно, утворюють складніші структури СМО: секції, відділи магазину, універсаму, торгової організаціїі т.п. Таке моделювання дозволяє виявити суттєві зв'язки у торгівлі, застосувати методи та моделі теорії масового обслуговування для їх опису, оцінити ефективність обслуговування та розробити рекомендації щодо його вдосконалення.
1.2 Приклади СМО
Прикладами СМО можуть бути:
телефонні станції;
ремонтні майстерні;
квиткові каси;
довідкові бюро;
магазини;
перукарні.
Як своєрідні системи масового обслуговування можна розглядати:
інформаційно-обчислювальні мережі;
операційні системи електронних обчислювальних машин;
системи збору та обробки інформації;
автоматизовані виробничі цехи, Поточні лінії;
системи протиповітряної оборони
p align="justify"> Близькими до завдань теорії масового обслуговування є багато завдань, що виникають при аналізі надійності технічних пристроїв.
Випадковий характер як потоку заявок, так і тривалості обслуговування призводить до того, що в СМО відбуватиметься якийсь випадковий процес. Щоб дати рекомендації щодо раціональної організації цього процесу та пред'явити розумні вимоги до СМО, необхідно вивчити випадковий процес, що протікає в системі, описати його математично. Цим і займається теорія масового обслуговування.
Зауважимо, що область застосування математичних методівтеорії масового обслуговування безперервно розширюється і дедалі більше виходить межі завдань, що з обслуговуючими організаціями у буквальному значенні слова.
Число моделей систем (мереж) обслуговування, що використовуються на практиці та вивчаються в теорії, дуже і дуже велике. Навіть для того, щоб описати схематично основні їх типи, потрібно не один десяток сторінок. Ми розглянемо лише системи з чергою. При цьому будемо припускати, що ці системи є відкритими для викликів, тобто заявки, що надходять у систему ззовні (у деякому вхідному потоці), кожному з них потрібна кінцева кількість обслуговувань, після закінчення останнього з яких заявка назавжди залишає систему; а дисципліни обслуговування такі, що будь-якої миті часу кожен прилад може обслуговувати трохи більше одного виклику (іншими словами, не допускається паралельного обслуговування двох і більше заявок одним приладом).
У всіх випадках ми обговоримо умови, що гарантують стабільну роботу системи.
2 . Розрахункова частина
2.1 Перший етап. Система з відмовами
На даному етапі проведемо мінімізацію середньої вартості обслуговування однієї заявки за одиницю часу для системи з відмовами. Для цього визначимо кількість каналів обслуговування, що забезпечує в системі з відмови найменше значення параметра - середньої вартості обслуговування однієї заявки в одиницю часу.
Відповідно до варіанта завдання визначено такі параметри системи:
Інтенсивність вхідного потоку (середня кількість заявок, що надходять до системи в одиницю часу) 1/од. часу.
середній час обслуговування однієї заявки од. часу;
Вартість експлуатації одного каналу од. стоїмо./канал;
Вартість простою одного каналу од. стоїмо./канал;
вартість експлуатації одного місця у черзі
од. стоїмо./заявка в черзі;
вартість збитків, пов'язаних з відходом заявки із системи, що отримала відмову в обслуговуванні од. стоїмо.од. брешемо.
Задаючи значення (число каналів обслуговування) від одиниці до шести, обчислимо фінальні ймовірності та відповідно до них показники ефективності системи. Результати обчислень наведені в Таблиці 2.1 та Таблиці 2.2, а також показані на графіках функцій, наведених на Рисунок 2.1.
Виконаємо розрахунки за формулами 2.1.
Імовірність того, що зайнятий один (у даному випадкувсе) канал дорівнює:
Оскільки канал лише один, то.
1/од. часу.
1/од. часу.
Коефіцієнт завантаження дорівнює:
од. часу.
Оскільки аналізована система з відмовами немає черги, то середня кількість заявок, що у черзі дорівнює нулю за будь-якої кількості каналів обслуговування.
Обчислимо показники ефективності системи з відмовими при.
Імовірність того, що всі канали вільні дорівнює:
Імовірність того, що зайнято два (в даному випадку всі) канали дорівнює:
Так як канали всього два, то.
Імовірність обслуговування заявки дорівнює:
Абсолютна пропускна спроможність системи (середня кількість обслужених заявок в одиницю часу) дорівнює:
1/од. часу.
Інтенсивність потоку не обслужених заявок (середня кількість заявок, які отримали відмову в обслуговуванні, в одиницю часу) дорівнює:
1/од. часу.
Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:
Середня кількість вільних каналів дорівнює:
Коефіцієнт завантаження дорівнює:
Час перебування заявки в системі дорівнює:
од. часу.
Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:
Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:
Обчислимо показники ефективності системи з відмовими при.
Імовірність того, що всі канали вільні дорівнює:
Імовірність того, що зайнятий один канал дорівнює:
Імовірність того, що зайнято три (в даному випадку всі) канали дорівнює:
Оскільки канали лише три, то.
Імовірність обслуговування заявки дорівнює:
Абсолютна пропускна спроможність системи (середня кількість обслужених заявок в одиницю часу) дорівнює:
1/од. часу.
Інтенсивність потоку не обслужених заявок (середня кількість заявок, які отримали відмову в обслуговуванні, в одиницю часу) дорівнює:
1/од. часу.
Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:
Середня кількість вільних каналів дорівнює:
Коефіцієнт завантаження дорівнює:
Час перебування заявки в системі дорівнює:
од. часу.
Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:
Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:
Обчислимо показники ефективності системи з відмовими при.
Імовірність того, що всі канали вільні дорівнює:
Імовірність того, що зайнятий один канал дорівнює:
Імовірність того, що зайнято два канали дорівнює:
Імовірність того, що зайнято три канали дорівнює:
Імовірність того, що зайнято чотири (в даному випадку всі) канали дорівнює:
Так як канали всього чотири, то.
Імовірність обслуговування заявки дорівнює:
Абсолютна пропускна спроможність системи (середня кількість обслужених заявок в одиницю часу) дорівнює:
1/од. часу.
Інтенсивність потоку не обслужених заявок (середня кількість заявок, які отримали відмову в обслуговуванні, в одиницю часу) дорівнює:
1/од. часу.
Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:
Середня кількість вільних каналів дорівнює:
Коефіцієнт завантаження дорівнює:
Час перебування заявки в системі дорівнює:
од. часу.
Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:
Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:
Для обчислення виконуються аналогічно, тому докладного наводити не потрібно. Результати розрахунків також внесені до Таблиці 2.1 та Таблиці 2.2. та показані на Рисунок 2.1.
Таблиця 2.1. Результати розрахунків для СМО з відмовами
|
Система з відмовами 1/од. часу, од. часу |
Результуючі показники |
||||||||||
Таблиця 2.2. Допоміжні розрахунки для СМО з відмовами
|
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
||
Отримані розрахунки дозволяють зробити висновок, що найбільш оптимальною кількістю каналів системи з відмовими буде, тому що при цьому забезпечується мінімальне значення середньої вартості обслуговування однієї заявки в одиницю часу, економічного показника, Що характеризує систему як з погляду споживача, і з погляду її експлуатаційних властивостей.
Малюнок 2.1. Графіки результуючих показників СМО з відмовами
Значення основних показників ефективності оптимальної СМО з відмовами:
од. часу.
Допустиме для змішаної СМО значення часу перебування заявки у системі обчислюється за такою формулою 2.2.
од. часу.
2.2 Другий етап. Змішана система
на даному етапівивчається відповідна завданням система масового обслуговування з обмеженням на час перебування в черзі. Основним завданням цього етапу є вирішення питання про можливість із запровадженням черги забезпечити зменшення значення оптимального для аналізованої системи значення економічного показника С та покращити інші показники ефективності системи, що вивчається.
Задаючи значення параметра (середнього часу перебування заявки у системі), обчислимо самі показники ефективності, як і системи з отказами. Результати обчислень наведені в Таблиці 2.3 та Таблиці 2.4, а також показані на графіках функцій, наведених на Рисунок 2.2.
Для обчислення ймовірностей та основних показників ефективності використовуємо такі формули:
,
,
,
,
,
,
, . 2.3
Виконаємо розрахунки за формулами 2.3.
Значення показника однаково всім.
.
.
Імовірність того, що всі канали є вільними, обчислюється за формулами:
,
, . 2.4
Обчислимо кілька перших членів низки, використовуючи формули 2.3:
.
.
.
.
.
Виконаємо інші розрахунки за формулами 2.2.
Обчислимо фінальні ймовірності:
.
.
.
.
Середня кількість вільних каналів дорівнює:
Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:
.
1/од. часу.
Інтенсивність потоку не обслужених заявок (середня кількість заявок, які отримали відмову в обслуговуванні, в одиницю часу) дорівнює:
1/од. часу.
.
од. часу.
Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:
од. ст.
Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:
од. ст.
Оскільки отримана середня вартість обслуговування однієї заявки менша за аналогічний параметр оптимальної СМО з відмовими
слід збільшити.
Виконаємо розрахунок показників ефективності СМО з обмеженням на час перебування у черзі од. часу.
.
Потрібна за завданням точність розрахунку фінальних ймовірностей становить 0,01. Для забезпечення цієї точності достатньо обчислити приблизну суму нескінченного ряду з аналогічною точністю.
Для розрахунків також використовуємо формули 2.2 та формули 2.3.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Середня кількість вільних каналів дорівнює:
Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:
каналу
Імовірність обслуговування дорівнює:
.
Абсолютна пропускна спроможність системи дорівнює:
1/од. часу.
Інтенсивність потоку не обслужених заявок (середня кількість заявок, які отримали відмову в обслуговуванні, в одиницю часу) дорівнює:
1/од. часу.
Коефіцієнт завантаження системи дорівнює:
.
Середня кількість заявок у черзі дорівнює:
Обчислимо середній час перебування заявки у системі, що має задовольняти умові од. часу.
од. часу.
Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:
од. ст.
Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:
од. ст.
Як очевидно з розрахунків, збільшення призводить до зменшення середньої вартості обслуговування однієї заявки. Аналогічно виконаємо розрахунки зі збільшенням середнього часу перебування заявки у черзі, результати внесемо до Таблиці 2.3 та Таблиці 2.4, а також відобразимо на Рисунок 2.2.
Таблиця 2.3. Результати розрахунків для змішаної системи
|
Система з обмеженням на час перебування у черзі 1/од. брешемо, од. брешемо. |
Результуючі показники |
||||||||||
|
Дані системи з відмовами |
|||||||||||
Таблиця 2.4. Допоміжні розрахунки для змішаної системи
|
До обчислення загальної вартостіобслуговування заявок за одиницю часу |
||||||
|
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
||
|
Дані системи з відмовами |
||||||
|
Дані системи з обмеженням на час перебування у черзі |
||||||
Отримані розрахунки дозволяють зробити висновок, що найбільш оптимальним середнім часом перебування заявки в черзі для системи з обмеженням на час перебування в черзі слід прийняти, тому що при цьому найменша середня вартість обслуговування однієї заявки, а середній час перебування заявки в системі не перевищує допустимого, то є умова виконується.
Малюнок 2.2. Графіки результуючих показників змішаної системи
Значення основних показників ефективності оптимальної СМО з обмеженням на час перебування заявки у черзі:
од. часу.
од. часу.
Порівнювання показники ефективності оптимальної системи з відмовими та оптимальної змішаної системи, що вивчається, з обмеженням на час перебування в черзі можна помітити, крім зменшення середньої вартості обслуговування однієї заявки, підвищення завантаженості системи та ймовірності обслуговування заявки, що дозволяє оцінити досліджувану системи як більш ефективну. Незначне збільшення часу перебування заявки у системі впливає оцінку системи, оскільки очікується під час запровадження черги.
2.3 Третій етап. Вплив продуктивності каналів
На цьому етапі досліджуємо вплив продуктивності каналів обслуговування на ефективність системи. Продуктивність каналу обслуговування визначається значенням середнього часу обслуговування однієї заявки. Як предмет дослідження приймемо змішану систему, визнану оптимальною на попередньому етапі. Показники ефективності цієї первісної системи можна порівняти з аналогічними показниками двох варіантів цієї системи.
Варіант А. Система із зменшеною продуктивністю каналів обслуговування за рахунок збільшення вдвічі середнього часу обслуговування та зі зменшеними витратами, пов'язаними з експлуатацією та простоєм обладнання.
, .
Варіант Б. Система зі збільшеною продуктивністю каналів обслуговування за рахунок зменшення вдвічі середнього часу обслуговування та зі збільшеними витратами, пов'язаними з експлуатацією та простоєм обладнання.
, .
Результати обчислень наведено в Таблиці 2.5 та Таблиці 2.6.
Виконаємо розрахунок показників ефективності СМО із зменшеною продуктивністю каналів обслуговування.
од. часу.
.
.
.
.
Обчислимо ймовірність того, що всі канали є вільними.
Потрібна за завданням точність розрахунку фінальних ймовірностей становить 0,01. Для забезпечення цієї точності достатньо обчислити приблизну суму нескінченного ряду з аналогічною точністю.
Обчислимо кілька перших членів низки:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Обчислимо інші фінальні ймовірності:
.
.
.
.
Середня кількість вільних каналів дорівнює:
Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:
каналу
Імовірність обслуговування дорівнює:
.
Абсолютна пропускна спроможність системи дорівнює:
1/од. часу.
Інтенсивність потоку не обслужених заявок (середня кількість заявок, які отримали відмову в обслуговуванні, в одиницю часу) дорівнює:
1/од. часу.
Коефіцієнт завантаження системи дорівнює:
.
Середня кількість заявок у черзі дорівнює:
заявки.
од. часу.
Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:
од. ст.
Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:
од. ст.
Виконаємо розрахунок показників ефективності СМО зі збільшеною продуктивністю каналів обслуговування.
од. часу.
.
.
.
.
Обчислимо ймовірність того, що всі канали є вільними.
Потрібна за завданням точність розрахунку фінальних ймовірностей становить 0,01. Для забезпечення цієї точності достатньо обчислити приблизну суму нескінченного ряду з аналогічною точністю.
Обчислимо кілька перших членів низки:
.
.
.
.
.
.
Обчислимо інші фінальні ймовірності:
.
.
.
.
Середня кількість вільних каналів дорівнює:
Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:
каналу.
Імовірність обслуговування дорівнює:
.
Абсолютна пропускна спроможність системи дорівнює:
1/од. часу.
Інтенсивність потоку не обслужених заявок (середня кількість заявок, які отримали відмову в обслуговуванні, в одиницю часу) дорівнює:
1/од. часу.
Коефіцієнт завантаження системи дорівнює:
.
Середня кількість заявок у черзі дорівнює:
заявки.
Обчислимо середній час перебування заявки у системі.
од. часу.
Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:
од. ст.
Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:
од. ст.
Таблиця 2.5. Результати розрахунків третього етапу
|
Задана змішана система 1/од. брешемо, од. брешемо. |
Результати показники |
|||||||||||
|
Первонач. різновид |
||||||||||||
|
Варіант А |
||||||||||||
|
Варіант Б |
Таблиця 2.6. Допоміжні розрахунки третього етапу
|
До обчислення загальної вартості обслуговування заявок за одиницю часу |
|||||||
|
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
од. стоїмо. |
|||
|
Первонач. різновид |
|||||||
|
Варіант А |
|||||||
|
Варіант Б |
Отримані результати показують не доцільність збільшувати чи зменшувати продуктивність каналів обслуговування. Оскільки при зменшенні продуктивності каналів обслуговування зростає середній час перебування заявки у системі, хоча завантаженість системи близька до максимальної. При збільшенні продуктивності більшість каналів обслуговування простоює, але з погляду споживача система ефективна, оскільки можливість обслуговування близька до одиниці, а час перебування заявки у системі невелико. Цей розрахунок демонструє два варіанти системи, перший у тому числі ефективний з погляду експлуатаційних властивостей і ефективний з погляду споживача, а другий - навпаки.
Висновок
У ході виконання курсового проекту було вивчено та розглянуто систему масового обслуговування з відмовими та змішану систему масового обслуговування з обмеженням на час перебування у черзі, а також досліджено вплив продуктивності каналів обслуговування на ефективність системи, обраної оптимальною.
Порівнюючи оптимальні СМО з відмовами та змішану систему за параметрами ефективності, найкращою слід визнати змішану систему. Оскільки середня вартість обслуговування однієї заявки у змішаній системі менша за аналогічний параметр у СМО з відмовими на 9%.
Аналізуючи ефективність з погляду експлуатаційних властивостей системи, змішана система показує найкращі результатипорівняно із СМО з відмовами. Коефіцієнт завантаження та абсолютна пропускна здатність змішаної системи більше на 10%, ніж аналогічні параметри СМО з відмовими. З погляду споживача висновок не такий очевидний. Імовірність обслуговування змішаної системи вища майже на 10%, що говорить про більшу ефективність змішаної системи порівняно із СМО з відмовами. Але також спостерігається збільшення часу перебування заявки у системі на 20%, що характеризує СМО з відмовами як ефективнішу за цим параметром.
В результаті досліджень найбільш ефективною визнано оптимальну змішану систему. Ця системамає такі переваги перед СМО з відмовами:
менші витрати на обслуговування однієї заявки;
менше простоюканалів обслуговування, зважаючи на більшу завантаженість;
велика дохідність, оскільки пропускна спроможність системи вище;
є можливість витримати нерівномірність інтенсивності заявок, що надходять (збільшення навантаження), через наявність черги.
Дослідження впливу продуктивності каналів обслуговування ефективність змішаної системи масового обслуговування з обмеженням тимчасово перебування у черзі дозволяють зробити висновок, що найкращим варіантом буде вихідна оптимальна змішана система. Оскільки при зменшенні продуктивності каналів обслуговування система дуже «просідає» з погляду споживача. Час перебування заявки в системі збільшується у 3,6 рази! А при збільшенні продуктивності каналів обслуговування система настільки легко справляється з навантаженням, що 75% часу простоюватиме, що є іншою, економічно не ефективною, крайністю.
Враховуючи вищевикладене, оптимальна змішана система є найкращим вибором, оскільки демонструє баланс показників ефективності з погляду споживача та експлуатаційних властивостей, маючи у своїй найкращі економічні показники.
Бібліография
1 Дворецький С.І. Моделювання систем: підручник для студ. вищ. навч. закладів/М.: Видавничий центр «Академія». 2009.
2 Лабскер Л.Г. Теорія масового обслуговування в економічній сфері: Навч. посібник для вузів/М.: ЮНІТІ. 1998.
3 Самусевич Г.А. Теорія масового обслуговування. Найпростіші системи масового обслуговування. Методичні вказівки щодо виконання курсового проекту. / Є.: Уртіс СібГУТІ. 2015 року.
Розміщено на Allbest.ru
Подібні документи
Витоки та історія становлення економічного аналізу. Економічний аналізв умовах царської Росії, у післяжовтневий період та у період переходу до ринковим відносинам. Теорія масового обслуговування, її застосування та використання при прийнятті рішень.
контрольна робота , доданий 03.11.2010
Економічна система у різних наукових школах. Порівняльне дослідження механізму функціонування різних економічних систем. Співвідношення плану та ринку (алокація ресурсів). Види систем: сучасна, традиційна, планова та змішана (гібридна).
курсова робота , доданий 25.12.2014
Дослідження особливостей погодинної та відрядної заробітної плати. Опис акордної, контрактної та безтарифної систем оплати праці. Бригадна форма організації праці. Аналіз факторів, що впливають на заробітну плату. Огляд причин нерівності у доходах.
курсова робота , доданий 28.10.2013
Методологія порівняльного дослідження економічних систем. Розвиток поглядів на доіндустріальну економічну систему. Ринкова економіка: концептуальна схема побудови та реальна дійсність. Моделі змішаної економіки в країнах, що розвиваються.
книга , доданий 27.12.2009
Сутність масового типу організації виробництва та сфера його застосування, основні показники. Основні особливості застосування масового типу організації виробництва на конкретному підприємстві. Удосконалення управління масовим типом виробництва.
курсова робота , доданий 04.04.2014
Підходи до вивчення економіки та економічного процесу. Господарський механізм, як частина економічної системи. Види економічних систем. Капіталізм, соціалізм та змішана економіка в теорії та на практиці. Національні моделі економічних систем.
курсова робота , доданий 14.04.2013
Поняття економічних систем та підходи до їх класифікації. Основні моделі розвинутих країн у межах економічних систем. Основні риси та особливості шведської, американської, німецької, японської, китайської та російської моделей перехідної економіки.
курсова робота , доданий 11.03.2010
Сутність портфельного, бюджетного, проектного підходів до оцінки проектів інформаційні технологіїв компанії. Опис традиційних фінансових та ймовірнісних методик визначення ефективності застосування корпоративних інформаційних систем.
реферат, доданий 06.12.2010
Поняття виробничої функції та ізокванти. Класифікація малоеластичних, середньоеластичних та високоеластичних товарів. Визначення та використання коефіцієнтів прямих витрат. Використання методу теорії ігор торгівлі. Системи масового обслуговування.
практична робота , доданий 04.03.2010
Поняття та класифікація економічних систем, їх різновиди та порівняльний опис. Сутність та основні умови існування ринку, закономірності та напрями його розвитку. Поняття суб'єкта та об'єкта ринкової економіки, принципи керування.
1.1. Структура та параметри ефективності та якості функціонування СМО
Багато економічні завдання пов'язані із системами масового обслуговування, тобто. такими системами, у яких, з одного боку, виникають масові запити (вимоги) виконання будь-яких послуг, з іншого – відбувається задоволення цих запитів. СМО включає такі елементи: джерело вимог, вхідний потіквимог, черга, обслуговуючі пристрої (канали обслуговування), потік вимог, що виходить. Дослідженням таких систем займається теорія масового обслуговування.
Засоби, що обслуговують вимоги, називаються пристроями або каналами обслуговування. Наприклад, до них відносяться заправні пристрої на АЗС, канали. телефонного зв'язку, посадочні смуги, майстри-ремонтники, квиткові касири, вантажно-розвантажувальні точки на базах та складах.
Методами теорії масового обслуговування можна вирішити багато завдань дослідження процесів, які у економіці. Так, в організації торгівлі ці методи дозволяють визначити оптимальну кількість торгових точокданого профілю, чисельність продавців, частоту завезення товарів та інші параметри. Іншим характерним прикладом систем масового обслуговування можуть служити заправні станції, і завдання теорії масового обслуговування в даному випадку зводяться до того, щоб встановити оптимальне співвідношення між кількістю вимог, що надходять на заправну станцію, на обслуговування і числом обслуговуючих пристроїв, при якому сумарні витрати на обслуговування та збитки від простою були б мінімальними. Теорія масового обслуговування може знайти застосування при розрахунку площі складських приміщеньПри цьому складська площа розглядається як обслуговуючий пристрій, а прибуття транспортних засобівпід розвантаження – як вимога. Моделі теорії масового обслуговування застосовуються також під час вирішення низки завдань організації та нормування праці, інших соціально-економічних проблем.
Кожна СМО включає в свою структуру кілька обслуговуючих пристроїв, званих каналами обслуговування (до них можна віднести осіб, які виконують ті чи інші операції, - касирів, операторів, менеджерів, тощо), які обслуговують певний потік заявок (вимог), вступників на її вхід у випадкові моменти часу. Обслуговування заявок відбувається за невідомий, зазвичай випадковий час і залежить від багатьох різноманітних факторів. Після обслуговування заявки канал звільняється та готовий до прийому наступної заявки. Випадковий характер потоку заявок та часу їх обслуговування призводить до нерівномірності завантаження СМО – перевантаження з утворенням черг заявок або недовантаження – з простоюванням її каналів. Випадковість характеру потоку заявок і тривалості їх обслуговування породжує СМО випадковий процес, вивчення якого необхідні побудова та аналіз його математичної моделі. Вивчення функціонування СМО спрощується, якщо випадковий процес є марківським (процесом без післядії або без пам'яті), коли робота СМО легко описується за допомогою кінцевих систем звичайних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку, а в граничному режимі (при досить тривалому функціонуванні СМО) за допомогою кінцевих систем лінійних рівнянь алгебри. У результаті показники ефективності функціонування СМО виражаються через параметри СМО, потоку заявок та дисципліни.
З теорії відомо, щоб випадковий процес був Марківським, необхідно і достатньо, щоб усі потоки подій (потоки заявок, потоки обслуговувань заявок та ін), під впливом яких відбуваються переходи системи зі стану в стан, були Пуассонівським, тобто. володіли властивостями наслідки (для будь-яких двох проміжків часу, що не перетинаються, число подій, що наступають за один з них, не залежить від числа подій, що наступають за іншою) і ординарності (імовірність настання за елементарним, або малий, проміжок часу більше однієї події зневажливо мала в порівнянні з ймовірністю наступу за цей проміжок часу однієї події). Для найпростішого пуасонівського потокувипадкова величина Т (проміжок часу між двома сусідніми подіями) розподілена за показовим законом, являючи собою густину її розподілу або диференціальну функцію розподілу.
Якщо ж СМО характер потоків відмінний від пуассоновского, її характеристики ефективності можна визначити приблизно з допомогою Марківської теорії масового обслуговування, причому тим точніше, що складніше СМО, що більше у ній каналів обслуговування. У більшості випадків для обґрунтованих рекомендацій щодо практичному управліннюСМО зовсім не вимагає знань точних її характеристик, цілком достатньо мати їх наближені значення.
Кожна СМО в залежності від своїх параметрів має певну ефективність функціонування.
Ефективність функціонування СМО характеризують три основні групи показників:
1. Ефективність використання СМО - абсолютна або відносна пропускні здібності, середня тривалість періоду зайнятості СМО, коефіцієнт використання СМО, коефіцієнт не використання СМО;
2. Якість обслуговування заявок-середній час (середня кількість заявок, закон розподілу) очікування заявки в черзі або перебування заявки до СМО; ймовірність того, що заявка, що надійшла, негайно прийметься до виконання;
3. Ефективність функціонування пари CМО споживач, причому під споживачем розуміється як сукупність заявок або їх деяке джерело (наприклад, середній дохід, який приносить СМО за одиницю часу експлуатації та ін).
1.2 Класифікація СМО та їх основні елементи
СМО класифікуються на різні групи залежно від складу та від часу перебування у черзі до початку обслуговування, та від дисципліни обслуговування вимог.
За складом СМО бувають одноканальні (з одним пристроєм, що обслуговує) і багатоканальні (з великим числом обслуговуючих пристроїв). Багатоканальні системиможуть складатися з обслуговуючих пристроїв як однакової, і різної продуктивності.
За часом перебування вимог у черзі на початок обслуговування системи діляться втричі группы:
1) з необмеженим часом очікування (з очікуванням),
2) із відмовими;
3) змішаного типу.
У СМО з необмеженим часом очікування чергова вимога, заставши всі пристрої зайнятими, стає в чергу і чекає на обслуговування до тих пір, поки один з пристроїв не звільниться.
У системах з відмовими вимога, що надійшла, застав все пристрої зайнятими, залишає систему. Класичним прикладом системи з відмовами може бути робота автоматичної телефонної станції.
У системах змішаного типу вимога, що надійшла, застав все (пристрою зайнятими, стають у чергу і чекають обслуговування протягом обмеженого часу. Не дочекавшись обслуговування у встановлений час, вимога залишає систему.
Коротко розглянемо особливості функціонування деяких із цих систем.
1. СМО з очікуванням характеризується тим, що в системі з n (n>=1) будь-яка заявка, що надійшла до СМО в момент, коли всі канали зайняті, стає в чергу і чекає свого обслуговування, причому будь-яка заявка, що прийшла, обслужена. Така система може перебувати в одному з нескінченної множини станів: s n +k (r = 1.2 ...) - Всі канали зайняті і в черзі знаходиться r заявок.
2. СМО з очікуванням та обмеженням на довжину черги відрізняється від вищенаведеної тим, що ця система може перебувати в одному з n+m+1 станів. У станах s 0 ,s 1 ,…, s n черги немає, оскільки заявок у системі чи ні чи ні взагалі і канали вільні (s 0), чи системі кілька I (I=1,n) заявок, якого обслуговує відповідне (n+1, n+2,…n+r,…,n+m) кількість заявок та (1,2,…r,…,m) заявок, що стоять у черзі. Заявка, яка прийшла на вхід СМО в момент часу, коли в черзі вже стоять m заявок, отримує відмову і залишає систему необслуженою.
Т.ч, багатоканальна СМО працює по суті як одноканальна, коли всі n каналів працюють як один із дисципліною взаємодопомоги, званої все як один, але з більш високою інтенсивністю обслуговування. Граф станів подібної системи містить всього два стани: s 0 (s 1)- всі n каналів вільні (зайняті).
Аналіз різних видівСМО із взаємодопомогою типу все як один показує, що така взаємодопомога скорочує середній час перебування заявки в системі, але погіршує ряд інших таких характеристик, як ймовірність відмови, пропускна спроможність, середня кількість заявок у черзі та час очікування їх виконання. Тому для покращення цих показників використовується зміна дисципліни обслуговування заявок з рівномірною взаємодопомогою між каналами таким чином:
· Якщо заявка надходить у СМО в момент часу, коли всі канали вільні, то всі n каналів приступає до її обслуговування;
· Якщо в цей час надходить наступна заявка, то частина каналів перемикається на її обслуговування
· Якщо під час обслуговування цих двох заявок надходить третя заявка, то частина каналів переключається на обслуговування цієї третьої заявки, допоки кожна заявка, яка перебуває в СМО, не опиниться під обслуговуванням лише одного каналу. При цьому заявка, яка надійшла в момент зайнятості всіх каналів, у СМО з відмовами та рівномірною взаємодопомогою між каналами може отримати відмову і змушена буде залишити систему необслуженою.
Методи та моделі, що застосовуються в теорії масового обслуговування, можна умовно поділити на аналітичні та імітаційні.
Аналітичні методи теорії масового обслуговування дозволяють отримати характеристики системи як функції параметрів її функціонування. Завдяки цьому з'являється можливість проводити якісний аналіз впливу окремих факторівна ефективність роботи СМО. Імітаційні методи засновані на моделюванні процесів масового обслуговування на ЕОМ і застосовуються, якщо неможливе застосування аналітичних моделей.
В даний час теоретично найбільш розроблені та зручні у практичних додатках методи вирішення таких завдань масового обслуговування, в яких вхідний потік вимог є найпростішим (пуассонівським).
Для найпростішого потоку частота надходження вимог у систему підпорядковується закону Пуассона, тобто. ймовірність надходження за час t рівно k вимог задається формулою:
Важлива характеристика СМО – час обслуговування вимог у системі. Час обслуговування однієї вимоги, як правило, є випадковою величиною і, отже, може бути описаний законом розподілу. Найбільшого поширення теоретично і особливо у практичних додатках отримав експоненційний закон розподілу часу обслуговування. Функція розподілу для цього закону має вигляд:
Тобто. ймовірність те, що час обслуговування вбирається у деякої величини t, визначається цієї формулою, де µ- параметр експоненційного обслуговування вимог у системі, тобто. величина, обернена часу обслуговування t про:
Розглянемо аналітичні моделі найпоширеніших СМО з очікуванням, тобто. таких СМО, в яких вимоги, що надійшли в момент, коли всі канали, що обслуговують, зайняті, ставляться в чергу і обслуговуються в міру звільнення каналів.
Загальна постановка завдання ось у чому. Система має n обслуговуючих каналів, кожен з яких може одночасно обслуговувати лише одну вимогу.
У систему надходить найпростіший (паусонівський) потік вимог з параметром . Якщо в момент надходження чергової вимоги в системі на обслуговуванні вже знаходиться не менше n вимог (тобто всі канали зайняті), то ця вимога стає в чергу і чекає на початок обслуговування.
У системах з певною дисципліною обслуговування вимога, що надійшла, застав все пристрої зайнятими, залежно від свого пріоритету, або обслуговується позачергово, або стає в чергу.
Основними елементами СМО є: потік вимог, що входить, черга вимог, обслуговуючі пристрої, (канали) і вихідний потік вимог.
Вивчення СМО починається з аналізу вхідного потоку вимог. Вхідний потік вимог являє собою сукупність вимог, які надходять до системи та потребують обслуговування. Вхідний потік вимог вивчається з метою встановлення закономірностей цього потоку та подальшого покращення якості обслуговування.
Найчастіше вхідний потік некерований і від низки випадкових чинників. Число вимог, що надходять в одиницю часу, є випадковою величиною. Випадковою величиною є також інтервал часу між сусідніми вимогами. Однак середня кількість вимог, що надійшли в одиницю часу, та середній інтервалчасу між сусідніми вимогами передбачаються заданими.
Середня кількість вимог, що надходять до системи обслуговування за одиницю часу, називається інтенсивністю надходження вимог та визначається наступним співвідношенням:
де Т – середнє значення інтервалу між надходженням чергових вимог.
Багато реальних процесів потік вимог досить добре описується законом розподілу Пуассона. Такий потік називається найпростішим.
Найпростіший потік має такі важливими властивостями:
1) Властивістю стаціонарності, що виражає незмінність імовірнісного режиму потоку за часом. Це означає, що кількість вимог, які у систему у рівні проміжки часу, загалом має бути постійним. Наприклад, число вагонів, що надходять під навантаження в середньому на добу, має бути однаковим для різних періодівчасу, наприклад, на початку та наприкінці декади.
2) Відсутності післядії, що обумовлює взаємну незалежність надходження тієї чи іншої кількості вимог на обслуговування в проміжки часу, що не перетинаються. Це означає, що кількість вимог, які у даний час, залежить від кількості вимог, обслужених у попередньому проміжку часу. Наприклад, кількість автомобілів, що прибули за матеріалами в десятий день місяця, не залежить від кількості автомобілів, обслуговуваних у четвертий або будь-який інший попередній день цього місяця.
3) Властивістю ординарності, що виражає практичну неможливість одночасного надходження двох або більше вимог (імовірність такої події незмірно мала щодо розгляданого проміжку часу, коли останній спрямовують до нуля).
При найпростішому потоці вимог розподіл вимог, що у систему підпорядковуються закону розподілу Пуассона:
ймовірність того, що в обслуговувальну систему за час t надійде саме k вимог:
де. - Середня кількість вимог, що надійшли на обслуговування в одиницю часу.
Насправді умови найпростішого потоку який завжди суворо виконуються. Часто має місце нестаціонарність процесу (у різні години дня і різні дні місяця потік вимог може змінюватися, він може бути інтенсивнішим вранці або в останні днімісяця). Існує також наявність післядії, коли кількість вимог на відпустку товарів наприкінці місяця залежить від їхнього задоволення на початку місяця. Спостерігається і неоднорідності, коли кілька клієнтів одночасно перебувають склад за матеріалами. Проте загалом пуасонівський закон розподілу із досить високим наближенням відбиває багато процесів масового обслуговування.
Крім того, наявність пуассонівського потоку вимог можна визначити статистичною обробкою даних щодо надходження вимог на обслуговування. Однією з ознак закону розподілу Пуассона є рівність математичного очікування випадкової величини та дисперсії цієї величини, тобто.
Однією з найважливіших характеристик обслуговуючих пристроїв, що визначає пропускну спроможність усієї системи є час обслуговування.
Час обслуговування однієї вимоги ()-випадкова величина, яка може зміняться у великому діапазоні. Вона залежить від стабільності роботи самих обслуговуючих пристроїв, і від різних параметрів, які у систему, вимог (наприклад, різної вантажопідйомності транспортних засобів, які надходять під навантаження чи розвантаження.
Випадкова величина повністю характеризується законом розподілу, що визначається з урахуванням статистичних випробувань.
Насправді найчастіше приймають гіпотезу про показовий закон розподілу часу обслуговування.
Показовий закон розподілу часу обслуговування має місце тоді, коли щільність розподілу різко зменшується зі зростанням часу t. Наприклад, коли більшість вимог обслуговується швидко, а тривале обслуговування зустрічається рідко. Наявність показового закону розподілу часу обслуговування встановлюється з урахуванням статистичних спостережень.
При показовому законі розподілу часу обслуговування ймовірність події, що час обслуговування триватиме лише t, дорівнює:
де v - інтенсивність обслуговування однієї вимоги одним обслуговуючим пристроєм, що визначається із співвідношення:
де - середній час обслуговування однієї вимоги одним пристроєм, що обслуговує.
Слід зазначити, якщо закон розподілу часу обслуговування показовий, то за наявності кількох обслуговуючих пристроїв однакової потужності закон розподілу часу обслуговування кількома пристроями буде також показовим:
де n – кількість обслуговуючих пристроїв.
Важливим параметром СМО є коефіцієнт завантаження, що визначається як відношення інтенсивності надходження вимог до інтенсивності обслуговування v.
де a – коефіцієнт завантаження; - Інтенсивність надходження вимог до системи; v - інтенсивність обслуговування однієї вимоги одним пристроєм, що обслуговує.
З (1) та (2) отримуємо, що
Враховуючи, що - інтенсивність надходження вимог до системи за одиницю часу, твір показує кількість вимог, які у систему обслуговування за середній час обслуговування однієї вимоги одним пристроєм.
Для СМО з очікуванням кількість пристроїв, що обслуговуються, повинна бути строго більша за коефіцієнт завантаження (вимогу встановленого або стаціонарного режиму роботи СМО) :
В іншому випадку кількість вимог, що надходять, буде більше сумарної продуктивності всіх обслуговуючих пристроїв, і черга буде необмежено зростати.
Для СМО з відмовами і змішаного типу ця умова може бути ослаблена, ефективної роботицих типів СМО достатньо зажадати, щоб мінімальна кількість пристроїв, що обслуговуються, n було не менше коефіцієнта завантаження :
1.3 Процес імітаційного моделювання
Як вже було зазначено раніше, процес послідовної розробки імітаційної моделі починається зі створення простої моделі, яка потім поступово ускладнюється відповідно до вимог, що пред'являються вирішуваною проблемою. У процесі імітаційного моделювання можна виділити такі основні етапи:
1. Формування проблеми: опис досліджуваної проблеми та визначення цілей дослідження.
2. Розробка моделі: логіко-математичний опис моделюваної системи відповідно до формулювання проблеми.
3. Підготовка даних: ідентифікація, специфікація та збір даних.
4. Трансляція моделі: переклад моделі на мову, прийнятний для використовуваної ЕОМ.
5. Верифікація: встановлення правильності машинних програм.
6. Валідація: оцінка необхідної точності та відповідність імітаційної моделі реальній системі.
7. Стратегічне та тактичне планування: визначення умов проведення машинного експерименту з імітаційною моделлю.
8. Експериментування: прогін імітаційної моделі на ЕОМ щоб одержати необхідної інформації.
9. Аналіз результатів: вивчення результатів імітаційного експерименту для підготовки висновків та рекомендацій щодо вирішення проблеми.
10. Реалізація та документування: реалізація рекомендацій, отриманих на основі імітації, складання документації за моделлю та її використання.
Розглянемо основні етапи імітаційного моделювання. Першим завданням імітаційного дослідження є точне визначення проблеми та детальне формулювання цілей дослідження. Як правило, визначення проблеми є безперервним процесом, який зазвичай здійснюється на протязі всього дослідження. Воно переглядається у міру глибшого розуміння досліджуваної проблеми та виникнення нових її аспектів.
Як сформульовано початкове визначення проблеми, починається етап побудови моделі досліджуваної системи. Модель включає статистичний та динамічний опис системи. У статистичному описі визначаються елементи системи та його характеристики, а динамічному- взаємодія елементів системи, у яких відбувається зміна її стану у часі.
Процес формування моделі багато в чому мистецтвом. Розробник моделі повинен зрозуміти структуру системи, виявити правила її функціонування та зуміти виділити в них найважливіше, виключивши непотрібні деталі. Модель має бути простою для розуміння і водночас досить складною, щоб реалістично відображати характерні рисиреальної системи. Найбільш важливими є прийняті розробником рішення щодо того, чи вірні прийняті спрощення та припущення, які елементи та взаємодії між ними мають бути включені до моделі. Рівень деталізації моделі залежить від цілей її створення. Необхідно розглядати лише ті елементи, які мають важливе значення для вирішення досліджуваної проблеми. Як на етапі формування проблеми, так і на етапі моделювання необхідна тісна взаємодія між розробником моделі та її користувачами. Крім того, тісна взаємодія на етапах формулювання проблеми та розробки моделі створює у користувача впевненість у правильності моделі, тому допомагає забезпечити успішну реалізаціюрезультатів імітаційного дослідження.
На етапі розробки моделі визначаються вимоги до вхідних даних. Деякі з цих даних можуть бути в розпорядженні розробника моделі, тоді як для збору інших знадобиться час і зусилля. Зазвичай, значення таких вхідних даних задаються на основі деяких гіпотез або попереднього аналізу. У деяких випадках точні значення одного (і більше) вхідних параметрів мають невеликий вплив на результати прогонів моделі. Чутливість одержуваних результатів зміни вхідних даних може бути оцінена шляхом проведення серії імітаційних прогонів для різних значень вхідних параметрів. Отже, імітаційна модель може використовуватися для зменшення витрат часу та коштів на уточнення вхідних даних. Після того, як розроблено модель і зібрано початкові вхідні дані, наступним завданням є переведення моделі у форму, доступну для комп'ютера.
На етапах верифікації та валідації здійснюється оцінка функціонування імітаційної моделі. На етапі верифікації визначається, чи запрограмована для ЕОМ модель задуму розробника. Це зазвичай здійснюється шляхом ручної перевірки обчислення, а також може бути використаний ряд статистичних методів.
Встановлення адекватності імітаційної моделі досліджуваної системи складає етапі валідації. Валідація моделі зазвичай виконується різних рівнях. Спеціальні методи валідації включають встановлення адекватності шляхом використання постійних значень усіх параметрів імітаційної моделі або оцінювання чутливості виходів до зміни значень вхідних даних. У процесі валідації порівняння має здійснюватися з урахуванням аналізу як реальних, і експериментальних даних про функціонування системи.
Умови проведення машинних прогонів моделі визначається на етапах стратегічного та тактичного планування. Завдання стратегічного плануванняполягає у розробці ефективного плануексперименту, у результаті якого з'ясовується взаємозв'язок між керованими змінними, або перебуває комбінація значень керованих змінних, мінімізація чи максимізація імітаційної моделі. У тактичному плануванні, на відміну від стратегічного, вирішується питання про те, як у рамках плану експерименту провести кожен імітаційний прогін, щоб отримати найбільшу кількість інформації з вихідних даних. Важливе місце у тактичному плануванні займають визначення умов імітаційних прогонів та методи зниження дисперсії середнього значення відгуку моделі.
Наступні етапиу процесі імітаційного дослідження-проведеннямашинного експерименту та аналіз результатів- включають прогін імітаційної моделі на ЕОМ та інтерпретацію отриманих вихідних даних. Останнім етапом імітаційного дослідження є реалізація одержаних рішень та документування імітаційної моделі та її використання. Жодні з імітаційних проектів не повинні вважатися закінченими доти, доки їхні результати не були використані в процесі прийняття рішень. Успіх реалізації великою мірою залежить від цього, наскільки правильно розробник моделі виконав усі попередні етапи процесів імітаційного дослідження. Якщо розробник і користувач працювали в тісному контакті і досягли порозуміння при розробці моделі та її дослідженні, то результат проекту, швидше за все, буде успішно впроваджуватися. Якщо ж між ними не було тісного взаємозв'язку, то, незважаючи на елегантність та адекватність імітаційного моделювання, складно буде розробити ефективні рекомендації.
Перераховані вище етапи рідко виконуються в строго заданій послідовності, починаючи з визначення проблеми і закінчуючи документуванням. У ході імітаційного моделювання можуть бути збої в прогонах моделі, помилкові припущення, від яких надалі доводиться відмовлятися, переорієнтування цілей дослідження, повторні оцінки та перебудови моделі. Такий процес дозволяє розробити імітаційну модель, яка дає правильну оцінку альтернатив та полегшує процес прийняття рішень.
Глава 2. Розподіли та генератори псевдовипадкових чисел
Нижче будуть використані такі позначення:
X – випадкова величина; f(х) - функція густини ймовірності X; F(х) – функція ймовірності X;
а – мінімальне значення;
b – максимальне значення;
μ-математичне очікування М [Х]; σ2 -дисперсія М [(Х-μ) 2];
σ -середньоквадратичне відхилення; α-параметр функції густини ймовірності;
Черга довжини k залишається в ній з ймовірністю Pk і не приєднується до черги з ймовірністю gk=1 - Pk,". саме так зазвичай поводяться люди в чергах. У системах масового обслуговування, що є математичними моделями виробничих процесів, Можлива довжина черги обмежена постійною величиною (ємність бункера, наприклад). Очевидно, це окремий випадок загальної постановки. Деякі...
1. Показники ефективності використання СМО:
Абсолютна пропускна спроможність СМО – середня кількість заявок, що смо-
е обслужити СМО в одиницю часу.
Відносна пропускна здатність СМО – відношення середньої кількості заявок,
обслуговуваних СМО в одиницю часу, до середнього числа надійшли за це ж
час заявок.
Середня тривалість періоду зайнятості СМО.
Коефіцієнт використання СМО - середня частка часу, протягом якого
СМО зайнята обслуговуванням заявок тощо.
2. Показники якості обслуговування заявок:
Середній час очікування заявки у черзі.
Середній час перебування заявки до СМО.
Можливість відмови заявці в обслуговуванні без очікування.
Імовірність того, що заявка, що знову надійшла, негайно буде прийнята до обслуговування.
Закон розподілу часу очікування заявки у черзі.
Закон розподілу часу перебування заявки до СМО.
Середня кількість заявок, які перебувають у черзі.
Середня кількість заявок, що перебувають у СМО, тощо.
3. Показники ефективності функціонування пари «СМО – клієнт», де під «клієнтом» розуміють всю сукупність заявок чи їхнє джерело. До таких показників належить, наприклад, середній дохід, який приносить СМО в одиницю часу
Класифікація систем масового обслуговування
За кількістю каналів СМО:
одноканальні(Коли є один канал обслуговування)
багатоканальніточніше n-канальні (коли кількість каналів n≥ 2).
З дисципліни обслуговування:
1. СМО з відмовами, в яких заявка, що надійшла на вхід СМО у момент, коли всі
канали зайняті, отримує «відмову» та залишає СМО («зникає»). Щоб ця заявка все ж
була обслужена, вона повинна знову надійти на вхід СМО і розглядатись при цьому як заявка, яка надійшла вперше. Прикладом СМО з відмовами може бути робота АТС: якщо набраний телефонний номер (заявка, що надійшла на вхід) зайнятий, заявка отримує відмову, і, щоб додзвонитися за цим номером, слід його набрати ще раз.
2. СМО з очікуванням(необмеженим очікуваннямабо чергою). У таких системах
заявка, що надійшла в момент зайнятості всіх каналів, стає в чергу і чекає на звільнення каналу, який прийме її до обслуговування. Кожна заявка, яка надійшла на вхід, зрештою буде обслужена. Такі СМО часто зустрічаються у торгівлі, у сфері побутового та медичного обслуговування, на підприємствах (наприклад, обслуговування верстатів бригадою наладчиків).
3. СМО змішаного типу(з обмеженим очікуванням). Це такі системи, де на перебування заявки в черзі накладаються деякі обмеження.
Ці обмеження можуть накладатися на довжину черги, тобто. максимально можливе
кількість заявок, які одночасно можуть перебувати у черзі. Як приклад такої системи можна навести майстерню з ремонту автомобілів, що має обмежену за розмірами стоянку для несправних машин, що чекають на ремонт.
Обмеження очікування можуть стосуватися часу перебування заявки у черзі, за істи-
ченню якого вона виходить із черги і залишає систему).
У СМО з очікуванням і СМО змішаного типу застосовуються різні схеми про-
служіння заявок із черги. Обслуговування може бути упорядкованим, коли заявки з черги обслуговуються в порядку їх надходження до системи, та невпорядкованим, у якому заявки з черги обслуговуються у випадковому порядку. Іноді застосовується обслуговування з пріоритетомколи деякі заявки з черги вважаються пріоритетними і тому обслуговуються в першу чергу.
По обмеженню потоку заявок:
замкнутіі відкриті.
Якщо потік заявок обмежений і заявки, що залишили систему, можуть повертати в неї-
ся, то СМО є замкненою, в іншому випадку - відкритою.
За кількістю етапів обслуговування:
однофазніі багатофазні
Якщо канали СМО однорідні, тобто. виконують одну і ту ж операцію обслугову-
ня, то такі СМО називаються однофазними. Якщо канали обслуговування розташовані послідовно і вони неоднорідні, оскільки виконують різні операції обслуговування (тобто обслуговування складається з кількох послідовних етапів чи фаз), то СМО називається багатофазний. Прикладом роботи багатофазної СМО є обслуговування автомобілів на станції технічне обслуговування(Мийка, діагностування і т.д.).
