Usporedna analiza učinkovitosti najjednostavnijih sustava čekanja. Teorija čekanja

30.05.2020 Bezgotovinski

Sustav Čekanje u redu sastoji se od sljedećih elemenata (slika 5.6).

1 - dolazni tok zahtjevi ω( t) - skup zahtjeva za QS za određeni rad (točenje goriva, pranje, održavanje itd.) ili pružanje usluga (kupnja proizvoda, dijelova, materijala itd.). Dolazni tok Zahtjevi mogu biti fiksni ili varijabilni.

Zahtjevi su homogeni (iste vrste poslova ili usluga) i heterogeni ( različiti tipovi radova ili usluga).

2 - skretanje - zahtjevi koji čekaju na servis. Red čekanja se ocjenjuje prosječna dužina r– broj objekata ili klijenata koji čekaju na uslugu.

Slika 5.6 - Opća shema sustava čekanja

3 - servisni uređaji(servisni kanali) - skup poslova, izvođača, opreme koja servisira zahtjeve za određenu tehnologiju.

4 -odlazni tok potražnjeω’( t) – tijek zahtjeva koji su prošli QS. Općenito, odlazni tok se može sastojati od servisiranih i neservisiranih zahtjeva. Primjer neispunjenog zahtjeva je dio koji nedostaje za automobil koji je na popravku.

5- zatvaranje(moguće) QS je stanje sustava u kojem dolazni tok zahtjeva ovisi o odlaznom.

Na cestovni prijevoz nakon servisiranja zahtjeva (održavanje, popravak), automobil mora biti tehnički ispravan.

Sustavi čekanja klasificirani su kako slijedi.

1 Prema ograničenjima duljine reda čekanja:

QS s gubicima – zahtjev ostavlja QS neposluženim, ako su u trenutku njegova dolaska svi kanali zauzeti;

QS bez gubitaka - zahtjev zauzima red čak i ako su svi kanali
zaposlen;

QS s ograničenjima duljine čekanja m ili vrijeme čekanja: ako postoji ograničenje u redu, tada novopristigli ( m+1) zahtjev ostavlja sustav neposluženim (npr. ograničeni kapacitet skladišnog prostora ispred benzinske postaje).

2 Po broju uslužnih kanala n:

Jedan kanal: n=1;

Višekanalni n≥2.

3 Po vrsti kanala usluge:

Isti tip (univerzalni);

Raznovrsno (specijalizirano).

4 Servisni nalog:

Monofazni - održavanje se izvodi na jednom uređaju (postu);

Višefazni – zahtjeve sukcesivno prolazi nekoliko servisnih uređaja (na primjer, proizvodne linije za održavanje; pokretna montaža automobila; vanjska linija za njegu: čišćenje → pranje → sušenje → poliranje).

5 Prioritet usluge:

Bez prioriteta - zahtjevi se servisiraju prema redoslijedu primanja QS-a;

Prioritetno – zahtjevi se servisiraju ovisno o rangu prioriteta koji im je dodijeljen po primitku (npr. punjenje vozila hitne pomoći na benzinskim postajama; prioritetni popravci na ATP-ovima vozila koja donose najveću dobit u prijevozu).

6 Prema veličini dolaznog protoka zahtjeva:

S neograničenim dolaznim streamom;

S ograničenim dolaznim protokom (primjerice, u slučaju dogovora za određene vrste poslova i usluga).

7 Prema strukturi CMO-a:

Zatvoreno - dolazni tijek zahtjeva, ceteris paribus, ovisi o broju prethodno servisiranih zahtjeva (složeni ATP koji opslužuje samo vlastite automobile ( 5 na slici 5.6));

Otvoreno - dolazni protok zahtjeva ne ovisi o broju prethodno opsluženih: benzinskih postaja uobičajena uporaba, trgovina rezervnih dijelova.

8 Prema međusobnom povezivanju servisnih uređaja:

Uz uzajamnu pomoć propusnost uređaji su nestabilni i ovise o zapošljavanju drugih uređaja: brigadno održavanje nekoliko postova benzinske postaje; korištenje "kliznih" radnika;

Bez međusobne pomoći - propusnost uređaja ne ovisi o radu drugih QS uređaja.

Što se tiče tehničkog rada vozila, zatvoreni i otvoreni, jednokanalni i višekanalni QS, s istovrsnim ili specijaliziranim servisnim uređajima, s jednofaznim ili višefaznim servisom, bez gubitaka ili s ograničenjem duljine čekanja ili vrijeme provedeno u njemu, rašireni su.

Sljedeći parametri koriste se kao pokazatelji učinka QS-a.

Intenzitet održavanja

gdje je ω parametar protoka potražnje.

pokazuje broj pristiglih zahtjeva u jedinici vremena, tj.

A=ω g,

(5.13)

gdje g- .

Relativna propusnost utvrđuje udio obrađenih zahtjeva od njihovog ukupnog broja.

Vjerojatnost da da su sve objave besplatne R 0 , karakterizira takvo stanje sustava, u kojem su svi objekti u dobrom stanju i ne zahtijevaju tehničke intervencije, tj. nema zahtjeva.

Vjerojatnost uskraćivanja usluge R otk ima smisla za QS s gubicima i s ograničenjem duljine reda ili vremena provedenog u njemu. Prikazuje udio "izgubljenih" zahtjeva za sustav.

R och definira stanje sustava u kojem su svi poslužitelji zauzeti, a sljedeći zahtjev "ustaje" u red čekanja s brojem zahtjeva na čekanju r.

Ovisnosti za određivanje imenovanih parametara funkcioniranja QS-a određene su njegovom strukturom.

gdje n zan - .

Vrijeme povezivanja zahtjeva sa sustavom:

QS s gubicima

t sustav = gt d;

(5.16)

QS bez gubitaka

t sustav = t d + tčekati.

(5.17)

I=IZ 1 r+IZ 2 n sn +( IZ 1 +C 2)ρ,

(5.18)

gdje IZ 1 - trošak vremena mirovanja automobila u redu čekanja;

r- prosječna duljina čekanja;

IZ 2 - trošak neaktivnog servisnog kanala;

n sn - broj slobodnih (slobodnih) kanala;

t w - prosječno vrijeme provedeno u redu.

Zbog nasumičnosti dolaznog toka zahtjeva i trajanja njihovog izvršavanja, uvijek postoji neki prosječni broj neaktivnih automobila. Stoga je potrebno raspodijeliti broj uslužnih uređaja (radnih mjesta, poslova, izvođača) među različitim podsustavima na način da ja= min. Ova klasa problema bavi se diskretnom promjenom parametara, jer se broj uređaja može mijenjati samo na diskretan način. Stoga se pri analizi sustava za osiguranje operativnosti automobila koriste metode operacijskog istraživanja, teorije čekanja, linearnog, nelinearnog i dinamičkog programiranja te simulacijskog modeliranja.

Primjer. Stanica Održavanje ima jedan dijagnostički post ( n= jedan). Dužina reda je ograničena na dva automobila ( t= 2). Odredite parametre rada dijagnostičkog mjesta, ako je intenzitet protoka zahtjeva za dijagnostiku u prosjeku ALI\u003d 2 potrebna / h, trajanje dijagnoze t d = 0,4 h

Intenzitet dijagnoze μ=1/0,4=2,5.

Smanjena gustoća toka ρ=2/2,5=0,8.

Vjerojatnost da je objava besplatna,

P 0 =(1-ρ)/(1-ρ m +2)=(1-0,8)/(1-0,8 4)=0,339.

Vjerojatnost formiranja reda

P pt =ρ 2 R 0 =0,8 2 0,339=0,217.

Vjerojatnost uskraćivanja usluge

P otvoreno =ρ m+1 (1-ρ)/(1-ρ m +2)=0,8 3 (1-0,8)/(1-0,84)=0,173.

Relativna propusnost

g=1-P otk \u003d 1-0,173 \u003d 0,827.

Apsolutna propusnost

ALI\u003d 2 0,827 \u003d 1,654 potrebno / h.

Prosječan broj iskorištenih objava ili vjerojatnost učitavanja objava

n zan =(ρ-ρ m+2)/(1-ρ m +2)=(0,8-0,8 4)/(1-0,8 4)=0,661=1-P 0 .

Prosječan broj zahtjeva u redu čekanja,

Prosječno vrijeme koje zahtjev provede u redu čekanja

t oj = r/ω=0,564/2=0,282 h.

Primjer. Na poduzeće za motorni promet postoji jedan dijagnostički post ( n= jedan). NA ovaj slučaj duljina čekanja je praktički neograničena. Odredite parametre performansi dijagnostičkog mjesta, ako je trošak neaktivnih automobila u redu IZ 1 = 20 re (obračunskih jedinica) po smjeni, te troškovi neradnih mjesta IZ 2 = 15 re Ostali početni podaci su isti kao i za prethodni primjer.

Vjerojatnost da je objava besplatna

P 0 =1-ρ=1-0,8=0,2.

Vjerojatnost formiranja reda

P pt =ρ 2 R 0 =0,8 2 0,2=0,128.

Relativna propusnost g=1, budući da će sva ciljana vozila proći kroz dijagnostički stup.

Apsolutna propusnost ALI\u003d ω \u003d 2 potrebna / h.

Prosječan broj popunjenih radnih mjesta n zan =ρ=0,8.

r\u003d ρ 2 / (1-ρ) \u003d 0,8 2 / (1-0,8) \u003d 3.2.

Prosječno vrijeme čekanja u redu

t exp \u003d ρ 2 / (1-ρ) / μ \u003d 0,8 2 / (1-0,8) / 2,5 \u003d 1,6.

Troškovi rada sustava

I=IZ 1 r+IZ 2 n sn +( IZ 1 +C 2) ρ=20 3,2+15 0,2+(20+15) 0,8=95,0 re/pomak.

Primjer. U istom poduzeću za motorni prijevoz broj dijagnostičkih mjesta povećan je na dva ( n=2), tj. stvorio višekanalni sustav. Budući da su za otvaranje drugog radnog mjesta potrebna kapitalna ulaganja (prostor, oprema itd.), trošak zastoja uslužnih objekata povećava se na IZ' 1 \u003d 22 re. Odredite parametre performansi dijagnostičkog sustava. Ostali početni podaci su isti kao u prethodnom primjeru.

Intenzitet dijagnoze i smanjena gustoća toka ostaju isti: μ=2,5, ρ=0,8.

Vjerojatnost da su obje objave besplatne

R 0 =1:
=0,294.

Vjerojatnost formiranja reda

P och =ρ n R 0 /n!=0,8 2 0,294/2=0,094,

oni. 37% niže nego u prethodnom primjeru.

Relativna propusnost g=1, jer će svi automobili proći kroz dijagnostičke stupove.

Apsolutna propusnost ALI=2 potrebna/h

Prosječan broj popunjenih radnih mjesta n zan =ρ=0,8.

Prosječan broj zahtjeva u redu čekanja,

r=ρ P och /( n-ρ)=0,8 2 0,094/(2-0,8)=0,063.

Prosječno vrijeme u redu

t oj = P och /( n-ρ)/μ=0,094/(2-0,8)/2,5=0,031.

Troškovi rada sustava

I=IZ 1 r+IZ 2 n sn +( IZ 1 +C 2) ρ=20 0,063+22 1,2+(20+22) 0,8=61,26 ponovno/pomak,

oni. 1,55 puta niže nego pod istim uvjetima za jedno dijagnostičko mjesto, uglavnom zbog smanjenja reda automobila za dijagnostiku i vremena čekanja automobila za više od 50 puta. Stoga je izgradnja drugog dijagnostičkog mjesta u razmatranim uvjetima svrsishodna. Koristeći formulu (5.18) iz uvjeta I 1 =I 2 , moguće je procijeniti granične vrijednosti troškova zastoja objekata održavanja tijekom izgradnje i opremanja drugog dijagnostičkog mjesta, što u razmatranom primjeru iznosi C 2 inc \u003d 39 re.

Teorija QS-a posvećena je razvoju metoda za analizu, dizajn i racionalnu organizaciju sustava vezanih uz različita područja djelovanja, poput komunikacija, računarstva, trgovine, transporta i vojnih poslova. Unatoč svoj svojoj raznolikosti, navedeni sustavi imaju niz tipičnih svojstava, naime.

QS (sustavi čekanja) je modeli sustava, na koje, u nasumično vrijeme, zahtjevi (zahtjevi) stižu izvana ili iznutra. Njima sustav mora služiti na ovaj ili onaj način. Trajanje usluge je najčešće nasumično.
CMO je totalitet servirati oprema i osoblje uz odgovarajuću organizaciju uslužnog procesa.
Postaviti QS znači postaviti ga struktura i statistički karakteristike redoslijeda zaprimanja prijava i redoslijed njihove usluge.

Zadatak QS analize sastoji se u određivanju niza pokazatelja njegove učinkovitosti, koji se mogu podijeliti u sljedeće skupine:

pokazatelji koji karakteriziraju sustav u cjelini: broj n zauzeti servisni kanali, broj servisnih kanala (λ b) čekanje usluge ili odbijeni zahtjevi (λ c) po jedinici vremena itd.;
probabilističke karakteristike: vjerojatnost da će zahtjev biti uslužen ( P obs) ili primiti odbijenicu usluge ( P otk) da su svi uređaji besplatni ( str 0) ili je određeni broj njih zauzet ( p k), vjerojatnost čekanja u redu itd.;
ekonomski pokazatelji: trošak gubitaka povezanih s odlaskom zahtjeva koji iz ovog ili onog razloga nije uslužen iz sustava, ekonomski učinak, dobivene kao rezultat servisiranja zahtjeva i sl.

Dio tehničkih pokazatelja (prve dvije skupine) karakterizira sustav sa stajališta potrošača, drugi dio karakterizira sustav u smislu njegove izvedbe. Često izbor ovih pokazatelja može poboljšati performanse sustava, ali pogoršati sustav sa stajališta potrošača i obrnuto. Korištenje ekonomski pokazatelji omogućuje vam da riješite ovu kontradikciju i optimizirate sustav, uzimajući u obzir obje točke gledišta.
Tijekom domaće zadaće kontrolni rad proučavaju se najjednostavniji QS. To su sustavi otvorene petlje, u sustav nije uključen beskonačan izvor zahtjeva. Ulazni tokovi zahtjeva, tokovi usluga i očekivanja ovih sustava su najjednostavniji. Nema prioriteta. Sustavi su jednofazni.

Višekanalni sustav s kvarovima

Sustav se sastoji od jednog servisnog čvora koji sadrži n servisnih kanala, od kojih svaki može poslužiti samo jedan zahtjev.
Svi uslužni kanali iste izvedbe ne razlikuju se za model sustava. Ako zahtjev uđe u sustav i pronađe barem jedan slobodan kanal, odmah se počinje servisirati. Ako su svi kanali zauzeti u trenutku kada zahtjev uđe u sustav, tada zahtjev ostavlja sustav neobrađenim.

mješoviti sustavi

Ograničeni sustav za duljinu reda .
Sastoji se od pogona (reda) i servisnog čvora. Nalog izlazi iz reda i napušta sustav ako u akumulatoru do trenutka kada se pojavi već ima m naloga (m je najveći mogući broj mjesta u redu). Ako neka aplikacija uđe u sustav i pronađe barem jedan slobodan kanal, odmah počinje servisirati. Ako su svi kanali zauzeti u trenutku ulaska zahtjeva u sustav, tada zahtjev ne napušta sustav, već zauzima mjesto u redu čekanja. Aplikacija napušta sustav neposluženom ako su u trenutku ulaska u sustav svi servisni kanali i sva mjesta u redu čekanja zauzeti.
Disciplina čekanja definirana je za svaki sustav. Ovo je sustav pravila koji određuju redoslijed kojim aplikacije stižu iz reda čekanja do servisnog čvora. Ako su sve prijave i kanali usluge jednaki, onda najčešće vrijedi pravilo “tko je prije došao, prije je uslužen”.
Ograničeni sustav za vrijeme trajanja prijave u redu čekanja.
Sastoji se od pogona (reda) i servisnog čvora. Razlikuje se od prethodnog sustava po tome što aplikacija koja je ušla u akumulator (red čekanja) može samo ograničeno vrijeme čekati početak usluge. T ozh(najčešće je to slučajna varijabla). Ako joj vrijeme T ozh istekao, tada zahtjev napušta red čekanja i ostavlja sustav neposluženim.

Matematički opis QS-a

QS se smatraju nekim fizičkim sustavima sa diskretna stanja x 0, x 1, ..., x n, djeluju na neprekidno vrijeme t . Broj stanja n može biti konačan ili prebrojiv (n → ∞). Sustav se može kretati iz jednog stanja x i (i= 1, 2, ... , n) u drugo x j (j= 0, 1,…,n) u proizvoljnom trenutku u vremenu t. Da bi se prikazala pravila za takve prijelaze, dijagram tzv grafikon stanja. Za gore navedene tipove sustava, grafikoni stanja tvore lanac u kojem je svako stanje (osim onih ekstremnih) izravno i povratno povezano s dva susjedna stanja. Ovo je shema smrti i reprodukcije .
Prijelazi iz stanja u stanje događaju se u nasumično vrijeme. Zgodno je pretpostaviti da se ti prijelazi događaju kao rezultat djelovanja nekih teče(tijekovi dolaznih zahtjeva, odbijanja usluge zahtjeva, povratni tijek uređaja itd.). Ako svi tokovi protozoa, zatim slučajni proces s diskretnim stanjem i kontinuiranim vremenom bit će Markoviev .
Tok događaja je niz sličnih događaja koji se događaju u nasumično odabrano vrijeme. Može se promatrati kao slijed slučajnih trenutaka u vremenu t 1 , t 2 , … događaji.
najjednostavniji Tok se naziva ako ima sljedeća svojstva:

Običnost. Događaji slijede jedan po jedan (suprotno od toka, gdje događaji slijede u skupinama).
stacionarnost. Vjerojatnost pogađanja određenog broja događaja po vremenskom intervalu T ovisi samo o duljini intervala i ne ovisi o tome gdje se na vremenskoj osi taj interval nalazi.
Nema naknadnog učinka. Za dva vremenska intervala τ 1 i τ 2 koji se ne preklapaju, broj događaja koji padaju na jedan od njih ne ovisi o tome koliko događaja pada na drugi interval.

U najjednostavnijem toku vremenski intervali T 1 , T 2 ,… između trenutaka t 1 , t 2 , … pojave događaja su slučajne, neovisne jedna o drugoj i imaju eksponencijalnu distribuciju vjerojatnosti f(t)=λe -λt , t≥0, λ=const, gdje je λ parametar eksponencijalne distribucije, koji je istovremeno intenzitet tok i predstavlja prosječan broj događaja koji se događaju po jedinici vremena. Dakle, t =M[T]=1/λ.
Markovljevi slučajni događaji opisuju se običnim diferencijalne jednadžbe. Varijable u njima su vjerojatnosti stanja R 0 (t), str 1 (t),…,p n (t).
Za vrlo velika vremena funkcioniranja sustava (teoretski, pri t → ∞) u najjednostavnijim sustavima (sustavi u kojima su svi tokovi jednostavni, a graf je shema smrti i reprodukcije), promatramo uspostavljen, ili stacionarni način rada. U ovom načinu rada sustav će promijeniti svoje stanje, ali vjerojatnosti tih stanja ( konačne vjerojatnosti) r do, k= 1, 2 ,…, n, ne ovise o vremenu i mogu se smatrati kao prosječno relativno vrijeme sustav je u ispravnom stanju.

1. Intenzitet protoka servisiranja aplikacija

2. QS faktor opterećenja

3. Vjerojatnost formiranja reda

4. Vjerojatnost kvara sustava

5. Širina pojasa

6. Prosječan broj prijava u redu

7. Prosječan broj zahtjeva koje je opslužio CMO

8. Prosječan broj prijava u CMO

9. Prosječno vrijeme prijave u CMO

10. Prosječno vrijeme koje je aplikacija provela u redu

11. Prosječan broj zauzetih kanala.

Potrebno je procijeniti kvalitetu rezultirajućeg sustava dosljednošću vrijednosti pokazatelja. Prilikom analize rezultata simulacije važno je voditi računa o interesima naručitelja i vlasnika sustava. Konkretno, ovaj ili onaj pokazatelj trebao bi biti min ili max.

26. Jednokanalni QS

27. Jednokanalni QS s kvarovima

28. Višekanalni QS s ograničenim redom

CMO parametri:

o Intenzitet protoka prijava.

o Intenzitet protoka usluga.

o Prosječno t usluge aplikacije.

o Broj servisnih kanala.

o Službena disciplina.

< СМО на примере работы АЗС. Несколько одинак. колонок, произв-ть кот.известна. Если колонки заняты, то обслуживание в очереди м. ждать не >3 automobila u isto vrijeme. Red čekanja smatramo općim. Ako su sva mjesta u redu čekanja zauzeta, stroj dobiva odbijenicu usluge.

29. Transportni zadatak

- širok raspon zadataka, ne samo prometne prirode, raspodjela resursa, smještenih na nekoliko. dobavljači, d / drugi proizvoljan broj potrošača. D / prijevoznici najčešće vezani za transport:

1. Vezanje potrošača za resurse proizvođača.

2. Vezanje za odredišta polazišta.

3. Međusobno uvezivanje pravog i povratnog teretnog prometa.

4. Optimalna raspodjela V izlaza ind. proizvodi m / y izgotov-mi.

< модель привязки к пункту назначения. Известны: пункты отправления и назначения, объемы отправления по к-му пункту, потребность в грузе, стоимость доставки по каждому варианту. Н. оптимальный план перевозок с min транспортными издержками.

30. Tr. zadatak zatvoren- ∑Pošalji. teret = ∑V potrošnja u ovom teretu, tj. ∑ai=∑bj (m je broj dobavljača, n je broj potrošača).

31 . Ako ovaj uvjet nije moguć - otvoriti tr. zadatak. Zatim se mora dovesti do zatvorenog:

1. Ako potražnja odredišta premašuje zalihe podrijetla, tada se upisuje lažni dobavljač s nedostajućim V polazištem.

2. Sve zalihe dobavljača > potrebe, zatim input-safikt. potrošač.

32. Algoritam za rješavanje problema metodom potencijala (etape):

1. Razvoj početni plan(rješenje podrške).

2. Proračun potencijala.

3. Provjera optimalnosti plana.

4. Traži maksimalnu vezu neoptimalnosti (ako stavka 3 nije ispunjena)

5. Izrada konture preraspodjele resursa.

6. Određivanje min elementa u krugu redistribucije i redistribucije. konturna sredstva.

7. Dobivanje novog plana.

Ovaj postupak se ponavlja nekoliko puta dok se ne pronađe optimalno rješenje. Algoritam ostaje nepromijenjen. Metode za pronalaženje početnog plana:

1. C-W metoda kutak

2. Metoda minimalnog troška

3. Metoda dvostrukih preferencija

Metoda potencijala omogućuje pronalaženje optimalnog za konačan broj planova. (Vogelova metoda) Metoda potencijala razvijena je za klasičnu. transport.zadataka, ali su oni rijetki, potrebno je uvesti niz ograničenja.

33. U gospodarstvu organiziranja skupova norma zadaća, kot.m.b. svedeno na transportni problem:

1. Odvojite isporuke iz def. neki dobavljači. potrošači d.b. isključeno zbog nedostatka konv. pohrana, komunikacijsko preopterećenje itd.

2. Organizacija. potreban def. min ∑ troškovi proizvodnje i transporta. M. biti ekonomičan. isplativije je isporučiti sirovine s udaljenijih točaka, ali sa<себест-ти. Критерий оптимальности принимает ∑ затрат на пр-во и тран-ку.

3. Broj transp. rute imaju ograničenja propusnosti.

4. Isporuke kako su definirane. rute su obavezne i obavezne. e. unesite optim. plan.

5. Gospodarski zadatak nije prometni. (Npr. - distribucija proizvedenih proizvoda m/g po poduzećima).

6. Nužnost max-th target f-th tasks of transport type.

7. Potreba za distribucijom tereta raznih vrsta među potrošačima u isto vrijeme - Problem transporta više proizvoda.

8. Isporuka robe u kratkom roku. (Potencijalna metoda nije prikladna, rješava se uz pomoć posebnog algoritma).

34. Transportni problem u supstituciji mreže

Ako je uvjet transportnog zadatka postavljen u obliku dijagrama, koji prikazuje dobavljače, potrošače i komunikacije. naznačene su njihove ceste, vrijednosti zaliha tereta i potrebe za njima, te pokazatelji kriterija optimalnosti (tarife, udaljenosti).Dobavljači i potrošači prikazani su u vrhovima (čvorovima) mreže. Zalihe tereta se smatraju pozitivnim, a potrebe negativnim brojevima. Rubovi (lukovi) mreže su ceste. Problem u postavci mreže temelji se na metodi potencijala i započinje izradom početnog referentnog plana koji mora zadovoljiti zahtjeve:

1. Sav inventar mora biti raspoređen i kupci zadovoljni.

2. Za svaki vrh mora biti naznačena isporuka tereta (+ ili -)

3. Ukupan broj isporuka mora biti za 1 manji od broja vrhova.

4. Strelice koje označavaju isporuke ne bi trebale tvoriti zatvorenu petlju. strujni krug.

Zatim se provjerava optimalnost plana, za što se izračunavaju potencijali. Nabavite novi plan i ponovno ispitajte njegovu optimalnost. Odredite vrijednost funkcije cilja.

U slučaju otvorenog modela uvodi se fiktivni potrošač ili dobavljač.

35. D/ rješavanje znanstvenih i praktičnih problema iz područja logistike cca. glavne metode:

1. Metode analize sustava

2. Metode teorije operacijskog istraživanja

3. Kibernetičke metode

4. Metoda predviđanja

5. Metode vještačenja

6. Metode modeliranja

36. Najveći dio u logistici koristi se imitacija. modeliranje, pri čemu obrasci koji određuju kvantitativni odnos ostaju nepoznati, a sam logistički proces ostaje „crna kutija“ ili „siva kutija“.

Glavnim procesima oponašanja. relativno modeliranje:

1. Projektiranje modela realnog sustava.

2. Postavljanje eksperimenata na ovom modelu.

Ciljevi simulacije:

o Određivanje ponašanja logističkog sustava.

o Odabir strategije pružanja naib.eff-th funkcioniranje logistike. sustava.

Imitacija modeliranje je svrsishodno provesti kada su ispunjeni sljedeći uvjeti:

1. Ne postoji. dovršen prikaz problema ili nerazrađene analitičke metode za rješavanje formulirane. matematika. modeli.

2. Analitički model je dostupan, ali su postupci složeni i dugotrajni, sl. imitacija modeliranje pruža lakši način rješavanja problema.

3. Analitički imenička rješenja, ali je njihova provedba nemoguća zbog nedovoljne matematičke osposobljenosti osoblja.

37. Široko se koristi u logistici ekspertni sustavi- spec. računalni programi, kat. pomoći stručnjacima u donošenju odluka. s kontrolom protoka materijala.

Ekspertni sustav omogućuje:

1. Brzo i kvalitetno donositi odluke u području upravljanja materijalnim tokovima.

2. osposobiti iskusne stručnjake u relativno kratkom vremenu.

4. Koristiti iskustvo i znanje visokokvalificiranih stručnjaka na različitim radnim mjestima.

Nedostaci ekspertnog sustava:

1. Ograničeno korištenje zdravog razuma.

2. Nemoguće je uzeti u obzir sve značajke u programu ekspertnog sustava.

1.1. Struktura i parametri učinkovitosti i kvalitete funkcioniranja QS-a

Mnogi ekonomski problemi povezani su sa sustavima čekanja, tj. takvi sustavi u kojima s jedne strane postoje masovni zahtjevi (zahtjevi) za obavljanjem bilo kakvih usluga, s druge strane ti se zahtjevi zadovoljavaju. QS uključuje sljedeće elemente: izvor zahtjeva, dolazni tok zahtjeva, red čekanja, uređaje za posluživanje (servisni kanali) i odlazni tok zahtjeva. Proučavanjem takvih sustava bavi se teorija čekanja u redu.

Sredstva koja služe zahtjevima nazivaju se servisni uređaji ili servisni kanali. Na primjer, to uključuje punionice na benzinskim postajama, telefonske kanale, piste za slijetanje, servisere, službenike za prodaju karata, mjesta za utovar i istovar u bazama i skladištima.

Metode teorije čekanja mogu se koristiti za rješavanje mnogih problema proučavanja procesa koji se odvijaju u gospodarstvu. Dakle, u organizaciji trgovine ove metode omogućuju određivanje optimalnog broja prodajnih mjesta određenog profila, broja prodavača, učestalosti isporuke robe i drugih parametara. Benzinske postaje mogu poslužiti kao još jedan tipičan primjer sustava čekanja, a zadaće teorije čekanja u ovom slučaju svode se na uspostavljanje optimalnog omjera između broja zahtjeva za uslugama koji stižu na benzinsku postaju i broja uslužnih uređaja, pri čemu ukupni troškovi usluge i gubici zbog zastoja bili bi minimalni. Teorija čekanja također se može koristiti za izračunavanje površine skladišnih objekata, pri čemu se skladišni prostor smatra uslužnim uređajem, a dolaz Vozilo za istovar - kao uvjet. Modeli teorije čekanja koriste se iu rješavanju niza zadataka organizacije i postavljanja standarda rada, te drugih društveno-ekonomskih problema.

Svaki QS uključuje u svoju strukturu određeni broj servisnih uređaja, koji se nazivaju servisni kanali (to uključuje osobe koje obavljaju određene operacije - blagajnici, operateri, menadžeri, itd.), opslužujući određeni tok aplikacija (zahtjeva), koji nasumično dolaze na njegov ulaz puta. Aplikacije se servisiraju u nepoznatom, obično nasumičnom vremenu i ovisi o nizu čimbenika. Nakon servisiranja zahtjeva, kanal se oslobađa i spreman je za primanje sljedećeg zahtjeva. Slučajna priroda toka aplikacija i vrijeme njihove usluge dovodi do neravnomjernog opterećenja QS-a - preopterećenja s formiranjem redova aplikacija ili podopterećenja - s mirovanjem njegovih kanala. Slučajnost prirode toka aplikacija i trajanja njihove usluge generira QS slučajni proces, čije proučavanje zahtijeva konstrukciju i analizu njegovog matematičkog modela. Proučavanje rada QS-a je pojednostavljeno ako je slučajni proces Markovljev (proces bez naknadnog učinka ili bez memorije), kada se rad QS-a lako opisuje korištenjem konačnih sustava običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda, te u ograničavajućem načinu (s dovoljno dug QS rad) kroz konačne sustave linearnih algebarskih jednadžbi. Kao rezultat toga, pokazatelji uspješnosti funkcioniranja QS-a izražavaju se kroz parametre QS-a, tijek prijava i disciplinu.

Iz teorije je poznato da je slučajni proces Markovljev, potrebno je i dovoljno da svi tokovi događaja (tokovi zahtjeva, tokovi servisnih zahtjeva itd.), pod utjecajem kojih sustav prelazi iz stanja u stanje, su Poisson, tj. posjedovao svojstva posljedica (za bilo koja dva vremenska intervala koji se ne sijeku, broj događaja koji se zbivaju nakon jednog od njih ne ovisi o broju događaja koji se zbivaju nakon drugog) i običnosti (vjerojatnost zbivanja nakon elementarnog ili malog , vremenski interval više od jednog događaja je zanemariv u usporedbi s vjerojatnošću pojave jednog događaja u tom vremenskom razdoblju). Za najjednostavniji Poissonov tok slučajna varijabla T (vremenski interval između dva susjedna događaja) distribuira se prema eksponencijalnom zakonu, koji predstavlja gustoću njezine distribucije ili diferencijalnu funkciju distribucije.

Međutim, ako je priroda tokova u QS-u drugačija od Poissonove, tada se njegove karakteristike učinkovitosti mogu približno odrediti korištenjem Markovljeve teorije čekanja, a što je QS točniji, to ima više uslužnih kanala. U većini slučajeva dobre preporuke o praktičnom upravljanju QS-om uopće ne zahtijevaju poznavanje njegovih točnih karakteristika; sasvim je dovoljno imati njihove približne vrijednosti.

Svaki QS, ovisno o svojim parametrima, ima određenu učinkovitost funkcioniranja.

Učinkovitost funkcioniranja QS-a karakteriziraju tri glavne skupine pokazatelja:

1. Učinkovitost korištenja QS-a - apsolutni ili relativni kapacitet, prosječno trajanje razdoblja zauzetosti QS-a, stopa iskorištenja QS-a, stopa nekorištenja QS-a;

2. Kvaliteta usluge aplikacija - prosječno vrijeme (prosječan broj aplikacija, zakon raspodjele) čekanja aplikacije u redu čekanja ili boravka aplikacije u QS-u; vjerojatnost da će primljeni zahtjev odmah biti prihvaćen za izvršenje;

3. Učinkovitost funkcioniranja para CMO-a je potrošač, a pod potrošačem se podrazumijeva skup aplikacija ili neki njihov izvor (npr. prosječni prihod koji donosi CMO-a po jedinici vremena rada i sl. ).

1.2 Klasifikacija QS-a i njihovi glavni elementi

CMO-i se razvrstavaju u različite skupine ovisno o sastavu i vremenu provedenom u redu čekanja prije početka usluge, te o disciplini zahtjeva servisiranja.

Prema sastavu QS-a razlikuju se jednokanalni (s jednim poslužiteljem) i višekanalni (s velikim brojem poslužitelja). Višekanalni sustavi mogu se sastojati od uslužnih uređaja istih i različitih performansi.

Prema vremenu provedenom u redu čekanja prije održavanja sustava, sustavi se dijele u tri skupine:

1) s neograničenim vremenom čekanja (sa čekanjem),

2) s kvarovima;

3) mješoviti tip.

U QS-u s neograničenim vremenom čekanja, sljedeći zahtjev, nakon što je utvrdio da su svi uređaji zauzeti, postaje u redu čekanja i čeka na uslugu dok se jedan od uređaja ne oslobodi.

U sustavima s kvarovima, dolazni zahtjev napušta sustav nakon što se utvrdi da su svi uređaji zauzeti. Klasičan primjer sustava s kvarovima je rad automatske telefonske centrale.

U sustavima mješovitog tipa, dolazni zahtjev, koji je uhvatio sve (uređaji su zauzeti, stoje u redu i čekaju uslugu ograničeno vrijeme. Ne čekajući uslugu u postavljeno vrijeme, potražnja napušta sustav.

Ukratko razmotrimo značajke funkcioniranja nekih od ovih sustava.

1. QS s čekanjem karakterizira činjenica da u sustavu od n (n>=1) bilo koji zahtjev koji stigne u QS u trenutku kada su svi kanali zauzeti ulazi u red i čeka svoju uslugu, a bilo koja dolazni zahtjev je servisiran. Takav sustav može biti u jednom od beskonačnog niza stanja: s n +k (r=1,2…) – svi kanali su zauzeti i u redu čekanja ima r zahtjeva.

2. QS s čekanjem i ograničenjem duljine reda razlikuje se od gornjeg po tome što ovaj sustav može biti u jednom od n + m + 1 stanja. U stanjima s 0 ,s 1 ,…, s n nema čekanja, jer ili nema ili nema kupaca u sustavu, a kanali su slobodni (s 0), ili postoji nekoliko I (I=1,n) kupaca u sustavu, koji opslužuje odgovarajući (n+1, n+2,…n+r,…,n+m) broj kupaca i (1,2,…r,…,m) kupaca u red. Zahtjev koji stigne na QS ulaz u trenutku kada već postoji m zahtjeva u redu čekanja se odbija i ostavlja sustav neposluženim.

Dakle, višekanalni QS radi u biti kao jednokanalni, kada svih n kanala rade kao jedan uz disciplinu uzajamne pomoći koja se naziva svi kao jedan, ali s višom stopom usluge. Graf stanja takvog sličnog sustava sadrži samo dva stanja: s 0 (s 1) - svih n kanala je slobodno (zauzeto).

Analiza razne vrste QS s međusobnom pomoći tipa sve u jednom pokazuje da takva međusobna pomoć smanjuje prosječno vrijeme boravka zahtjeva u sustavu, ali pogoršava niz drugih karakteristika kao što su vjerojatnost kvara, propusnost, prosječan broj zahtjeva u redu i vrijeme čekanja na njihovo izvršenje. Stoga se za poboljšanje ovih pokazatelja koristi promjena u disciplini servisiranja aplikacija s jedinstvenom međusobnom pomoći između kanala kako slijedi:

· Ako zahtjev stigne u QS u trenutku kada su svi kanali slobodni, tada ga svih n kanala počinju opsluživati;

Ako sljedeći zahtjev stigne u to vrijeme, tada se neki od kanala prebacuju na njegovu uslugu

· Ako tijekom servisa ova dva zahtjeva stigne i treći zahtjev, tada se neki od kanala prebacuje na servisiranje ovog trećeg zahtjeva sve dok svaki zahtjev u QS-u ne posluži samo jedan kanal. Istodobno, aplikacija koja stigne u trenutku kada su svi kanali zauzeti, u QS-u s kvarovima i jednoličnom međusobnom pomoći između kanala, može biti odbijena i bit će prisiljena napustiti sustav neopslužen.

Metode i modeli koji se koriste u teoriji čekanja mogu se uvjetno podijeliti na analitičke i simulacijske.

Analitičke metode teorije čekanja omogućuju dobivanje karakteristika sustava kao nekih funkcija parametara njegova funkcioniranja. To omogućuje provođenje kvalitativne analize utjecaja individualni faktori na učinkovitost QMS-a. Simulacijske metode temelje se na modeliranju procesa čekanja na računalu i koriste se ako je nemoguće koristiti analitičke modele.

Trenutačno su teoretski najrazvijenije i najprikladnije u praktičnim primjenama metode za rješavanje takvih problema čekanja u redu kod kojih je dolazni tok zahtjeva najjednostavniji (Poisson).

Za najjednostavniji tok, učestalost zahtjeva koji ulaze u sustav pokorava se Poissonovom zakonu, tj. vjerojatnost zaprimanja točno k zahtjeva u vremenu t dana je formulom:

Važna karakteristika QS-a je vrijeme potrebno za usluživanje zahtjeva u sustavu. Vrijeme opsluživanja jednog zahtjeva je u pravilu slučajna varijabla i stoga se može opisati zakonom raspodjele. Najrašireniji u teoriji, a posebno u praksi, je eksponencijalni zakon raspodjele vremena službe. Distribucijska funkcija za ovaj zakon je:

Oni. vjerojatnost da vrijeme usluge ne prijeđe neku vrijednost t određena je ovom formulom, gdje je µ parametar eksponencijalne usluge zahtjeva u sustavu, tj. recipročna vrijednost vremena usluge t o:

Razmotrimo analitičke modele najčešćih QS s očekivanjem, tj. takav QS, u kojem se zahtjevi primljeni u trenutku kada su svi kanali za posluživanje zauzeti stavljaju u red čekanja i servisiraju kako kanali postaju slobodni.

Opća izjava problema je sljedeća. Sustav ima n kanala za posluživanje, od kojih svaki može opsluživati samo jednog korisnika u isto vrijeme.

Sustav prima najjednostavniji (Paussonov) tijek zahtjeva s parametrom . Ako u trenutku dolaska sljedećeg zahtjeva u sustav već postoji najmanje n zahtjeva u servisu (tj. svi kanali su zauzeti), tada taj zahtjev ulazi u red čekanja i čeka da servis počne.

U sustavima s određenom servisnom disciplinom, dolazni zahtjev, nakon što su svi uređaji zauzeti, ovisno o svom prioritetu, ili se poslužuje izvan reda ili se stavlja u red čekanja.

Glavni elementi QS-a su: dolazni tok zahtjeva, red zahtjeva, uređaji za posluživanje (kanali) i odlazni tok zahtjeva.

Proučavanje QS-a počinje analizom dolaznog toka zahtjeva. Ulazni tok zahtjeva je skup zahtjeva koji ulaze u sustav i treba ih servisirati. Proučava se dolazni tok zahtjeva kako bi se utvrdili obrasci tog toka i dodatno poboljšala kvaliteta usluge.

U većini slučajeva, dolazni tok je nekontroliran i ovisi o nizu slučajnih čimbenika. Broj zahtjeva pristiglih po jedinici vremena, slučajna varijabla. Slučajna varijabla je i vremenski interval između susjednih dolaznih zahtjeva. Međutim, prosječan broj zaprimljenih zahtjeva po jedinici vremena, i prosječni interval pretpostavlja se da su dana između susjednih dolaznih zahtjeva.

Prosječan broj zahtjeva koji ulaze u sustav čekanja u jedinici vremena naziva se intenzitet potražnje i određen je sljedećim odnosom:

gdje je T prosječna vrijednost intervala između dolaska uzastopnih zahtjeva.

Za mnoge stvarne procese, tijek zahtjeva prilično je dobro opisan Poissonovim zakonom distribucije. Takav tok naziva se najjednostavnijim.

Najjednostavniji tok ima važna svojstva:

1) Svojstvo stacionarnosti, koje izražava nepromjenjivost probabilističkog režima protoka tijekom vremena. To znači da broj kupaca koji ulaze u sustav u pravilnim intervalima mora biti u prosjeku konstantan. Na primjer, broj vagona koji u prosjeku dnevno stižu na utovar trebao bi biti isti za različita razdoblja vrijeme, na primjer, na početku i na kraju desetljeća.

2) Nepostojanje naknadnog učinka, što uzrokuje međusobnu neovisnost prijema jednog ili drugog broja zahtjeva za uslugom u vremenskim intervalima koji se ne preklapaju. To znači da broj zahtjeva koji pristignu u određenom vremenskom intervalu ne ovisi o broju zahtjeva opsluženih u prethodnom vremenskom intervalu. Na primjer, broj automobila koji su stigli po materijal desetog dana u mjesecu ne ovisi o broju automobila servisiranih četvrtog ili bilo kojeg drugog prethodnog dana. ovaj mjesec.

3) Svojstvo običnosti, koje izražava praktičnu nemogućnost istovremenog primanja dva ili više zahtjeva (vjerojatnost takvog događaja je nemjerljivo mala u odnosu na razmatrani vremenski period, kada potonji teži nuli).

Kod najjednostavnijeg tijeka zahtjeva, distribucija zahtjeva koji ulaze u sustav poštuje Poissonov zakon distribucije:

vjerojatnost da točno k zahtjeva stigne u servisni sustav u vremenu t:

gdje. - prosječan broj primljenih zahtjeva za uslugu u jedinici vremena.

U praksi uvjeti najjednostavnijeg toka nisu uvijek striktno zadovoljeni. Često postoji nestacionarnost procesa (u različitim satima dana i različitim danima u mjesecu, tok zahtjeva se može mijenjati, može biti intenzivniji ujutro ili noću). posljednjih dana mjeseci). Postoji i naknadni učinak kada broj zahtjeva za puštanje robe na kraju mjeseca ovisi o njihovom zadovoljenju na početku mjeseca. Uočava se i fenomen heterogenosti, kada više kupaca istovremeno boravi na skladištu materijala. Međutim, općenito, Poissonov zakon distribucije s dovoljno visokom aproksimacijom odražava mnoge procese čekanja.

Osim toga, postojanje Poissonovog toka zahtjeva može se utvrditi statističkom obradom podataka o primitku zahtjeva za uslugama. Jedan od znakova Poissonovog zakona distribucije je jednakost matematičkog očekivanja slučajne varijable i varijance iste varijable, tj.

Jedna od najvažnijih karakteristika servisnih uređaja, koja određuje propusnost cijelog sustava, je vrijeme servisiranja.

Vrijeme usluge jednog zahtjeva () je slučajna varijabla koja se može mijenjati u širokom rasponu. Ovisi o stabilnosti samih servisnih uređaja, te o raznim parametrima koji ulaze u sustav, zahtjevima (npr. različita nosivost vozila koja ulaze na utovar ili istovar.

Slučajnu varijablu u potpunosti karakterizira zakon raspodjele koji se utvrđuje na temelju statističkih testova.

U praksi se najčešće prihvaća hipoteza o eksponencijalnoj raspodjeli vremena usluge.

Eksponencijalni zakon raspodjele vremena opsluživanja ima mjesto kada gustoća raspodjele naglo opada s porastom vremena t. Na primjer, kada se većina zahtjeva ispuni brzo, a dugoročna usluga je rijetka. Prisutnost eksponencijalnog zakona raspodjele radnog vremena utvrđena je na temelju statističkih promatranja.

Prema eksponencijalnom zakonu raspodjele vremena usluge, vjerojatnost događaja da vrijeme usluge ne traje dulje od t jednaka je:

gdje je v intenzitet usluge jednog zahtjeva jednim servisnim uređajem, koji se određuje iz relacije:

gdje je prosječno vrijeme servisiranja za jedan zahtjev od strane jednog servisnog uređaja.

Treba napomenuti da ako je zakon raspodjele vremena usluge eksponencijalan, onda ako postoji više uređaja iste snage, zakon raspodjele vremena usluge za nekoliko uređaja također će biti eksponencijalan:

gdje je n broj servisnih uređaja.

Važan QS parametar je faktor opterećenja koji se definira kao omjer intenziteta prijema zahtjeva prema intenzitetu usluge v.

gdje je a faktor opterećenja; - intenzitet zaprimanja zahtjeva u sustavu; v - intenzitet usluge jednog zahtjeva jednim servisnim uređajem.

Iz (1) i (2) dobivamo da

Uzimajući u obzir da - intenzitet zahtjeva koji ulaze u sustav po jedinici vremena, proizvod pokazuje broj zahtjeva koji ulaze u servisni sustav za prosječno vrijeme servisiranja jednog zahtjeva od strane jednog uređaja.

Za QS s čekanjem, broj servisiranih uređaja n mora biti striktno veći od faktora opterećenja (zahtjev za stalnim ili stacionarnim načinom rada QS-a):

U protivnom će broj dolaznih zahtjeva biti veći od ukupnog kapaciteta svih poslužitelja, a red čekanja će neograničeno rasti.

Za QS s kvarovima i mješoviti tip, ovaj uvjet može biti oslabljen, na primjer učinkovit rad Za ove vrste QS-a dovoljno je zahtijevati da minimalni broj servisiranih uređaja n ne bude manji od faktora opterećenja:

1.3 Proces simulacije

Kao što je ranije navedeno, proces sekvencijalnog razvoja simulacijskog modela započinje stvaranjem jednostavnog modela, koji zatim postupno postaje sve složeniji u skladu sa zahtjevima problema koji se rješava. U procesu simulacijskog modeliranja mogu se razlikovati sljedeće glavne faze:

1. Formiranje problema: opisivanje problema koji se proučava i definiranje ciljeva istraživanja.

2. Razvoj modela: logički i matematički opis sustava koji se modelira u skladu s postavkom problema.

3. Priprema podataka: identifikacija, specifikacija i prikupljanje podataka.

4. Prijevod modela: prijevod modela na jezik prihvatljiv za računalo koje se koristi.

5. Verifikacija: utvrđivanje ispravnosti strojnih programa.

6. Validacija: procjena potrebne točnosti i usklađenosti simulacijskog modela sa stvarnim sustavom.

7. Strateško i taktičko planiranje: određivanje uvjeta za izvođenje strojnog eksperimenta sa simulacijskim modelom.

8. Eksperimentiranje: pokretanje simulacijskog modela na računalu za dobivanje potrebnih informacija.

9. Analiza rezultata: proučavanje rezultata simulacijskog eksperimenta radi pripreme zaključaka i preporuka za rješavanje problema.

10. Implementacija i dokumentacija: implementacija preporuka dobivenih na temelju simulacije, sastavljanje dokumentacije o modelu i njegovo korištenje.

Razmotrite glavne faze simulacijskog modeliranja. Prvi zadatak simulacijske studije je točno definiranje problema i detaljno formuliranje ciljeva studije. U pravilu je definiranje problema stalan proces koji se obično provodi tijekom studija. Revidira se kao dublje razumijevanje problema koji se proučava i pojava njegovih novih aspekata.

Čim se formulira početna definicija problema, započinje faza izgradnje modela sustava koji se proučava. Model uključuje statistički i dinamički opis sustava. U statističkom opisu utvrđuju se elementi sustava i njihove karakteristike, a u dinamičkom opisu međudjelovanje elemenata sustava, uslijed čega dolazi do promjene njegovog stanja u vremenu.

Proces oblikovanja modela na mnogo je načina umjetnost. Programer modela mora razumjeti strukturu sustava, identificirati pravila njegova funkcioniranja i biti u stanju istaknuti najbitnije u njima, isključujući nepotrebne detalje. Model bi trebao biti jednostavan za razumijevanje, au isto vrijeme dovoljno složen za realističan prikaz karakterne osobine pravi sustav. Najvažnije odluke donosi programer o tome jesu li prihvaćena pojednostavljenja i pretpostavke točni, koji elementi i interakcije između njih trebaju biti uključeni u model. Razina detalja modela ovisi o svrsi njegove izrade. Potrebno je uzeti u obzir samo one elemente koji su bitni za rješavanje problema koji se proučava. I u fazi oblikovanja problema i u fazi modeliranja neophodna je bliska interakcija između razvijača modela i njegovih korisnika. Osim toga, bliska suradnja tijekom faza formuliranja problema i razvoja modela daje korisniku povjerenje u ispravnost modela i stoga pomaže osigurati uspješna implementacija rezultati simulacije.

U fazi razvoja modela utvrđuju se zahtjevi za ulazne podatke. Neki od ovih podataka možda su već u posjedu modelara, dok će za prikupljanje drugih trebati vremena i truda. Obično se vrijednost takvih ulaznih podataka daje na temelju nekih hipoteza ili preliminarne analize. U nekim slučajevima, točne vrijednosti jednog (ili više) ulaznih parametara imaju mali učinak na rezultate izvođenja modela. Osjetljivost dobivenih rezultata na promjene u ulaznim podacima može se procijeniti provođenjem niza simulacijskih pokreta za različite vrijednosti ulaznih parametara. Simulacijski model se stoga može koristiti za smanjenje vremena i troškova pročišćavanja ulaznih podataka. Nakon što je model razvijen i početni ulazni podaci prikupljeni, sljedeći zadatak je prevođenje modela u računalno čitljiv oblik.

U fazama verifikacije i validacije ocjenjuje se funkcioniranje simulacijskog modela. U fazi provjere utvrđuje se odgovara li model programiran za računalo namjeri programera. To se obično radi ručnom provjerom izračuna, no mogu se koristiti i brojne statističke metode.

Utvrđivanje adekvatnosti simulacijskog modela proučavanog sustava provodi se u fazi validacije. Validacija modela obično se provodi na različitim razinama. Posebne metode validacije uključuju utvrđivanje adekvatnosti korištenjem konstantnih vrijednosti svih parametara simulacijskog modela ili procjenom osjetljivosti izlaza na promjene vrijednosti ulaznih podataka. U procesu validacije usporedba se treba temeljiti na analizi stvarnih i eksperimentalnih podataka o funkcioniranju sustava.

Uvjeti za provođenje strojnih vožnji modela određuju se u fazama strateškog i taktičkog planiranja. Zadatak Strateško planiranje je razvijati se učinkovit plan eksperiment, kao rezultat kojeg se pojašnjava odnos između kontroliranih varijabli ili se pronalazi kombinacija vrijednosti kontroliranih varijabli, minimizacija ili maksimizacija simulacijskog modela. NA taktičko planiranje za razliku od strateškog, pitanje je kako provesti svaku simulaciju u okviru plana eksperimenta kako bi se iz izlaznih podataka dobilo najviše informacija. Važno mjesto u taktičkom planiranju zauzimaju definiranje uvjeta simulacijskih vožnji i metoda za smanjenje varijance prosječne vrijednosti odziva modela.

Sljedeći koraci tijekom simulacije istraživanje - provođenje računalni eksperiment i analiza rezultata - uključuje pokretanje simulacijskog modela na računalu i interpretaciju dobivenih izlaznih podataka. Posljednja faza simulacijske studije je implementacija dobivenih rješenja te dokumentacija simulacijskog modela i njegove uporabe. Nijedan od simulacijskih projekata ne bi se trebao smatrati dovršenim sve dok se njihovi rezultati ne koriste u procesu donošenja odluka. Uspjeh implementacije uvelike ovisi o tome koliko je dobro razvijač modela završio sve prethodne faze procesa simulacijske studije. Ako su programer i korisnik radili u bliskom kontaktu i postigli međusobno razumijevanje u razvoju modela i njegovom proučavanju, tada će rezultat projekta vjerojatno biti uspješno implementiran. Ako među njima ne postoji bliski odnos, tada će se, unatoč eleganciji i primjerenosti simulacijskog modeliranja, teško razviti učinkovite preporuke.

Gore navedeni koraci rijetko se izvode u strogo definiranom slijedu, od definiranja problema do dokumentacije. Tijekom simulacije može doći do neuspjeha u izvođenju modela, pogrešnih pretpostavki koje se kasnije moraju odbaciti, preusmjeravanja istraživačkih ciljeva, ponovne procjene i ponovne izgradnje modela. Takav proces omogućuje razvoj simulacijskog modela koji daje točnu procjenu alternativa i olakšava proces donošenja odluka.

Poglavlje 2. Distribucije i generatori pseudoslučajnih brojeva

U nastavku će se koristiti sljedeća oznaka:

X - slučajna varijabla; f(x) - funkcija gustoće vjerojatnosti X; F(x) - funkcija vjerojatnosti X;

a - minimalna vrijednost;

b - maksimalna vrijednost;

μ -očekivana vrijednost M[X]; σ2 -disperzija M[(X-μ)2];

σ - standardna devijacija; α-parametar funkcije gustoće vjerojatnosti;

Red duljine k ostaje u njemu s vjerojatnošću Pk i ne ulazi u red s vjerojatnošću gk=1 - Pk,". matematički modeli proizvodni procesi, moguća duljina reda ograničena je konstantnom vrijednošću (na primjer, kapacitet bunkera). Očito, ovo je poseban slučaj općeg okruženja. Neki...

4. TEORIJA ČEKOVA ČEKOVA

4.1. Klasifikacija sustava čekanja i pokazatelji njihove učinkovitosti

Sustavi u kojima se zahtjevi za uslugama javljaju u nasumično vrijeme i postoje uređaji za servisiranje tih zahtjeva nazivaju se sustavi čekanja(SMO).

QS se može klasificirati na temelju organizacije usluge kako slijedi:

Sustavi s kvarovima nemaju redove čekanja.

Sustavi čekanja imaju redove.

Zahtjev primljen u trenutku kada su svi servisni kanali zauzeti:

Ostavlja sustav s kvarovima;

Postaje u redu čekanja za uslugu u sustavima s čekanjem u neograničenom redu ili na slobodno mjesto s ograničenim redom;

Ostavlja sustav s ograničenim redom čekanja ako u redu čekanja nema slobodnog prostora.

Kao mjera učinkovitosti ekonomskog QS-a smatra se zbroj vremenskih gubitaka:

Čekanje u redu;

Zastoj servisnih kanala.

Za sve vrste QS-a koriste se: indikator performansi :

- relativna propusnost - ovo je prosječni udio dolaznih aplikacija koje servisira sustav;

- apsolutna propusnost - ovo je prosječan broj aplikacija koje sustav opslužuje po jedinici vremena;

- vjerojatnost kvara - je vjerojatnost da će zahtjev ostaviti sustav bez usluge;

- prosječno zauzeti kanali - za višekanalni QS.

Pokazatelji učinkovitosti QS-a izračunavaju se prema formulama iz posebnih priručnika (tablica). Početni podaci za takve izračune su rezultati QS modeliranja.

4.2. Modeliranje sustava čekanja:

osnovni parametri, grafikon stanja

Uz svu raznolikost QS-a, oni imaju zajedničke značajke , koji omogućuju objedinjavanje njihovog modeliranja pronaći najučinkovitije opcije za organizaciju takvih sustava .

Za modeliranje QS-a potrebno je imati sljedeće početne podatke:

Glavni parametri;

Grafikon stanja.

Rezultati QS modeliranja su vjerojatnosti njegovih stanja kroz koje se izražavaju svi pokazatelji njegove učinkovitosti.

Ključni parametri za QS modeliranje uključuju:

Karakteristike dolaznog tijeka servisnih zahtjeva;

Karakteristike uslužnog mehanizma.

Smatrati x karakteristike toka aplikacije .

Tijek aplikacije - redoslijed zahtjeva za uslugu.

Intenzitet protoka prijava - prosječan broj aplikacija koje ulaze u QS po jedinici vremena.

Tokovi aplikacije su jednostavni i razlikuju se od najjednostavnijih.

Za najjednostavnije tokove primjene koriste se QS modeli.

najjednostavniji , ili Poisson naziva se potok koji je stacionarni, singl i u njemu bez posljedica.

stacionarnost znači nepromjenjivost intenziteta zaprimanja prijava tijekom vremena.

Singl tijek prijava je u slučaju kada je u kratkom vremenskom razdoblju vjerojatnost zaprimanja više od jedne prijave blizu nule.

Nema naknadnog učinka leži u činjenici da broj prijava koje je QS primio u jednom vremenskom intervalu ne utječe na broj prijava primljenih u drugom vremenskom intervalu.

Simulacijski modeli koriste se za aplikacije koje se razlikuju od najjednostavnijih.

Smatrati karakteristike servisnog mehanizma .

Servisni mehanizam karakterizira:

- broj servisni kanali ;

performanse kanala, ili intenzitet usluge - prosječan broj aplikacija koje opslužuje jedan kanal po jedinici vremena;

Disciplina čekanja (npr. volumen čekanja , redoslijed odabira od reda do uslužnog mehanizma itd.).

Grafikon stanja opisuje funkcioniranje uslužnog sustava kao prijelaze iz jednog stanja u drugo pod djelovanjem protoka zahtjeva i njihovog servisiranja.

Da biste izgradili QS grafikon stanja, trebate:

Napravite popis svih mogućih QS stanja;

Grafički prikazati navedena stanja i strelicama prikazati moguće prijelaze između njih;

Izvažite prikazane strelice, odnosno dodijelite im numeričke vrijednosti intenziteta prijelaza određene intenzitetom protoka zahtjeva i intenzitetom njihove usluge.

4.3. Izračun vjerojatnosti stanja

sustavi čekanja

QS graf stanja sa shema "smrti i rođenja" je linearni lanac, gdje svako od prosječnih stanja ima ravnu liniju i Povratne informacije sa svakom od susjednih država, a krajnje države sa samo jednom susjednom:

Broj država u stupcu je jedno više od ukupnog broja uslužnih kanala i mjesta u redu čekanja.

QS može biti u bilo kojem od svojih mogućih stanja, pa je očekivana stopa izlaska iz bilo kojeg stanja jednaka očekivanoj brzini ulaska sustava u to stanje. Odavde će sustav jednadžbi za određivanje vjerojatnosti stanja za najjednostavnije tokove izgledati ovako:

gdje je vjerojatnost da je sustav u stanju

- intenzitet prijelaza, odnosno prosječan broj prijelaza sustava u jedinici vremena iz stanja u stanje.

Koristeći ovaj sustav jednadžbi, kao i jednadžbu

vjerojatnost bilo kojeg -tog stanja može se izračunati na sljedeći način opće pravilo :

vjerojatnost nultog stanja izračunava se kao

a zatim se uzima razlomak u čijem je brojniku umnožak svih intenziteta protoka duž strelica koje vode s lijeva na desno od stanja do stanja, au nazivniku - umnožak svih intenziteta duž strelica koje idu s desna na lijevo od stanja do stanja , a taj se razlomak množi s izračunatom vjerojatnošću

Zaključci o četvrtom dijelu

Sustavi čekanja imaju jedan ili više servisnih kanala i mogu imati ograničen ili neograničen red čekanja (sustavi čekanja) zahtjeva za uslugama ili bez reda čekanja (sustavi odbijanja). Zahtjevi za uslugom javljaju se u nasumično vrijeme. Sustave čekanja karakteriziraju sljedeći pokazatelji performansi: relativna propusnost, apsolutna propusnost, vjerojatnost kvara, prosječan broj zauzetih kanala.

Modeliranje sustava čekanja provodi se kako bi se pronašle najučinkovitije opcije za njihovu organizaciju i pretpostavlja sljedeće početne podatke za to: osnovne parametre, grafikon stanja. Takvi podaci uključuju sljedeće: intenzitet protoka prijava, broj uslužnih kanala, intenzitet usluge i volumen čekanja. Broj stanja na grafu je za jedan veći od zbroja broja servisnih kanala i mjesta u redu čekanja.

Izračun vjerojatnosti stanja sustava čekanja sa shemom "smrti i rođenja" provodi se prema općem pravilu.

Pitanja za samoispitivanje

Koji se sustavi nazivaju sustavima čekanja?

Kako se klasificiraju sustavi čekanja prema njihovoj organizaciji?

Koji se sustavi čekanja nazivaju sustavima s kvarovima, a koji čekaju?

Što se događa sa zahtjevom koji stigne u trenutku kada su svi kanali usluge zauzeti?

Što se smatra mjerom učinkovitosti ekonomski sustav masovna služba?

Koji su pokazatelji učinkovitosti sustava čekanja?

Što služi kao početni podatak za izračun pokazatelja rada sustava čekanja?

Koji su ulazni podaci potrebni za modeliranje sustava čekanja?

Kroz koje se rezultate modeliranja sustava čekanja iskazuju svi pokazatelji njegove učinkovitosti?

Koji su glavni parametri za modeliranje sustava čekanja?

Što su tokovi zahtjeva za uslugu?

Koji su mehanizmi usluge?

Što opisuje grafikon stanja sustava čekanja

Što je potrebno za izgradnju grafikona stanja sustava čekanja?

Što je grafikon stanja sustava čekanja sa shemom smrti i rođenja?

Koliki je broj stanja u grafu stanja sustava čekanja?

Kakav je oblik sustava jednadžbi za određivanje vjerojatnosti stanja sustava čekanja?

Koje je opće pravilo za izračunavanje vjerojatnosti bilo kojeg stanja sustava čekanja?

Primjeri rješavanja problema

1. Izgradite grafikon stanja sustava čekanja i navedite glavne ovisnosti njegovih indikatora performansi.

a) n-kanalni QS s kvarovima (Erlangov problem)

Glavni parametri:

kanali,

intenzitet protoka,

Intenzitet usluge.

Moguća stanja sustava:

Svi kanali su zauzeti (aplikacije u sustavu).

Grafikon stanja:

Relativna propusnost,

Vjerojatnost neuspjeha,

Prosječan broj zauzetih kanala.

b) n-kanalni QS sa m-ograničeni red

Moguća stanja sustava:

Svi kanali su besplatni (nula zahtjeva u sustavu);

Jedan kanal je zauzet, ostali su slobodni (jedan zahtjev u sustavu);

Dva kanala su zauzeta, ostali su slobodni (dvije aplikacije u sustavu);

...................................................................................

Svi kanali su zauzeti, dvije aplikacije su u redu;

Svi kanali su zauzeti, aplikacije su u redu.

Grafikon stanja:

c) Jednokanalni QS s neograničenim redom

Moguća stanja sustava:

Svi kanali su besplatni (nula zahtjeva u sustavu);

Kanal je zauzet, nula zahtjeva u redu;

Kanal je zauzet, jedna aplikacija je u redu;

...................................................................................

Kanal je zauzet, aplikacija je u redu;

....................................................................................

Grafikon stanja:

Pokazatelji performansi sustava:

Prosječno vrijeme zadržavanja aplikacije u sustavu ,

Apsolutna propusnost,

Relativna propusnost.

G) n-kanalni QS s neograničenim redom

Moguća stanja sustava:

Svi kanali su besplatni (nula zahtjeva u sustavu);

Jedan kanal je zauzet, ostali su slobodni (jedan zahtjev u sustavu);

Dva kanala su zauzeta, ostali su slobodni (dvije aplikacije u sustavu);

...................................................................................

Svi kanali su zauzeti (zahtjevi u sustavu), nula zahtjeva u redu čekanja;

Svi kanali su zauzeti, jedna aplikacija je u redu;

....................................................................................

Svi kanali su zauzeti, aplikacije su u redu;

....................................................................................

Grafikon stanja:

Pokazatelji performansi sustava:

Prosječan broj zauzetih kanala,

Prosječan broj prijava u sustavu ,

Prosječan broj prijava u redu ,

Prosječno vrijeme koje aplikacija provede u redu čekanja .

2. Računalni centar ima tri računala. Centar u prosjeku dobiva četiri zadatka na sat za rješavanje. Prosječno vrijeme rješavanja jednog problema je pola sata. Računalni centar prihvaća i stavlja u red čekanja za rješavanje najviše tri zadatka. Potrebno je procijeniti učinkovitost centra.

RIJEŠENJE. Iz uvjeta je jasno da imamo višekanalni QS s ograničenim redom:

Broj kanala;

Intenzitet protoka prijava (zadatak / sat);

Vrijeme usluge za jednu aplikaciju (sat / zadatak), intenzitet usluge (zadatak / sat);

Dužina čekanja.

Popis mogućih stanja:

Nema aplikacija, svi kanali su besplatni;

Jedan kanal je zauzet, dva su slobodna;

Dva kanala su zauzeta, jedan je slobodan;

Tri kanala su zauzeta;

Tri kanala su zauzeta, jedna aplikacija je u redu;

Tri kanala su zauzeta, dvije aplikacije su u redu;

Tri kanala su zauzeta, tri aplikacije su u redu.

Grafikon stanja:

Izračunajte vjerojatnost stanja:

Indikator performansi:

Vjerojatnost odbijanja (sva tri računala su zauzeta i tri aplikacije su u redu čekanja)

Relativna propusnost

Apsolutna propusnost

Prosječan broj zauzetih računala

3. (Problem s upotrebom QS-a s kvarovima.) Postoje tri kontrolera koji rade u QCD-u trgovine. Ako dio stigne u Odjel kontrole kvalitete kada su svi inspektori zauzeti servisiranjem prethodno zaprimljenih dijelova, tada ostaje neprovjeren. Prosječan broj dijelova koji stignu u odjel kontrole kvalitete tijekom jednog sata je 24, prosječno vrijeme koje jedan inspektor utroši na servisiranje jednog dijela je 5 minuta. Odredite vjerojatnost da će dio proći odjel kontrole kvalitete bez servisa, koliko su upravljači opterećeni i koliko ih je potrebno isporučiti da bi (* - zadana vrijednost).

RIJEŠENJE. Prema uvjetu problema, dakle .

1) Vjerojatnost prekida uslužnih kanala:

3) Vjerojatnost usluge:

4) Prosjek zaposlena u servisiranju kanali:

5) Udio kanala koje usluga zauzima:

6) Apsolutna propusnost:

U . Provodeći slične izračune za , dobivamo

Budući da , nakon izrade izračuna za , dobivamo

ODGOVOR. Postoji 21% šanse da će dio proći kroz QCD neservisiran, a inspektori će biti 53% zauzeti servisiranjem.

Za pružanje razine usluge preko 95% potrebno je najmanje pet kontrolera.

4. (Problem s korištenjem QS-a s neograničenim čekanjem.) Štedionica ima tri šalterska kontrolora () koji služe štedišama. Tijek štediša ulazi u štedionicu intenzitetom od ljudi na sat. Prosječno trajanje usluge kontrolora-blagajnika jednog deponenta min.

Odrediti karakteristike štedionice kao objekta QS-a.

RIJEŠENJE. Intenzitet protoka usluga, intenzitet opterećenja.

1) Vjerojatnost zastoja kontrolora-blagajnika tijekom radnog dana (vidi prethodni zadatak br. 3):

2) Vjerojatnost da se svi kontrolori na blagajni pronađu zauzeti:

3) Vjerojatnost čekanja u redu:

4) Prosječan broj prijava u redu čekanja:

5) Prosječno vrijeme čekanja na zahtjev u redu čekanja:

min.

6) Prosječno vrijeme boravka prijave u CMO-u:

7) Prosječan broj besplatnih kanala:

8) Stopa popunjenosti servisnih kanala:

9) Prosječan broj posjetitelja u štedionici:

ODGOVOR. Vjerojatnost zastoja za blagajnike je 21% radnog vremena, vjerojatnost da posjetitelj bude u redu je 11,8%, prosječan broj posjetitelja u redu je 0,236 ljudi, prosječno vrijeme čekanja posjetitelja servisa je 0,472 minute.

5. (Problem s korištenjem QS-a s očekivanjem i s ograničena duljina redovi.) Trgovina prima rano povrće iz prigradskih staklenika. Stižu kamioni s teretom drugačije vrijeme s intenzitetom strojeva po danu. Pomoćne prostorije i oprema za pripremu povrća za prodaju omogućuju preradu i skladištenje robe koju dovoze dva vozila (). U prodavaonici postoje tri pakirnice () od kojih svaka u prosjeku može obraditi robu s jednog stroja sat vremena.Radni dan za smjenski rad je 12 sati.

Utvrditi koliki bi trebao biti kapacitet pomoćnih prostorija da bi bila vjerojatnost potpune obrade robe.

RIJEŠENJE. Odredimo intenzitet utovara pakera:

Automatski/dan

1) Pronađite vjerojatnost zastoja za pakirače u nedostatku strojeva (aplikacije):

gdje je 0!=1.0.

2) Vjerojatnost uskraćivanja usluge:

3) Vjerojatnost usluge:

Jer , izvodimo slične izračune za , dobivamo), dok će vjerojatnost potpune obrade robe biti .

Zadaci za samostalan rad

Za svaku od sljedećih situacija odredite:

a) kojoj klasi QS objekt pripada;

b) broj kanala;

c) duljina čekanja;

d) intenzitet protoka prijava;

e) stopa usluge po kanalu;

f) broj svih stanja QS objekta.

U svojim odgovorima navedite vrijednosti za svaku stavku koristeći sljedeće kratice i dimenzije:

a) TOE - jedan kanal s kvarovima; MO - višekanalni s kvarovima; OJO - jednokanalno čekanje s ograničenim redom; OZHN - jednokanalni s čekanjem s neograničenim redom; MJO - višekanalno čekanje s ograničenim redom; MZHN - višekanalno čekanje s neograničenim redom;

b) =… (jedinice);

c) =… (jedinice);

d) =xxx/xxx(jedinice/min);

e) =xxx/xxx(jedinice/min);

f) (jedinice).

1. Dežurni u gradskoj upravi ima pet telefona. Telefonski pozivi prima intenzitetom od 90 prijava na sat, prosječno trajanje razgovora je 2 minute.

2. Na parkingu kod trgovine postoje 3 mjesta od kojih je svako rezervirano za jedan automobil. Automobili na parkiralište stižu brzinom od 20 automobila na sat. Dužina zadržavanja automobila na parkiralištu je prosječno 15 minuta. Parkiranje na kolniku nije dopušteno.

3. ATS poduzeća ne pruža više od 5 pregovora u isto vrijeme. Prosječno trajanje razgovora je 1 minuta. Stanica prima prosječno 10 poziva u sekundi.

4. Teretna riječna luka prima prosječno 6 brodova za suhi teret dnevno. U luci postoje 3 dizalice, od kojih svaka opslužuje 1 brod za suhi teret u prosjeku 8 sati.Dizalice rade 24 sata dnevno. Na ramdi su brodovi za suhi teret koji čekaju uslugu.

5. U službi hitne pomoći sela, 3 dispečera dežuraju 24 sata dnevno, servisirajući 3 telefona. Ako je zahtjev za pozivanje liječnika pacijentu primljen kada su dispečeri zauzeti, tada se pretplatnik odbija. Protok prijava je 4 poziva u minuti. Proces prijave u prosjeku traje 1,5 minuta.

6. Frizerski salon ima 4 majstora. Dolazni protok posjetitelja ima intenzitet od 5 osoba na sat. Prosječno vrijeme usluge za jednog klijenta je 40 minuta. Duljina čekanja usluge smatra se neograničenom.

7. Na benzinskoj postaji postavljena su 2 aparata za točenje benzina. U blizini stanice nalazi se platforma za 2 automobila za čekanje na točenje goriva. U prosjeku svake 3 minute na kolodvor stiže jedan automobil. Prosječno vrijeme servisiranja jednog stroja je 2 minute.

8. Na kolodvoru rade tri obrtnika u radionici potrošačkih usluga. Ako klijent uđe u radionicu kada su svi majstori zauzeti, tada napušta radionicu ne čekajući uslugu. Prosječan broj klijenata koji posjećuju radionicu u 1 satu je 20. Prosječno vrijeme koje majstor utroši na posluživanje jednog klijenta je 6 minuta.

9. PBX sela ne pruža više od 5 poziva u isto vrijeme. Prosječno vrijeme pregovora je oko 3 minute. Pozivi na stanicu stižu u prosjeku nakon 2 minute.

10. Na benzinskoj postaji (benzinskoj postaji) postoje 3 kolone. Mjesto na stanici gdje automobili čekaju na dopunu gorivom može primiti najviše jedan automobil, a ako je zauzeto, tada sljedeći automobil koji stigne na stanicu ne stoji u redu, već prelazi na susjednu stanicu. U prosjeku automobili stižu na stanicu svake 2 minute. Proces punjenja jednog stroja traje prosječno 2,5 minute.

11. Ulaz mali dućan kupce opslužuju dva prodavača. Prosječno vrijeme usluge za jednog kupca je 4 minute. Intenzitet protoka kupaca je 3 osobe u minuti. Kapacitet trgovine je takav da u redu ne može biti više od 5 osoba istovremeno. Kupac koji dođe u prepunu trgovinu kad je već 5 ljudi u redu ne čeka vani i odlazi.

12. željeznička stanica Dacha selo opslužuje blagajna s dva prozora. Vikendom, kada stanovništvo aktivno koristi željeznicu, intenzitet protoka putnika je 0,9 ljudi / min. Blagajnik u prosjeku potroši 2 minute na posluživanje putnika.

Za svaku od QS opcija navedenih u QS opcijama, intenzitet protoka prijava jednak je i intenzitetu usluge po jednom kanalu. Potreban:

Napravite popis mogućih stanja;

Konstruirajte graf stanja prema shemi "smrt i razmnožavanje".

U svom odgovoru za svaki zadatak označite:

Broj stanja sustava;

Intenzitet prijelaza iz zadnjeg stanja u pretposljednje.

Opcija broj 1

1. jednokanalni QS s redom od 1 zahtjeva

2. 2-kanalni QS s kvarovima (Erlang problem)

3. 31-kanalni QS s 1 ograničenim redom čekanja

5. 31-kanalni QS s neograničenim redom

Opcija broj 2

1. jednokanalni QS s redom od 2 zahtjeva

2. 3-kanalni QS s kvarovima (Erlang problem)

3. 30-kanalni QS s 2-ograničenim redom čekanja