Millised on optimeerimismeetodid? Juhtimisotsuste optimeerimise meetodid. Optimeerimine majandusteooria keskmes Optimeerimise teooria

SISSEJUHATUS

SISSEJUHATUS OPTIMISEERIMISMEETODITEKS

2. OPTIMISEERIMISTEORIA ALUSED
2.1 Plaani valikud
2.2 Sihtfunktsioon (plaan)

3. ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON
3.1 Ühe muutuja funktsiooni definitsioon ja selle omadused
3.2 Teaduslik funktsioon majanduses. Maksimaalse kasumi leidmine
3.3 Globaalse ekstreemumi määratlus
3.4 Funktsiooni kumerus, nõgusus
3.5 Optimaalsuse kriteerium
3.6 Optimaalide tuvastamine

4. ÜHEMÕÕTMELINE OPTIMISEERIMINE
4.1 Tühikute kõrvaldamise meetodid
4.1.1 Skannimismeetod
4.1.2 Poolitamise meetod
4.1.3 Kuldlõike meetod
4.1.4 Intervallide kõrvaldamise meetodite võrdlevad omadused
4.2 Polünoomide lähendamine ja punktide hindamise meetodid
4.2.1 Paraboolne lähendamise meetod
4.2.2 Puelli meetod
4.3 Ühemõõtmeliste otsingumeetodite võrdlus

5. MITME MUUTUJATE FUNKTSIOONID
5.1 Mitme muutuja funktsioonid, nende tähistus ja ulatus
5.2 Mõned majandusteaduses kasutatavad mitme muutujaga funktsioonid
5.3 Mitme muutuja funktsioonide osatuletised
5.4 Osatuletisinstrumentide majanduslik tähendus
5.5 Kõrgemad osatuletised
5.6 Mitme muutuja funktsiooni omadused
5.7 Suuna tuletis. Gradient. Funktsioonitaseme jooned
5.8 Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum

6. MITMEMÕÕTELINE TINGIMUSTETA GRADIENDI OPTIMISEERIMINE
6.1 Meetodite kontseptsioon
6.2 Gradiendi laskumise meetod
6.3 Kõige järsema laskumise meetod

7. PIIRANGUGA PROBLEEMIDE OPTIMAALSUSKRITEERIUMID
7.1 Probleemid piirangutega võrdsuste kujul
7.2 Lagrange'i kordajad
7.3 Lagrange'i kordajate majanduslik tõlgendamine
7.4 Kuhn-Tuckeri tingimused
7.4.1 Kuhn-Tuckeri tingimused ja Kuhn-Tuckeri probleem
7.5 Kuhn-Tuckeri teoreemid
7.6 Sadulapunkti olemasolu tingimused

8. DÜNAAMILISE PROGRAMMEERIMISE MUDELID
8.1 Dünaamilise programmeerimise teema
8.2 Dünaamilise programmeerimise probleemi avaldus
8.3 Optimaalsuse printsiip ja dünaamilise juhtimisprotsessi matemaatiline kirjeldus
8.4 Dünaamilise programmeerimismeetodi rakendamise üldskeem
8.5 Kahemõõtmeline ressursside jaotamise mudel
8.6 Optimaalse ressursside jaotamise diskreetne dünaamiline mudel
8.7 Optimaalse riistvarauuenduse strateegia valimine
8.8 optimaalse kaubaveo marsruudi valimine
8.9 Optimaalse toimingute järjestuse konstrueerimine sisse äritegevus

ARVUTUS- JA GRAAFILISTE ÜLESANNETE RAKENDAMISE JA REGISTREERIMISE REEGLID

ARVUTUS- JA GRAAFILINE ÜLESANNE 1

ARVUTUS- JA GRAAFILINE ÜLESANNE 2

ARVUTUS- JA GRAAFILINE ÜLESANNE 3

KIRJANDUS

SISSEJUHATUS

Erinevate teadmiste valdkondade matematiseerimine ei ole praegu midagi uut. Matemaatiliste meetodite laialdane kasutuselevõtt väga erinevates tegevusvaldkondades ei üllata tänapäeval enam kedagi. See ei ole ainult tehniline ja majandusteadused, kus need meetodid on juba pikka aega vilja kandnud, aga ka praegu arenevad erinevad juhtimise rakendusteadused: juhtimine, juhtimisotsuste tegemine, sotsiaal-majanduslik prognoosimine jne.

Rakendusteadused arenevad omal moel, kasutades olemasolevat matemaatilist aparaati esilekerkivate probleemide lahendamiseks ja isegi stimuleerides teatud matemaatikaharude arengut oma vajaduste järgi.

See juhend on mõeldud optimeerimismeetodeid õppivatele majanduserialade üliõpilastele. Kuna selle kursuse materjali edukaks omastamiseks on vaja teatud minimaalseid teadmisi kõrgem matemaatika, juhib juhend need punktid esile. Materjaliga on kaasas asjakohased majandusrakendused. Kui majandusalased rakendused pakuvad iseseisvat huvi, on need jagatud spetsiaalseteks osadeks.

Õpik ei asenda olemasolevaid akadeemilisi õpikuid, mis on pühendatud arvutusmeetodite matemaatilistele aspektidele. Peamine ülesanne on tutvuda arvutusmeetoditega kui probleemide lahendamise vahendiga, saada selge ettekujutus esitatud meetodite loogilisest ülesehitusest, samuti nende võrdlevatest eelistest ja puudustest.

Käsiraamatuga töötades tutvub õpilane esmalt teoreetilise materjaliga, seejärel tutvub praktilise osaga, mis asub igas sektsioonis kohe pärast teoreetilise osa. Igas peatükis on kontrollküsimused, mille üle õpilane saab enesekontrolli teostada. Pärast seda jätkab õpilane programmis ette nähtud kontrolltöö sooritamist. Siis testülevaatamiseks saadetud. Kui retsensent avastab vigu, paljastab teadmistes lünki, on soovitatav naasta uuesti vastavate osade juurde ja materjal uuesti läbi töötada, kuni see on täielikult omandatud.

Kaugõppe süsteemi õppe- ja praktiline juhend erialal "Optimeerimismeetodid ja kontrolliteooria" on mõeldud iseseisev tööõpilane teadmiste kontrolli mittestatsionaarses vormis.

Distsipliini raames täidavad üliõpilased viieaastase õppekursuse jooksul kolm arvutus- ja graafilist ülesannet, 3,5 aastat õppivad õpilased täidavad kaks arvutus- ja graafilist ülesannet - teine ​​ja kolmas. Sarnaste probleemide lahendamist käsitletakse käsiraamatu teoreetilises ja praktilises osas.

Pärast kursuse läbimist sooritavad õpilased testi. Testiküsimused koostatakse juhendi iga osa lõpus märgitud kontrollküsimuste põhjal.

Peatükk 1. SISSEJUHATUS OPTIMISEERIMISMEETODITESE

Mõistet "optimeerimine" kasutatakse väga laialdaselt ja seetõttu võib see sõltuda kontekstist. Optimaalne (lat. optimaalne - parim) - kõige soodsamate tingimuste kogum; parim variant probleemi lahendamiseks või viis eesmärgi saavutamiseks etteantud tingimustel ja ressurssidel. Majanduslik optimum laiemas tähenduses - tootmise efektiivseim toimimine, kitsamas tähenduses - materiaalsete ressursside parim kasutamine, millega saavutatakse maksimaalne võimalik tootmisefekt või võimalik minimaalne kulu.

Optimeerimine- see on parima variandi valimise või süsteemi parimasse (optimaalsesse) olekusse viimise protsess, mis seisneb kõigi maksimeerivate või minimeerivate elementide või sadulapunktide leidmises. Optimeerimine on keskmes majandusanalüüs. Passiivsetes majandusmudelites (nagu need, mis uurivad üldist tasakaalu) oleme huvitatud otsustaja optimaalsest käitumisest. Aktiivsetes mudelites (näiteks tõhusa kasvu mudelid) oleme ise huvitatud optimumi saavutamisest. Viimastel aastatel on olnud tendents liikuda sisend-väljund mudelitelt analüüsimudelitele. tootmisprotsessid, alates kõige lihtsamatest kasvumudelitest kuni mudeliteni, mis uurivad optimaalse ja tõhusa kasvu trajektoore.

Optimeerimismeetodid– piirangutega või piiranguteta funktsiooni ekstreemumi leidmise meetodeid (praktilistes ülesannetes, optimaalsuskriteeriumides) kasutatakse praktikas väga laialdaselt. See on ennekõike optimaalne projekteerimine (parimate nominaalsete tehnoloogiliste režiimide, konstruktsioonielementide, tehnoloogiliste ahelate struktuuri, majandustegevuse tingimuste, kasumlikkuse suurendamise jne valimine), optimaalne kontroll juhtimisobjektide mittematemaatikamudelite ehitamise üle. (mudeli ja reaalobjekti erineva struktuuri jääkide minimeerimine) ja palju muid aspekte majandusliku ja sotsiaalsed probleemid(näiteks varude juhtimine, tööjõuressursid, liiklusvood jne).

Optimeerimismeetodid on matemaatilise modelleerimise haru.

Need teemad hõlmavad suurt hulka erinevaid matemaatilise modelleerimise probleeme, mis tekivad reaalsete objektide uurimisel. tööstuslik tootmine, majandus-, finants- ja muud probleemid.

Mudel- see on selline materiaalne või vaimselt kujutatud objekt, mis uurimise käigus asendab algse objekti nii, et selle vahetu uurimine annab uusi teadmisi algse objekti kohta.

Selleks, et kasutada optimeerimisteooria matemaatilisi tulemusi ja arvulisi meetodeid konkreetsete ülesannete lahendamiseks, on vaja:

määrata optimeeritava süsteemi piirid;

määrata kvantitatiivne kriteerium, mille alusel on võimalik variante analüüsida, et välja selgitada "parim";

· teha valik süsteemisiseseid muutujaid, mida kasutatakse tunnuste määramiseks ja valikute tuvastamiseks;

· koostada mudel, mis kajastab muutujate vahelisi seoseid.

See toimingute jada moodustab sisu optimeerimisprobleemi seadmise protsess .

Heidame pilgu mõnele praktiline tegevus matemaatilise modelleerimise probleemid tähenduslikus, mitte formaalses matemaatilises tõlgenduses.

Ressursside optimaalse jaotuse probleemid.Üldiselt võib neid ülesandeid kirjeldada järgmiselt. On mitmeid ressursse, mida võib mõista kui sularaha, materiaalsed ressursid(näiteks tooraine, pooltooted, tööjõuressurss, erinevat tüüpi seadmed jne). Need ressursid tuleb jaotada erinevate kasutusobjektide vahel eraldi perioodideks või erinevate objektide jaoks, et saada valitud jaotusmeetodist maksimaalne koguefektiivsus. Efektiivsuse näitajaks võib olla näiteks kasum, turustatav toodang, kapitali tootlikkus (optimaalsuse kriteeriumi maksimeerimise probleemid) või kogukulud, maksumus, etteantud tööhulga täitmiseks kuluv aeg jne. (optimaalsuse kriteeriumi minimeerimise probleemid).

Esialgne rahasumma on olemas P 0, mis tuleb üle jagada P aastate vahel S ettevõtetele. rahalised vahendid ja ki (k = 1,...,n; i = 1,...,S) aastal esile tõstetud k-th aastal i-th ettevõttele, teenima tulu summas f ki (u ki) ja aasta lõpuks koguse tagasi j ki (u ki). Järgnevas jaotamises võib tulu kas osaleda (osaliselt või täielikult) või mitte osaleda.

Tuleb kindlaks määrata selline ressursside jaotamise viis (igal planeerimisaastal igale ettevõttele eraldatud rahasumma), et kogutulu S ettevõtete jaoks P aastat oli maksimum. Seetõttu on ressursside eraldamise protsessi tõhususe näitaja P aastast saadud kogutulu S ettevõtted:

Ressursside arv alguses k-th aastat iseloomustab väärtus P n 1(oleku parameeter). Juhtimine sisse lülitatud k-maht samm seisneb muutujate valimises u k 1, u k 2, …, u ks mis tähistab aastal eraldatud ressursse k-maht aastal i-th ettevõte.

Kui eeldame, et tulu edasises jaotuses ei osale, siis on protsessi oleku võrrandil vorm

Kui seevastu teatud osa tulust osaleb mingil aastal edasises jagamises, siis lisatakse vastav väärtus viimase võrdsuse paremale poolele.

Vajalik määratlemiseks n s mittenegatiivsed muutujad ja ki, tingimused (2) ja maksimeerimisfunktsioon (1).

Optimaalne varude juhtimine. Probleemide klass, mille puhul peetakse silmas optimaalset varude kontrolli, on üks keerulisemaid. Selle põhjuseks on asjaolu, et varude haldamise probleemide puhul kulgeb protsess loomulikult ajas ja kontroll seisneb selles, et antud ajaintervalli otsus tehakse, võttes arvesse seisu, millesse süsteem on jõudnud eelneval ajal. perioodid. Lisaks on need probleemid reeglina seotud muutujate diskreetse olemusega ja seetõttu on neid üsna raske lahendada.

Varude haldamise probleem on majanduslike ja matemaatiliste meetodite, sealhulgas matemaatilise programmeerimise meetodite praktilise rakendamise üks olulisemaid valdkondi.

Varude haldamise ülesannete sõnastamisel kasutatakse järgmisi mõisteid.

Aktsiad - need on mis tahes rahalised või materiaalsed väärtused, mida perioodiliselt täiendatakse (toodetakse, tarnitakse jne) ja hoitakse mõnda aega, et neid järgmistel ajaperioodidel kulutada. Varude tase igal ajahetkel määratakse algse varude tasemega, millele on lisatud täiendamine ja miinus tarbimine ajavahemikul alghetkest kuni praeguseni.

Varude haldamine seisneb üldjuhul kahe peamise teguri – täiendamise ja tarbimise – vahelise seose mõjutamises. Juhtimise eesmärk on optimeerida mõnda kriteeriumi, olenevalt varude hoidmise kuludest, tarnete maksumusest, täiendamisega seotud kuludest, trahvidest jne.

Sellises üldises sõnastuses võivad sellised probleemid olla kõige mitmekesisemad praktiline kasutamine. Näiteks võib varude all mõista ettevõtte tooteid, mida toodetakse pidevalt (täiendamine) ja tarnitakse tarbijatele teatud eraldiseisvate partiidena (kulu). Sel juhul eeldatakse, et nõudlus toodete järele on ettemääratud (deterministlik nõudlus) või allub juhuslikele kõikumisele (stohhastiline probleem). Varude haldamine on etteantud nõudluse rahuldamiseks vajaliku toodangu suuruse määramine. Eesmärk on minimeerida ladustamise ja varude täiendamise kogukulu.

Varude all võib mõista eraldiseisvate partiidena tarnitud tooraine või muude materjalide varusid (täiendamine), mis peavad tagama pideva tarbimise tootmisprotsessis (tarbimise). Optimaalsuse kriteeriumiks võib olla varude hoidmise, käibekapitali külmutamise ja varudega varustamise kogukulud.

Varud võivad olla teatud partiidena poodi tarnitavad kaubad, mis on mõeldud pidevaks, kuid sõltuvad klientide nõudluse juhuslikest kõikumistest. Optimaalsuse kriteeriumiks on tarnete kogukulu, varude ladustamine ja tootmisrütmi muutused; seotud nõudluse kõikumisega.

Varudeks võivad olla ka hooajalised kaubad, mida hoitakse piiratud mahuga laos. Kaupu saab osta ja müüa erinevates kogustes ajas muutuvate hindadega. Väljakutse on määratleda ostu- ja müügipoliitika, mis maksimeerib kogukasum, ja on näide laoprobleemist.

asendusülesanded.Üks olulisi majandusprobleeme, millega praktikas kokku puututakse, on optimaalse strateegia kindlaksmääramine vanade masinate, tööstushoonete, agregaatide, masinate jne ehk teisisõnu vanade seadmete uutega asendamiseks.

Seadmete vananemine hõlmab nende füüsilist ja moraalset kulumist, mille tulemuseks on vanadel seadmetel toodete tootmise tootmiskulude suurenemine, nende remondi- ja hoolduskulude suurenemine ning samal ajal tootlikkus jm. - nimetatakse vedeliku väärtuse languseks.

Saabub aeg, mil on tulusam müüa vanu seadmeid, asendada see uuega, kui seda tasulise hinnaga ekspluateerida. kõrged kulud. Sel juhul saab seadmeid asendada kas uute sama tüüpi seadmetega või uute, tehniliselt arenenumate seadmetega, võttes arvesse tehnika arengut.

Optimaalne seadmete asendamise strateegia on optimaalse asendamise aja määramine. Asendamise aja määramisel võib optimaalsuse kriteeriumiks olla kas seadme tööst saadav kasum, mida tuleks maksimeerida, või käitamise kogukulud vaadeldaval perioodil, mida tuleks minimeerida.

Optimaalse kontrolli probleemid. Tavaliselt hõlmavad seda tüüpi ülesanded ülesandeid, mis on seotud ajaliselt jaotatud pideva juhtimistoimingu leidmisega. Majanduses on need ennekõike arengusuundade, pikaajaliste investeeringute jms tarbimise jne prognoosimise ülesanded.

Kõik nimetatud probleemide klassid (ja nende koostamine pole kaugeltki täielik) nõuavad nende lahendamiseks spetsiaalsete lineaarse ja mittelineaarse programmeerimise matemaatikameetodite, dünaamilise programmeerimise, maksimumprintsiibi ja mõne muu kasutamist. Arvutustöö lahutamatuks osaks vaadeldavate ülesannete lahendamisel võivad olla mittelineaarvõrrandite ja nende süsteemide lahendamise ülesanded, integraalide arvutamine, diferentsiaalvõrrandite lahendamine jne.

Numbrilise optimeerimise meetodeid on üsna palju. Peamised saavad klassifitseerida järgmisel viisil:

lahendatava probleemi mõõtme järgi: ühe- ja mitmemõõtmeline;

Astme moodustamise meetodi järgi jagunevad mitmemõõtmelised meetodid järgmisteks tüüpideks:

q gradient:

o gradiendi arvutamise meetodi järgi: paarisvalimiga ja tsentraalse valimiga;

o astmeparandusalgoritmi järgi;

o uue punkti arvutamise algoritmi järgi: üheastmeline ja mitmeastmeline;

q mittegradient: muutujate vahelduva muutumisega ja muutujate samaaegse muutumisega;

q juhuslik otsing: puhtalt juhusliku strateegiaga ja segastrateegiaga;

Aktiivsete piirangute olemasolul;

· piiranguteta (tingimusteta);

piirangutega (tingimuslik);

· võrdsuste tüüpi piirangutega;

ebavõrdsuse tüübi piirangutega;

segatud.

Ühemõõtmelised optimeerimismeetodid on mõne "mitmemõõtmelise" meetodi aluseks. Mitme muutujaga gradiendi optimeerimise korral koostatakse parendusjada sõltuvalt kriteeriumi muutumise kiirusest erinevates suundades. Sel juhul mõistetakse parendavat järjestust sellise jadana x 0, x 1, ..., x i, ..., mille igas punktis on optimaalsuse kriteeriumi väärtus parem kui eelmises. Gradientideta meetodites kujundavad parendava jada koostamisel optimaalse sammu suuruse ja suuna üheselt teatud deterministlikud funktsioonid, mis sõltuvad optimaalsuse kriteeriumi omadustest praeguse punkti läheduses ilma tuletisi (st gradienti) kasutamata. . Juhuslikke meetodeid kasutatakse suuremõõtmeliste probleemide korral. Mitme muutujaga tingimuslik optimeerimine võtab arvesse aktiivseid piiranguid, mis on väljendatud võrduste ja ebavõrdsusena. Igas vaadeldavas suunas on suur hulk meetodeid, millel on oma eelised ja puudused, mis sõltuvad eelkõige nende funktsioonide omadustest, mille ekstreemumit otsitakse. Üks neist võrdlevad näitajad Meetodi kvaliteet on funktsiooni väärtuste arv, mis tuleb arvutada antud veaga probleemi lahendamiseks. Mida väiksem see arv, seda tõhusam on meetod, kui muud näitajad on võrdsed.

Teoreetilistes ja matemaatilistes ülesannetes on tavaks pidada optimeerimisülesandeid funktsiooni miinimumi leidmise probleemideks. Isegi meetoditel on ühine nimi – laskumismeetodid. Reaalsete praktiliste probleemide lahendamisel on aga väga sageli ülesandeid maksimaalselt (näiteks tulu, toodangu maksimeerimine jne). Loomulikult on optimaalsuskriteeriumi märki muutes lihtne minna ühest ekstreemumitüübist teise, kuid seda ei tehta alati rakenduslikes mittematemaatikaülesannetes, et mitte kaotada ülesande mõtestatud lõime.

Küsimused 1. peatüki kohta

1. Miks on majanduses vaja kasutada matemaatikat?

2. Mis on matemaatiline mudel?

3. Kuidas ehitatakse majandusnähtuse ja -objekti matemaatiline mudel? Tooge näide mudeli ehitamisest.

4. Mis on optimeerimine?

5. Millised on optimeerimismeetodid?

6. Milliseid majandusprobleeme lahendatakse optimeerimismeetoditega?

2. peatükk. OPTIMISEERIMISTEORIA ALUSED

tähtaeg "optimeerimine" tähistavad protsessi, mis viib rafineeritud lahenduseni. Kuigi optimeerimise lõppeesmärk on leida parim ehk "optimaalne" lahendus, tuleb tavaliselt pigem rahulduda teadaolevate lahenduste täiustamisega kui nende täiustamisega. Seetõttu mõistetakse optimeerimist tõenäolisemalt kui täiuslikkuse poole püüdlemist, mida võib-olla ei saavutata.

Arvestades mõnda suvalist süsteemi, mida kirjeldab m võrrandid n teadmata, on kolme peamist tüüpi probleeme:

· kui m = n, siis hÜlesannet nimetatakse algebraliseks. Selline ülesanne tavaliselt ainus otsus;

· kui m > n, siis defineeritakse probleem reeglina uuesti, pole lahendusi;

· kui m< n , siis on probleem alamääratletud, on lõpmatult palju lahendusi.

Praktikas peame enamasti tegelema kolmandat tüüpi ülesannetega.

Tutvustame mitmeid määratlusi.

2.1. Plaani valikud

Definitsioon. Plaani valikud on sõltumatud muutujaparameetrid, mis määratlevad täielikult ja ühemõtteliselt lahendatava probleemi.

Need on tundmatud suurused, mille väärtused arvutatakse optimeerimisprotsessi käigus. Disainiparameetritena võivad toimida kõik põhilised või tuletatud suurused, mis võimaldavad süsteemi kvantitatiivselt kirjeldada.

Näiteks, parameetritena võib lugeda pikkuse, massi, aja, temperatuuri väärtusi.

Projekteerimisparameetrite arv iseloomustab antud projekteerimisprobleemi keerukuse astet.

Märge. Tavaliselt tähistatakse konstruktsiooniparameetrite arvu n, x- projekteerimisparameetrid ise koos vastavate indeksitega

x 1, x 2, ..., x n - nülesande projekteerimisparameetrid.

2.2. Sihtfunktsioon (plaan)

Definitsioon. objektiivne funktsioon- avaldis, mille väärtust püüame muuta maksimumiks või miinimumiks.

Eesmärgifunktsioon võimaldab kvantitatiivselt võrrelda kahte alternatiivset lahendust. Matemaatilisest vaatenurgast kirjeldab sihtfunktsioon mõnda (n+1)- mõõtmetega pind.

1) Kui projekteerimisparameetreid on ainult üks, saab sihtfunktsiooni esitada tasapinnal oleva kõveraga (joonis 1).

2) Kui on kaks konstruktsiooniparameetrit, siis esitatakse sihtfunktsiooni kolmemõõtmelises ruumis olev pind (joonis 2).

Definitsioon. Kolme või enama konstruktsiooniparameetri korral kutsutakse välja sihtfunktsiooni poolt määratud pinnad hüperpinnad ja neid ei saa tavapäraste vahenditega kujutada.

Mõnel juhul võib sihtfunktsiooni esitada järgmiselt:

tükkhaaval-sile funktsioon;

laud

Ainult täisarvud

kaks väärtust - jah või ei (diskreetne funktsioon).

Ükskõik millisel kujul eesmärkfunktsiooni esitatakse, peab see olema projekteerimisparameetrite ühe väärtusega funktsioon.

Paljude optimeerimisprobleemide puhul on vaja kasutusele võtta rohkem kui üks sihtfunktsioon. Mõnikord võib üks neist olla teisega kokkusobimatu. Näitena võib tuua õhusõidukite konstruktsiooni, mille puhul nõutakse samaaegselt maksimaalset tugevust, minimaalset kaalu ja minimaalseid kulusid. Sellistel juhtudel peab projekteerija kasutusele võtma prioriteetide süsteemi. Selle tulemusena saadakse “kompromissfunktsioon”, mis võimaldab optimeerimisprotsessis kasutada üht liitobjekti funktsiooni.

Küsimused 2. peatüki kohta

1. Millised on plaanivalikud?

2. Tooge näide plaani parameetritest.

3. Määratlege sihtfunktsioon.

4. Kuidas on kujutatud sihtfunktsiooni?

Parameetrid antud objekti struktuuri jaoks, siis kutsutakse seda parameetriline optimeerimine. Valikuülesanne optimaalne struktuur on struktuuri optimeerimine.

Standard matemaatiline probleem optimeerimine on sõnastatud sel viisil. Hulgi X moodustavate elementide χ hulgast leia selline element χ *, mis annab antud funktsiooni f(χ) minimaalse väärtuse f(χ *). Optimeerimisprobleemi õigeks püstitamiseks on vaja seada:

Seejärel tähendab probleemi lahendamine ühte järgmistest:

Kui minimeeritav funktsioon ei ole kumer, siis piirduvad nad sageli kohalike miinimumide ja maksimumide leidmisega: selliste punktide leidmisega, mis kõikjal nende mõnes naabruskonnas miinimumi ja maksimumi eest.

Kui komplekt on vastuvõetav, kutsutakse selline probleem piiramatu optimeerimise probleem, muidu - tingimusliku optimeerimise probleem.

Optimeerimismeetodite klassifikatsioon

Optimeerimisprobleemide üldine tähistus määratleb suure hulga nende klasse. Meetodi valik (selle lahenduse efektiivsus) oleneb ülesande klassist. Ülesannete klassifikatsiooni määravad: sihtfunktsioon ja lubatav ala (antud võrratuste ja võrdsuste süsteemi või keerukama algoritmiga).

Optimeerimismeetodid liigitatakse optimeerimisülesannete järgi:

• Lokaalsed meetodid: koonduvad mõnele sihtfunktsiooni lokaalsele ekstreemumile. Unimodaalse eesmärgifunktsiooni korral on see ekstreemum unikaalne ja on globaalne maksimum/miinimum.
• Globaalsed meetodid: käsitleda multi-äärmuslikke eesmärkfunktsioone. Globaalses otsingus on peamiseks ülesandeks tuvastada sihtfunktsiooni globaalse käitumise trendid.

Praegu olemasolevad otsingumeetodid võib jagada kolme suurde rühma:

1. deterministlik;
2. juhuslik (stohhastiline);
3. kombineeritud.

Vastavalt lubatava hulga mõõtme kriteeriumile jagatakse optimeerimismeetodid meetoditeks ühemõõtmeline optimeerimine ja meetodid mitme muutujaga optimeerimine.

Eesmärkfunktsiooni ja lubatava hulga vormi järgi võib optimeerimisülesanded ja nende lahendamise meetodid jagada järgmistesse klassidesse:

Vastavalt sujuvuse ja osatuletiste esinemise nõuetele sihtfunktsioonis võib need jagada ka:

• otsesed meetodid, mis nõuavad ainult sihtfunktsiooni arvutamist lähenduspunktides;
• esimest järku meetodid: nõuavad funktsiooni esimeste osatuletiste arvutamist;
• teist järku meetodid: nõuavad teise osatuletise, st sihtfunktsiooni Hesseni arvutamist.

Lisaks on optimeerimismeetodid jagatud järgmistesse rühmadesse:

• analüütilised meetodid (näiteks Lagrange'i kordaja meetod ja Karush-Kuhn-Tuckeri tingimused);
• graafilised meetodid.

Olenevalt komplekti iseloomust X Matemaatilise programmeerimise probleemid liigitatakse järgmiselt:

• diskreetse programmeerimise (või kombinatoorse optimeerimise) probleemid – kui X lõplik või loendatav;
• täisarvude programmeerimise probleemid – kui X on täisarvude hulga alamhulk;
• mittelineaarse programmeerimise probleem, kui piirangud või eesmärgifunktsioon sisaldavad mittelineaarseid funktsioone ja X on lõpliku mõõtmelise vektorruumi alamhulk.
• Kui kõik piirangud ja sihtfunktsioon sisaldavad ainult lineaarseid funktsioone, siis on tegemist lineaarse programmeerimise probleemiga.

Lisaks on matemaatilise programmeerimise harudeks parameetriline programmeerimine, dünaamiline programmeerimine ja stohhastiline programmeerimine.

Operatsiooniuuringutes kasutatakse optimeerimisülesannete lahendamisel matemaatilist programmeerimist.

Ekstreemumi leidmise meetodi määrab täielikult probleemi klass. Kuid enne matemaatilise mudeli saamist peate läbima 4 modelleerimisetappi:

• Optimeerimissüsteemi piiride määramine
  • Loobume need optimeerimisobjekti ühendused välismaailm, mis ei saa optimeerimise tulemust oluliselt mõjutada või täpsemalt need, ilma milleta lahendus on lihtsustatud
• Kontrollitavate muutujate valik
  • "Külmutame" mõne muutuja väärtused (hallamata muutujad). Teised saavad võtta mis tahes väärtused vastuvõetavate otsuste piirkonnast (kontrollitud muutujad)
• Kontrollitavate muutujate piirangute määratlemine
  • … (võrdsused ja/või ebavõrdsused)
• Numbrilise optimeerimise kriteeriumi (nt toimivusnäitaja) valimine
  • Looge sihtfunktsioon

Lugu

Kantorovich töötas koos MK Gavuriniga 1949. aastal välja potentsiaalide meetodi, mida kasutatakse transpordiprobleemide lahendamisel. Järgnevates Kantorovitši, Nemtšinovi, V. V. Novožilovi, A. L. Lur'e, A. Brudno, Aganbegyani, D. B. Yudini, E. G. töödes programmeerimine ja selle meetodite rakendamine erinevate majandusprobleemide uurimisel.

Paljud välismaiste teadlaste tööd on pühendatud lineaarse programmeerimise meetoditele. 1941. aastal esitas F. L. Hitchcock transpordi väljakutse. Lineaarse programmeerimise ülesannete lahendamise põhimeetodi, simpleksmeetodi, avaldas 1949. aastal Dantzig. Lineaarse ja mittelineaarse programmeerimise meetodeid arendati edasi Kuhni töödes ( Inglise), A. Tucker ( Inglise), Gass (Saul. I. Gass), Charnes (Charnes A.), Beale (Beale E. M.) jne.

Samaaegselt lineaarse programmeerimise arendamisega hakati palju tähelepanu pöörama mittelineaarse programmeerimise probleemidele, mille puhul kas sihtfunktsioon või piirangud või mõlemad on mittelineaarsed. 1951. aastal avaldasid Kuhn ja Tucker vajalikud ja piisavad optimaalsustingimused mittelineaarse programmeerimise probleemide lahendamiseks. See töö oli aluseks selle valdkonna edasisele uurimistööle.

Alates 1955. aastast on ruutprogrammeerimise kohta avaldatud palju teoseid (Beali, Barankini ja Dorfmani (Dorfman R.), Franki (Frank M.) ja Wolfe'i (Wolfe P.), Markowitzi jt teosed). Dennis J. B., Rosen J. B. ja Zontendijk G. töötasid välja gradientmeetodid mittelineaarse programmeerimise probleemide lahendamiseks.

Praeguseks on matemaatiliste programmeerimismeetodite tõhusaks rakendamiseks ja probleemide lahendamiseks arvutites välja töötatud algebralised modelleerimiskeeled, mille esindajad on AMPL ja LINGO.

Vaata ka

Märkmed

Kirjandus

• Abakarov A. Sh., Sushkov Yu. A.Ühe globaalse optimeerimisalgoritmi statistiline uuring. - FORA toimetised, 2004.
• Akulich I.L. Matemaatiline programmeerimine näidetes ja ülesannetes: Proc. toetus üliõpilaste majandusele. lemmikloomad. ülikoolid. - M .: Kõrgkool, 1986.
• Gill F., Murray W., Wright M. Praktiline optimeerimine. Per. inglise keelest. - M .: Mir, 1985.
• Girsanov I.V. Loengud edasi matemaatiline teooria ekstreemsed ülesanded. - M.; Izhevsk: Uurimiskeskus "Regulaarne ja kaootiline dünaamika", 2003. - 118 lk. - ISBN 5-93972-272-5
• Žigljavski A. A., Žilinkas A. G. Globaalse ekstreemumi leidmise meetodid. - M .: Nauka, Fizmatlit, 1991.
• Karmanov V. G. Matemaatiline programmeerimine. - kirjastus Phys.-Math. Kirjandus, 2004.
• Korn G., Korn T. Matemaatika käsiraamat jaoks teadlased ja insenerid. - M .: Nauka, 1970. - S. 575-576.
• Koršunov Yu.M., Koršunov Yu.M. Küberneetika matemaatilised alused. - M .: Energoatomizdat, 1972.
• Maksimov Yu.A., Filippovskaja E.A. Algoritmid mittelineaarse programmeerimise probleemide lahendamiseks. - M .: MEPhI, 1982.
• Maksimov Yu.A. Algoritmid lineaarseks ja diskreetseks programmeerimiseks. - M .: MEPhI, 1980.
• Plotnikov A.D. Matemaatiline programmeerimine = kiirkursus. - 2006. - S. 171. - ISBN 985-475-186-4
• Rastrigin L. A. Statistilised otsingumeetodid. - M., 1968.
• Hemdy A. Taha. Sissejuhatus operatsiooniuuringutesse = Operations Research: An Introduction. - 8. väljaanne - M .: Williams, 2007. - S. 912. - ISBN 0-13-032374-8
• Keaney R. L., Raifa H. Otsuste tegemine mitme kriteeriumi alusel: eelistused ja asendused. - M .: Raadio ja side, 1981. - 560 lk.
• S. I. Zukhovitsky, L. I. Avdeeva. Lineaarne ja kumer programmeerimine. - 2. väljaanne, muudetud. ja täiendavad .. - M .: Kirjastus "Nauka", 1967.

Lingid

• B.P. Poolakas. Matemaatilise programmeerimise ajalugu NSV Liidus: nähtuse analüüs // 14. Baikali kool-seminari "Optimeerimismeetodid ja nende rakendused" materjalid. - 2008. - T. 1. - S. 2-20.

meetodid optimeerimine
Ühemõõtmeline	Kuldlõike meetod Dihhotoomia Paraboolmeetod Võrgustikotsing Fibonacci meetod Kolmikotsing
Otsesed meetodid	Gaussi meetod Nelder-Meadi meetod Hook-Jeeves'i meetod Konfiguratsioonimeetod Rosenbrocki meetod
Esimene tellimus	Gradiendi laskumine Zeutendijki meetod Koordinaatide laskumine Konjugeeritud gradiendi meetod Kvaasi-Newtoni meetodid Levenbergi-Marquardti algoritm
teine ​​järjekord	Newtoni meetod Newtoni-Raphsoni meetod
Stohhastiline	Monte Carlo meetod Simuleeritud lõõmutamine Evolutsioonilised algoritmid Diferentsiaalne evolutsioon Sipelgakoloonia algoritm Osakeste sülemi meetod
Lineaarsed meetodid programmeerimine	Simpleksmeetod Gomory algoritm Ellipsoidi meetod Potentsiaalne meetod
Mittelineaarsed meetodid programmeerimine	Järjestikune ruutprogrammeerimine

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

711,4 UDK Mazaev A. G

Optimeerimismeetodid ja -kriteeriumid kaasaegses arveldusteoorias

Artiklis käsitletakse optimeerimise kontseptsiooni linnaplaneerimises. Näidatud on mõiste "optimeerimine" päritolu, selle seos teaduse metoodika ja eriti majanduse valdkonna peamiste terminitega. Näidatud on linnaplaneerimise optimeerimise kontseptsiooni edasiarendamise võimalused. Kokkuvõtteks on linnaplaneerimise taotluses välja pakutud optimeerimiskriteeriumide kogum.

Märksõnad: optimeerimine linnaplaneerimises, optimeerimisteooria, optimeerimise kriteeriumid ja meetodid, Pareto kriteerium.

MEETODID JA KRITEERIUMID OPTIMISEERIMINE KAASAEGSES ASULATEOORIAS

Punktis käsitletakse linnaplaneerimise optimeerimise kontseptsiooni. Näidatud on mõiste optimeerimine päritolu, selle suhtlemine põhimõistetega teaduse, majanduse metodoloogia valdkonnas. Kaalutakse optimeerimise kontseptsiooni väljatöötamise võimalusi kaasaegses linnaplaneerimises. Pakutakse optimeerimise kriteeriumide komplekti, mis on võimalik kaasaegses linnaplaneerimistegevuses.

Märksõnad: optimeerimine linnaplaneerimises, optimeerimise teooria, optimeerimise oriteeria ja meetodid, kriteerium Pareto.

Mazaev Anton

Grigorjevitš

Arhitektuurikandidaat, RAASNi nõunik, juhataja. föderaalse riigieelarvelise institutsiooni "Venemaa Ehitusministeeriumi TsNIIP" UralNIIproekt filiaali labor

e-post: [e-postiga kaitstud]

Käesoleva artikli eesmärk on esitada teoreetiline käsitlus "optimeerimise" kontseptsioonist seoses linnaobjektidega – linnade ja asustussüsteemidega. Venemaa suure piirkonna asustuse optimeerimine Uurali näitel föderaalringkond on autori poolt läbi viidud teadusliku uuringu teema. Selle teema asjakohasus on seotud kiireloomulise küsimusega Venemaa riikliku süsteemi piirkondlike asustussüsteemide arendamise sujuvamaks muutmiseks, mille areng on omandanud kontrollimatu ja mittetasakaalulise iseloomu. Teema arendamise metoodika lähtub praegu kujunenud asustuspoliitika geopoliitilise arengu teooriast.

Optimeerimise mõiste kaasaegses teaduses

On vaja selgitada optimeerimise mõistet teadusteoorias ja seejärel määratleda see seoses asustusteooriaga. Algselt pärineb termin "optimeerimine" matemaatikast: "Optimeerimine - matemaatikas, informaatikas ja operatsioonide uurimises, objektiivse funktsiooni ekstreemumi (miinimum või maksimum) leidmise probleem piiratud mõõtmelise vektorruumi teatud piirkonnas, piiratud lineaarsete ja/või mittelineaarsete võrratuste ja/või võrratuste hulgaga. Õpitakse optimeerimisülesande lahendamise teooriat ja meetodeid

matemaatiline programmeerimine ... (It) käsitleb matemaatilisi meetodeid probleemide lahendamiseks, et leida kõigist võimalikest parimad võimalused. The Great Council Encyclopedia selgitab: „Optimeerimine on teatud funktsiooni ekstreemumi (globaalne maksimum või miinimum) leidmise protsess või paljude võimalike funktsioonide hulgast parima (optimaalse) valimine. Kõige usaldusväärsem viis parima variandi leidmiseks on kõigi võimalike variantide (alternatiivide) võrdlev hinnang. Teisisõnu, sama nähtuse, süsteemi jaoks võib olla palju optimeerimiskriteeriume. Saate optimeerida kõike ja suure hulga optimeerimiskriteeriume järgi. Veelgi enam, need kriteeriumid võivad olla üksteisega vastuolus ja optimeerimiseks on vaja need kindlaks määrata, vastasel juhul osutub optimeerimisülesande lahendus valeks, st valeks, ohtlikuks ja ebaefektiivseks. Allikad tõlgendavad optimeerimise sisu erinevalt, lähtudes konkreetse teadusharu eesmärkidest ja eesmärkidest. Näiteks majandussõnastik tõlgendab seda mõistet järgmiselt: "Optimeerimine on nende majandusnäitajate väärtuste määratlemine, mille puhul saavutatakse optimaalne, see tähendab süsteemi optimaalne ja parim seisund. Kõige sagedamini vastab optimaalne kõrgeima tulemuse saavutamine antud ressursikuluga.

või etteantud tulemuse saavutamine minimaalsete ressursikuludega. Ehk optimeerimine on seotud ressursikulude ja nende kasutamise efektiivsusega.

Optimeerimise mõiste majandusteoorias

Just majanduses tõstatatakse optimeerimisprobleemid kõige sagedamini pakilise teadusliku ja praktilise probleemina. Majandusteooriate raames on välja töötatud välja töötatud optimeerimisteooria ning majandusteadusel ja asustusteoorial on sarnane uurimisobjekt - ühiskond tervikuna, selle majanduslikud vajadused, selle erinevusega, et asustusteooria tegeleb sellega, et majandusteooria ja asustusteooria on sarnased. inimelu ruumiline aspekt.

Majandusteadlased annavad optimeerimise kohta suure hulga definitsioone, mida saab laiendada arveldusteooria küsimustele. "Optimeerimine – ühiskonna majandusliku heaolu maksimeerimine seoses makromajanduslike eesmärkidega". Sellest saame järeldada arusaama optimeerimisest kui teatud ressursi suurendamisest, mis samastatakse heaga. AT sel juhul räägime majanduslikust heaolust kui võtmehüvest ja optimeerimist ei seostata optimaalse väärtuse või väärtuste kogumi saavutamisega, vaid selle hüve piiramatu kasvuga.

Kõige mahukama ja sügavaima optimeerimise definitsiooni andis omal ajal V. Pareto: “... Iga muudatus, mis ei tekita kellelegi kahju ja millest on kasu mõnele inimesele (nende enda hinnangul), on edasiminek.” Sellel kriteeriumil on väga lai tähendus: seda kasutatakse selliste probleemide lahendamisel, kui optimeerimine tähendab mõne näitaja parandamist eeldusel, et teised ei halvene, samuti siis, kui majandussüsteemi arendamise plaani koostamiseks rakendatakse kompositsioonilist lähenemist. mis arvestab sellesse kuuluvate allsüsteemide (rühmitab majandusüksusi) huve. Ülaltoodud definitsiooni saab vormistada järgmise väitega: majandusseisu S* peetakse V. Pareto järgi paremaks kui mõnda teist seisundit B1, kui vähemalt üks majandusüksus eelistab S* ja kõik ülejäänud vähemalt , ei tee neil olekutel vahet, kuid samas pole kedagi, kes eelistaks 81; V. Pareto järgi on olek 8* oleku B1 suhtes ükskõikne, kui kõik majandusüksused ei tee neil vahet; lõpuks on optimaalne, kui puudub teostatav majandusseisund, mis oleks sellest parem. V. Pareto optimaalsuskriteerium on metoodiliselt suure tähtsusega, kuna annab arusaamise, millist muutust majandussüsteemis võib nimetada positiivseks, s.t selle üldisele parandamisele suunatud muutuseks ja millist mitte. Mõne subjekti majandusliku heaolu kasvu teiste arvelt ei saa selle kriteeriumi järgi pidada positiivseks. Joonis 1 näitab V. Pareto kriteeriumi mõju graafiku kujul, mis näitab "vastuvõetavate väärtuste" ala, mis parandavad vähemalt ühte näitajat, ilma et see tooks kaasa teiste näitajate halvenemist.

Usume, et nende põhimõtteliselt erineva olemuse tõttu on võimatu anda ühtset ja üksikasjalikku optimeerimise määratlust igat tüüpi inimtegevuse jaoks. Optimeerimisprobleemide uurimine on NSV Liidus saavutanud märkimisväärse arengu seoses selle majanduse plaanilise iseloomuga. Majanduse optimeerimise küsimused tegelesid nõukogude teadlastega kuni üleminekuni turumajandus. Lisaks probleemi tõsidus

Joonis 1. Optimaalsus V. Pareto järgi

optimeerimine majanduses ei vähenenud tänu tootevaliku kiirele kasvule, olulise hulga tööstuste paiknemisele suurel maa-alal, sellest tulenevalt ka kaubaveo suures mahus. Lääne teadlased seisid silmitsi sarnaste küsimustega, eriti teravaks optimeerimise küsimus Teise maailmasõja ajal, kui tekkis vajadus samalaadse tsentraliseeritud kontrolli järele suurte vägede, varustuse ja varustuse üle. Viimastel aastakümnetel on välja töötatud palju teoreetilisi ja rakenduslikke optimeerimistehnikaid, mis on süstemaatiliselt toodud joonisel 2.

Optimeerimise kontseptsioon linnateaduses

Seda mõistet linnaplaneerimises kasutati nõukogude perioodil mitmes tähenduses. Esiteks seostati seda majanduse optimeerimise kontseptsiooniga, teenides majanduslikke huve. Linnaplaneerimist mõisteti ühe optimeerimisvahendina, mille ülesandeks on tööstuskompleksi huvide ühitamine elanike huvidega. Tekkisid erinevad optimeerimiskontseptsioonid, millest olulisemate hulka tuleks omistada GSNM - asustatud alade rühmasüsteemid. See oli katse optimeerida asustust selle puuduste mitmefaktorilise vähendamise kaudu - maaelanikkonna isolatsioon tööjõu rakenduskohtadest ja kultuurikeskustest, liigne linnakasv, mis tekitab biosfäärile tohutu koormuse.

GSNM-i kontseptsiooni rakendamine võeti ette 1970. aastatel välja töötatud NSV Liidu asustamise üldskeemi raames. GSNM-i loomine pidi optimeerima selleks ajaks võitnud suurte ja keskmise suurusega linnade koondumisprotsessi. Suvalise "kleepimise" asemel asulad nende hierarhiline organisatsioon tuli luua. Veel üks optimeerimise tagajärg linnaplaneerimisel

Joonis 2. Põhimeetodid optimeerimisülesannete lahendamiseks. Süstemaatiline kokkuvõte temast erinevaid tehnikaid

oli linnade niinimetatud "optimaalse suuruse" küsimuse täpsustamine. Viidati, et kuna mõnes linnas on liigne ülerahvastatus ehk selle optimaalne väärtus, mida linnaplaneerimise teadus suudab välja arvutada. “... “Optimaalse” linna kontseptsioon jäi nõukogude linnapoliitika üheks olulisemaks elemendiks. .Pole kahtlustki, et selline optimum on olemas. Lahkarvamused algasid siis, kui püüti kindlaks teha, millist populatsiooni tuleks pidada optimaalseks. 1920. aastatel 50 000 elanikku tundus optimaalne. Piisas, et näidata mastaabisäästu ja linnataristu eeliseid ja samas mitte nii suurt, et hävitada kogukonnatunnet ja sotsialistliku kogukonnaeetikat. 1950. aastate keskel. Optimaalsed hinnangud kõikusid 150 000 ja 200 000 vahel ning 1960. aastaks hüppasid need 250-300 000 inimeseni ja selle kontseptsiooni legitiimsuseni. on küsitletud." Vaidlus osutus skolastiliseks, sest linna optimaalne suurus ei sõltu absoluutväärtusest

rahvaarvu maskid, vaid majandusliku ja geograafilise asukoha asustussüsteemis. Ehk siis oluline pole linna absoluutne, vaid suhteline suurus, mis on igal konkreetsel juhul erinev.

Selle linna optimaalse suuruse küsimus kerkis uuel teraval viisil üles 1960. ja 1970. aastatel, kui NSV Liidus hakkas kasvama suurte ja suurimate linnade arv ning nende puudused hakkasid silma. Artiklis iseloomuliku pealkirjaga " Maksimaalsed mõõtmed linnad” (1970) nentis: „Linnamajanduse seisukohalt on kõige ökonoomsemad linnad, kus on kõige vähem kapitaliinvesteeringuid ja tegevuskulusid elaniku kohta. Nii liiga väikesed linnad kui ka hiigellinnad osutuvad ebaökonoomseks. Linnaehituses avaldub kõikidele majandusvaldkondadele ühine põhimõte, mille kohaselt on suur majandusüksus efektiivsem kui väike. Kuni 20 000 elanikuga väikelinnades on vaja luua väikseid ebaefektiivseid kommunaal- ja majapidamisettevõtteid. Linnade kasvades muutuvad nad ökonoomsemaks.<.>Kuna rahvaarv kasvab, olukord halveneb.<.>võimatu

tagada linna normaalne toimimine ilma suurema insenertehnilise ehituseta ja selliste transpordiliikideta, mida varem ei nõutud.

Artikli autorid usuvad, et neil õnnestus optimeerimisprobleemile vastus leida: “Kaaludes kõiki poolt- ja vastuargumente, on paljudes riikides, sealhulgas NSV Liidus, linnaplaneerijad ja majandusteadlased jõudnud järeldusele, et praegu on vaja piirata miljonilise elanikuga linnade kasvu, stimuleerides linnaarengut keskmise suurusega(meie kursiiv. - A. M.) ".

Näeme, et optimaalseks tunnistatakse keskmise suurusega linn, kus elab 50 tuhat kuni 100 tuhat elanikku. V.I.Perevedentsev selle järeldusega ei nõustu; See näitab sõltuvuste mittelineaarset olemust majanduslik efektiivsus linna suuruse kohta: „Linn ei ole ainult majad, kus inimesed elavad, vaid ka tehased, kus nad töötavad. Kas linna suurus mõjutab tööviljakust? Jah, on küll. Suur linn on tootmise poolest kasumlik. Need on jagamise eelised

energia-, transpordi-, vee- ja kanalisatsioonirajatised. See on kvalifitseeritud inimeste pakkumine tööjõud... Tööstuse territoriaalne koondumine tõstab tööviljakust. Seetõttu loob suurlinn ise eeldused tootmise edasiseks kontsentreerimiseks. Edasi märgib autor, et väga suures linnas on inimese “ülalpidamine” keskmisest kallim, kuid sellises linnas on inimeselt tema hinnangul tulu suurem. Ta toob välja: „Praegu aktsepteeritud arusaam linna optimaalsest suurusest on minu arvates põhimõtteliselt, metoodiliselt vale. Kui pidada silmas mitte ainult tarbimist, vaid ka tootmist, siis pole optimaalne linn mitte see, kus inimese ülalpidamine on odavam, vaid see, kus vahe on inimese poolt antava ja tema peale kulutatava vahel. saab olema suurim. Ibid.]. Selle tulemuseks on "kulu-kulu" mudel, mida rakendatakse antud linna elanikule, mis näitab, et linna suuruse kasvades võib majanduse efektiivsuse kasv olla väga pikaajaline, kuna tööviljakus võib kasvada koostööefekti tõttu. Ehk siis linna optimaalne suurus võib olla meelevaldselt suur, kui jätkub tendents suurendada iga inimese majanduslikku tulu.

Samal ajal loob autor linna optimaalse suuruse kontseptsiooni. Tema seisukohalt määrab linna optimaalse suuruse üldjuhul linna suuruse vastavuse kriteerium selle etteplaneeritud väärtustele. „... Suurem osa ebamugavustest suur linn mitte selle suuruse enda, vaid linnaplaneerimise vigade tõttu. Need on vead linna kasvu prognoosimisel, lahknevus linna “varustuse” ja suuruse vahel, puhtalt planeerimisvead ja lõpuks kitsas majanduslik lähenemine teenindussektorile. Tihti planeeritakse ehitust poole miljoni elaniku peale ja linn kasvab miljoniliseks. Samas jäävad kõik kommunikatsioonid, kõik kommunaalteenused, linna struktuur ja paigutus põhimõtteliselt samaks, nagu esialgses projektis kavandati. Tegelikult lõpetab see väide arutelu linna optimaalse suuruse üle – optimaalseks tunnistatakse linn, mille areng vastab tema enda üldplaneeringule.

Peab ütlema, et selle kriteeriumi järgi optimaalseid linnu on väga raske leida, sest nagu näitavad arvukad uuringud, põhisättedüldplaneeringuid peaaegu ei teostatud. Selgub, et Venemaa linnad on krooniliselt "optimeerimata" seisundis.

Selle arutelu lõpetuseks tasub välja tuua V. I. Perevedentsevi enda sümptomaatiline kaebus, et linnad on oma arengus eemaldumas optimaalsuse seisust, mitte ei jõua selleni: „... Suurimad rahvastiku juurdekasvud olid linnades. milles 1959. aastal oli 400–600 tuhat inimest – üle 35 protsendi. Meie linnaplaneerimises valitsevate seisukohtade järgi peetakse optimaalseks linnu, kus elab 50-200 tuhat inimest ja kuni 400 tuhat on aktsepteeritav. See tähendab, et kõige kiiremini kasvavad linnad, mis ületasid "lubatud". "Optimaalsed" linnad kasvasid samuti kiiresti, muutudes ebaoptimaalseteks (meie kaldkiri. - A. M.) ” .

Meie seisukohast on see arutelu teaduslikus mõttes väga viljakas, kuigi selle praktilised tulemused osutusid negatiivseks, kuna linna optimaalset suurust ei leitud kunagi. Siiski saab seda isoleerida teoreetiline tulemus:

1 Linna optimeerimise kontseptsioon ühe võtmeparameetri – rahvastiku suuruse – osas ei ole saanud korralikku teoreetilist ja praktilist kinnitust. Sellist väärtust ei olnud võimalik selgelt sõnastada ja põhjendada. Ei ole loodud metoodikat linnade arengu tõhusaks suunamiseks optimaalsete väärtuste poole.

2 Küsimus, kas selline optimaalne väärtus põhimõtteliselt eksisteerib, jääb lahtiseks ja siiani lahendamata. Selle lahendamiseks on vaja uusi metoodilisi lähenemisviise, mis on moodustatud osana käimasolevast Uurali föderaalringkonna asustussüsteemi optimeerimise uuringust.

3 Linna optimaalse suuruse mõistest on tekkinud uus arusaam, omamoodi mitte absoluutne, vaid suhteline optimaalne väärtus, mida seostatakse mitte absoluutsete, vaid suhteliste näitajatega. Veelgi enam, kõige selgemaks selliseks näitajaks tehakse ettepanek pidada linna suuruse vastavust üldplaneeringus seatud parameetritele.

4 Linna optimeerimise kontseptsiooni autorid lihtsalt lähenesid oma küsimusele tasemel, mis ei olnud probleemile adekvaatne. Meile tundub, et kõige tõenäolisem viis selle lahendamiseks pole mitte üksiku linna optimeerimine, vaid pigem asustussüsteem - piirkondlik ja üleriigiline. See on tingitud asjaolust, et iga linn eksisteerib ainult kõrgema taseme süsteemi, nimelt asustussüsteemi elemendina ja selle optimeerimine sellest süsteemist eraldiseisvana tundub olevat keeruline ülesanne. Tegelik mastaap, mille juures on optimeerimisülesande püstitamine ja lahendamine võimalik, on arveldussüsteemi mastaap. Selle süsteemi suuruse ja taseme kindlaksmääramine on täiendav teoreetiline probleem.

Linnaplaneerimise optimeerimisprobleemide tüübid

Võimalik tuvastada mitu võtmekriteeriumid, mille järgi on vaja hinnata asustuse optimeerimise probleemi. Nende kriteeriumide kogum on omamoodi maatriks, mis peaks paljastama arveldussüsteemide optimeerimise probleemi olemuse.

1 Vastavalt optimeeritava ressursi kasvupiirangu olemasolule või puudumisele. Mõne optimeerimisprobleemi korral on võimalik optimeerimist vajava indikaatori teoreetiliselt piiramatu kasv. Või vastupidi, on teatud lõpptase, mille järel muutub indikaatori kasv võimatuks. Meie puhul arvame esialgselt, et asustuse optimeerimise probleem kuulub esimesse varianti, kuna optimeerimisindeksi tõus on seotud rahvaarvuga ja see indeks võib teoreetiliselt suureneda lõputult.

2 Ühe optimumi või mitme optimumi olemasolul (optimaalne komplekt). Olenevalt probleemi tüübist võib sellel olla üks optimum või teatud optimumite komplekt. Meie puhul saame probleemi esialgselt kirjeldada mitme optimaalsena, kuna piiratud tasasel pinnal jaotuse optimeerimiseks on võimalik mitu võimalust.

3 Pareto kriteeriumi täitmisega (mõnede elementide optimeerimisparameetri suurendamine ei tule teiste elementide puhul selle vähendamise arvelt). Sellises olukorras peate vastama küsimusele - kas on võimalik tõsta opti-

arveldussüsteemi mõnede elementide muutmine, mitte kunagi vähendades seda teistes. Linnaplaneerimise praktika näitab, et suure asustussüsteemi arendamine Pareto kriteeriumi täitmisega tundub võimatu. Asustussüsteemi elementide areng toimub muuhulgas tänu rahvastiku liikumisele asustushierarhiat mööda (reeglina alumiselt kõrgemale).

4 Millise arvu kriteeriumide järgi tuleks optimeerimine läbi viia – üks või mitu. See, kas optimeerimine peaks olema multiobjektiivne või monoobjektiivne, on suurim teoreetiline probleem. Selle lahendamiseks on vaja kaasata juba välja töötatud metoodiline aparaat: esiteks tuleb viidata, et makrotasandil kujuneb ühiskonna elu selle kolme peamise allsüsteemi koosmõju tulemusena. Neid saab loetleda nende ilmumise järjekorras:

1) Looduslik ja ökoloogiline allsüsteem.

2) Sotsiaaldemograafiline allsüsteem.

3) Majanduslik allsüsteem.

Ajaloolise arengu käigus genereerisid need alamsüsteemid järjekindlalt üksteist. Looduslik-ökoloogiline allsüsteem, mis eksisteeris algselt mõõtmatult kauem kui inimene ise, sünnitas ta tema evolutsioonilise arengu käigus. Inimtegevuse kui ratsionaalse olendi peamiseks suunaks on saanud soov tagada oma püsimajäämine ja areng läbi loodusressursside võimalikult tõhusa kasutamise, püüdes samal ajal minimeerida sõltuvust looduskatastroofidest. Tänu sellele soovile on inimese loodud sotsiaaldemograafiline allsüsteem omandanud olulise autonoomia loodusökoloogilise allsüsteemi suhtes. Nende vahele hakkasid tekkima sirged jooned. tagasisidet ja arendada vastuolusid. Nende ületamiseks on inimene loonud majanduse allsüsteemi, mis võimaldab inimesel järsult suurendada toodetavate ja tarbitavate kaupade mahtu ning kindlustab seeläbi eraldumist loodusökoloogilisest allsüsteemist. Tuleb märkida, et selle süsteemi teemaks on loomulikult sotsiaalne

mograafiline alamsüsteem, mis on etnilistel, rassilistel, usulistel ja muudel alustel erinevatesse kogukondadesse ühendatud inimeste kogum. Inimkond elab ja areneb läbi oma ajaloo selles jõudude kolmnurgas: loodus – ühiskond – majandus.

Nagu näha, on kolm kriteeriumi, mille järgi saab arveldussüsteemi optimeerida, olenevalt sellest, millise arenguprioriteedi ühiskond valib. Samas on varasema uurimuse raames välja toodud väide: asustus territoriaalne süsteem on meie hinnangul element, mis hoiab koos inimühiskonna arengu kolme allsüsteemi. See juhtub mitmel põhjusel.

Esiteks seetõttu, et inimkond üldiselt ja iga inimkooslus konkreetselt tekib ja areneb evolutsiooniliselt kujunenud territooriumil (eeskätt maismaal), mis on ennekõike biosfääriline ruum - bioloogiliste liikide eksisteerimiseks sobiv vöönd. Seega tekib igasuguste inimasustuste tekkimine alati ennekõike biosfääri kuuluva territooriumi tagasilükkamise ja kasutamise tõttu. Looduslik-ökoloogiline alamsüsteem täidab ka väga olulist funktsiooni piirata teiste allsüsteemide arengut ja seab teatud tingimustes nende arengu eripära.

Teiseks on asustussüsteemi territoriaalse süsteemi areng sotsiaal-demograafilise allsüsteemi tegevuse otsene peegeldus. Asustuse territoriaalne süsteem peegeldab kontsentreeritud kujul ühiskonna eripära, selle ajalugu ja olevikku, saavutatud arengutaset ja demograafilist struktuuri. Need tunnused avalduvad ruumiliselt selliste näitajate kaudu nagu rahvastiku arv ja tihedus, maa- ja linnarahvastiku suhe ja jaotus, rändevoogude suund ja intensiivsus.

Kolmandaks, majanduslik allsüsteem, olles sotsiaaldemograafilise allsüsteemi tuletis, on selle otsene ruumiline jätk, mis täidab ruumilises mõttes mitmeid põhifunktsioone. See on vajaliku pakkumine

veeprotsessid, asumitevaheliste transpordiühenduste korraldamine, vajalike loodusvarade ammutamine. Majanduslik allsüsteem, nagu ka selle tekitanud sotsiaaldemograafiline allsüsteem, saab eksisteerida ja areneda ainult loodus-ökoloogilise allsüsteemi raames. Selle areng kahandab veelgi suuremal määral loodus-ökoloogilise süsteemi ruumi nii otseselt selle ruumis paiknevate materiaalsete objektide kui ka tegevuse tagajärgede kaudu. Asustuse territoriaalne süsteem on inimühiskonna kõiki alamsüsteeme ühendav element ja sellisena on see nende süntees. Väljaspool ja ilma territoriaalse asustussüsteemita ei saa neid allsüsteeme lihtsalt eksisteerida.

Seega on meil tegemist ebaselge olukorraga. Ühest küljest on asustuse optimeerimiseks kolm kriteeriumi: ökoloogiline, sotsiaalne ja majanduslik. Samal ajal toob uuring võtmetähtsusega sisse täiesti uue optimaalsuse kriteeriumi – geopoliitilise. Antud on antud optimeerimiskriteeriumi esmane kontseptsioon, mille sisu avalikustatakse järgmiselt: territoriaalsete asustussüsteemide arendamise adekvaatseim arvestamise tase on riiklik tasand. Ja territoriaalse asustussüsteemi tegelik üksus on riiklik asustussüsteem. Just riigipiirid on asustussüsteemi selged ja põhjendatud piirid.

Sellega seoses tõstatatakse küsimus: millist rolli mängib riigi toimimises riiklik asustussüsteem, mitte aga üldiselt mingi abstraktne inimkooslus. Meie hinnangul on riikliku territoriaalse asustussüsteemi olemasolu ja toimimise põhieesmärk tagada võimalikult efektiivne ja pikaajaline kontroll olemasoleva riigi rahvusterritooriumi ja seda asustava rahvuse üle. Territoriaalne asustussüsteem on omamoodi "dominantstruktuur", mis tagab territooriumi ja sellel olemasolevate ressursside tõhusaima arengu, tagades kõige tõhusama

selle konkreetse rahvusühiskonna kui terviku ja selle üksikute liikmete arengut. Ja lisaks sellele - riigi suurima stabiilsuse tagamine võimalike kahjulike välismõjude eest. Selle tõhusa ruumilise kontrolli peamise kriteeriumi täitmine või mittetäitmine on territoriaalse asustussüsteemi kvaliteedi hindamise võti.

Järeldus

Seega on meil teoreetiliselt koguni neli võimalust vastata küsimusele, milline peaks olema linnaplaneerimise optimeerimise olemus:

1 Optimeerimine on võimalik vastavalt kolmele eraldiseisvale parameetrile: ökoloogiline, sotsiaalne või majanduslik, mida nad tegelikult püüdsid teha nõukogude perioodil linnaosade planeerimise süsteemi raames, kui pidi olema võimalik optimeerida. arveldussüsteemist vastavalt majanduslikule parameetrile, selle sotsialistlikus arusaamas.

2 Optimeerimine on võimalik (vähemalt teoreetiliselt) kõigi kolme eraldiseisva parameetri puhul üheaegselt, siludes nende vahel esinevaid vastuolusid. Oma põhiolemuselt on selline optimeerimine kontseptsioonile lähedane jätkusuutlik arendus, mille aluseks on soov tasakaalustada ühiskonna sotsiaal-majanduslikke vajadusi ja nende pakkumise keskkonnavõimalusi.

3 Geopoliitiliste parameetrite järgi optimeerimine, mille nurgakiviks saab kõige tõhusama ja pikaajalise kontrolli tagamine olemasoleva riigi ja seda asustava rahvuse rahvusterritooriumi üle. Seda tüüpi optimeerimine on kooskõlas selle uuringu metoodikaga ja tundub olevat kõige paljulubavam.

4 Optimeerimine kõigi nelja parameetri jaoks korraga, kui saavutatakse keskkonna-, sotsiaalsete, majanduslike ja geopoliitiliste parameetrite samaaegne optimeerimine. Seda tüüpi optimeerimist võib nimetada superoptimeerimiseks, kui kõiki parameetreid optimeeritakse samaaegselt. Sellise seisundi saavutamine tundub väga kahtlane, kuid seda tuleb meeles pidada.

kui ideaalne lõpptulemus.

Kasutatud kirjanduse loetelu

1 Shuper V. A. Linnaasustuse isekorraldus / Ros. lahti un-t. M., 1995.

2 Pokshishevsky V.V. Siberi asustamine. Ajaloolised ja geograafilised esseed. M., 1951.

3 Brazovskaja N. V. Optimeerimismeetodid: õpik. toetus / Altai osariik. tehnika. un-t im. I. I. Polzunova [Kauge keskus. õppimine]. Barnaul, 2000.

4 Suur Nõukogude Entsüklopeedia. 3. väljaanne M., 1975. T. 19.

5 Raizberg B. A., Lozovsky L. Sh., Starodubtseva E. B. Tänapäeva majandussõnastik. 2. väljaanne, rev. M., 1999.

6 Majandus: sõnastik. M., 2000.

7 Perevedentsev V.I. Rahvastiku rände uurimise meetodid, M., 1975.

8 Dubrovsky P. N. Linna maksimaalne suurus // Teadus ja tehnoloogia. 1970. nr 6.

9 Mazaev A. G. Riiklik territoriaalne asustussüsteem kui kontrollitegur: geopoliitiline lähenemine // Akadeemiline bülletään UralNIIproekt RAASN. 2008. nr 1. S. 32-37.

10 Mazaev A.G. Uurali asustussüsteemi kujunemine ja areng (XVII-XIX sajand): etapid ja geopoliitilised tunnused // Akadeemiline bülletään UralNIIproekt RAASN. 2014. nr 1. Lk 10.

11 Mazaev A.G. Uurali asustussüsteemi struktuuri arengu analüüs (XIV lõpp - XX sajand) liikuvate keskmiste meetodil // Akadeemiline bülletään UralNIIproekt RAASN. 2014. nr 3. Lk 34.

3.2.1. Lineaarne programmeerimine

Otsusteooria optimeerimisprobleemidest on tuntuimad lineaarse programmeerimise probleemid, mille puhul maksimeeritav funktsioon F(X) on lineaarne ja piirangud AGA on antud lineaarsete võrratustega. Alustame näitega.

tootmisülesanne. Töökojas saab valmistada toole ja laudu. Tooli valmistamiseks kulub 5 ühikut materjali ja laua valmistamiseks 20 ühikut (mahagonijalla). Tool vajab 10 töötundi, laud 15. Materjali on 400 tükki ja 450 töötundi. Kasum tooli tootmisel - 45 USD, laua tootmisel - 80 USD. Kui palju toole ja laudu peate maksimaalse kasumi saamiseks tootma?

Tähistage: X 1 - valmistatud toolide arv, X 2 - tehtud laudade arv. Optimeerimisprobleemil on järgmine vorm:

45 X 1 + 80 X 2 → max ,

5 X 1 + 20 X 2 ≤ 400 ,

10 X 1 + 15 X 2 ≤ 450 ,

X 1 ≥ 0 ,

X 2 ≥ 0 .

Esimene rida sisaldab sihtfunktsiooni - kasum vabastamisel X 1 tool ja X 2 tabelit. Seda tuleb maksimeerida, valides muutujate X 1 ja optimaalsed väärtused X 2. Sel juhul tuleb järgida materjalile seatud piiranguid (teine ​​rida) – mahagonit pole kulutatud rohkem kui 400 jalga. Nagu ka tööpiirangud (kolmas rida) - mitte rohkem kui 450 tundi. Lisaks ei tohi unustada, et laudade ja toolide arv ei ole negatiivne. Kui a X 1 = 0, see tähendab, et toole ei toodeta. Kui vähemalt üks tool on tehtud, siis X 1 on positiivne. Kuid negatiivset vabanemist on võimatu ette kujutada - X 1 ei saa olla majanduslikust seisukohast negatiivne, kuigi matemaatilisest vaatenurgast sellist piirangut näha ei saa. Ülesande neljandal ja viiendal real ja on märgitud, et muutujad on mittenegatiivsed.

Tootmisülesande tingimusi saab kujutada koordinaattasandil. Joonistame väärtused piki horisontaalset abstsissi X 1 ja piki vertikaalset ordinaati - väärtused X 2. Seejärel toovad materjali piirangud ja optimeerimisülesande kaks viimast rida esile võimalikud väärtused ( X 1 , X 2) väljundmahud kolmnurga kujul (joon. 1).

Seega on materjalipiirangud kujutatud kumera hulknurgana, täpsemalt kolmnurgana. See kolmnurk saadakse lähtekohaga külgneva tsooni lõikamisel esimesest kvadrandist. Lõikamine toimub sirgjoonega, mis vastab algse ülesande teisele reale, kusjuures ebavõrdsus on asendatud võrdsusega. Joon ristub teljega X 1, mis vastab toolidele (80,0). See tähendab, et kui kogu materjal kasutatakse toolide valmistamiseks, siis valmib 80 tooli. Sama joon lõikub teljega X 2 , mis vastab tabelitele, punktis (0,20). See tähendab, et kui kogu materjal on peale pandud

laudade tegemine, siis valmib 20 lauda. Kõikide kolmnurga sees olevate punktide puhul on täidetud ebavõrdsus, mitte võrdsus – materjal jääb alles.

Tööpiiranguid saab kujutada sarnaselt (joonis 2).

Seega on tööpiirangud ja ka materiaalsed piirangud kujutatud kolmnurgana. See kolmnurk saadakse ka lähtekohaga külgneva tsooni lõikamisel esimesest kvadrandist. Lõikamine toimub sirgjoonega, mis vastab esialgse ülesande kolmandale reale, kusjuures ebavõrdsus on asendatud võrdsusega. Joon ristub teljega X 1, mis vastab toolidele (45,0). See tähendab, et kui toolide valmistamiseks kulub kogu tööjõuressurss, siis valmib 45 tooli. Sama joon lõikub teljega X 2 , mis vastab tabelitele, punktis (0,30). See tähendab, et kui kõik töölised panna tabeleid tegema, siis tehakse 30 tabelit. Kõikide kolmnurga sees olevate punktide puhul on täidetud ebavõrdsus, mitte võrdsus - mõned töötajad jäävad jõude.

Näeme, et ilmselget lahendust pole - 80 tooli valmistamiseks on materjal olemas, aga töölisi ei jätku ja 30 laua valmistamiseks on tööjõudu, aga materjali pole. tee mõlemad. Aga mis vahekorras?

Sellele küsimusele vastamiseks on vaja "kombineerida" joonised 1 ja joonis 2, saades võimalike lahenduste pindala, ja seejärel jälgida, millised väärtused sihtfunktsioon sellel hulgal omandab (joonis 3).

Seega on toolide ja laudade tootmismahtude võimalike väärtuste kogum ( X 1 , X 2) või teisisõnu komplekti AGA, mis määrab üldises optimeerimisülesandes juhtimisparameetri piirangud, on kahe kolmnurga ristumiskoht, s.o. joonisel 3 näidatud kumer nelinurk. Selle kolm tippu on ilmsed – need on (0,0), (45,0) ja (0,20). Neljas on kahe sirge ristumiskoht - joonisel 1 ja joonisel 2 olevate kolmnurkade piirid, s.o. võrrandisüsteemi lahendus

5 X 1 + 20 X 2 = 400 ,

10 X 1 + 15 X 2 = 450 .

Esimesest võrrandist: 5 X 1 = 400 - 20 X 2 , X 1 = 80 - 4 X 2. Asendage teise võrrandiga:

10 (80 - 4 X 2) + 15 X 2 = 800 - 40X 2 + 15 X 2 = 800 - 25 X 2 = 450,

seega 25 X 2 = 350, X 2 = 14, kust X 1 = 80 - 4 x 14 \u003d 80 -56 \u003d 24.

Seega on nelinurga neljas tipp (24, 14).

Peame leidma kumeral hulknurgal lineaarfunktsiooni maksimumi. (Lineaarse programmeerimise puhul on lineaarfunktsiooni maksimum kumeral hulktahukal, mis asub lõpliku mõõtmega lineaarruumis.) Lineaarse programmeerimise põhiidee seisneb selles, et maksimum saavutatakse hulknurga tippudes. Üldjuhul - ühes tipus ja see on ainus maksimumpunkt. Privaatselt - kahes ja siis koosneb ka neid ühendav segment maksimumpunktidest.

Objektiivne funktsioon 45 X 1 + 80 X 2 omandab tipus (0,0) minimaalse väärtuse 0. Kui argumentide arv suureneb, suureneb see funktsioon. Tipus (24,14) on see väärtus 2200. Sel juhul on sirge 45 X 1 + 80 X 2 = 2200 läbimist sirgete 5 vahel X 1 + 20 X 2 = 400 ja 10 X 1 + 15 X 2 = 450, mis ristuvad samas punktis. Siit ja ka kahe ülejäänud tipu otsesest kontrollist järeldub, et sihtfunktsiooni maksimum, mis on võrdne 2200-ga, saavutatakse tipus (24,14).

Seega on optimaalne väljund järgmine: 24 tooli ja 14 lauda. Selleks kulub kogu materjal ja tööjõuressurss ning kasum on 2200 USA dollarit.

Kahekordne probleem. Iga lineaarse programmeerimise ülesanne vastab nn kaksikülesandele. Selles, võrreldes algse ülesandega, muutuvad read veergudeks, ebavõrdsused muudavad märki, maksimumi asemel otsitakse miinimumi (või vastupidi, miinimumi asemel maksimumi). Kahekordne ülesanne on algülesanne ise. Võrdleme algset ülesannet (vasakul) ja selle topeltprobleemi (paremal):

45 X 1 + 80 X 2 → max , 400 W 1 + 450 W 2 → min ,

5 X 1 + 20 X 2 ≤ 400 , 5 W 1 + 10 W 2 ≥ 45,

10 X 1 + 15 X 2 ≤ 450 , 20 W 1 + 15 W 2 ≥ 80,

X 1 ≥ 0 , W 1 ≥ 0,

X 2 ≥ 0 . W 2 ≥ 0.

Miks on kahekordne ülesanne nii oluline? Saab tõestada, et alg- ja duaalülesande sihtfunktsioonide optimaalsed väärtused on samad (st algülesande maksimum langeb kokku duaalülesande miinimumiga). Sel juhul optimaalsed väärtused W 1 ja W 2 näitavad vastavalt materjali- ja tööjõukulu, kui need on hinnatud nende panuse järgi sihtfunktsiooni. Mitte segi ajada turuhinnad need tootmistegurid W 1 ja W 2 nimetatakse tooraine ja tööjõu "objektiivseks hindamiseks".

Lineaarne programmeerimine kui teaduslik ja praktiline distsipliin. Kõigist optimeerimisülesannetest eristuvad lineaarse programmeerimise ülesanded selle poolest, et nende piiranguteks on lineaarse ebavõrdsuse või võrdsuse süsteemid. Piirangud määratlevad kumerad lineaarsed hulktahukad lõplikus lineaarruumis. Ka sihtfunktsioonid on lineaarsed.

Esimest korda lahendas selliseid probleeme Nõukogude matemaatik L.V. Kantorovitš (1912-1986) 1930. aastatel tootmisjuhtimise ülesannetena, et optimeerida tootmiskorraldust ja tootmisprotsesse, näiteks masinate laadimise ja materjalilehtede lõikamise protsesse. Pärast Teist maailmasõda hakati sarnaseid ülesandeid võtma ka Ameerika Ühendriikides. 1975. aastal osalesid T. Koopmans (1910-1985, sündinud Hollandis, töötas peamiselt USA-s) ja NSVL Teaduste Akadeemia akadeemik L.V. Kantorovitš pälvis Nobeli majandusauhinna.

Mõelge mõnele tüüpilised ülesanded lineaarne programmeerimine (vt ka).

Dieedi probleem (lihtsustatud versioon). Oletame kindluse mõttes, et kanadele on vaja koostada odavaim toit, mis sisaldab vajalikus koguses teatud toitaineid (lihtsuse huvides tiamiin T ja niatsiin H).

Tabel 1.

Algandmed segu optimeerimise probleemis.

Dieedi toiteväärtus (kalorites) peab olema vähemalt ette nähtud. Lihtsuse huvides valmistage kanade segu kahest tootest - To ja FROM. Nendes toodetes on teada ka tiamiini ja niatsiini sisaldus. ka toiteväärtust To ja FROM(kalorites). Kuidas To ja FROM tuleks võtta ühe portsjoni kanasööda kohta, et kanad saaksid vajaliku annuse H ja T aineid ja kaloreid (või rohkemgi) ning portsjoni maksumus oleks minimaalne? Arvutuste lähteandmed on toodud tabelis 1.

3,8 To + 4,2 FROM→ min ,

0,10 To + 0,25 FROM ≥ 1,00 ,

1,00 To + 0,25 FROM ≥ 5,00 ,

110,00To + 120,00 FROM ≥ 400,00 ,

To ≥ 0 ,

FROM ≥ 0 .

Selle graafiline lahendus on näidatud joonisel 4.

Joonis 4. Segu optimeerimise ülesande graafiline lahendus.

Joonisel 4 on tajumise hõlbustamiseks neli sirgjoont tähistatud numbritega (1) - (4). Sirgjoon (1) on sirge 1,00 To + 0,25 FROM= 5,00 (aine H piirmäär). See läbib, nagu joonisel näidatud, läbi punktide (5.0) x-teljel ja (0.20) y-teljel. Pange tähele, et parameetrite lubatud väärtused (K, FROM) asuvad joone (1) kohal või sellel, erinevalt eelnevas käsitletud juhtumitest tootmisülesanne lineaarne programmeerimine.

Sirge (2) on sirge 110,00 To + 120,00 FROM= 400,00 (kalorite piirang). Pange tähele, et mittenegatiivse piirkonnas FROM see asub kõikjal allpool joont (1). Tõepoolest, see kehtib To=0, joon (1) läbib punkti (0,20) ja joon (2) läbib allpool asuvat punkti (0, 400/120). Kahe sirge lõikepunkt leitakse võrrandisüsteemi lahendamisel

1,00 To + 0,25 FROM = 5,00 ,

110,00 To + 120,00 FROM = 400,00 .

Esimesest võrrandist To = 5 - 0,25 FROM. Vahetus teises: 110 (5-0,25 FROM) + 120 FROM= 400, kust 550 - 27,5 FROM + 120 FROM= 400. Seega 150 = - 92,5 FROM, st. lahenduseni jõutakse negatiivsega FROM. See tähendab, et kõik positiivsed FROM rida (2) asub joone (1) all. Seega, kui H piirang on täidetud, siis on ka kalorite piirang tingimata täidetud. Oleme silmitsi uue nähtusega – mõned piirangud matemaatilisest vaatenurgast võivad olla üleliigsed. Majanduslikust aspektist on need vajalikud, peegeldavad probleemipüstituse olemuslikke jooni, kuid antud juhul osutus probleemi sisemine struktuur selliseks, et kaloripiirang ei osale lubatava kujunemisel. parameetrite valik ja lahenduse leidmine.

Sirge (4) on sirge 0,1 To + 0,25 FROM= 1 (piirang ainele T). See läbib, nagu joonisel näidatud, läbi punktide (10.0) abstsissteljel ja (0.4) ordinaatteljel. Pange tähele, et kehtivad parameetri väärtused ( To, FROM) asetsevad joone (4) kohal või sellel, nagu joone (1) puhul.

Seetõttu on lubatud parameetri väärtuste vahemik ( To, FROM) on ülalt piiramata. Kogu tasapinnast eristatakse seda koordinaattelgede (see asub esimeses kvadrandis) ja sirgjoonte (1) ja (4) järgi (see asub nende joonte kohal ja sisaldab ka piirseid segmente). Aktsepteeritavate parameetriväärtuste ala, st. punktid ( To, FROM) võib nimetada "piiramata hulknurgaks". Minimaalne eesmärgifunktsioon 3.8 To + 4,2 FROM pääseb ainult selle "hulknurga" tippudest. Seal on ainult kolm tippu. Need on sirgete (1) ja (4) lõikekohad abstsisstelgedega (10,0) ja ordinaattelgedega (0,20) (mõlemal juhul võetakse kahest lõikepunktist see, mis vastab mõlemale piirangule). Kolmas tipp on punkt AGA sirgete (1) ja (4) lõikepunkt, mille koordinaadid leitakse võrrandisüsteemi lahendamisel

0,10To + 0,25 FROM = 1,00 ,

1,00 To + 0,25 FROM = 5,00 .

Teisest võrrandist To = 5 - 0,25 FROM, esimesest 0,10 (5-0,25 FROM) + 0,25 FROM = 0,5 - 0,025 FROM + 0,25 FROM = 0,5 + 0,225 FROM= 1, kust FROM= 0,5/0,225 = 20/9 ja To= 5 - 5/9 = 40/9. Niisiis, AGA = (40/9; 20/9).

Sirge (3) joonisel 4 on sihtfunktsioonile 3.8 vastav sirgjoon To + 4,2FROM. See läbib piiranguid määratlevate sirgjoonte (1) ja (4) vahelt ning punktis saavutatakse miinimum AGA, mida läbib sirgjoon (3). Seetõttu on miinimum 3,8x40/9 + 4,2x20/9 = 236/9. Segu optimeerimise probleem on täielikult lahendatud.

Eespool kirjeldatud reeglite järgi koostatud topeltprobleemil on järgmine vorm (kordame siin algset segu optimeerimise ülesannet, et selgelt demonstreerida topeltprobleemi koostamise tehnoloogiat):

3,8 To + 4,2 FROM→ min , W 1 + 5 W 2 + 400 W 3 → max ,

0,10 To + 0,25 FROM ≥ 1,00 , 0,1 W 1 + 1,10 W 2 + 110 W 3 ≤ 3,8 ,

1,00 To + 0,25 FROM ≥ 5,00 , 0,25W 1 + 0,25 W 2 + 120 W 3 ≤ 4,2 ,

110,00 To + 120,00 FROM ≥ 400,00 , W 1 ≥ 0 ,

To ≥ 0 , W 2 ≥ 0 ,

FROM ≥ 0 . W 3 ≥ 0 .

Minimaalne väärtus otseses ülesandes, nagu see peaks olema, on võrdne topeltülesande maksimumväärtusega, st. mõlemad numbrid on 236/9. Kahe muutuja tõlgendamine: W 1 - aine T ühiku "kulu" ja W 2 - aine H ühiku "kulu", mõõdetuna "vastavalt nende panusele" eesmärgifunktsiooni. Kus W 3 = 0, kuna kaloripiirang ei aita kuidagi kaasa optimaalse lahenduse kujunemisele. Niisiis, W 1 , W 2 , W 3 - see on nn. objektiivselt konditsioneeritud hinnangud (L.V. Kantorovitši järgi) ressurssidele (ained T ja H, kalorid).

Väljalaske nomenklatuuri ja mahtude planeerimine. Tuleme tagasi tootmise korralduse juurde. Ettevõte suudab toota automaatkööke (pannide tüüp), kohvimasinaid ja samovare. Tabelis 2 on toodud andmed ettevõttes olemasolevate tootmisvõimsuste kohta (toodete tükkides).

Tabel 2.

Tootmisvõimsus (tk.)

		Kohvimasinad	Samovarid
Tembeldamine
Väljaande maht
Konkreetne kasum (toote kohta)

Sel juhul tembeldatakse ja viimistletakse samadel seadmetel. See võimaldab teil teatud aja jooksul tembeldada kas 20 000 kööki või 30 000 kohvimasinat või mõlemat ja mitte vähem. Kuid kokkupanek toimub eraldi piirkondades.

Lineaarse programmeerimise probleem on järgmine:

X 1 ≥ 0 , X 2 ≥ 0 , X 3 ≥ 0 , (0)

X 1 / 200 + X 2 / 300 + X 3 / 120 ≤ 100 , (1)

X 1 / 300 + X 2 / 100 + X 3 / 100 ≤ 100 , (2)

X 1 / 200 ≤ 100 , (3)

Х 2 / 120 ≤ 100, (4)

X 3 / 80 ≤ 100 , (5)

F\u003d 15 X 1 + 12 X 2 + 14 X 3 → max .

(0) on majandusteaduses tavaline muutujate mittenegatiivsuse tingimus,

(1) - tembeldamise võimaluste piirang (tajumise hõlbustamiseks väljendatud protsentides),

(2) - viimistlusvõimaluste piiramine,

(3) - kokkupanemise piirang köökide jaoks,

(4) - sama kohviveskite puhul,

(5) - sama ka samovaride puhul (nagu juba mainitud, on kõik kolm tüüpi tooted kokku pandud eraldi liinidel).

Lõpuks eesmärgifunktsioon F on ettevõtte kogukasum.

Pange tähele, et ebavõrdsus (3) tuleneb ebavõrdsusest (1) ja ebavõrdsus (4) tuleneb (2). Seetõttu saab lineaarse programmeerimise ülesande sõnastusest kõrvaldada ebavõrdsused (3) ja (4).

Märgime kohe huvitava fakti. Nagu määratakse, optimaalselt X 3 = 0, st. samovaride tootmine on kahjumlik.

Lineaarse programmeerimise ülesannete lahendamise meetodid. Lineaarse programmeerimise ülesannete lahendamise meetodid kuuluvad arvutusmatemaatika, mitte majandusteaduse alla. Majandusteadlasel on aga kasulik olla kursis tema kasutatava nutika tööriista omadustega.

Arvutite võimsuse kasvades väheneb vajadus keerukamate matemaatiliste meetodite kasutamise järele, kuna paljudel juhtudel lakkab loendusaeg olemast piirav tegur, see on väga väike (sekundite murdosa). Seetõttu analüüsime ainult kolme meetodit.

Lihtne loendus. Võtame mõne mitmemõõtmelise rööptahuka, mis sisaldab piirangutega määratletud hulktahukat. Kuidas seda ehitada? Näiteks kui on olemas 2. tüüpi piirang X 1 + 5X 2 ≤ 10, siis ilmselgelt 0 ≤ X 1 ≤ 10/2 = 5 ja 0 ≤ X 2 ≤ 10/5 = 2. Samamoodi võib liikuda üldistelt lineaarsetelt piirangutelt üksikute muutujate piirangute juurde. Iga muutuja jaoks jääb üle võtta maksimumpiirid. Kui piiratud hulktahukas on piirideta, nagu oli toitumisprobleemi puhul, on võimalik sarnasel, kuid mõnevõrra keerulisemal viisil eraldada selle lähtepunkti "pööratud" lahust sisaldav osa ja ümbritseda see mitmemõõtmelisena. rööptahukas.

Loendame rööptahuka punktid sammuga 1/10 n järjest kl n=2,3,…, arvutades sihtfunktsiooni väärtusi ja kontrollides piirangute täitmist. Kõigist piiranguid rahuldavatest punktidest võtame selle, mille puhul sihtfunktsioon on maksimaalne. Lahendus leitud! (Kõrgemalt öeldes leiti täpsusega 1/10 n.)

Suunatud iteratsioon. Alustame punktist, mis rahuldab piiranguid (selle saab leida lihtsa loendamisega). Me muudame järjestikku (või juhuslikult - nn juhusliku otsingu meetodit kasutades) selle koordinaate teatud väärtuse ∆ võrra, iga kord sihtfunktsiooni kõrgema väärtusega punktini. Kui jõuame restriktsioonitasandini, liigume seda mööda (leiame ühe koordinaadi restriktsioonivõrrandi abil). Seejärel liikumine mööda serva (kui kaks piirangut-võrratust muutuvad võrdsusteks) ... Peatus - lineaarse hulktahuka tipus. Lahendus leitud! (Kõrgemalt võttes leitakse kuni ∆. Vajadusel teostame leitud lahenduse naabruses suunatud loenduse sammuga ∆/2 , ∆/4 jne.)

Lihtne meetod. See on üks esimesi spetsiaalseid optimeerimismeetodeid, mis on suunatud lineaarse programmeerimise probleemide lahendamisele, samas kui lihtsaid ja suunatud loendusmeetodeid saab rakendada peaaegu kõigi optimeerimisprobleemide lahendamiseks. Simpleksmeetodi pakkus välja ameeriklane G. Danzig aastal 1951. Selle põhiidee on liikuda mööda kumerat piirangu polühedrit tipust tippu, milles igal sammul sihtfunktsiooni väärtus paraneb kuni optimumi saavutamiseni. Analüüsime näidet tabeli 2 andmete põhjal.

Vahemiku ja väljundmahtude optimeerimisel kaaluge ülaltoodud lineaarse programmeerimise probleemi:

F = 15 X 1 + 12 X 2 + 14 X 3 → max .

X 1 / 200 + X 2 / 300 + X 3 / 120 ≤ 100 ,

X 1 / 300 + X 2 / 100 + X 3 / 100 ≤ 100 ,

X 3 / 80 ≤ 100 .

Muutujate mittenegatiivsust ei näidata konkreetselt, kuna see eeldus on lineaarse programmeerimise ülesannete puhul alati aktsepteeritud.

Kooskõlas simpleksmeetodiga võtame kasutusele nn "vabad muutujad" X 4 , X 5 , X 6, mis vastavad alakasutatud võimsustele, s.o. võrratussüsteemist liigume võrrandisüsteemi:

X 1 / 200 + X 2 / 300 + X 3 / 120 + X 4 = 100 ,

X 1 / 300 + X 2 / 100 + X 3 / 100 + X 5 = 100 ,

X 3 / 80 + X 6 = 100 ,

15 X 1 + 12 X 2 + 14 X 3 = F.

Sellel süsteemil on ilmne lahendus, mis vastab ühele lubatud muutujaväärtuste hulktahuka tipule:

X 1 = X 2 = X 3 = 0, X 4 = X 5 = X 6 = 100, F = 0.

Algse probleemi mõistes tähendab see, et midagi pole vaja vabastada. See lahendus on vastuvõetav ainult suvepuhkuse ajal.

Vastavalt simpleksmeetodile valime muutuja, mis sisaldub sihtfunktsioonis F kõrgeima positiivse koefitsiendiga. seda X 1 .

Võrdleme kolme esimese võrrandi vabade liikmete jagatisi koefitsientide järgi äsja valitud muutujaga X 1:

100 / (1/200) = 20000, 100 / (1/300) =30000, 100/0 = + ∞ .

Valime võrrandisüsteemist sirge, mis vastab kõikide positiivsete suhete miinimumile. Selles näites on see esimene rida, mis vastab suhtele 20000.

Korrutage esimene rida 200-ga, et saada X 1 ühtsuskoefitsiendiga:

X 1 + 2/3 X 2 + 2/1,2 X 3 + 200 X 4 = 20000 .

Seejärel korrutame äsja saadud rea (-1/300) ja lisame selle teise reale, et elimineerida termin X 1, saame

7/900 X 2 + 4/900 X 3 - 2/3 X 4 + X 5 = 100/3.

Korrutage sama teisendatud esimene string arvuga (-15) ja lisage see stringile, mille paremal küljel on F, saame:

2 X 2 - 11 X 3 - 3000 x 4 = F - 300000.

Selle tulemusena teisendatakse võrrandisüsteem kujule, milles muutuja X 1 sisaldub ainult esimeses võrrandis:

X 1 + 2/3 X 2 + 2/1,2 X 3 + 200 X 4 = 20000 ,

7/900 X 2 + 4/900 X 3 - 2/3 X 4 + X 5 = 100/3,

X 3 / 80 + X 6 = 100 ,

2 X 2 - 11 X 3 - 3000 x 4 = F - 300000.

Ilmselgelt on uuel süsteemil esialgsega võrreldes täiustatud lahendus, mis vastab kumera hulktahuka teisele tipule kuuemõõtmelises ruumis:

X 1 = 20000, X 2 = X 3 = X 4 = 0, X 5 = 100/3, X 6 = 100, F = 300000.

Algse probleemi seisukohalt tähendab see lahendus seda, et tuleks toota ainult kööke. Selline lahendus on vastuvõetav, kui on lubatud toota ainult ühte tüüpi toodet.

Kordame ülaltoodud toimingut. Kooskõlas F on veel üks positiivne koefitsient - juures X 2 (kui positiivseid koefitsiente oleks mitu, võtaksime neist maksimumi). Tuginedes koefitsientidele juures X 2 (mitte kl X 1 , nagu esimest korda) moodustame jagatised vastavate vabade liikmete jagamisest järgmiste koefitsientidega:

20000 / (2/3) = 30000, (100/3) / (7/900) = 30000/7, 100/0 = + ∞.

Seega peame valima teise rea, mille puhul on meil väikseim positiivne suhe 30000/7. Korrutage teine ​​rida 900/7-ga (nii et koefitsient on X 2 oli võrdne 1-ga). Seejärel lisage värskendatud rida kõikidele ridadele, mis sisaldavad X 2 , olles eelnevalt need sobivate arvudega korrutanud, s.o. nii, et kõik koefitsiendid juures X 2 muutuks pärast liitmist 0-ks, välja arvatud teise rea koefitsient, mis on juba muutunud võrdseks 1-ga. Saame võrrandisüsteemi:

X 1 + 9/7 X 3 + 1800/7 X 4 - 600/7 X 5 = 120000/7 ,

X 2 + 4/7 X 3 - 600/7 X 4 + 900/7 X 5 = 30000/7,

X 3 / 80 + X 6 = 100 ,

85/7 X 3 - 19800/7 X 4 - 1800/7 X 5 = F - 308571.

Kuna kõik muutujad on mittenegatiivsed, järeldub viimasest võrrandist, et kasum F saavutab maksimaalse väärtuse 308571 at X 3 = X 4 = X 5 = 0. Ülejäänud võrranditest järeldub, et antud juhul X 1 = 120000/7 = 17143, X 2 = 30000/7 = 4286, X 6 = 100. Kuna koos F muutujatest pole järel ühtegi positiivset koefitsienti, siis on simpleksmeetodi algoritm oma töö lõpetanud, optimaalne lahendus leitud.

Praktilised soovitused on järgmised: vaja on toota 17143 kööki, neli korda vähem, s.o. 4286, kohviveskid, ei tooda samovarid üldse. Sel juhul on kasum maksimaalne ja võrdne 308571-ga. Kõik tootmisseadmed laaditakse täielikult, välja arvatud samovari koosteliin.

transpordi ülesanne. Tootmisjuhtimise erinevad tehnilised, majanduslikud ja majanduslikud ülesanded, alates masina optimaalsest laadimisest ja teraslehe või kanga lõikamisest kuni sektoritevahelise tasakaalu analüüsi ja riigi majanduse kui terviku kasvutempo hindamiseni, lineaarse programmeerimise teatud probleemide lahendamise vajadusele. Raamat sisaldab ulatuslikku nimekirja publikatsioonidest, mis on pühendatud paljudele lineaarse programmeerimise rakendustele metallurgia-, söe-, keemia-, nafta-, paberi- ja muudes tööstusharudes, transpordi- ja sideprobleemides, tootmise planeerimisel, toodete projekteerimisel ja ladustamisel, põllumajanduses, teaduses. teadusuuringuid, sealhulgas mitmeid majanduslikke ja isegi liikluse reguleerimise alal.

Teise näitena vaatleme nn. transpordi ülesanne. Seal on laod, mille laoseisud on teada. Tarbijad ja nende vajadused on teada. Tarbijateni on vaja kaup ladudest tarnida. Tarbijate "kinnitamist" ladudesse saate korraldada erineval viisil, s.t. määrata, millisest laost millisesse tarbijasse ja kui palju kanda. Lisaks on teada kaubaühiku kindlast laost teatud tarbijale tarnimise maksumus. See on vajalik transpordikulude minimeerimiseks.

Näiteks võime rääkida liiva transportimisest - telliste tootmise toorainest. Liiv toimetatakse Moskvasse tavaliselt kõige odavama transpordiga - veega. Seetõttu võib sadamaid käsitleda ladudena ja nende igapäevast läbilaskevõimet reservina. Tarbijad on tellisetehased ja nende vajadused määrab igapäevane tootmine (vastavalt olemasolevatele tellimustele). Kohaletoimetamiseks on vaja sõidukid peale laadida, sõita mööda kindlat marsruuti ja maha laadida. Nende toimingute maksumus arvutatakse üldtuntud reeglite järgi, millel pole mõtet peatuda. Seetõttu võib kauba konkreetsest laost konkreetsele tarbijale tarnimise kulu lugeda teadaolevaks.

Vaatleme näidet transpordiprobleemist, mille lähteandmed on toodud tabelis. 3.

Tabelis 3 on lisaks vajaduste mahtudele ja laoväärtustele välja toodud kaubaühiku laost tarnimise maksumus i, i = 1,2,3, tarbija j, j = 1,2,3,4. Näiteks on odavaim tarne laost 2 tarbijatele 1 ja 3 ning laost 3 tarbijale 2. Laos 2 on aga 80 ühikut kaupa ning tarbijad 1 ja 3 vajavad 50 + 70 = 120 ühikut, seega kaup läheb tuleb nende juurde ja teistest ladudest kohale sõita. Pange tähele, et tabelis 3 on laovarud võrdsed koguvajadusega. Näiteks liiva tellisetehastesse tarnimisega on see täiesti loomulik piirang - kui sellist piirangut ei täideta, on kas sadamad kaetud liivamägedega või ei täida tellisetehased tellimusi.

Tabel 3

Transpordiprobleemi esialgsed andmed.

	Tarbija 1	Tarbija 2	Tarbija 3	Tarbija 4	Varud ladudes
Vajadused

Vaja on planeerida transporti, st. vali mahud Х ij kaupade tarned laost i tarbija j, kus i = 1,2,3; j= 1,2,3,4. Seega on ülesandes kokku 12 muutujat. Need vastavad kahele piirangute rühmale. Esiteks määratakse laovarud:

X 11 + X 12 + X 13 + X 14 = 60 ,

X 21 + X 22 + X 23 + X 24 = 80 ,

X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 60 .

Teiseks on klientide vajadused teada:

X 11 + X 21 + X 31 = 50 ,

X 12 + X 22 + X 32 = 40 ,

X 13 + X 23 + X 33 = 70 ,

X 14 + X 24 + X 34 = 40 .

Seega on kokku 7 võrdsuse tüüpi piirangut. Lisaks on kõik muutujad mittenegatiivsed – veel 12 piirangut.

Eesmärk on transpordikulud, mida tuleb minimeerida:

F = 2 X 11 + 5 X 12 + 4 X 13 + 5 X 14 + X 21 + 2 X 22 + X 23 + 4 X 24 +

3 X 31 + X 32 + 5 X 33 + 2 X 34 → min.

Lisaks käsitletule käsitletakse ka mitmesuguseid muid transpordiprobleemi variante. Näiteks kui tarne toimub vagunitega, siis tarnete maht peab olema vaguni mahutavuse kordne.

Transpordiprobleemi muutujate ja piirangute hulk on selline, et seda ei saa lahendada ilma arvuti ja vastava tarkvaratooteta.

3.2.2. Täisarvuline programmeerimine

Optimeerimisprobleemid, milles muutujad võtavad täisarvu, on seotud täisarvude programmeerimisega. Vaatleme mõnda neist probleemidest.

Probleem seadmete valikul. Töökoja uue sektsiooni seadmete ostmiseks eraldati 20 000 USA dollarit. Sel juhul võite hõivata pindala, mis ei ületa 38 m 2. Saadaval on A-tüüpi masinad ja B-tüüpi masinad. A-tüüpi masinad maksavad 5000 USA dollarit, nende pindala on 8 m2 (koos vajalike tehnoloogiliste läbikäikudega) ja nende võimsus on 7000 ühikut vahetuses. B-tüüpi masinad maksavad 2000 dollarit, nende pindala on 4 m2 ja nende võimsus on 3000 ühikut vahetuse kohta. Vaja arvutada parim variant seadmete soetamine, mis antud piirangute korral maksimeerib objekti üldist tootlikkust.

Olgu X A-tüüpi masinate arv ja Y seadmekomplekti kuuluvate B-tüüpi masinate arv. Toimivuse maksimeerimiseks tuleb valida seadmete komplekt FROM pindala (tuhandetes ühikutes vahetuse kohta):

FROM= 7 X + 3 Kell → max.

Sel juhul tuleb järgida järgmisi piiranguid:

maksumuse järgi (tuhandetes USA dollarites)

5 X+ 2 Kell ≤ 20,

asustatud pindala järgi (m 2)

8 X + 4 Kell ≤ 38,

samuti äsja esile kerkivad spetsiifilised täisarvude piirangud, nimelt

X ≥ 0 , Kell ≥ 0 , X ja Kell- täisarvud.

Sõnastatud matemaatiline ülesanne erineb lineaarse programmeerimise ülesandest ainult viimase täisarvu tingimuse poolest. Kuid selle tingimuse olemasolu võimaldab (antud juhul) probleemi hõlpsasti loendamise teel lahendada. Tõepoolest, nii kulupiirang kui ka pindalapiirang annavad selle X≤ 4. Seega võib X võtta ainult ühe viiest väärtusest: 0, 1, 2, 3, 4.

Kui a X= 4, siis kulupiirangust järeldub, et Kell= 0 ja seega FROM = 7 X = 28.

Kui a X= 3, siis esimene piirang viitab sellele Kell≤ 2, teisest Kell≤ 3. Seega maksimaalne FROM Kell=2, nimelt FROM = 21 + 6 = 27.

Kui a X= 2, siis esimesest piirangust järeldub, et Kell≤ 5, teisest ka Kell≤ 5. Seega maksimaalne FROM piirangute täitmine saavutatakse, kui Kell=5, nimelt FROM = 14 + 15 = 29.

Kui a X= 1, siis esimesest piirangust, mis meil on Kell≤ 7, teisest ka Kell≤ 7. Seega maksimaalne FROM piirangute täitmine saavutatakse, kui Kell= 7, nimelt FROM = 7 + 21 = 28.

Kui a X= 0, siis tähendab esimene piirang Kell≤ 10, teisest Kell≤ 9. Seega maksimaalne FROM piirangute täitmine saavutatakse, kui Kell= 9, nimelt FROM = 27.

Kõik võimalikud juhtumid on läbi mõeldud. Maksimaalne jõudlus FROM= 29 (tuhat tootmisühikut vahetuse kohta) saavutatakse, kui X = 2, Kell= 5. Seetõttu peate ostma 2 A-tüüpi ja 5 B-tüüpi masinat.

Seljakoti probleem. Seljakoti kogukaal on eelnevalt piiratud. Milliseid esemeid panna seljakotti, et valitud esemete üldine kasulikkus oleks maksimaalne? Iga eseme kaal on teada.

Samaväärseid koostisi on palju. Näiteks seljakoti asemel võime kaaluda kosmoselaev- Maa satelliit ja objektidena - teaduslikud instrumendid. Seejärel tõlgendatakse probleemi kui seadmete valikut orbiidile saatmiseks. Tõsi, see eeldab, et esialgne probleem on lahendatud - hinnang uuringute võrdlevale väärtusele, mille jaoks üht või teist instrumenti vaja on.

Ettevõtte ökonoomika ja tootmiskorralduse seisukohalt on asjakohasem seljakotiprobleemi teine ​​tõlgendus, kus tellimusi (või teatud kaupade partiide valmistamise võimalusi) käsitletakse kui "objekte", kasumit. alates tellimuse täitmisest loetakse kasulikuks ja kaalus - tellimuse maksumus.

Liigume edasi matemaatilise sõnastuse juurde. Eeldatakse, et objekte on n ja igaühe puhul tuleb otsustada, kas panna see kotti või mitte. Lahenduse kirjeldamiseks võetakse kasutusele Boole'i ​​muutujad X k ,k = 1,2,…, n(st muutujad, millel on kaks väärtust, nimelt 0 ja 1). Kus X k= 1, kui ese asetatakse seljakotti ja X k= 0 kui ei, k = 1,2,…, n. Iga üksuse jaoks on teada kaks konstanti: A k- kaal k-th teema ja Koos k- kasulikkus k- teema, k = 1,2,…, n. Tähistame seljakoti maksimaalset võimalikku mahutavust AT. Optimeerimisprobleemil on vorm

C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 + .... + C n X n→ max ,

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + .... + А n Х n ≤ В.

Erinevalt eelmistest ülesannetest kontrolli parameetrid X k , k = 1,2,…, n, võtke väärtused komplektist, mis sisaldab kahte elementi - 0 ja 1.

Täisarvuline programmeerimine hõlmab (tootmisrajatiste) paigutuse, graafikuteooria, kalendri ja operatiivplaneerimine, töötajate kohtumised jne. (vt näiteks monograafiat).

Toome välja kaks levinud meetodit täisarvude programmeerimise probleemide lahendamiseks

Lähendamismeetod pidevülesannetega. Selle kohaselt lahendatakse kõigepealt lineaarse programmeerimise probleem ilma täisarvu arvestamata ja seejärel otsitakse täisarvu punkte optimaalse lahenduse läheduses.

Suunatud loendusmeetodid. Neist tuntuim on haru ja sideme meetod. Meetodi olemus on järgmine. Iga alamhulk X komplektid võimalikud lahendused X 0-le on määratud number - "ääris" A (X). Minimeerimisprobleemi lahendamisel on vajalik, et AGA(X 1) ≥ A (X 2), kui X 1 sisaldub X 2 või sama mis X 2 .

Haru- ja sidumismeetodi iga samm seisneb valitud jagamises eelmine samm paneb X C kaheks - X 1C ja X 2C. Samal ajal ristmik X 1C ja X 2C on tühi ja nende liit on sama X C. Seejärel arvutage piirid AGA(X 1C) ja AGA(X 2C) ja määrake "filiaal" X C+1 - üks komplektidest X 1C ja X 2C, mille puhul on seos väiksem. Algoritm peatub, kui äsja valitud haru läbimõõt on väiksem kui etteantud väike arv

Iga konkreetse täisarvulise programmeerimise probleemi (teisisõnu diskreetse optimeerimise) jaoks rakendatakse hargnemis- ja sidumismeetodit omal moel. Sellel meetodil on palju modifikatsioone.

3.2.3. Graafikuteooria ja optimeerimine

Üks diskreetse matemaatika harusid, mida sageli otsuste tegemisel kasutatakse, on graafiteooria (vt nt. õppejuhendid). Graaf on punktide kogum, mida nimetatakse graafitippudeks, millest osa on ühendatud kaaredega (kaaresid nimetatakse ka servadeks). Graafiku näited on toodud joonisel 5.

	Joonis 5. Graafiku näited.

Uued omadused on "kinnitatud" äsja kasutusele võetud graafiku mõistele. Algobjektile omistatakse uusi omadusi. Näiteks tutvustatakse ja kasutatakse mõistet suunatud graafik. Sellises graafikus on kaaredel ühest tipust teise suunatud nooled. Suunatud graafikute näited on toodud joonisel 6.

Joonis 6. Suunatud graafikute näited.

Suunatud graafik oleks kasulik näiteks veokorralduse illustreerimiseks transpordiprobleemis. Majandusteaduses omistatakse numbrid sageli suunatud või tavalise graafiku kaaredele, näiteks reisi- või kaubaveo maksumus punktist A (kaare algtipp) punkti B (kaare lõpptipp).

Vaatleme mitut tüüpilist otsustusprobleemi, mis on seotud graafikute optimeerimisega.

Reisiva müüja probleem. On vaja külastada kõiki graafiku tippe ja naasta algse tipu juurde, minimeerides reisikulud (või aja minimeerimiseks).

Algandmeteks on siin graafik, mille kaaredele on määratud positiivsed arvud – reisikulud või ühest tipust teise liikumiseks kuluv aeg. Üldiselt on graafik suunatud ja iga kaks tippu ühendavad kahte kaare – edasi-tagasi. Tõepoolest, kui punkt A asub mäel ja punkt B on madalikul, on punktist A punkti B sõitmiseks kuluv aeg ilmselgelt väiksem kui punktist B punkti A tagasi liikumiseks.

Paljud majandusliku sisuga väited taandatakse reisiva müügimehe probleemile. Näiteks:

Koostage antud objektide komplekti nõuetekohase toimimise eest vastutava poe reguleerija (kontrolör, turvamees, politseinik) möödasõiduks kõige tulusam marsruut (igaüks neist objektidest on modelleeritud graafiku tipuga);

Koostage kõige kasumlikum marsruut töötajatele osade või leiva tarnimiseks pagariärist teatud arvule pagaritöökodadesse ja muudesse müügikohtades(parkimine pagariäri juures).

Lühima tee probleem. Kuidas on lühim viis graafiku ühest tipust teise jõudmiseks? Tootmise juhtimise osas: lühima teena (ja seega koos kõige vähem kulu kütus ja aeg, odavaim), et jõuda punktist A punkti B? Selle ülesande lahendamiseks tuleb iga suunatud graafi kaar seostada arvuga – aeg, mis kulub piki seda kaare liikumist algtipust lõpptipuni. Vaatleme näidet (joonis 7).

Joonis 7. Lühima tee probleemi algandmed.

Olukorda saab kirjeldada mitte ainult suunatud graafiku abil, millel on kaaredele määratud kaalud, vaid ka tabeliga (tabel 7). Selles tabelis on reisiajaga seotud kaks tippu – tee algus ja lõpp. Tabel 7 käsitleb teid ilma vahepeatusteta. Keerulisemad marsruudid koosnevad tabelis 4 loetletud elementaarsetest lõikudest.

Tabel 4

Lühima tee probleemi algandmed.

Kaare algus	Kaare lõpp	Reisi aeg

Küsimus on: kuidas on kõige lühem viis saada tipust 1 tippu 4?

Lahendus. Tutvustame tähistust: FROM(T) - lühima tee pikkus tipust 1 tippu T. (Kuna iga vaadeldav tee koosneb kaaredest ja kaare on piiratud arv ja iga kaar siseneb maksimaalselt üks kord, on lühima tee kandidaatide arv piiratud ja alati on saavutatud piiratud arvu elementide miinimum .) Vaadeldav probleem on arvutamine FROM(4) ja märge tee kohta, mille kaudu see miinimum saavutatakse.

Joonisel 7 ja tabelis 4 esitatud algandmete puhul siseneb tippu 3 ainult üks nool, vahetult tipust 1, ja selle noole lähedal on selle pikkus 1, seega FROM(3) = 1. Pealegi on ilmne, et FROM(1) = 0.

Tipu 4 saab jõuda kas tipust 2, olles läbinud tee, mis võrdub 4, või tipust 5, olles läbinud tee, mis võrdub 5. Seetõttu on seos

FROM(4) = min(С(2) + 4; FROM(5) + 5}.

Seega on probleemi ümberstruktureerimine (lihtsustamine) läbi viidud - leid С(4) on taandatud leidmisele С(2) ja FROM(5).

Tippu 5 saab jõuda kas tipust 3, olles läbinud tee, mis on võrdne 2-ga, või tipust 6, olles läbinud tee, mis võrdub 3-ga. Seetõttu on seos

FROM(5) = min ( FROM(3) + 2; FROM(6) + 3}.

Me teame seda FROM(3) = 1. Seetõttu

С(5) = min(3; FROM(6) + 3}.

Kuna on ilmne, et C(6) on positiivne arv, järeldub viimasest seosest, et FROM(5) = 3.

Tippu 2 saab jõuda kas tipust 1, olles läbinud tee, mis on võrdne 7-ga, või tipust 3, olles läbinud tee, mis on võrdne 5-ga, või tipust 5, olles läbinud tee, mis võrdub 2-ga. Seetõttu on seos

FROM(2) = min (С(1) + 7; С(3) + 5; FROM(5) + 2}.

Teame, et С(1) = 0, FROM(3) = 1, FROM(5) = 3. Seetõttu

FROM(2) = min (0 + 7; 1 + 5; 3 + 2) = 5.

Nüüd leiame FROM(4):

FROM(4) = min ( FROM(2) + 4; FROM(5) + 5) = min (5 + 4; 3 + 5) = 8.

Seega on lühima tee pikkus 8. Viimasest seosest selgub, et tippu 4 tuleb minna läbi tipu 5. Tulles tagasi arvutuse juurde FROM(5), näeme, et peame minema tippu 5 läbi tipu 3. Ja tippu 3 pääseme ainult tipust 1. Niisiis, lühim tee on järgmine:

1 → 3 → 5 → 4 .

Konkreetsete lähteandmete lühima tee probleem (joonis 7 ja tabel 4) on täielikult lahendatud.

Optimeerimisprobleemid graafikutel, mis tekivad ettevalmistamisel juhtimisotsused tootmisjuhtimises on väga mitmekesised. Vaatleme näiteks teist transpordiga seotud probleemi.

Maksimaalse voolu probleem. Kuidas (st millistel marsruutidel) saata võimalikult suur kogus kaupa alguspunktist lõpp-punkti, kui läbilaskevõime kas punktidevahelised teed on piiratud?

Selle ülesande lahendamiseks tuleb iga transpordisüsteemile vastava suunatud graafiku kaar seostada numbriga – selle kaare läbilaskevõimega. Vaatleme näidet (joonis 8).

Joonis 8. Algandmed maksimaalse vooluhulga probleemi jaoks

Transpordisüsteemi, näiteks tehasesisese transpordisüsteemi algandmed, mis on näidatud joonisel 8, saab määrata ka tabelis (tabel 5).

Maksimaalse vooluhulga probleemi lahenduse võib leida järgmistest kaalutlustest.

Ilmselgelt maksimaalne läbilaskevõime transpordisüsteem ei ületa 6, kuna lähtepunktist 0 ei saa saata rohkem kui 6 ühikut lasti, nimelt 2 ühikut punkti 1, 3 ühikut punkti 2 ja 1 ühikut punkti 3.

Tabel 5

Algandmed maksimaalse vooluhulga probleemi jaoks

Lähtepunkt	Sihtkoht	Ribalaius

Järgmiseks on vaja tagada, et kõik 6 punktist 0 väljuvat lastiühikut jõuaksid lõpppunkti 4. Ilmselgelt saab punkti 1 saabunud 2 ühikut lasti otse saata punkti 4. Punkti 2 saabunud kaubal on jagada: 2 ühikut saadetakse kohe punkti 4 ja 1 ühik - vahepunkti 3 (punktide 2 ja 4 vahelise sektsiooni piiratud mahu tõttu). Punkti 3 toimetati järgmised kaubad: 1 ühik punktist 0 ja 1 ühik punktist 2. Saadame need punkti 4.

Seega on vaadeldava transpordisüsteemi maksimaalne läbilaskevõime 6 lastiühikut. Samal ajal ei kasutata sisemisi sektsioone (harusid) punktide 1 ja 2, samuti punktide 1 ja 3 vahel. Punktide 1 ja 4 vaheline haru ei ole täielikult koormatud - mööda seda saadetakse 2 ühikut lasti koos a. läbilaskevõime 3 ühikut.

Lahenduse saab esitada tabeli kujul (tabel 6).

Tabel 6

Maksimaalse vooluhulga probleemi lahendamine

Lähtepunkt	Sihtkoht	Transpordiplaan	Ribalaius

Lineaarse programmeerimise probleem voo maksimeerimiseks. Sõnastame maksimaalse voolu probleemi lineaarse programmeerimisega. Lase X KM- liikluse maht punktist To lõigu juurde M. Vastavalt joonisele 8 To = 0,1,2,3, M= 1,2,3,4 ja transport on võimalik ainult suurema numbriga punkti. Seega on kokku 9 muutujat. X KM, nimelt X 01 , X 02 , X 03 , X 12 , X 13 , X 14 , X 23 , X 24 , X 34 . Voo maksimeerimisele suunatud lineaarse programmeerimise probleem on järgmine:

F→ max ,

X 01 + X 02 + X 03 = F (0)

- X 01 + X 12 + X 13 + X 14 = 0 (1)

- X 02 - X 12 + X 23 + X 24 = 0 (2)

- X 03 - X 13 - X 23 + X 34 = 0 (3)

- X 14 - X 24 - X 34 = -F (4)

X 01 ≤ 2

X 02 ≤ 3

X 03 ≤ 1

X 12 ≤ 4

X 13 ≤ 1

X 14 ≤ 3

X 23 ≤ 1

X 24 ≤ 2

X 34 ≤ 2

X KM ≥ 0 , K, M = 0, 1, 2, 3, 4

F ≥ 0 .

Siin F- eesmärkfunktsioon, tingimus (0) kirjeldab kauba sisenemist transpordisüsteemi. Tingimused (1) - (3) määravad tasakaalu suhted süsteemi sõlmedele 1-3. Teisisõnu, iga sisemise sõlme jaoks sissetulev voog last on võrdne väljamineva vooluga, lastid ei kogune süsteemi sees ega "sündi" selles. Tingimus (4) on kaupade süsteemist väljumise tingimus. Koos tingimusega (0) moodustab see tasakaalu suhte süsteemi kui terviku jaoks ("sisend" võrdub "väljundiga"). Järgmised üheksa ebavõrdsust seavad piirid transpordisüsteemi üksikute "harude" läbilaskevõimele. Seejärel näidatakse lineaarse programmeerimise ülesande piirangute süsteemis liiklusmahtude ja sihtfunktsiooni mittenegatiivsust. On selge, et viimane ebavõrdsus tuleneb sihtfunktsiooni vormist (seos (0) või (4)) ja liiklusmahtude mittenegatiivsusest. Viimane ebavõrdsus kannab siiski mõnda Üldine informatsioon- kas positiivne kaubamaht või null (näiteks kui süsteemi sees toimub ringliikumine), kuid mitte negatiivne (pole majanduslikult mõtet, kuid formaalne matemaatiline mudel "ei tea" sellest ) saab süsteemist läbi lasta.

Erinevate optimeerimisprobleemide kohta. Erinevates otsustusprobleemides ilmnevad mitmesugused optimeerimisprobleemid. Nende lahendamiseks kasutatakse üht või teist meetodit, täpset või ligikaudset. Optimeerimisprobleeme kasutatakse sageli teoreetilistes ja majandusuuringutes. Piisab, kui meenutada riigi majanduskasvu optimeerimist Wassili Leontjevi sisend-väljundmaatriksi abil või mikromajanduslikke probleeme optimaalse toodangu mahu määramisel kulufunktsiooni seisukohalt fikseeritud hinnaga (või monopoolsetel tingimustel) või kulude minimeerimisel. antud toodangu maht, valides tootmistegurite optimaalse suhte (arvestades nende eest tasumist).

Lisaks ülaltoodud optimeerimisülesannete lahendamise meetoditele tuletame meelde, et sujuvaid funktsioone optimeeritakse tuletise määramisega 0-ga (mitme muutuja funktsioonide puhul osatuletised). Kui on piiranguid, kasutatakse Lagrange'i kordajaid. Neid meetodeid õpetatakse tavaliselt matemaatika edasijõudnute kursustel ja seetõttu on need siin välja jäetud.

Huvitavad on optimeerimisprobleemid hägusate muutujatega, samuti ökonomeetrias tekkivad optimeerimisprobleemid. Neid käsitletakse vastavas kirjanduses.

Kirjandus

1. Gass S. Teekond lineaarse programmeerimise maale / Per. inglise keelest. - M.: Mir, 1973. - 176 lk.

2. Kofman A., Fore R. Teeme uurimisoperatsioone / Per. prantsuse keelest - M: Mir, 1966. -280 lk.

3. Belov V.V., Vorobjov E.M., Šatalov V.E. Graafiteooria. - M.: Kõrgkool, 1976. - 392 lk.

4. Burkov V.N., Založnev A.Ju., Novikov D.A. Graafiteooria organisatsioonisüsteemide juhtimises. – M.: Sinteg, 2001. – 124 lk.

5. Orlov A.I. Optimeerimisprobleemid ja hägused muutujad. - M.: Teadmised, 1980. - 64 lk.

6. Orlov A.I. Ökonomeetria. - M .: Kirjastus "Exam", 2002. - 576 lk.

Ülesanded otsustusmeetodite järgi

1. Joonistage piirangutasandile lineaarne programmeerimisülesanne ja lahendage see ülesanne (graafiliselt):

400 W 1 + 450 W 2 → min ,

5 W 1 + 10 W 2 ≥ 45,

20 W 1 + 15 W 2 ≥ 80,

W 1 ≥ 0, W 2 ≥ 0.

2. Lahendage lineaarse programmeerimise probleem:

W 1 + 5 W 2 → max,

0,1 W 1 + W 2 ≤ 3,8 ,

0,25 W 1 + 0,25 W 2 ≤ 4,2 ,

W 1 ≥ 0, W 2 ≥ 0.

3. Lahendage täisarvude programmeerimise ülesanne:

10 X + 5 Kell→ max.

8X + 3 Kell ≤ 40,

3 X + 10 Kell ≤ 30,

X ≥ 0 , Kell ≥ 0 , X ja Y on täisarvud.

4. Lahendage seljakoti probleem:

X 1 + X 2 + 2 X 3 + 2 X 4 + X 5 + X 6 → max,

0,5X 1 +X 2 + 1,5 X 3 + 2X 4 + 2,5X 5 + 3X 6 ≤ 3.

Juhtimisparameetrid X k,k= 1,2,…, 6 , võta väärtused komplektist, mis sisaldab kahte elementi - 0 ja 1.

5. Transpordivõrk (koos kauguste näitamisega) on näidatud joonisel 9. Leidke lühim tee punktist 1 punkti 4.

Joonis 9. Lühima tee probleemi algandmed.

7. Lahendage nelja linna rändmüüja probleem (marsruut peab olema suletud ega sisalda korduskülastusi). Reisikulud on toodud tabelis 7.

Tabel 7

Algandmed reisiva müüja probleemi kohta

Väljumislinn	Sihtlinn	Reisikulud

8. Kuidas saata maksimaalne kaubakogus lähtepunktist 1 lõpppunkti 8, kui transpordivõrgu punktide (joon. 10) vaheliste teede läbilaskevõime on piiratud (tabel 8)?

Joonis 9. Transpordivõrk maksimaalse voolu probleemini.

Tabel 8

Algandmed maksimaalse vooluhulga probleemi jaoks

Lähtepunkt	Sihtkoht	Ribalaius

Aruannete ja referaatide teemad

1. Otsuste tegemise optimeerimisprobleemide klassifikatsioon.

2. Pareto optimaalsed lahendused.

3. Mitmekriteeriumilised otsustusprobleemid: kriteeriumide konvolutsiooni erinevad meetodid.

4. Optimeerimisülesanded ja hägused muutujad (töö põhjal).

5. Simulatsioon ja ekspertide arvamused otsuste tegemisel.

6. Interaktiivsed otsustussüsteemid.

7. Otsuste langetamise määramatuste arvestamise meetodid: tõenäosusmudelid, hägusteooria, intervallmatemaatika.

8. Otsuste tegemise ökonomeetrilised meetodid (monograafia põhjal).

9. Simulatsiooni modelleerimine ja statistilise testimise meetod (Monte Carlo) otsuste tegemisel.

11. Mänguteooria (konfliktiteooria) meetodid, informatsiooni roll ja Nashi tasakaal otsustusteoorias.

12. Erinevate meetodite kombineeritud rakendamise probleemid konkreetses rakendustöös.

13. Infotehnoloogia otsuste tugi.

Eelmine